In der Schule benutzt Du häufig Papier, um auf diesem mit einem Stift zu schreiben. Mit diesen beiden Dingen kannst Du Dir die Mathematik veranschaulichen. Insbesondere in der analytischen Geometrie kann ein Stück Papier und ein Stift Dir helfen, die Lage von Ebenen mit Geraden zu verstehen. Wenn Du mit Deinem Stift das Papier durchstichst, schneidet die Gerade (der Stift) die Ebene (das Papier). Du kannst den Stift auch auf das Papier legen. Dann liegt die Gerade in der Ebenen. Zum Schluss kannst Du den Stift parallel zum Papier halten. In dieses Mal berühren sich der Stift und das Papier nicht. In der Mathematik kannst Du dann den Abstand zwischen der Ebene (dem Papier) und der Geraden (dem Stift) berechnen. Wie Du das machst, erfährst Du in dieser Erklärung.
Grundlagenwissen Ebene & Gerade
Bevor Du beginnst, mit Ebenen und Geraden zu rechnen, solltest Du wissen, was Geraden und Ebenen sind.
Eine Gerade g ist eine Linie, welche weder Anfangspunkt noch Endpunkt besitzt.
Sie wird definiert durch zwei Punkte, durch die sie verläuft, oder einen Punkt \(P\) und einen Vektor \(\vec {u}\).
Die Geradengleichung lautet:
\[g:\vec{x}=\vec{p}+ \lambda \cdot \vec{u}\]
Ebenen hingegen sind unbegrenzte, gerade Flächen und können mathematisch auf mehrere Weisen definiert werden.
Ebenen werden durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, definiert.
Alternativ kann eine Ebene durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt dargestellt werden.
Des Weiteren lässt sich eine Ebene durch zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden veranschaulichen.
Abbildung 1: Ebene Definition
| Parameterform | Normalenform | Koordinatenform |
| | |
| Die Parametergleichung (oder Vektorgleichung) besteht aus den beiden Spannvektoren und , den dazugehörigen Variablen s und t und dem Stützvektor oder . Die beiden Spannvektoren dürfen hier nicht parallel sein. | Der Stützvektor und der Normalenvektor definieren die Normalenform. Der Normalenvektor steht auf allen Strecken der Ebene senkrecht. | Die Koordinatenform bildet sich aus der ausmultiplizierten Normalenform. |
Eine Ebene und eine Gerade haben eine bestimmte Lagebeziehung, wobei die Gerade
- die Ebene schneiden kann.
- in der Ebene liegen kann.
- parallel zu der Ebene verlaufen kann.
Abbildung 2: Lagebeziehung Ebene Gerade
Wie Du die Lagebeziehung von Ebene und Gerade bestimmst, erfährst Du in der Erklärung „Lagebeziehung Gerade Ebene“.
Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebenen berechnen
Eine Berechnung des Abstandes zwischen Gerade und Ebene ist sinnvoll, wenn die Ebene und die Gerade parallel zueinander verlaufen. Bei Parallelität hat jeder Punkt der Geraden denselben Abstand zur Ebene.
Nun gibt es zwei Methoden, wie Du den Abstand zwischen Ebene und Gerade berechnen kannst.
- die hessesche Normalform
- das Lotfußpunktverfahren
Diese beiden Methoden sollten Dir bereits aus der Berechnung vom Abstand von Punkt und Ebene bekannt vorkommen.
Wie Du den Abstand von Punkt und Ebene berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Abstand Punkt Ebene“.
Abstand Gerade & Ebene – Hessesche Normalform
Die hessesche Normalform ist einerseits eine weitere Möglichkeit, die Ebene mathematisch darzustellen. Andererseits kannst Du mit ihr auch den Abstand von einer Ebene zu einem Punkt berechnen und infolgedessen den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene.
Um den Abstand mit der hesseschen Normalform zu berechnen, gehst Du folgendermaßen vor:
- Du bestimmst einen beliebigen Punkt P der Geraden g.
- Schreibe die Ebene E in die Hessesche Normalform \(\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt {A^2+B^2+C^2}}=0\) um.
- Setze den Punkt P in die Hessesche Normalform der Ebene E ein.
- Zum Schluss rechnest Du die Formel aus und erhältst den Abstand der Geraden g zu der parallelen Ebene E.
Bevor Du mit dieser Rechnung beginnst, solltest Du die Ebene in Koordinatenform haben. Wenn die Ebene Dir nicht in Koordinatenform vorliegt, musst Du sie umschreiben.
Wie Du die Ebenengleichungen umschreibst, erfährst Du in der Erklärung „Ebenengleichung umformen“.
Aufgabe 1
Berechne den Abstand der Geraden \(g:\vec{x}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 1 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ -\frac{10}{3} \end{array}\right)\) zu der parallelen Ebene \(E: -x+3y-3z=-4\).
Lösung
Als Erstes wählst Du Dir einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g.
Du kannst den Stützvektor der Geradengleichung dafür nutzen.
\[P(2|-6|1)\]
Jetzt stellst Du die Hessesche Normalform der Ebene auf und vereinfachst so weit es geht.
\begin {align}\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt {A^2+B^2+C^2}}&=0 \\\\ \frac{-x+3y-3z+4}{\sqrt {(-1)^2+3^2+(-3)^2}}&=0 \\\\ \frac{-x+3y-3z+4}{\sqrt {19}}&=0\end {align}
Zum Schluss setzt Du den Punkt P in die Hessesche Normalform ein und berechnest diese. Du erhältst den Abstand der Ebene zum Punkt P und somit den Abstand zwischen der Geraden und der Ebene.
\begin {align}d(E,P)&=\frac{|-x+3y-3z+4|}{\sqrt {19}} \\\\d(E,P)&=\frac{|-2+3\cdot(-6)-3\cdot 1+4|}{\sqrt {19}} \\\\d(E,P)&=\frac{|-19|}{\sqrt {19}}\\\\d(E,P)&= \sqrt{19}\,[LE] \approx {4,359}\,[LE]\end{align}
Der Abstand der Geraden g zur parallelen Ebene E beträgt rund 4,359 [LE].
Abstand Gerade & Ebene – Lotfußpunktverfahren
Mithilfe des Lotfußpunktverfahrens kannst Du den Abstand von parallelen Geraden und Ebenen berechnen.
Bevor Du mit den Berechnungen anfängst, musst Du wissen, was ein Lot ist.
Ein Lot ist eine Gerade l, die durch einen Punkt P senkrecht zu einer Ebene E verläuft. Die Gerade l steht im rechten Winkel auf der Ebene E.
Der Schnittpunkt des Lotes mit der Ebene E wird Lotfußpunkt genannt.
Abbildung 3: Lotgerade
Du berechnest beim Lotfußpunktverfahren den Abstand zwischen einem Punkt auf der Geraden und einem Punkt auf der Ebenen, wobei dieser Punkt der Lotfußpunkt ist.
Mit den folgenden Schritten erhältst Du über das Lotfußpunktverfahren den Abstand einer Geraden und einer parallelen Ebene.
In der Abbildung siehst Du das Lotfußpunktverfahren eingezeichnet. Bei der Strecke \(|\overrightarrow {SP}|\) handelt es sich, um die Strecke, die den Abstand zwischen der Geraden g und der Ebene E angibt.
Abbildung 4: Lotfußpunktverfahren
Aufgabe 2
Berechne den Abstand der Ebene \(E:2x+y+2z=2\) zur parallelen Geraden \(g:\vec{x}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0,75 \\ 2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\).
Lösung
Als Erstes suchst Du Dir einen beliebigen Punkt auf der Geraden g.
Du kannst auch den Stützvektor der Geradengleichung nutzen.
\[P(2|0,75|2)\]
Jetzt stellst Du durch den Punkt P die Lotgerade auf. Der Punkt P ist der Stützvektor der Geradengleichung. Der Normalenvektor ist der Richtungsvektor der Gleichung.
\[l:\vec{x}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0,75 \\ 2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\]
Nun setzt Du die Lotgerade in die Ebenengleichung ein und stellst nach der Variablen der Geradengleichung um.
\begin{align}2x+y+2z&=2 \\2\cdot (2+2 \lambda )+(0,75+ \lambda) +2 \cdot (2+2 \lambda) &=2 \\4+4 \lambda +0,75+ \lambda +4+4\lambda &=2 \\9\lambda+8,75 &=2&|&-8,75 \\9\lambda&=-6,75 &|&:9\\\lambda &=-0,75\end{align}
Anschließend setzt Du den Wert für die Variable in die Lotgerade ein und berechnest den Ortsvektor eines Punkt S, welcher in der Ebene liegt und den kürzesten Abstand zu Punkt P hat.
\begin {align}l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} 2 \\0,75 \\ 2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0,75 \\ 2 \end{array}\right)-0,75 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} 0,5 \\ 0 \\ 0,5 \end{array}\right)\rightarrow S(0,5|0|0,5)\end {align}
Als Nächstes stellst Du den Vektor von Punkt P und S auf.
\begin {align}\overrightarrow {PS}&=\left(\begin{array}{c} 0,5-2 \\ 0-0,75 \\ 0,5-2 \end{array}\right) \\\\\overrightarrow{PS}&=\left(\begin{array}{c} -1,5 \\ -0,75 \\ -1,5 \end{array}\right)\end{align}
Zum Schluss berechnest Du über den Betrag des Vektors seine Länge. Diese Länge entspricht dem kürzesten Abstand zwischen der Geraden und der parallelen Ebene.
\begin{align}|\overrightarrow{PS}|&=\sqrt {(-1,5)^2+(-0,75)^2+(-15)^2} \\|\overrightarrow{PS}|&=\sqrt {2,25+0,5625+2,25} \\|\overrightarrow{PS}|&=\sqrt {5,0625} \\|\overrightarrow{PS}|&=2,25 \, [LE]\end {align}
Der Abstand zwischen der Ebene und der Geraden beträgt 2,25 LE.
Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene – Übungsaufgaben
Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne den Abstand der Ebene \(E:-2x+3y=-4\) zur parallelen Geraden \(g:\vec{x}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -4 \end{array}\right)\). Nutze das Lotfußpunktverfahren.
Lösung
Als Erstes wählst Du Dir einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g.
\begin {align} P(0|0|3)\end {align}
Jetzt stellst Du die Lotgerade durch den Punkt P auf. Der Ortsvektor ist vom Punkt P und der Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene.
\begin{align} l:\vec{x}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\end {align}
Setze nun die Lotgerade in die Ebenengleichung ein und berechne \(\lambda\).
\begin{align}-2x+3y&=-4 \\-2\cdot(-2\lambda)+3\cdot(3\lambda)&=-4 \\4\lambda+9\lambda&=-4 \\13\lambda&=-4 &|&:13 \\ \lambda &=-\frac{4}{13}\end{align}
Anschließend setzt Du den Wert für \(\lambda\) in die Lotgerade ein und berechnest den Ortsvektor eines Punkt S, welcher in der Ebene liegt und den kürzesten Abstand zu Punkt P hat.
\begin {align}l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)-\frac{4}{13}\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} \frac{8}{13}\\ \frac{12}{13} \\ 3 \end{array}\right)\rightarrow S\left(\begin{array}{c}\frac{8}{13}|-\frac{12}{13}|3\end{array}\right)\end{align}
Als Nächstes stellst Du den Vektor von Punkt P und S auf.
\begin {align}\overrightarrow {PS}&=\left(\begin{array}{c}\frac{8}{13}-0 \\ -\frac{12}{13}-0 \\ 3-3 \end{array}\right) \\\\\overrightarrow {PS}&=\left(\begin{array}{c}\frac{8}{13} \\ -\frac{12}{13} \\ 0 \end{array}\right)\end {align}
Zum Schluss berechnest Du die Länge des Vektors \(\overrightarrow {PS}\).
\begin {align}|\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\left(\begin{array}{c}\frac{8}{13}\end{array}\right)^2+\left(\begin{array}{c} -\frac{12}{13}\end{array}\right)^2 +0^2} \\\\|\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\frac{64}{196}+\frac{144}{196}} \\\\|\overrightarrow {PS}|&= \frac {4\sqrt{13}}{13} \, [LE] \approx 1,094 \,[LE]\end {align}
Der Abstand zwischen der Ebene und der Geraden beträgt 1,094 [LE].
Aufgabe 4
Berechne den Abstand zwischen der Ebenen \(4x-5y-2z=6\) und der parallelen Geraden \(g:\vec{x}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 0,8 \\ -1 \\ 4,1 \end{array}\right)\) mithilfe der hesseschen Normalform.
Lösung
Zu Beginn wähle Dir einen beliebigen Punkt auf der Gerade g.
\begin{align}P(0|0|6)\end {align}
Jetzt schreibe die Ebene E in die hessesche Normalform um.
\begin {align}\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt {A^2+B^2+C^2}}&=0 \\\\\frac{4x-5y-2z-6}{\sqrt {4^2+(-5)^2+(-2)^2}}&=0 \\\\\frac{4x-5y-2z-6}{\sqrt {45}}&=0\end {align}
Zum Schluss setze den Punkt P in die hessesche Normalform ein und berechne den Abstand der Geraden zur Ebene.
\begin {align}d(E,P)&= \frac{|4x-5y-2z-6|}{ \sqrt {45}} \\\\d(E,P)&= \frac{|4 \cdot 0-5 \cdot 0-2 \cdot 6-6|}{ \sqrt {45}} \\\\d(E,P)&= \frac {|-18|}{ \sqrt {45}} \\\\d(E,P)&= \frac {6 \sqrt {5}}{5} \, [LE] \approx {2,683} \, [LE]\end{align}
Der Abstand der Geraden g zur parallelen Ebene E beträgt rund 2,683 [LE].
Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene – Das Wichtigste
- Es gibt zwei Methoden, wie Du den Abstand zwischen Ebene und Gerade berechnen kannst.
- Um den Abstand mit der hesseschen Normalform zu berechnen, gehst Du folgendermaßen vor:
- Du bestimmst einen beliebigen Punkt P der Geraden g.
- Schreibe die Ebene E in die Hessesche Normalform \(\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt {A^2+B^2+C^2}}=0\) um.
- Setze den Punkt P in die Hessesche Normalform der Ebene E ein.
- Zum Schluss rechnest Du die Formel aus und erhältst den Abstand der Geraden g zu der parallelen Ebene E.
- Mit den folgenden Schritten erhältst Du über das Lotfußpunktverfahren den Abstand einer Geraden und einer parallelen Ebene.
- Du stellst die Lotgerade auf. Der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor und ein beliebiger Punkt P auf der Geraden g ist der Ortsvektor der Lotgerade.
- Berechne jetzt den Schnittpunkt S der Lotgerade mit der Ebene.
- Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen dem Punkt P, dem Ortsvektor der Lotgerade, und dem Schnittpunkt S, von Lotgerade und Ebene.
Nachweise
- Faber (1971). Geometrie 1. Ernst Klett Verlag, Stuttgart.
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