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Das Prisma ist ein geometrischer Körper. Wie auch bei anderen Körpern kannst Du das Volumen und den Oberflächeninhalt des Prismas bestimmen. Welche Formeln Du dafür benötigst, erfährst Du in diesem Artikel.
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Jetzt kostenlos anmeldenDas Prisma ist ein geometrischer Körper. Wie auch bei anderen Körpern kannst Du das Volumen und den Oberflächeninhalt des Prismas bestimmen. Welche Formeln Du dafür benötigst, erfährst Du in diesem Artikel.
Ein Prisma entsteht, wenn ein n-Eck entlang einer geraden Linie verschoben wird.
Die Fläche, auf der das Prisma steht, wird Grundfläche genannt. Die Fläche, die das Prisma oben begrenzt, heißt Deckfläche. Unter dem Mantel eines Prismas versteht man die n Seitenflächen.
Manchmal werden Prismen auch so abgebildet, dass sie nicht auf ihrer Grundfläche stehen, sondern auf einer ihrer Seitenfläche liegen.
Die Seiten der Grundfläche und der Deckfläche werden Grundkanten genannt. Die Strecken, die jeweils zwei zusammen gehörige Eckpunkte von Grund- und Deckfläche verbinden, werden Mantellinien genannt. Alle Mantellinien sind gleich lang und parallel zueinander.
Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.
Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand zwischen Grund- und die Deckfläche bezeichnet.
Dies trifft auf gerade Prismen zu (links in Abbildung 2). Die Höhe h entspricht gleichzeitig der Mantellänge.
Bei einem schiefen Prisma (rechts in Abbildung 2) hingegen entspricht die Höhe des Prismas dem Abstand der Deckfläche zur Ebene der Grundfläche.
Wie der Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen wird, kann anhand des Netzes eines Prismas verdeutlicht werden.
Betrachte dieses fünfseitige Prisma:
Werden die Seitenflächen nach außen geklappt, entsteht das Netz des Prismas:
Für alle Prismen gilt, dass sich der Oberflächeninhalt aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammensetzt.
Der Oberflächeninhalt eines Prismas besteht aus dem Flächeninhalt der Deckfläche, der Grundfläche und der Mantelfläche:
.
Weil Grund- und Deckfläche gleich groß sind, kann die Formel vereinfacht werden zu:
.
Je nachdem welche Form die Grundfläche (Dreieck, Trapez, ...) besitzt, musst die richtige Formel für den Flächeninhalt des jeweiligen Vielecks verwendet werden.
Ein gerades Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche zueinander kongruente n-Ecke sind und dessen Seitenflächen Rechtecke sind.
Bei einem geraden Prisma wird die Grundfläche sozusagen nach oben verschoben. Das Netz des geraden Prismas setzt sich aus der n-eckigen Grund- und Deckfläche sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus n rechteckigen Seitenflächen.
In der folgenden Abbildung findest Du ein dreiseitiges Prisma.
Das Prisma kann so auseinander geklappt werden, dass die drei Seitenflächen des Mantels zusammen ein großes Rechteck bilden.
Der Flächeninhalt des Mantels M ergibt sich aus der Summe der beteiligten Rechtecksflächen.
Dieses große Rechteck, das aus den drei Seitenflächen gebildet wird, entspricht dem Mantel. Um den Flächeninhalt des Mantels zu berechnen, müssen jetzt die beiden Seitenlängen des Rechtecks multipliziert werden.
Zur Berechnung der Mantelfläche eines geraden Prismas wird folgende Formel verwendet:
.
Wenn Du die Formel für den Oberflächeninhalt eines Prismas mit der Formel für die Mantelfläche eines geraden Prismas kombinierst, dann ergibt sich für die Formel für den Oberflächeninhalt des geraden Prismas:
Bei einem schiefen Prisma verlaufen die Mantellinien nicht senkrecht zu den Grundkanten. Die Seitenflächen sind dann Parallelogramme.
Das Netz eines schiefen Prismas setzt sich aus der n-eckigen Grund- und Deckfläche sowie aus der Mantelfläche zusammen. Der Flächeninhalt des Mantels M eines schiefen Prismas ergibt sich aus der Summe der n beteiligten Parallelogramme.
Für die Berechnung des Mantels ungerader Prismen gibt es keine vergleichbare Formel wie die für gerade Prismen. Die Mantelfläche muss im Einzelfall betrachtet und berechnet werden.
In diesem Abschnitt findest Du verschiedene Beispielaufgaben, in denen der Oberflächeninhalt unterschiedlicher Prismen berechnet wird.
Beim ersten Beispiel wird der Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet, das ein Dreieck als Grundfläche hat.
Aufgabe
Gegeben ist ein gerades Prisma, das ein Dreieck als Grundfläche hat. Das Prismas ist hoch. Die Seitenlängen des Dreiecks sind , und . Die Höhe des Dreiecks zur Grundlinie c beträgt .
Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.
Lösung
Berechnen der Grund- und Deckfläche
Da Grund- und Deckfläche Dreiecke sind, wird die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks verwendet:
Berechnen der Mantelfläche
Die Mantelfläche setzt sich aus drei Rechtecken zusammen und kann mit der Formel berechnet werden:
Oberflächeninhalt des Prismas
Du erhältst den Oberflächeninhalt des Prismas, indem Du die berechneten Werte entsprechend der Formel addierst:
Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt .
Es gibt unterschiedliche vierseitige Prismen. Sie können zum Beispiel ein Parallelogramm, ein Rechteck oder ein Quadrat als Grundfläche haben. Im nächsten Beispiel hat das Prisma ein Trapez als Grundfläche.
Aufgabe
Gegeben ist ein vierseitiges gerades Prisma. Gegeben sind die Seiten des Trapezes mit , , und . Die Höhe des Trapezes ist .
Die Höhe des Prismas ist .
Berechne den Oberflächeninhalt des trapezförmigen Prismas.
Lösung
Berechnen der Grund- und Deckfläche
Da Grund- und Deckfläche Trapeze sind, wird für die Berechnung die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes verwendet:
Berechnen der Mantelfläche
Die Mantelfläche dieses geraden Prismas setzt sich aus vier Rechtecken zusammen und kann mit der Formel berechnet werden:
Oberflächeninhalt des Prismas
Du erhältst den Oberflächeninhalt des Prismas, indem Du die berechneten Werte entsprechend der Formel addierst:
Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt .
Im letzten Beispiel wird ein sechsseitiges reguläres Prisma betrachtet.
Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, das ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche hat.
Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck, bei dem alle Seitenlängen gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.
Aufgabe
Gegeben ist ein sechsseitiges reguläres Prisma. Die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks beträgt . Die Höhe des Prismas ist .
Berechne den Oberflächeninhalt dieses regulären, sechsseitigen Prismas.
Lösung
Berechnen der Grund- und Deckfläche
Um den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks zu berechnen, gibt es eine Formel. Der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks berechnet sich durch:
Berechnen der Mantelfläche
Da die Grundfläche dieses geraden Prismas ein regelmäßiges Sechseck ist, setzt sich die Mantelfläche aus sechs Rechtecken zusammen, die alle den gleichen Flächeninhalt besitzen:
Oberflächeninhalt des Prismas
Du erhältst den Oberflächeninhalt des Prismas, indem Du das doppelte der Grundfläche mit der Mantelfläche addierst:
Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt .
Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnest du, indem du Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche addierst.
Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Prismas lautet OPrisma=2AGrundfläche+AMantel.
Der Flächeninhalt des Mantels wiederum berechnet sich durch: AMantel=UGrundflächehPrisma.
Den Oberflächeninhalt eines dreiseitigen Prismas berechnet man, indem der Flächeninhalt des Dreiecks verdoppelt wird und der Flächeninhalt des Mantels addiert wird:
Odreiseitiges Prisma=2ADreieck+AMantel.
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