Sinussatz

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Der Sinussatz


In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit dem sogenannten Sinussatz auf sich hat und wobei dir dieser sehr hilfreich sein kann. 

Weiter unten findest du die Herleitung des Sinussatzes. Außerdem verdeutlichen wir dir anhand von Beispielen die doch etwas kompliziert aussehende Formel.


Der Sinussatz erweitert den Themenbereich Geometrie und wird im Fach Mathe unterrichtet.

Viel Spaß beim Lernen!




Der Sinussatz


Oft haben wir bei einem Dreieck nicht alle Winkel bzw. Seitenlängen gegeben und müssen eine fehlende Seitenlänge bzw. einen fehlenden Winkel berechnen. Dabei hilft uns der Sinussatz.


Der Sinussatz stellt Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln von Dreiecken jeder Art her. (Im Gegensatz dazu gilt der Satz des Pythagoras zur Bestimmung der Hypotenuse nur für rechtwinklige Dreiecke.) 


Der Sinus und der Kosinus sind grundsätzlich nur in einem rechtwinkligen Dreieck definiert, jedoch ist der Sinussatz eine Erweiterung für auch nicht rechtwinklige Dreiecke. Wir „zerteilen“ das nicht-rechtwinklige Dreieck einfach, indem wir ein Lot auf die Hypotenuse setzen. 



Der Sinussatz gilt für die Seiten a (Ankathete), b(Gegenkathete) und c(Hypotenuse) mit den gegenüberliegenden Winkeln α, β und γ:



Sinussatz:


 



Der Sinussatz kann verschieden umgeformt werden:

Je nachdem welche Länge oder welchen Winkel du benötigst, kannst du dann die entsprechende Umformung verwenden.





Die Herleitung des Sinussatzes


Um die Herleitung des Sinussatzes verstehen zu können, müssen wir zuerst einmal die Definition des Sinus anschauen. 

Um die Herleitung besser nachvollziehen zu können, schau dir doch neben der Erklärung noch die Dreiecks-Zeichnung oberhalb dieses Absatzes an. Dann weißt du genau, welcher Winkel bzw. welche Länge des Dreiecks gemeint ist.

Um die Definition des Sinus anwenden zu können, müssen wir das obere Dreieck in zwei kleinere Dreiecke unterteilen. Ein Dreieck muss für diese Definition einen rechten Winkel haben.



Wir unterteilen das Dreieck mit der Höhe hc und erhalten damit zwei kleinere Dreiecke mit jeweils einem rechten Winkel.


Jetzt gilt:

 


Wenn wir diese beiden Gleichungen umstellen, erhalten wir:

h=b*sin(a)

h=a*sin(b)


Da die beiden Gleichungen nach hc aufgelöst wurden, können wir sie jetzt gleichsetzen:

a*sin(b)  =b*sin(a)


Jetzt teilen wir durch a bzw. b und erhalten:

 



Beispielaufgaben zum Sinussatz


Beispielaufgabe 1 zum Sinussatz


Du hast ein Dreieck ABC mit der Längen a= 5cm, b=3cm und den Winkeln α=80°  gegeben. Berechne die fehlende Länge c und die Größen der Winkel β, γ.


Beachte: In einem Dreieck müssen alle drei Winkel zusammen 180° ergeben.


Der Sinussatz stellt uns die Formel a/sin⁡(α)=b/sin⁡(β) =c/sin⁡(γ) bereit. Wir haben die Längen a und b und den Winkel  gegeben. 


Zuerst berechnen wir den fehlenden Winkel β 

.

Wir benötigen diesen Teil der Gleichung: a/sin⁡(α)=b/sin⁡(β).


Wir stellen die Formel jetzt nach  um und erhalten:

sin  = ba*sin⁡(α)


Jetzt setzen wir die gegebenen Angaben a=5cm, b=3cm und =80°  in die neu umgestellte Formel ein:

sin  = 3cm5cm*sin⁡(80°)


Wir berechnen jetzt das Ergebnis mithilfe des Taschenrechners und erhalten:
(Beachte hierbei, dass dein Taschenrechner auf Grad, also „Deg“, und nicht auf Bogenmaß, also „Rad“, eingestellt ist)

sin  =0,5908


Jetzt haben wir sin   gegeben. Wir wollen aber den Winkel  wissen. Dafür setzen wir den Wert in die Umkehrfunktion sin-1ein und erhalten den Wert des Winkels .

β=sin-1(0,5908)

β=36,21°


Mit der Angabe =80° und dem berechneten Wert β=36,21° können wir den fehlenden Winkel  berechnen. Wir wissen, dass α+ β+γ=180° ergeben muss:

180°-80°-36.21°=63,79° 

 entspricht somit 63,79°.


Uns fehlt noch die Länge c. Diese können wir mit der Umstellung ac= sin⁡()sin⁡(γ) des Sinussatzes berechnen [siehe oben]. Wir stellen die Formel zuerst um und setzen dann die zugehörigen Werte in die Formel ein und erhalten:

c=a* sin⁡()sin⁡(α)

c=5cm* sin 63,79° sin 80° =4,5551…≈4,55  

Die fehlende Länge c beträgt 4,55cm.



Beispielaufgabe 2 zum Sinussatz


Du hast von einem Dreieck ABC mit den Längen a, b, c und den Winkeln α , β, γ die Länge a=6cm, b= 5cm und den Winkel =60° gegeben. Der Winkel  soll berechnet werden.


Der Sinussatz stellt uns die Formel asin⁡(α)=bsin⁡(β) =csin⁡(γ) bereit. Wir haben die Längen a und b und den Winkel  gegeben. Wir benötigen also diesen Teil der Gleichung: asin⁡(α)=bsin⁡(β).


Wir stellen die Formel jetzt nach  um und erhalten:

sin  = ba*sin⁡(α)


Jetzt setzen wir die gegebenen Angaben a=6cm, b=5cm und =60°  in die neu umgestellte Formel ein:

sin  = 5cm6cm*sin⁡(60°)


Wir berechnen jetzt das Ergebnis mithilfe des Taschenrechners und erhalten:
(Beachte hierbei, dass dein Taschenrechner auf Grad, also „Deg“, und nicht auf Bogenmaß, also „Rad“, eingestellt ist)

sin  =0,721


Jetzt haben wir sin   gegeben. Wir wollen aber den Winkel  wissen. Dafür setzen wir den Wert in die Umkehrfunktion sin-1ein und erhalten den Wert des Winkels .

β=sin-1(0,721)

β=46,14°



Das Wichtigste zum Sinussatz auf einen Blick! 


Der Sinussatz stellt Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln von Dreiecken jeder Art her.


Der Sinussatz lautet: a/sin⁡(α)=b/sin⁡(β) =c/sin⁡(γ)


Der Sinussatz kann beliebig umgestellt werden, je nachdem welcher Winkel oder welche Länge gesucht wird.

Wir erhalten folgende Umformungen:





Unsere Empfehlung 

Übe das umstellen von Gleichungen! Mit der Zeit verinnerlichst du das und es fällt dir immer leichter. Wie du oben siehst, kannst du mithilfe des Sinussatzes sehr viele verschiedene Größen berechnen. Dazu musst du aber die „eigentliche“ Formel des Sinussatzes umstellen. Das umstellen von Gleichungen begleitet dich in jedem Bereich der Mathematik. Hier sollten dir keine Fehler passieren!


Bevor du einen Winkel berechnen musst, würde ich dir empfehlen immer zu checken, dass dein Taschenrechner richtig eingestellt ist. Falls du also einen Winkel berechnen musst, ist es wichtig, dass er auf „Deg“, also Gradmaß eingestellt ist und nicht auf „Rad“, also Bogenmaß. Falls er falsch eingestellt ist, erhältst du ein falsches Ergebnis.

Finales Sinussatz Quiz

Frage

In welchem Modus muss der Taschenrechner sein, wenn Winkelwerte im Gradmaß verwendet werden sollen?

Antwort anzeigen

Antwort

Werte für weitere Winkel kann man dem Taschenrechner entnehmen. Will man Winkelwerte im Gradmaß verwenden, muss der Rechner im DEG-Modus sein.

Frage anzeigen

Frage

Auf welche Dreiecke können  die Berechnungsmöglichkeiten des Sinussatzes und des Kosinussatzes übertragen werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe des Sinussatzes und des Kosinussatzes können die Berechnungsmöglichkeiten durch trigonometrische Funktionen auf beliebige Dreiecke übertragen werden.

Frage anzeigen

Frage

Warum heißt der Kosinussatz verallgemeinerter Satz des Pythagoras?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kosinussatz heißt verallgemeinerter Satz des Pythagoras, weil sich z. B. für γ = 90° die Form c2 = a2 + b2 ergibt.

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