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In diesem Artikel lernst Du wie du das Volumen einer Pyramide berechnen kannst und wirst anhand von Beispielaufgaben zum richtigen Ergebnis geführt.
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Jetzt kostenlos anmeldenIn diesem Artikel lernst Du wie du das Volumen einer Pyramide berechnen kannst und wirst anhand von Beispielaufgaben zum richtigen Ergebnis geführt.
Um das Volumen einer Pyramide berechnen zu können, solltest Du erst verstehen wie diese überhaupt aufgebaut ist.
Die Seitenflächen einer Pyramide sind immer Dreiecke. Diese Dreiecke werden auch als Mantelfläche M bezeichnet und laufen zu einer Spitze zusammen. Die Grundfläche G der Pyramide kann aus verschiedenen Flächen bestehen (z.B einem Quadrat oder Dreieck). Wenn du die Höhe h einer Pyramide herausfinden möchtest, kannst du sie am Abstand zwischen der Spitze und Grundfläche G messen. Ebenso steht die Höhe h rechtwinklig auf der Grundfläche G.
Abbildung 1: Pyramide
Um die Mantelfläche M zu berechnen benötigst Du folgende Formel:
Um die Grundfläche G einer quadratischen Pyramide zu berechnen verwendest Du diese Formel:
Um die gesamte Oberfläche O zu berechnen benötigst Du folgende Formel:
Wenn Du mehr über den Körper Pyramide erfahren möchtest, dann schau dir den dazugehörigen Artikel an.
Um das Volumen VP einer Pyramide berechnen zu können benötigst Du eine Formel. Als erstes wirst du die Herleitung der Formel kennenlernen (in diesem Fall schaust du dir die Herleitung an einer quadratischen Pyramide an, die Formel gilt aber für alle Pyramiden):
Zunächst musst Du dir vorstellen, dass in einen Würfel mit der Kantenlänge a sechs quadratische Pyramiden, mit der Seitenlänge a, reinpassen.
Das heißt :
Abbildung 2: Würfel mit einer Pyramide
Abbildung 3: Würfel gefüllt mit sechs Pyramiden
Sobald Du den Würfel halbierst, wird aus dem Würfel ein Quader. Dieser Quader hat die Höhe der Pyramide h und die Seitenlängen a. Das heißt es liegen sechs halbierte Pyramiden vor, welche sich vom Volumen zu drei ganzen Pyramiden ergänzen. Durch diese Halbierung passen nun nur noch drei Pyramiden in den halbierten Würfel.
Abbildung 4: Halbierter Würfel
Das heißt:
Für die Berechnung des Volumens benötigst Du eine allgemeine Formel, welche lautet:
Nun kannst Du das Volumen des Quaders darstellen und anschließend nach dem Volumen der Pyramide umstellen.
Das heißt Du rechnest die Länge mal der Breite mal der Höhe.
Nun stellst Du die Gleichung um, indem Du durch 3 dividierst.
h stellt hier die Höhe der Pyramide dar und G die Grundfläche, welche beträgt. Die Höhe h ist dabei groß.
Hier musst Du immer beachten wie deine Grundfläche zusammengesetzt ist. Wenn du ein Quadrat als Grundfläche hast, verwendest du die Seitenlängen a in deiner Formel:
Die Formel für die Berechnung des Volumens einer quadratischen Pyramide lautet also wie folgt:
Dabei kannst Du einfach das durch das ersetzen, da es wie Du oben schon gelernt hast die Grundfläche einer quadratischen Pyramide darstellt.
Jedoch solltest Du beachten, dass je nach Art der Pyramide sich die Grundfläche, also auch die Bedeutung von verändert!
Das heißt die Grundfläche hängt von der Seitenanzahl der Pyramide ab. Allgemein gilt also:
Da es verschiedene Arten von Pyramiden gibt, musst Du bei der Berechnung der Grundfläche verschiedene Formel verwenden. Dies ist der Fall, da es unter anderem quadratischen, dreiseitige oder auch vierseitige etc. Pyramiden gibt.
Wie Du nun genau das Volumen von besonderen Pyramiden berechnest und was Du dabei beachten musst, erfährst Du in den folgenden Abschnitten!
Nun lernst Du wie man das Volumen einer quadratische Pyramide berechnet.
Eine quadratische Pyramide besitzt eine quadratische Grundfläche und die Seitenflächen laufen zu einer Spitze zusammen. Das heißt, es handelt sich um eine vierseitige Pyramide.
Um die Grundfläche einer quadratischen Pyramide zu berechnen, verwendest Du folgende Formel, da es sich um ein Quadrat handelt:
Abbildung 5: quadratische Pyramide
Durch diese erhältst Du den Flächeninhalt im Quadrat, welcher benötigt wird für die Formel für die Berechnung des Volumens.
Aufgabe
Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide mit der Seitenlänge und der Höhe .
Lösung
Um nun das Volumen berechnen zu können verwendest Du die Formel für die Berechnung des Volumens von Pyramiden und fügst als Grundfläche a2 ein:
1.Schritt
Formel aufstellen:
2.Schritt
Werte in die Formel einsetzen:
Die Pyramide besitzt ein Volumen von .
Nun wirst Du lernen wie man das Volumen von einer dreiseitigen Pyramide berechnet.
Zunächst klären wir was eine dreiseitige Pyramide ist.
Eine dreiseitige Pyramide besitzt ein gleichseitiges Dreieck als Grundfläche, wobei die Seitenflächen zu einer Spitze zusammenlaufen.
Um die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide zu berechnen, verwendest Du folgende Formel:
Abbildung 6:dreiseitige Pyramide
Damit Du nun das Volumen berechnen kannst, gehst Du genau so vor wie bei der quadratischen Pyramide. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Du eine andere Formel für die Grundfläche zur Berechnung verwendest.
Aufgabe
Berechne das Volumen der dreiseitigen Pyramide mit der Seitenlänge , und der Höhe .
Lösung
Um nun das Volumen berechnen zu können verwendest Du die allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens:
1.Schritt
Formel aufstellen:
2.Schritt
Werte in die Formel einsetzen:
Die Pyramide besitzt ein Volumen von ungefähr .
Natürlich gibt es neben der dreiseitigen Pyramide noch viele weitere Arten von Pyramiden, da die Grundfläche variiert werden kann. Die vierseitige Pyramide ist eine von ihnen.
Eine vierseitige Pyramide besitzt ein Viereck als Grundfläche. Die Seitenflächen dieser Pyramide laufen zu einer Spitze zusammen.
Ein Beispiel einer Grundfläche könnte das Parallelogramm sein.
Abbildung 7: Parallelogramm
Um die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide zu berechnen, in diesem Fall ein Parallelogramm, verwendest Du folgende Formel:
Das heißt Du verwendest die Seitenlänge a zur Berechnung, sowie die Höhe der Grundfläche.
Die Seite a stellt die Grundseite des Parallelogramms dar. Die Grundseite ist dabei immer die Seite, bei welcher die Höhe senkrecht steht.
Damit Du nun das Volumen berechnen kannst, gehst Du genau so vor wie bei den vorherigen Pyramiden. Jedoch verwendest Du eine andere Grundfläche G.
Aufgabe
Berechne das Volumen der vierseitigen Pyramide mit der Seitenlänge und der Höhe . Sowie der Höhe der Grundfläche .
Lösung
1.Schritt
Stelle die Formel auf:
2.Schritt
Setze die Werte ein:
Das Volumen der Pyramide beträgt .
Eine weitere Methode, um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, stellt die Vektorrechnung dar.
Nun folgt ein Beispiel an dem Du dir Formel in der Anwendung siehst.
Aufgabe
Berechne das Volumen der Pyramide. Dabei sind dir die folgenden Eckpunkte gegeben:
Dabei ist folgende Spitze gegeben:
Lösung
1.Schritt
Dein erster Schritt besteht darin die Vektoren zu berechnen:
2.Schritt
Nun kannst Du deiner Vektoren in die Formel für das Volumen einer Pyramide einsetzen:
3.Schritt
Mit Hilfe der Determinanten der oberen Dreiecksmatrix lösen:
Das Volumen der beträgt Pyramide beträgt .
Abbildung 8: Pyramide aus der Aufgabenstellung
Das steht für Determinante. Darunter versteht man eine Zahl, welche einer quadratischen Matrix zugeordnet ist. Dabei sagt die Determinante etwas über die "Größe" der Werte innerhalb der quadratischen Matrix aus.
Mit dem Wissen, welches Du jetzt über die Pyramide hast, kannst Du auch mit weiteren abgeleiteten Körpern umgehen.
Unter einem Pyramidenstumpf versteht man eine Pyramide, bei welcher die Spitze nicht vorhanden ist. Daher hat diese Pyramide eine Grundfläche G als auch eine Schnittfläche S. Das heißt sie besitzt keine Spitze.
Dabei hat der Pyramidenstumpf vier Mantelflächen und die Höhe h, welche die Höhe zwischen der Grundfläche G und der Schnittfläche S darstellt.
Abbildung 9: Pyramidenstumpf
Um das Volumen des Pyramidenstumpfes zu berechnen, musst Du zunächst die Grundfläche und Schnittfläche ermitteln.
Dafür benötigst Du die Seitenlängen a und b der Grundfläche G und die Seitenlängen c und d der Schnittfläche S.
Wenn Du mehr über das Thema Pyramidenstumpf erfahren möchtest, kannst Du dir den dazugehörigen Artikel anschauen!
Da Du nun weißt wie man die Grundfläche und die Schnittfläche berechnet, kannst Du nun mit der eigentlichen Berechnung des Volumens fortfahren.
Hierfür benötigst Du folgende Formel:
Nun wirst Du das ganze an einem Beispiel sehen.
Aufgabe
Berechne das Volumen des quadratischen Pyramidenstumpfes
Lösung
1.Schritt
Grundfläche G und Schnittfläche S berechnen.
2.Schritt
Werte in die Formel einsetzen.
Das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt .
Das Volumen einer Pyramide berechnest du, indem du zunächst die Grundfläche der Pyramide bestimmst. Hierfür gibt es je nach Art der Pyramide verschiedene Möglichkeiten, wobei du immer die Seitenflächen a benötigst. Anschließend multiplizierst du die Grundfläche mit der Höhe h der Pyramide und 1/3.
Das Volumen einer rechteckigen Pyramide berechnest di, indem du die Grundfläche G ermittelst und diese mit der Höhe h und 1/3 multiplizierst. Die Grundfläche G ermittelst dadurch, dass du die Seitenlänge a quadrierst.
Das Volumen einer sechseckigen Pyramide berechnest du, indem du zunächst die Grundfläche G ermittelst. Hier musst du zunächst die Höhe der Grundflächendreiecke h berechnen. Mit dieser Höhe kannst du nun die Grundfläche G ermitteln und anschließend in die allgemeine Formel einsetzen.
Um das Volumen einer Pyramide mit Trapez als Grundfläche zu berechnen, gehst du wie folgt vor. Zunächst musst du die Grundfläche mit der Formel G=0,5·(a+c)·h berechnen. Dabei sind die Flächen a und c parallel zueinander und h steht für die Höhe zwischen diesen Flächen. Danach kannst du die normale Formel zur Berechnung des Volumens anwenden.
Karteikarten in Volumen Pyramide1
Lerne jetztWie berechnet man das Volumen einer Pyramide?
Das Volumen einer Pyramide berechnest du, indem du zunächst die Grundfläche der Pyramide bestimmst. Hierfür gibt es je nach Art der Pyramide verschiedene Möglichkeiten, wobei du immer die Seitenflächen a benötigst. Anschließend multiplizierst du die Grundfläche mit der Höhe h der Pyramide und 1/3.
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