Lagebeziehung Gerade Ebene

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Wenn du eine Gerade und eine Ebene gemeinsam betrachtest, gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, wie diese zueinander liegen können. In diesem Artikel erfährst du, welche Lagebeziehung eine Gerade und eine Ebene haben können und wie du sie bestimmen kannst.

Lagebeziehungen Gerade Ebene

Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, wie eine Gerade und eine Ebene im Raum zueinander liegen können. Die Ebene E und die Gerade g können einen Schnittpunkt besitzen, parallel zueinander sein oder die Gerade kann in der Ebene liegen.

Eine Ebene E und eine Gerade g haben einen Schnittpunkt, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.

In der Abbildung kannst du die Ebene E und die Gerade g sehen, die einen Schnittpunkt haben. Der Schnittpunkt, der auch als Durchstoßpunkt bezeichnet wird, ist als Grüner Punkt dargestellt.

Lagebeziehung Gerade Ebene, Gerade schneidet Ebene, StudySmarter

Abbildung 1: Gerade schneidet Ebene

Die Ebene ist in der Zeichnung durch gestrichelte Linien begrenzt. In Wirklichkeit aber hat die Ebene keine Begrenzung, sondern ihre Fläche ist unendlich groß.

Wenn der Normalenvektor einer Ebene und der Richtungsvektor einer Gerade linear abhängig sind, so steht die Gerade senkrecht beziehungsweise orthogonal auf der Ebene.

Wenn du wissen möchtest, ob eine Gerade $g : \vec{x} = \vec{p} + λ \vec{u}$ und eine Ebene $E : (\vec{x} - \vec{a}) \circ \vec{n_{E}} = 0$ senkrecht zueinander sind, musst du überprüfen, ob der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene Vielfache voneinander sind: $\vec{u} = k \cdot \vec{n_{E}}$ .

Eine Gerade g liegt in der Ebene E, wenn jeder Punkt der Gerade auch ein Punkt der Ebene ist.

Die Gerade und die Ebene haben unendlich viele Schnittpunkte.

Lagebeziehung Gerade Ebene, Gerade liegt in Ebene, StudySmarter

Abbildung 2: Gerade liegt in Ebene

Eine Gerade g und eine Ebene E sind parallel, wenn die Gerade und die Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben.

Lagebeziehung Gerade Ebene, Gerade ist parallel zur Ebene, StudySmarter

Abbildung 3: Gerade ist parallel zur Ebene

Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen

Bevor du Methoden zur Bestimmung der Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene kennenlernst, wird kurz die Darstellungsformen der Ebene und die Parameterform der Gerade wiederholt.

Gerade und Ebene Grundlagenwissen

Um die Methoden anwenden zu können, muss die Ebene E entweder in Koordinatenform oder in Parameterform gegeben sein.

Darstellungsform	Ebenengleichung	Beschreibung
Koordinatenform der Ebene	$E : n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = n_{0}$	Normalenvektor: $\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})$
Parameterform der Ebene	$E : x = \vec{a} + α \vec{r} + β \vec{s}$	Aufpunkt/Stützvektor: $\vec{a}$ Richtungsvektoren: $\vec{r}$ und $\vec{s}$
Normalenform der Ebene	$E : (\vec{x} - \vec{a}) \circ \vec{n_{E}} = 0$	Aufpunkt/Stützvektor: $\vec{a}$ Normalenvektor: $\vec{n_{E}}$

Die Gerade g wird bei den verschiedenen Methoden stets in Parameterform benötigt.

Darstellungsform

Geradengleichung

Beschreibung

Parameterform der Gerade

$g : \vec{x} = \vec{p} + λ \vec{u}$

Aufpunkt/Stützvektor: $\vec{p}$

Richtungsvektor: $\vec{u}$

1. Methode Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen

Bei dieser Methode muss die Ebene E in Koordinatenform und die Gerade g in Parameterform gegeben sein.

Falls die Ebene in Parameterform oder Normalenform angegeben ist, musst du zunächst die Koordinatenform bestimmen. Wie das geht, kannst du im Artikel Ebenengleichung umformen nachlesen.

Wenn du diese Methode zur Bestimmung der Lagebeziehung anwendest, beginnst du damit, dass du überprüfst, ob der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade senkrecht aufeinander stehen. Doch wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander?

Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ist. Mathematisch schreibt man das folgendermaßen:

$\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \circ \vec{v} = 0$

Du berechnest also das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene und des Richtungsvektors der Gerade:

$\vec{n_{E}} \circ \vec{u}$ .

Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ist (nE→∘u→=0), stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektor senkrecht aufeinander.
- Die Gerade g kann dann entweder in der Ebene E liegen oder echt parallel zur Ebene E sein.

Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren nicht 0 ist (nE→∘u→≠0), stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektornicht senkrecht aufeinander.
- Die Gerade g und die Ebene E haben dann einen Schnittpunkt ( $g \cap E = {S}$ ).

Lagebeziehungen Gerade Ebene, Schema Bestimmung der Lagebeziehung, StudySmarter Abbildung 4: Beziehung von Gerade und Ebene

Wenn das Skalarprodukt 0 ist, folgt noch ein zweiter Schritt. Du überprüfst jetzt, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt. Dies wird auch als Punktprobe bezeichnet. Dazu setzt du den Aufpunkt in die Ebenengleichung ein.

g⊂Eg∩E=gWenn die Ebenengleichung erfüllt ist, liegt der Aufpunkt in der Ebene ( $\vec{p} \in E$ ) und die gesamte Gerade g liegt in der Ebene E ( $g \subset E$ ).
Wenn die Ebenengleichung nicht erfüllt ist, liegt der Aufpunkt nicht in der Ebene ( $\vec{p} \notin E$ ) und die Gerade g verläuft parallel zur Ebene E ( $g ∥ E$ ).

Schau dir das an einem Beispiel genauer an:

Aufgabe

Bestimme die Lagebeziehung der Gerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 8 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})$ und der Ebene $E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 8$ und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.

Lösung

1. Schritt: Überprüfe, ob das Skalarprodukt des Normalenvektors und des Richtungsvektors 0 ergibt.

$(\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) = 2 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 0$

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist 0. Die Gerade g kann dann entweder in der Ebene E liegen oder echt parallel zur Ebene E sein.

2. Schritt: Überprüfe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.

Setze den Aufpunkt der Gerade $(\begin{matrix} 8 \\ 3 \\ 6 \end{matrix})$ in die Ebenengleichung ein.

$8 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 6 \overset{!}{=} 8 3 \cdot 38 + 6 + 12 \overset{!}{=} 8 3 \cdot + + + 326 \overset{!}{=} 8 ↯$

Da die Ebenengleichung nicht erfüllt ist, ist der Aufpunkt nicht Teil der Ebene ( $\vec{p} \notin E$ ). Die Gerade ist echt parallel zur Ebene E.

2. Methode Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen

Es gibt eine weitere Methode, wie du die Lagebeziehung von Gerade und Ebene bestimmen kannst. Bei dieser Methode benötigst du ebenfalls die Ebene E in Koordinatenform und die Gerade g in Parameterform.

Wenn du die Geradengleichung $g : \vec{x} = \vec{p} + λ \vec{u}$ ausschreibst, dann ist das nichts anderes als:

$g : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})$ .

Jetzt musst du die rechte Seite der Geradengleichung in die Ebenengleichung $E : n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = n_{0}$ einsetzen. Durch das Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung berechnest du die Schnittpunkte von Gerade und Ebene.

Wie das geht, siehst du leichter, wenn du die Geradengleichung umformst:

$g : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} + λ u_{1} \\ p_{2} + λ u_{2} \\ p_{3} + λ u_{3} \end{matrix})$ .

Durch Einsetzen in die Ebenengleichung erhältst du:

$n_{1} (p_{1} + λ u_{1}) + n_{2} (p_{2} + λ u_{2}) + n_{3} (p_{3} + λ u_{3}) = n_{0}$ .

Beim zweiten Schritt versuchst du, diese Gleichung nach $λ$ aufzulösen. Es gibt drei Möglichkeiten:

Die Gleichung hat keine Lösung→ Ebene und Gerade haben keinen Schnittpunkt→ Ebene und Gerade sind parallel
Die Gleichung hat eine Lösung→ Ebene und Gerade haben einen Schnittpunkt→ Ebene und Gerade schneiden sich
Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen→ Ebene und Gerade haben unendlich viele Schnittpunkte→ Gerade liegt in Ebene

In der Abbildung siehst du nochmal schematisch, wie du bei dieser Methode vergehen musst.

Lagebeziehungen Gerade Ebene, Schema Bestimmung der Lagebeziehung, StudySmarter Abbildung 5: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Wie du dieses Schema anwenden kannst, siehst du im folgenden Beispiel:

Aufgabe

Bestimme die Lagebeziehung der Gerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})$ und der Ebene und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.

Lösung

1. Schritt: Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen

$g : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 + 1 λ \\ - 4 + 2 λ \\ - 1 - 3 λ \end{matrix})$

Du setzt die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein.

$\Leftrightarrow - 4 (2 + λ) + 2 (- 4 + 2 λ) + 6 (1 - 3 λ) = 8$

2. Schritt: Lösungen der Gleichung berechnen

Die Gleichung von oben löst du jetzt nach $λ$ auf.

$\Leftrightarrow - 4 (2 + λ) + 2 (- 4 + 2 λ) + 6 (1 - 3 λ) = 8 \Leftrightarrow - 8 - 4 λ - 8 + 4 λ + 6 - 18 λ = 8 \Leftrightarrow - 10 - 18 λ = 8 | + 10 \Leftrightarrow - 18 λ = 18 - 0 | : (- 18) \Leftrightarrow λ = - 1$

Hier gibt es genau eine Lösung. Deshalb weißt du, dass Gerade und Ebene sich schneiden.

3. Schritt: Schnittpunkt berechnen

Den Wert, den du für $λ$ berechnet hast, setzt du jetzt in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen:

$\vec{S} = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) + (- 1) (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 - 1 \\ - 4 - 2 \\ 1 + 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 6 \\ 4 \end{matrix})$

Der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene hat die Koordinaten $S = (1 | - 6 | 4)$ .

3. Methode Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen

Bei der dritten Methode liegen die Ebene $E : x = \vec{a} + α \vec{r} + β \vec{s}$ und die Gerade $g : \vec{x} = \vec{p} + λ \vec{u}$ in Parameterform vor.

Die Ebenengleichung und die Geradengleichung werden gleichgesetzt:

$\vec{a} + α \vec{r} + β \vec{s} = \vec{p} + λ \vec{u}$

Dadurch entsteht ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen ( $α, β, λ$ ).

$(\begin{matrix} p_{1} + α r_{1} + β s_{1} \\ p_{2} + α r_{2} + β s_{2} \\ p_{3} + α r_{3} + β s_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} + λ u_{1} \\ p_{2} + λ u_{2} \\ p_{3} + λ u_{3} \end{matrix})$

$(I) I I p_{1} + α r_{1} + β s_{1} = p_{1} + λ u_{1} (I I) I p_{2} + α r_{2} + β s_{2} = p_{2} + λ u_{2} (I I I) p_{3} + α r_{3} + β s_{3} = p_{3} + λ u_{3}$

Dieser Lösungsweg ist aber eher umständlich und kann leicht zu Rechenfehlern führen. Daher solltest du eine der anderen beiden Methoden verwenden, auch wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist. Dann musst du die Ebene in Koordinatenform umwandeln und dann wie oben beschrieben vorgehen.

Lagebeziehungen Gerade Ebene - Das Wichtigste

Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, in welcher Beziehung eine Gerade zu einer Ebene liegen kann:
- Die Gerade und die Ebene haben einen Schnittpunkt (Durchstoßpunkt).
- Die Gerade g liegt in der Ebene E.
- Die Gerade g und die Ebene E sind echt parallel.
Methoden zur Bestimmung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene
- Methode 1:

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Methode 2:

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Methode 3:1. Gleichsetzen der Ebenengleichung und Geradengleichung in Parameterform: $\vec{a} + α \vec{r} + β \vec{s} = \vec{p} + λ \vec{u}$ 2. Lösen des linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Lagebeziehung Gerade Ebene

Eine Gerade liegt auf einer Ebene, wenn der Richtungsvektor und der Normalenvektor senkrecht aufeinander stehen und der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.

Eine Ebene ist parallel zu einer Ebene, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind.

Der Punkt, in dem die Gerade die Ebene druchstößt, wird berechnet, indem du die Geradengleichung in Parameterform in die Ebenengleichung in Koordinatenform einsetzt und so Lambda berechnest. Dieses Lamba setzt du wieder in die Geradengleichung ein und erhälst so den Schnittpunkt.

Eine Gerade verläuft senkrecht zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene linear abhängig sind.

Finales Lagebeziehung Gerade Ebene Quiz

Lagebeziehung Gerade Ebene Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Nenne die Lagebeziehungen, die eine Gerade und eine Ebene im Raum haben können.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gerade kann die Ebene schneiden.
Die Gerade kann parallel zur Ebene sein.
Die Gerade kann in der Ebene liegen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Lagebeziehung können eine Gerade und eine Ebene haben, wenn das Skalarprodukt aus Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade 0 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ist, stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektor senkrecht aufeinander.

Die Gerade g kann dann entweder in der Ebene E liegen oder echt parallel zur Ebene E sein.

Frage anzeigen

Frage

Welche Lagebeziehung können eine Gerade und eine Ebene haben, wenn das Skalarprodukt aus Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade nicht 0 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren nicht 0 ist, stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektor nicht senkrecht aufeinander.

Die Gerade g und die Ebene E haben dann einen Schnittpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene.

Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor ist 0.
Außerdem liegt der Stützvektor der Gerade in der Ebene.

Gib die Lagebeziehung an.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Gerade verläuft parallel zur Ebene.

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Frage

Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene.

Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor ist 0.
Außerdem liegt der Stützvektor der Gerade nicht in der Ebene.

Gib die Lagebeziehung an.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gerade ist parallel zur Ebene.

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Frage

Beschreibe, wie du nachweisen kannst, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Wenn überprüft werden soll, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss also lediglich ihr Skalarprodukt berechnet werden.

Frage anzeigen

Frage

Welche Lagebeziehung haben eine Gerade und eine Ebene, wenn Richtungsvektor und Normalenvektor linear abhängig sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gerade und die Ebene stehen dann senkrecht aufeinander.

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Wann liegt eine Gerade auf einer Ebene?

Wann ist eine Ebene parallel zu einer Ebene?

In welchem Punkt durchstößt die Gerade die Ebene?

Wann verläuft eine Gerade senkrecht zur Ebene?

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