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Wenn du eine Gerade und eine Ebene gemeinsam betrachtest, gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, wie diese zueinander liegen können. In diesem Artikel erfährst du, welche Lagebeziehung eine Gerade und eine Ebene haben können und wie du sie bestimmen kannst.
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Jetzt kostenlos anmeldenWenn du eine Gerade und eine Ebene gemeinsam betrachtest, gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, wie diese zueinander liegen können. In diesem Artikel erfährst du, welche Lagebeziehung eine Gerade und eine Ebene haben können und wie du sie bestimmen kannst.
Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, wie eine Gerade und eine Ebene im Raum zueinander liegen können. Die Ebene E und die Gerade g können einen Schnittpunkt besitzen, parallel zueinander sein oder die Gerade kann in der Ebene liegen.
Eine Ebene E und eine Gerade g haben einen Schnittpunkt, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.
In der Abbildung kannst du die Ebene E und die Gerade g sehen, die einen Schnittpunkt haben. Der Schnittpunkt, der auch als Durchstoßpunkt bezeichnet wird, ist als Grüner Punkt dargestellt.
Die Ebene ist in der Zeichnung durch gestrichelte Linien begrenzt. In Wirklichkeit aber hat die Ebene keine Begrenzung, sondern ihre Fläche ist unendlich groß.
Wenn der Normalenvektor einer Ebene und der Richtungsvektor einer Gerade linear abhängig sind, so steht die Gerade senkrecht beziehungsweise orthogonal auf der Ebene.
Wenn du wissen möchtest, ob eine Gerade und eine Ebene senkrecht zueinander sind, musst du überprüfen, ob der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene Vielfache voneinander sind: .
Eine Gerade g liegt in der Ebene E, wenn jeder Punkt der Gerade auch ein Punkt der Ebene ist.
Die Gerade und die Ebene haben unendlich viele Schnittpunkte.
Eine Gerade g und eine Ebene E sind parallel, wenn die Gerade und die Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben.
Bevor du Methoden zur Bestimmung der Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene kennenlernst, wird kurz die Darstellungsformen der Ebene und die Parameterform der Gerade wiederholt.
Um die Methoden anwenden zu können, muss die Ebene E entweder in Koordinatenform oder in Parameterform gegeben sein.
Darstellungsform | Ebenengleichung | Beschreibung |
Koordinatenform der Ebene | Normalenvektor: | |
Parameterform der Ebene | Aufpunkt/Stützvektor: Richtungsvektoren: und | |
Normalenform der Ebene | Aufpunkt/Stützvektor: Normalenvektor: |
Die Gerade g wird bei den verschiedenen Methoden stets in Parameterform benötigt.
Darstellungsform | Geradengleichung | Beschreibung |
Parameterform der Gerade | Aufpunkt/Stützvektor: Richtungsvektor: |
Bei dieser Methode muss die Ebene E in Koordinatenform und die Gerade g in Parameterform gegeben sein.
Falls die Ebene in Parameterform oder Normalenform angegeben ist, musst du zunächst die Koordinatenform bestimmen. Wie das geht, kannst du im Artikel Ebenengleichung umformen nachlesen.
Wenn du diese Methode zur Bestimmung der Lagebeziehung anwendest, beginnst du damit, dass du überprüfst, ob der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade senkrecht aufeinander stehen. Doch wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander?
Zwei Vektoren und stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ist. Mathematisch schreibt man das folgendermaßen:
Du berechnest also das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene und des Richtungsvektors der Gerade:
.
Wenn das Skalarprodukt 0 ist, folgt noch ein zweiter Schritt. Du überprüfst jetzt, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt. Dies wird auch als Punktprobe bezeichnet. Dazu setzt du den Aufpunkt in die Ebenengleichung ein.
Schau dir das an einem Beispiel genauer an:
Bestimme die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.
1. Schritt: Überprüfe, ob das Skalarprodukt des Normalenvektors und des Richtungsvektors 0 ergibt.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist 0. Die Gerade g kann dann entweder in der Ebene E liegen oder echt parallel zur Ebene E sein.
2. Schritt: Überprüfe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.
Setze den Aufpunkt der Gerade in die Ebenengleichung ein.
Da die Ebenengleichung nicht erfüllt ist, ist der Aufpunkt nicht Teil der Ebene (). Die Gerade ist echt parallel zur Ebene E.
Es gibt eine weitere Methode, wie du die Lagebeziehung von Gerade und Ebene bestimmen kannst. Bei dieser Methode benötigst du ebenfalls die Ebene E in Koordinatenform und die Gerade g in Parameterform.
Wenn du die Geradengleichung ausschreibst, dann ist das nichts anderes als:
.
Jetzt musst du die rechte Seite der Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen. Durch das Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung berechnest du die Schnittpunkte von Gerade und Ebene.
Wie das geht, siehst du leichter, wenn du die Geradengleichung umformst:
.
Durch Einsetzen in die Ebenengleichung erhältst du:
.
Beim zweiten Schritt versuchst du, diese Gleichung nach aufzulösen. Es gibt drei Möglichkeiten:
In der Abbildung siehst du nochmal schematisch, wie du bei dieser Methode vergehen musst.
Wie du dieses Schema anwenden kannst, siehst du im folgenden Beispiel:
Bestimme die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.
1. Schritt: Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen
Du setzt die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein.
2. Schritt: Lösungen der Gleichung berechnen
Die Gleichung von oben löst du jetzt nach auf.
Hier gibt es genau eine Lösung. Deshalb weißt du, dass Gerade und Ebene sich schneiden.
3. Schritt: Schnittpunkt berechnen
Den Wert, den du für berechnet hast, setzt du jetzt in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen:
Der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene hat die Koordinaten .
Bei der dritten Methode liegen die Ebene und die Gerade in Parameterform vor.
Die Ebenengleichung und die Geradengleichung werden gleichgesetzt:
Dadurch entsteht ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen ().
Dieser Lösungsweg ist aber eher umständlich und kann leicht zu Rechenfehlern führen. Daher solltest du eine der anderen beiden Methoden verwenden, auch wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist. Dann musst du die Ebene in Koordinatenform umwandeln und dann wie oben beschrieben vorgehen.
Eine Gerade liegt auf einer Ebene, wenn der Richtungsvektor und der Normalenvektor senkrecht aufeinander stehen und der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.
Eine Ebene ist parallel zu einer Ebene, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind.
Der Punkt, in dem die Gerade die Ebene druchstößt, wird berechnet, indem du die Geradengleichung in Parameterform in die Ebenengleichung in Koordinatenform einsetzt und so Lambda berechnest. Dieses Lamba setzt du wieder in die Geradengleichung ein und erhälst so den Schnittpunkt.
Eine Gerade verläuft senkrecht zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene linear abhängig sind.
Nenne die Lagebeziehungen, die eine Gerade und eine Ebene im Raum haben können.
Welche Lagebeziehung können eine Gerade und eine Ebene haben, wenn das Skalarprodukt aus Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade 0 ist?
Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ist, stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektor senkrecht aufeinander.
Die Gerade g kann dann entweder in der Ebene E liegen oder echt parallel zur Ebene E sein.
Welche Lagebeziehung können eine Gerade und eine Ebene haben, wenn das Skalarprodukt aus Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade nicht 0 ist?
Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren nicht 0 ist, stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektor nicht senkrecht aufeinander.
Die Gerade g und die Ebene E haben dann einen Schnittpunkt.
Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene.
Gib die Lagebeziehung an.
Der Gerade verläuft parallel zur Ebene.
Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene.
Gib die Lagebeziehung an.
Die Gerade ist parallel zur Ebene.
Beschreibe, wie du nachweisen kannst, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
Wenn überprüft werden soll, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss also lediglich ihr Skalarprodukt berechnet werden.
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