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Parallele konstruieren

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Parallele konstruieren

Neben einer Autobahn (dargestellt durch die Gerade g) sollen zwei Landstraßen zum Umgehen von Staus angelegt werden.

Diese beiden Landstraßen dürfen die Autobahn aber natürlich nicht schneiden und es soll außerdem gelten, dass

  • die eine Landstraße mindestens einen Abstand von 50 Metern zu der Autobahn hat .(Gerade h)
  • die zweite Landstraße durch einen festgelegten Punkt H verläuft, damit die Bushaltestelle angefahren werden kann. (Gerade i)

Parallele konstruieren Parallelen Einsteig StudySmarterAbbildung 1: Autobahn g und Landstraßen i und h

Wie Du es schaffen kannst, dass Du beide Landstraßen auf dem Plan zum Straßenbau konstruieren kannst, lernst Du in den folgenden Abschnitten.

Wiederholung Parallelen, Mittelsenkrechte & Lot konstruieren

Um eine parallele Gerade konstruieren zu können, solltest Du einige Grundkonstruktionen beherrschen und Dir über die Eigenschaften von Parallelen im Klaren sein.

Parallele Geraden

Parallele Geraden begegnen Dir häufig in der Geometrie, können aber auch in der Analysis von Relevanz sein.

Zwei Geraden g und h sind parallel zueinander, wenn sie so zueinander liegen, dass sie sich nie schneiden oder identisch sind.

Mathematisch notiert wird dies mit

$$g||h$$

In folgendem Beispiel siehst Du beispielhaft zwei parallele Geraden

Die Geraden g und h liegen parallel zueinander. Somit schneiden sie sich nie.

Parallele konstruieren Parallele StudySmarterAbbildung 2: Parallele Geraden

Parallelen können außerdem unterschiedlich weit voneinander entfernt liegen.

Grundkonstruktionen

Möchtest Du eine parallele Gerade konstruieren, benötigst Du dazu einige andere Grundkonstruktionen.

Genaue Schritt-für-Schritt-Anleitungen und erklärte Beispiele findest Du in den Erklärungen "Mittelsenkrechte konstruieren" und "Lot fällen".

Konstruktion
Beispiel

1. Zeichne zwei Kreise mit dem gleichen Radius um die Eckpunkte der Strecke A und B. Beachte, dass Du den Radius größter als die Hälfte der Länge der Strecke wählen musst.

2. Markiere die beiden Schnittpunkte der Kreise.

3. Zeichne nun eine Gerade durch diese beiden Schnittpunkte. Diese Gerade entspricht der Mittelsenkrechten.

Parallele konstruieren Mittelsenkrechte konstruieren StudySmarterAbbildung 3: Konstruktion einer Mittelsenkrechten

Lot konstruieren

1. Zeichne einen Kreis um den Punkt P, sodass dieser die Gerade in zwei Punkten schneidet.

2. Zeichne um diese beiden Schnittpunkte zwei Kreise mit genügend großem Radius, sodass diese sich ebenfalls schneiden.

3. Lege eine Gerade durch diese beiden Schnittpunkte. Sie entspricht dem Lot der Gerade an dieser Stelle.

Parallele konstruieren Lot konstruieren StudySmarterAbbildung 4: Konstruktion eines Lotes

Wichtig ist außerdem, dass Du weißt, was Konstruieren bedeutet und dass das Zeichnen einer Parallelen mit einem Geodreieck nicht als Konstruktion zählt.

Parallele zeichnen

Beachte, dass Folgendes gilt:

Bei einer Konstruktion dürfen nur Zirkel und Lineal verwendet werden, um eine Figur möglichst exakt abzubilden.

Zirkel und Lineal werden auch als euklidische Werkzeuge bezeichnet.

Sobald Du also das Geodreieck verwendest und etwa Winkel oder Ähnliches abträgst, konstruierst Du in diesem Sinne nicht mehr, sondern zeichnest.

Du weißt nun also, was parallele Geraden sind und was benötigt wird, um diese zu konstruieren.

Parallelen konstruieren

Bei der Konstruktion einer parallelen Gerade kannst Du zwei Fälle unterscheiden. Welcher Fall vorliegt, hängt davon ab, was bereits gegeben ist.

Parallele durch Punkt konstruieren

Hast Du neben der Geraden, zu der die Parallele konstruiert werden soll, noch einen Punkt gegeben, durch welchen die Parallele verlaufen soll, gehst Du wie folgt vor.

Schritt
Visualisierung
1. SchrittZeichne einen Kreis um den Punkt P. Wähle den Radius so, dass dieser Kreis die Gerade g in zwei Punkten schneidet und benenne diese mit A und B.Parallele konstruieren Kreis StudySmarter
Abbildung 5: Kreis mit Schnittpunkten
2. SchrittKonstruiere die Mittelsenkrechte mg zur Strecke zwischen den Punkten A und B, indem Du zwei Kreise um die beiden Punkte zeichnest. Wähle den Radius so, dass die beiden Kreise sich schneiden und lege die Mittelsenkrechte mg durch diese Schnittpunkte.

Parallele konstruieren Mittelsenkrechte konstruieren STudySmarterAbbildung 6: Mittelsenkrechte

3. SchrittMarkiere die Schnittpunkte D und C der Mittelsenkrechten mg mit dem zuerst gezeichneten Kreis.Parallele konstruieren Schnittpunkte StudySmarter
Abbildung 7: Schnittpunkte
4. SchrittZeichne um die beiden Punkte C und D erneut zwei Kreise, welche sich schneiden, um die Mittelsenkrechte zur Strecke und somit die gesuchte Parallele h zu zeichnen.Parallele konstruieren konstruierte Parallele StudySmarter
Abbildung 8: Parallele h

Ausführliche Beispiele und Übungsaufgaben zu dieser Konstruktion findest Du in der Erklärung "Parallele durch gegebenen Punkt konstruieren".

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren

Ein anderer Fall liegt vor, wenn neben einer Geraden nur der Abstand zu der zu konstruierenden Gerade angegeben ist.

Schritt
Visualisierung
1. Schritt

Konstruiere ein Lot l zur gegebenen Gerade g.

Parallele konstruieren Lot zur Geraden StudySmarterAbbildung 9: Lot zur Geraden g

2. Schritt

Trage den gegebenen Abstand auf diesem Lot ab und markiere den entsprechenden Punkt P auf dem Lot l.

Parallele konstruieren Abstand abtragen StudySmarterAbbildung 10: Abgetragener Abstand auf dem Lot

3. Schritt

Konstruiere ein zweites Lot durch den markierten Punkt P zum Lot l. Dieses Lot entspricht der Geraden h, welche mit dem gegebenen Abstand konstruiert werden sollte.

Parallele konstruieren zweites Lot StudySmarter
Abbildung 11: Parallele h mit gegebenem Abstand

Parallelen konstruieren Übung

Jetzt weißt Du, wie Parallelen mit gegebenem Abstand oder durch vorgegebene Punkte konstruiert werden und kannst die Landstraßen aus der Einleitung konstruieren.

Aufgabe 1

Konstruiere die in der Einleitung angesprochenen Landstraßen zu der gegebenen Autobahn, wobei

  • die eine Landstraße mindestens einen Abstand von 50 Metern zu der Autobahn hat .(Gerade h)
  • und die zweite Landstraße durch einen festgelegten Punkt H verläuft, damit die Bushaltestelle angefahren werden kann. (Gerade i)

Parallele konstruieren Beispiel StudySmarterAbbildung 12: Autobahn g

Lösung

Die beiden Landstraßen kannst Du durch zwei Parallelen darstellen.

Parallele mit gegebenem Abstand

Konstruiere die Parallele mit einem gegebenem Abstand, indem Du zunächst ein Lot auf die Gerade g fällst.

Trage anschließend den gegebenen Abstand auf diesem Lot ab und markiere den Endpunkt.

Beachte, dass in diesem Beispiel 50 m vereinfacht als 5 cm dargestellt werden.

Konstruiere anschließend ein zweites Lot auf dem zuerst gefällten Lot durch den Punkt.

Dieses Lot entspricht der gesuchten Parallele h.

Parallele konstruieren mit gegebenem Abstand StudySmarterAbbildung 13: Konstruktion Parallele mit gegebenem Abstand

Parallele durch gegebenen Punkt

Um die Parallele durch den gegebenen Punkt H zu konstruieren, zeichnest Du zunächst einen Kreis um diesen Punkt. Der Radius des Kreises sollte groß genug sein, sodass dieser die Gerade g in zwei Punkten schneidet.

Konstruiere anschließend die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten mit der Geraden.

Parallele konstruieren Mittelsenkrechte konstruieren StudySmarterAbbildung 14: Konstruktion der Mittelsenkrechten

Der zuerst gezeichnete (türkise) Kreis schneidet die Mittelsenkrechte mg in zwei Punkten.

Konstruiere auch zu der Strecke zwischen diesen beiden Punkten die Mittelsenkrechte. Diese entspricht der gesuchten Parallelen i.

Parallele konstruieren Mittelsenkrechte konstruieren StudySmarterAbbildung 15: Konstruktion Parallele durch gegebenen Punkt

Parallele konstruieren Das Wichtigste

  • Zwei Geraden g und h sind parallel zueinander, wenn sie so zueinander liegen, dass sie sich nie schneiden oder identisch sind.
  • Sind die Geraden g und h parallel, schreibst Du \[g||h.\]
  • Um parallele Geraden zeichnen zu können, solltest Du einige Grundkonstruktionen beherrschen.
  • Du musst Mittelsenkrechten und das Lot zu einer Geraden konstruieren können.
  • Bei einer Konstruktion dürfen nur Zirkel und Lineal verwendet werden, um eine Figur möglichst exakt abzubilden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Parallele konstruieren

Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie in jedem Punkt denselben Abstand zueinander haben und sich dabei weder schneiden noch identisch sind.

Wenn eine Gerade senkrecht zu einer anderen Gerade verläuft, schneiden sich diese Geraden in einem Punkt in einem 90° Winkel. Zwei Geraden, die parallel zueinander verlaufen, werden sich nie schneiden und haben in jedem Punkt den gleichen Abstand zueinander.

Eine parallele Gerade lässt sich auf unterschiedliche Arten zeichnen. Eine Möglichkeit ist es, zwei Punkte mit demselben Abstand zu einer Geraden zu zeichnen und diese Punkte anschließend miteinander zu verbinden.

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie beide dieselbe Steigung aufweisen. Die Formel für die Steigung m lautet: m = Δ y : Δ x.

Finales Parallele konstruieren Quiz

Frage

Welche Grundkonstruktion benötigst Du, um eine Parallele zu konstruieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Um eine Parallel zu konstruieren, benötigst Du die Konstruktion eines Lots. 

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du einen bestimmten Abstand von einem Punkt aus auf einer Geraden mit dem Zirkel abtragen?

Antwort anzeigen

Antwort

Um einen bestimmten Abstand von einem Punkt aus abzutragen, stellst Du den Zirkel auf diesen Abstand ein. Dann ziehst Du einen Kreis mit diesem Radius um den Punkt. Der Schnittpunkt vom Kreis mit der Geraden hat den gegebenen Abstand zum ursprünglichen Punkt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Lot von einer Geraden? Erkläre.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Lot von einer Geraden ist wieder eine Gerade. Diese steht senkrecht zur ersten Geraden.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du ein Lot zu einer gegebenen Geraden konstruieren kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um ein Lot zu konstruieren, stichst Du an einer beliebigen Stelle auf der Geraden mit dem Zirkel ein und zeichnest einen Kreis. Jetzt zeichnest Du einen weiteren Kreis mit demselben Radius. Der Mittelpunkt des Kreises liegt auch auf der Geraden und der Abstand muss so gewählt sein, dass sich die beiden Kreise schneiden. Zum Schluss ziehst Du eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreise. Diese Gerade ist das Lot.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Lot? Wähle die richtige Definition aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Lot ist eine senkrechte Gerade zu einer gegebenen Geraden.

Frage anzeigen

Frage

Stell Dir vor, Du konstruierst auf einer Geraden zwei Kreise mit demselben Radius und ziehst eine Gerade durch die Schnittpunkte dieser Kreise. In welchem Winkel steht die konstruierte Gerade zur gegebenen Geraden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die konstruierte Gerade steht im 90°-Winkel zur gegebenen Gerade. Sie ist ein Lot.

Frage anzeigen

Frage

Wähle den ersten Schritt aus, den Du machst, wenn Du eine Parallele mit vorgegebenem Abstand zu einer Geraden konstruieren sollst.

Antwort anzeigen

Antwort

Lot zur Geraden konstruieren

Frage anzeigen

Frage

Wähle den zweiten Schritt aus, den Du machst, wenn Du eine Parallele mit vorgegebenem Abstand zu einer Geraden konstruieren sollst. 


Im ersten Schritt wurde bereits ein Lot zur Geraden konstruiert.

Antwort anzeigen

Antwort

Abstand auf dem Lot abtragen

Frage anzeigen

Frage

Wähle den dritten Schritt aus, den Du machst, wenn Du eine Parallele mit vorgegebenem Abstand zu einer Geraden konstruieren sollst. 


Im ersten und zweiten Schritt wurde bereits ein Lot zur Geraden konstruiert und der gegebene Abstand auf dem Lot abgetragen.

Antwort anzeigen

Antwort

Lot zum Lot durch den abgetragenen Punkt konstruieren 

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Parallele zu einer Geraden?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Parallele zu einer Geraden ist eine weitere Gerade. Jeder Punkt auf der zweiten Gerade hat denselben Abstand zur ersten Geraden. Die beiden Geraden schneiden sich nie.

Frage anzeigen

Frage

Stell Dir vor, Du konstruierst zu einer gegebenen Geraden ein Lot und zu diesem Lot wieder ein Lot. In welchem Verhältnis steht das zweite Lot dann zur gegebenen Geraden?

Antwort anzeigen

Antwort

Das zweite Lot ist eine Parallele zur gegebenen Geraden.

Frage anzeigen

Frage

Wann sind zwei Geraden parallel zueinander?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden g und h sind parallel zueinander, wenn sie so zueinander liegen, dass sie sich nie schneiden oder identisch sind.

Frage anzeigen

Frage

Kann eine parallele Gerade durch einen gegebenen Punkt auch mit dem Geodreieck konstruiert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, allerdings wird dann nicht mehr von "konstruieren" gesprochen, sondern von "zeichnen".

Frage anzeigen

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