Parallele konstruieren

Stochastik

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Neben einer Autobahn (dargestellt durch die Gerade g) sollen zwei Landstraßen zum Umgehen von Staus angelegt werden.

Diese beiden Landstraßen dürfen die Autobahn aber natürlich nicht schneiden und es soll außerdem gelten, dass

die eine Landstraße mindestens einen Abstand von 50 Metern zu der Autobahn hat .(Gerade h)
die zweite Landstraße durch einen festgelegten Punkt H verläuft, damit die Bushaltestelle angefahren werden kann. (Gerade i)

Parallele konstruieren Parallelen Einsteig StudySmarter Abbildung 1: Autobahn g und Landstraßen i und h

Wie Du es schaffen kannst, dass Du beide Landstraßen auf dem Plan zum Straßenbau konstruieren kannst, lernst Du in den folgenden Abschnitten.

Wiederholung – Parallelen, Mittelsenkrechte & Lot konstruieren

Um eine parallele Gerade konstruieren zu können, solltest Du einige Grundkonstruktionen beherrschen und Dir über die Eigenschaften von Parallelen im Klaren sein.

Parallele Geraden

Parallele Geraden begegnen Dir häufig in der Geometrie, können aber auch in der Analysis von Relevanz sein.

Zwei Geraden g und h sind parallel zueinander, wenn sie so zueinander liegen, dass sie sich nie schneiden oder identisch sind.

Mathematisch notiert wird dies mit

$$g||h$$

In folgendem Beispiel siehst Du beispielhaft zwei parallele Geraden

Die Geraden g und h liegen parallel zueinander. Somit schneiden sie sich nie.

Parallele konstruieren Parallele StudySmarter Abbildung 2: Parallele Geraden

Parallelen können außerdem unterschiedlich weit voneinander entfernt liegen.

Grundkonstruktionen

Möchtest Du eine parallele Gerade konstruieren, benötigst Du dazu einige andere Grundkonstruktionen.

Genaue Schritt-für-Schritt-Anleitungen und erklärte Beispiele findest Du in den Erklärungen "Mittelsenkrechte konstruieren" und "Lot fällen".

Konstruktion

Beispiel

Mittelsenkrechte konstruieren

1. Zeichne zwei Kreise mit dem gleichen Radius um die Eckpunkte der Strecke A und B. Beachte, dass Du den Radius größter als die Hälfte der Länge der Strecke wählen musst.

2. Markiere die beiden Schnittpunkte der Kreise.

3. Zeichne nun eine Gerade durch diese beiden Schnittpunkte. Diese Gerade entspricht der Mittelsenkrechten.

Parallele konstruieren Mittelsenkrechte konstruieren StudySmarter Abbildung 3: Konstruktion einer Mittelsenkrechten

Lot konstruieren

1. Zeichne einen Kreis um den Punkt P, sodass dieser die Gerade in zwei Punkten schneidet.

2. Zeichne um diese beiden Schnittpunkte zwei Kreise mit genügend großem Radius, sodass diese sich ebenfalls schneiden.

3. Lege eine Gerade durch diese beiden Schnittpunkte. Sie entspricht dem Lot der Gerade an dieser Stelle.

Parallele konstruieren Lot konstruieren StudySmarter Abbildung 4: Konstruktion eines Lotes

Wichtig ist außerdem, dass Du weißt, was Konstruieren bedeutet und dass das Zeichnen einer Parallelen mit einem Geodreieck nicht als Konstruktion zählt.

Parallele zeichnen

Beachte, dass Folgendes gilt:

Bei einer Konstruktion dürfen nur Zirkel und Lineal verwendet werden, um eine Figur möglichst exakt abzubilden.

Zirkel und Lineal werden auch als euklidische Werkzeuge bezeichnet.

Sobald Du also das Geodreieck verwendest und etwa Winkel oder Ähnliches abträgst, konstruierst Du in diesem Sinne nicht mehr, sondern zeichnest.

Du weißt nun also, was parallele Geraden sind und was benötigt wird, um diese zu konstruieren.

Parallele konstruieren

Bei der Konstruktion einer parallelen Gerade kannst Du zwei Fälle unterscheiden. Welcher Fall vorliegt, hängt davon ab, was bereits gegeben ist.

Parallele durch Punkt konstruieren

Hast Du neben der Geraden, zu der die Parallele konstruiert werden soll, noch einen Punkt gegeben, durch welchen die Parallele verlaufen soll, gehst Du wie folgt vor.

Schritt	Visualisierung
1. SchrittZeichne einen Kreis um den Punkt P. Wähle den Radius so, dass dieser Kreis die Gerade g in zwei Punkten schneidet und benenne diese mit A und B.	Abbildung 5: Kreis mit Schnittpunkten
2. SchrittKonstruiere die Mittelsenkrechte m_g zur Strecke $A B$ zwischen den Punkten A und B, indem Du zwei Kreise um die beiden Punkte zeichnest. Wähle den Radius so, dass die beiden Kreise sich schneiden und lege die Mittelsenkrechte m_g durch diese Schnittpunkte.	Abbildung 6: Mittelsenkrechte
3. SchrittMarkiere die Schnittpunkte D und C der Mittelsenkrechten m_g mit dem zuerst gezeichneten Kreis.	Abbildung 7: Schnittpunkte
4. SchrittZeichne um die beiden Punkte C und D erneut zwei Kreise, welche sich schneiden, um die Mittelsenkrechte zur Strecke $C D$ und somit die gesuchte Parallele h zu zeichnen.	Abbildung 8: Parallele h

Ausführliche Beispiele und Übungsaufgaben zu dieser Konstruktion findest Du in der Erklärung "Parallele durch gegebenen Punkt konstruieren".

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren

Ein anderer Fall liegt vor, wenn neben einer Geraden nur der Abstand zu der zu konstruierenden Gerade angegeben ist.

Schritt	Visualisierung
1. Schritt Konstruiere ein Lot l zur gegebenen Gerade g.	Abbildung 9: Lot zur Geraden g
2. Schritt Trage den gegebenen Abstand auf diesem Lot ab und markiere den entsprechenden Punkt P auf dem Lot l.	Abbildung 10: Abgetragener Abstand auf dem Lot
3. Schritt Konstruiere ein zweites Lot durch den markierten Punkt P zum Lot l. Dieses Lot entspricht der Geraden h, welche mit dem gegebenen Abstand konstruiert werden sollte.	Abbildung 11: Parallele h mit gegebenem Abstand

Parallele konstruieren Übung

Jetzt weißt Du, wie Parallelen mit gegebenem Abstand oder durch vorgegebene Punkte konstruiert werden und kannst die Landstraßen aus der Einleitung konstruieren.

Aufgabe 1

Konstruiere die in der Einleitung angesprochenen Landstraßen zu der gegebenen Autobahn, wobei

die eine Landstraße mindestens einen Abstand von 50 Metern zu der Autobahn hat .(Gerade h)
und die zweite Landstraße durch einen festgelegten Punkt H verläuft, damit die Bushaltestelle angefahren werden kann. (Gerade i)

Parallele konstruieren Beispiel StudySmarter Abbildung 12: Autobahn g

Lösung

Die beiden Landstraßen kannst Du durch zwei Parallelen darstellen.

Parallele mit gegebenem Abstand

Konstruiere die Parallele mit einem gegebenem Abstand, indem Du zunächst ein Lot auf die Gerade g fällst.

Trage anschließend den gegebenen Abstand auf diesem Lot ab und markiere den Endpunkt.

Beachte, dass in diesem Beispiel 50 m vereinfacht als 5 cm dargestellt werden.

Konstruiere anschließend ein zweites Lot auf dem zuerst gefällten Lot durch den Punkt.

Dieses Lot entspricht der gesuchten Parallele h.

Parallele konstruieren mit gegebenem Abstand StudySmarter Abbildung 13: Konstruktion Parallele mit gegebenem Abstand

Parallele durch gegebenen Punkt

Um die Parallele durch den gegebenen Punkt H zu konstruieren, zeichnest Du zunächst einen Kreis um diesen Punkt. Der Radius des Kreises sollte groß genug sein, sodass dieser die Gerade g in zwei Punkten schneidet.

Konstruiere anschließend die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten mit der Geraden.

Parallele konstruieren Mittelsenkrechte konstruieren StudySmarter Abbildung 14: Konstruktion der Mittelsenkrechten

Der zuerst gezeichnete (türkise) Kreis schneidet die Mittelsenkrechte m_g in zwei Punkten.

Konstruiere auch zu der Strecke zwischen diesen beiden Punkten die Mittelsenkrechte. Diese entspricht der gesuchten Parallelen i.

Parallele konstruieren Mittelsenkrechte konstruieren StudySmarter Abbildung 15: Konstruktion Parallele durch gegebenen Punkt

Parallele konstruieren – Das Wichtigste

Zwei Geraden g und h sind parallel zueinander, wenn sie so zueinander liegen, dass sie sich nie schneiden oder identisch sind.
Sind die Geraden g und h parallel, schreibst Du \[g||h.\]
Um parallele Geraden zeichnen zu können, solltest Du einige Grundkonstruktionen beherrschen.
Du musst Mittelsenkrechten und das Lot zu einer Geraden konstruieren können.
Bei einer Konstruktion dürfen nur Zirkel und Lineal verwendet werden, um eine Figur möglichst exakt abzubilden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Parallele konstruieren

Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie in jedem Punkt denselben Abstand zueinander haben und sich dabei weder schneiden noch identisch sind.

Wenn eine Gerade senkrecht zu einer anderen Gerade verläuft, schneiden sich diese Geraden in einem Punkt in einem 90° Winkel. Zwei Geraden, die parallel zueinander verlaufen, werden sich nie schneiden und haben in jedem Punkt den gleichen Abstand zueinander.

Eine parallele Gerade lässt sich auf unterschiedliche Arten zeichnen. Eine Möglichkeit ist es, zwei Punkte mit demselben Abstand zu einer Geraden zu zeichnen und diese Punkte anschließend miteinander zu verbinden.

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie beide dieselbe Steigung aufweisen. Die Formel für die Steigung m lautet: m = Δ y : Δ x.

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Welche Grundkonstruktion benötigst Du, um eine Parallele zu konstruieren?

Um eine Parallel zu konstruieren, benötigst Du die Konstruktion eines Lots.

Wie kannst Du einen bestimmten Abstand von einem Punkt aus auf einer Geraden mit dem Zirkel abtragen?

Um einen bestimmten Abstand von einem Punkt aus abzutragen, stellst Du den Zirkel auf diesen Abstand ein. Dann ziehst Du einen Kreis mit diesem Radius um den Punkt. Der Schnittpunkt vom Kreis mit der Geraden hat den gegebenen Abstand zum ursprünglichen Punkt.

Was ist ein Lot von einer Geraden? Erkläre.

Ein Lot von einer Geraden ist wieder eine Gerade. Diese steht senkrecht zur ersten Geraden.

Erkläre, wie Du ein Lot zu einer gegebenen Geraden konstruieren kannst.

Um ein Lot zu konstruieren, stichst Du an einer beliebigen Stelle auf der Geraden mit dem Zirkel ein und zeichnest einen Kreis. Jetzt zeichnest Du einen weiteren Kreis mit demselben Radius. Der Mittelpunkt des Kreises liegt auch auf der Geraden und der Abstand muss so gewählt sein, dass sich die beiden Kreise schneiden. Zum Schluss ziehst Du eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreise. Diese Gerade ist das Lot.

Was ist ein Lot? Wähle die richtige Definition aus.

Ein Lot ist eine senkrechte Gerade zu einer gegebenen Geraden.

Stell Dir vor, Du konstruierst auf einer Geraden zwei Kreise mit demselben Radius und ziehst eine Gerade durch die Schnittpunkte dieser Kreise. In welchem Winkel steht die konstruierte Gerade zur gegebenen Geraden?

Die konstruierte Gerade steht im 90°-Winkel zur gegebenen Gerade. Sie ist ein Lot.

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