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Algebra

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Algebra

Algebra beschreibt ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es, um die Lehre von Zahlen, Rechenregeln, Terme, Gleichungen und Ungleichungen geht. Die anderen drei großen Teilgebiete der Mathematik, die in der Schule behandelt werden, sind die Analysis, die Geometrie und die Stochastik.

In diesem Artikel erklären wir dir, welche Themen die Algebra beinhaltet.

Viel Spaß beim Lernen!

Algebra StudySmarter

Welche Themen gehören zur Algebra?

Mengenlehre

Zahlenlehre

Grundrechenarten

Rechnen mit ganzen Zahlen

Brüche und Dezimalzahlen

  • Bruchteil und Anteil
  • Brüche und besondere Brüche
  • Vergleichen und Anordnen von Brüchen
  • Gemischte Zahlen
  • Dezimalbrüche / Dezimalzahlen
  • Bruchrechnung
  • Rechnen mit Dezimalzahlen

Proportionalität

Prozentrechnung

Rechnen mit komplexen Zahlen

  • Darstellung komplexer Zahlen in Polarform
  • Rechnen mit komplexen Zahlen in Normalform
  • Rechnen mit komplexen Zahlen in Polarform
  • Exponentialform

Terme und Termumformungen

Gleichungen

Ungleichungen

Größen und Einheiten umrechnen

Matrizen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Algebra

Folgende Themen gehören zu Algebra: 


  • Mengenlehre
  • Zahlenlehre
  • Grundrechenarten
  • Rechnen mit ganten Zahlen
  • Brüche und Dezimalzahlen
  • Proportionalität
  • Prozentrechnung
  • Rechnen mit komplexen Zahlen
  • Terme und Termumformungen
  • Gleichungen
  • Ungleichungen
  • Größen und Einheiten umrechnen
  • Matrizen

Der Begriff Algebra kommt aus dem Arabischen und bedeutet so viel wie: "das Zusammenfügen gebrochener Teile".

Der Begriff Arithmetik kommt aus dem Griechischen und bedeutet Zahl. In der Arithmetik wird das Rechnen mit Zahlen befasst. Zum Beispiel: Grundrechenarten, Rechengesetze, etc.

Finales Algebra Quiz

Frage

Wie heißt unser Zahlensystem? 


Antwort anzeigen

Antwort

Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

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Frage

Was sind natürliche Zahlen? 

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Antwort

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

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Frage

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

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Frage

Was ist der Betrag einer Zahl? 

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Antwort

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

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Frage

Wann entstehen Brüche? 

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Antwort

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

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Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

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Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

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Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

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Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Was hat jede Zahl?

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Antwort

Jede natürliche Zahl hat eine bestimmte Anzahl von Teilern, d. h. Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.

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Frage

Was ist die Teilermenge einer Zahl? 

Antwort anzeigen

Antwort

Sämtliche Teiler einer natürlichen Zahl n bilden die endliche Teilermenge Tn.


Tn enthält stets die Teiler 1 und n, die deshalb auch als uneigentliche Teiler bezeichnet werden.

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Frage

Was ist die Teilermenge von 16?

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Antwort

T = {1; 2; 4; 8; 16}

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Frage

Was ist die Vielfachmenge einer Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n, die Vielfachenmenge Vn, ist im Gegensatz zur Teilermenge Tn eine unendliche Menge


Vn = (n; 2 ∙ n; 3 ∙ n; …)

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge von 3?

Antwort anzeigen

Antwort

V3 = {3; 6; 9; 12; 15; …}

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18?

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Antwort

T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 

ggT(12; 18) = 6

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

Antwort anzeigen

Antwort

V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} 

V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} 

kgV(12; 18) = 36

Frage anzeigen

Frage

Welche Endstellenregeln gibt es?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern der Zahl 00 sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 916 durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahl 916 ist durch 2 teilbar, weil ihre Endziffer gerade ist. 


Sie ist auch durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern (16) durch 4 teilbar sind. 


916 ist aber nicht durch 5 bzw. 10 teilbar, weil die Zahl weder auf 0 noch auf 5 endet.

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Frage

Was ist die Quersummenregel?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl?

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Antwort

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern der Zahl.

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Frage

ist die Zahl 2154 durch 3 und 9 teilbar? 

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Antwort

Quersumme = 2 + 1 + 5 + 4 = 12


Die Quersumme der Zahl und damit auch die Zahl selbst ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.

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Frage

Wann ist eine Teilbarkeit durch 6 gegeben?

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Antwort

Die Teilbarkeit durch 6 = 2 ∙ 3 ergibt sich, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. 


Eine natürliche Zahl ist also durch 6 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

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Frage

Was sind Primzahlen? 

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Antwort

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.


Die Zahl 1 hat nur einen Teiler, daher ist 1 keine Primzahl. Die kleinste und gleichzeitig die einzige gerade Primzahl ist 2.

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Frage

Welche Regeln gelten für römische Zahlzeichen? 

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Antwort

  • Bei absteigenden Werten der Zahlzeichen von links nach rechts werden die Werte addiert
  • Steht ein Zahlzeichen mit geringerem Wert links von einem Zeichen mit höherem Wert, wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
  • Es werden höchstens drei gleiche Hauptzeichen hinter- einander notiert.
  • Nebenzeichen werden nicht wiederholt.
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Frage

Berechne die römische Ziffern: XI 

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Antwort

XI = 10 + 1 = 11

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Frage

Berechne die römische Ziffern: IX

Antwort anzeigen

Antwort

IX = 10 - 1 = 9

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Frage

Berechne die römische Ziffern: LXXXVIII

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Antwort

LXXXVIII = 50 + 10 +10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88

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Frage

Berechne die römische Ziffern: XCIX

Antwort anzeigen

Antwort

XCIX = (100 - 10) + (10 -1) = 90 + 9 = 99

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Frage

Berechne die römische Ziffern: MCDXIX

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Antwort

MCDXIX = 1000 +(500 - 100) + 10 + (10-1) = 1419

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Frage

Wieso kann es sinnvoll sein Werte zu runden? 

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Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. 


In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird abgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle bleibt stehen.

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Frage

Wann wird aufgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle wird um 1 erhöht.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine quadratische Gleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gleichung, in der die gesuchte Größe quadratisch vorkommt, nennt sich quadratische Gleichung.

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Frage

Wie kann man eine quadratische Gleichung in der Normalform mit der quadratischen Ergänzung lösen? 

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Antwort

Die Normalform wird dabei so umgewandelt, dass eine binomische Formel entsteht, aus der man die Wurzel ziehen kann.

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Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 2 = 14 

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Antwort

x^2 - 2 = 14
x^2 = 16
x = +/- 4

x1 = 4
x2 = -4


Reinquadratische Gleichungen können einfach nach x aufgelöst werden.


 Achte beim Wurzelziehen darauf, dass sowohl 4^2 als auch (– 4)^2 als Ergebnis 16 haben. Deswegen muss es zwei Lösungen geben

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 5x - 6 = 0 mit der quadratischen Ergänzung

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 - 5x - 6 = 0
(x^2 - 2 * 2,5 x +2,5^2) - 2,5^2 - 6 = 0 

(x - 2,5)^2 - 12,25 = 0
(x - 2,5)^2 = 12,25
(x - 2,5)^2 = +/- 3,5 


x1 = 6
x2 = -1


Damit man die 2. binomische Formel erhält, muss man 2,52 addieren. Um die Gleichung insgesamt nicht zu verändern, muss man 2,52 auch wieder subtrahieren.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


x² = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 = 6,25
x = +/- 2,5


x1 = 2,5

x2 = -2,5

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


y² = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

y = 0 

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


z² + 5 = 2
z² = -3


Antwort anzeigen

Antwort

Keine Lösung. Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen.


Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


9a² - 0,25 = 20

Antwort anzeigen

Antwort

9a² - 0,25 = 20

9 a² = 20,25
a² = 9/4
a = +/- 3*/2

a1 = 3/2
a2 = -3/2

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Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² + 6x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x²+ 6x = 0
(x² + 2*3x + 3²) - 3² = 0
(x+3)² = 9
x + 3 = +/- 3

x1 = 0
x2 = -6

Frage anzeigen

Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² - 4x + 3 = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x² - 4x + 3 = 0
(x² - 2*2x + 2²) - 2² + 3 = 0
(x - 2)² - 1 = 0
(x - 2)² = 1
x - 2 = +/- 1

x1 = 3
x2 = 1

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Frage

Wozu nutzt man den Satz von Vieta? 

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Lösung für eine quadratische Gleichung zu überprüfen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Satz von Vieta?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 gilt der Satz von Vieta:


x1 + x2 = -p
x1*x2 = q 

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

x * (x  - 0,5) = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x * (x - 0,5) = 0
x1 = 0 

x2 - 0,5 = 0

x2 = 0,5

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

(x-2) * (x+2) = 0  

Antwort anzeigen

Antwort

(x-2) * (x+2) = 0
x1 - 2 = 0 -> x1 = 2
x2 + 2 = 0 -> x2 = -2

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.


2x² + 0,5x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

2x² * 0,5x = 0
2x (x + 0,25) = 0 

x1 = 0 

x2 + 0,25 = 0 

x2 = -0,25

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Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x - 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)^2 + 81 = 162 


D > 0: zwei Lösungen

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Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x + 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)² – 81 = 0 


D = 0: eine Lösung

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