Algebra: Themenübersicht Mathematik | StudySmarter

Algebra

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Mathe

Algebra beschreibt ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es, um die Lehre von Zahlen, Rechenregeln, Terme, Gleichungen und Ungleichungen geht. Die anderen drei großen Teilgebiete der Mathematik, die in der Schule behandelt werden, sind die Analysis, die Geometrie und die Stochastik.


In diesem Artikel erklären wir dir, welche Themen die Algebra beinhaltet.


Viel Spaß beim Lernen!


Algebra StudySmarter


Welche Themen gehören zur Algebra?

Mengenlehre

Zahlenlehre

Grundrechenarten

Rechnen mit ganzen Zahlen

Brüche und Dezimalzahlen

  • Bruchteil und Anteil
  • Brüche und besondere Brüche
  • Vergleichen und Anordnen von Brüchen
  • Gemischte Zahlen
  • Dezimalbrüche / Dezimalzahlen
  • Bruchrechnung
  • Rechnen mit Dezimalzahlen

Proportionalität

  • Proportionale Zuordnung und Proportionalitätsfaktor
  • Direkte Proportionalität
  • Indirekte Proportionalität / Antiproportinalität und Antiproportionalitätsfaktor
  • Dreisatz

Prozentrechnung

  • Prozent
  • Promille
  • Absolute Häufigkeit
  • Relative Häufigkeit
  • Grundgleichung der Prozentrechnung
  • Prozentuale Veränderung
  • Zinsrechnung
  • Rentenrechnung
  • Tilgungsrechnung

Rechnen mit komplexen Zahlen

  • Darstellung komplexer Zahlen in Polarform
  • Rechnen mit komplexen Zahlen in Normalform
  • Rechnen mit komplexen Zahlen in Polarform
  • Exponentialform

Terme und Termumformungen

  • Term, Variable, Termwert
  • Terme strukturieren
  • Terme berechnen
  • Terme aufstellen
  • Gleichwertige / Äquivalente Terme
  • Bruchterme
  • Termumformungen und Terme vereinfachen (z.B. Binomische Formeln)
  • Rechengesetze

Gleichungen

  • Grundlagen Gleichungen
  • Übersicht Gleichungsarten
  • Äquivalenz von Gleichungen
  • Äquivalenzumformungen
  • Lösen von Gleichungen
  • Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen
  • Lineare Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Variablen

Ungleichungen

  • Grundlagen Ungleichungen
  • Äquivalenzumformungen in Ungleichungen
  • Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen
  • Systeme von linearen Ungleichungen mit zwei Variablen

Größen und Einheiten umrechnen

  • Einheiten umrechnen
  • Längeneinheiten
  • Flächeneinheiten
  • Volumeneinheiten
  • Maßstab
  • Masse und Gewicht
  • Zeit
  • Geldeinheiten
  • Temperatur
  • Rechnen mit Größen

Matrizen


Häufig gestellte Fragen zum Thema Algebra

Folgende Themen gehören zu Algebra: 


  • Mengenlehre
  • Zahlenlehre
  • Grundrechenarten
  • Rechnen mit ganten Zahlen
  • Brüche und Dezimalzahlen
  • Proportionalität
  • Prozentrechnung
  • Rechnen mit komplexen Zahlen
  • Terme und Termumformungen
  • Gleichungen
  • Ungleichungen
  • Größen und Einheiten umrechnen
  • Matrizen

Der Begriff Algebra kommt aus dem Arabischen und bedeutet so viel wie: "das Zusammenfügen gebrochener Teile".

Der Begriff Arithmetik kommt aus dem Griechischen und bedeutet Zahl. In der Arithmetik wird das Rechnen mit Zahlen befasst. Zum Beispiel: Grundrechenarten, Rechengesetze, etc.

Finales Algebra Quiz

Frage

Was ist die 1. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 2. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 3. binomische Formel?

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Antwort

(a + b) * (a – b) = a² – b²

Frage anzeigen

Frage

Wende die 1. binomische Formel an: (3x + 4)²


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Antwort

(3x + 4)²
= (3x)² + 2 ⋅ 3x ⋅ 4 + 42 

= 9x² + 24x + 16

Frage anzeigen

Frage

Wende die 2. binomische Formel an: (y-2)²

Antwort anzeigen

Antwort

(y – 2)²
= y² – 2 ⋅ y ⋅ 2 + 2²
= y² – 4y + 4

Frage anzeigen

Frage

Wende die 3. binomische Formel an: (4x + 5) * (4x - 5)

Antwort anzeigen

Antwort

(4x + 5) ⋅ (4x – 5) 

= (4x)² – 52

= 16x² – 25

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf.


(16 + m)²

Antwort anzeigen

Antwort

(16 + m)²
= 162 + 2 ⋅ 16 ⋅ m + m²
= 256 + 32m + m²

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf.


(s – 20)²


Antwort anzeigen

Antwort

(s – 20)²

= s² – 2 ⋅ 20 ⋅ s + 202 

= s² – 40s + 400

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammer auf


(5x + 4)²

Antwort anzeigen

Antwort

(5x + 4)²

= (5x)²  + 2 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ 4 + 4²

= 25x²  + 40x + 16

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf 


(t – 12) ⋅ (t + 12)

Antwort anzeigen

Antwort

(t – 12) ⋅ (t + 12)

= t² – 122
= t² – 144

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht?


(x + 3)² = 2x + 6x + 9

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: (x + 3)² = x² + 6x + 9

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht? 


(2x – 6)² = 4x² + 12x + 36

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: (2x – 6)² = 4x² - 12x + 36

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht? 


36 + 48a + 16a² = (6 + 4a²)

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: 36 + 48a – 16a² = (6 + 4a)²

Frage anzeigen

Frage

Forme die Terme zu Klammertermen um


4x² + 4x + 1

Antwort anzeigen

Antwort

4x² + 4x + 1 

= (2x + 1)²

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


s² – 4


Antwort anzeigen

Antwort

s² – 4 

= (s + 2)*(s – 2)

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


0,04n²– 0,4n + n2

Antwort anzeigen

Antwort

0,04n² – 0,4n + n2
= (0,2n – n)²

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


16 – 8b + b²

Antwort anzeigen

Antwort

16 – 8b + b²

= (4 – b)²

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt unser Zahlensystem? 


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Antwort

Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind natürliche Zahlen? 

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Antwort

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

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Antwort

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Betrag einer Zahl? 

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Antwort

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

Frage anzeigen

Frage

Wann entstehen Brüche? 

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Antwort

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

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Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

Frage anzeigen

Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

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Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

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Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Was hat jede Zahl?

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Antwort

Jede natürliche Zahl hat eine bestimmte Anzahl von Teilern, d. h. Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Teilermenge einer Zahl? 

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Antwort

Sämtliche Teiler einer natürlichen Zahl n bilden die endliche Teilermenge Tn.


Tn enthält stets die Teiler 1 und n, die deshalb auch als uneigentliche Teiler bezeichnet werden.

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Frage

Was ist die Teilermenge von 16?

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Antwort

T = {1; 2; 4; 8; 16}

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge einer Zahl?

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Antwort

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n, die Vielfachenmenge Vn, ist im Gegensatz zur Teilermenge Tn eine unendliche Menge


Vn = (n; 2 ∙ n; 3 ∙ n; …)

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge von 3?

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Antwort

V3 = {3; 6; 9; 12; 15; …}

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Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler? 

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Antwort

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18?

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Antwort

T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 

ggT(12; 18) = 6

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

Antwort anzeigen

Antwort

V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} 

V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} 

kgV(12; 18) = 36

Frage anzeigen

Frage

Welche Endstellenregeln gibt es?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern der Zahl 00 sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
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Frage

Ist die Zahl 916 durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar?


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Antwort

Die Zahl 916 ist durch 2 teilbar, weil ihre Endziffer gerade ist. 


Sie ist auch durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern (16) durch 4 teilbar sind. 


916 ist aber nicht durch 5 bzw. 10 teilbar, weil die Zahl weder auf 0 noch auf 5 endet.

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Frage

Was ist die Quersummenregel?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
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Frage

Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl?

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Antwort

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern der Zahl.

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Frage

ist die Zahl 2154 durch 3 und 9 teilbar? 

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Antwort

Quersumme = 2 + 1 + 5 + 4 = 12


Die Quersumme der Zahl und damit auch die Zahl selbst ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.

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Frage

Wann ist eine Teilbarkeit durch 6 gegeben?

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Antwort

Die Teilbarkeit durch 6 = 2 ∙ 3 ergibt sich, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. 


Eine natürliche Zahl ist also durch 6 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

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Frage

Was sind Primzahlen? 

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Antwort

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.


Die Zahl 1 hat nur einen Teiler, daher ist 1 keine Primzahl. Die kleinste und gleichzeitig die einzige gerade Primzahl ist 2.

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Frage

Welche Regeln gelten für römische Zahlzeichen? 

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Antwort

  • Bei absteigenden Werten der Zahlzeichen von links nach rechts werden die Werte addiert
  • Steht ein Zahlzeichen mit geringerem Wert links von einem Zeichen mit höherem Wert, wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
  • Es werden höchstens drei gleiche Hauptzeichen hinter- einander notiert.
  • Nebenzeichen werden nicht wiederholt.
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Frage

Berechne die römische Ziffern: XI 

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Antwort

XI = 10 + 1 = 11

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Frage

Berechne die römische Ziffern: IX

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Antwort

IX = 10 - 1 = 9

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Frage

Berechne die römische Ziffern: LXXXVIII

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Antwort

LXXXVIII = 50 + 10 +10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88

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Frage

Berechne die römische Ziffern: XCIX

Antwort anzeigen

Antwort

XCIX = (100 - 10) + (10 -1) = 90 + 9 = 99

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Frage

Berechne die römische Ziffern: MCDXIX

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Antwort

MCDXIX = 1000 +(500 - 100) + 10 + (10-1) = 1419

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Frage

Wieso kann es sinnvoll sein Werte zu runden? 

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Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. 


In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

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Frage

Wann wird abgerundet? 

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Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle bleibt stehen.

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Frage

Wann wird aufgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle wird um 1 erhöht.

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