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Algebra

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Algebra

Die Algebra beschreibt ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es um die Lehre von Zahlen, Rechenregeln, Terme, Gleichungen und Ungleichungen geht.

Die weiteren drei großen Teilgebiete der Mathematik, die in der Schule behandelt werden, sind die Analysis, die Geometrie und die Stochastik.

In dieser Erklärung wirst Du erfahren, welche Themen die Algebra beinhaltet.

Welche Themen gehören zur Algebra?

Mengenlehre

In der Mengenlehre werden Zahlen zu verschiedenen Gruppen, den Mengen, zusammengefasst.

\[{2; 3; 4} \in\mathbb{N}\]

Die Zahlen 2, 3 und 4 sind zum Beispiel Elemente (\(\in\)) der Menge der Natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\).

Die wichtigsten Themen und Hintergründe findest Du in diesen Erklärungen:

Zahlenlehre

In der Zahlenlehre erfährst Du näheres über Zahlen an sich. Genauer geht es um ihre Darstellungsformen, den Wert der Zahlen und wichtige Grundlagen im Zusammenhang mit Ziffern. Die Zahlenlehre setzt sich unter anderem mit diesen Themen auseinander:

Grundrechenarten

Um jetzt mit Zahlen rechnen zu können, benötigst Du die sogenannten Grundrechenarten. Dabei können Zahlen zusammengezählt werden (\(1+1=2\)), voneinander abgezogen werden (\(2-1=1\)), vervielfacht werden (\(2\cdot2=4\)) oder auch geteilt werden (\(4:2=2\)).

Um näheres über die Rechenarten zu erfahren und das Rechnen auch selbst einzuüben, sieh Dir die folgenden Erklärungen an:

Rechnen mit ganzen Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen enthält alle negativen und positiven ganzzahligen Ziffern.

Sie begegnen Dir im Alltag immer wieder, etwa in einem Parkhaus mit den Parkdecks \(-4\) bis \(11\) oder auf einem Thermometer.

In den aufgelisteten Erklärungen findest Du weitere Hintergründe zu diesem Thema.

  • Addieren ganzer Zahlen
  • Subtrahieren ganzer Zahlen
  • Multiplizieren ganzer Zahlen
  • Dividieren ganzer Zahlen
  • Gauß'sche Summenformel
  • Der Euklidische Algorithmus

Brüche und Dezimalzahlen

Brüche und Dezimalzahlen stellen immer einen Anteil von etwas dar, etwa ein Stück eines ganzen Kuchens.

Ein Bruch wird mithilfe eines Bruchstriches dargestellt, der den Zähler vom Nenner trennt. Ein halber Kuchen wird also so geschrieben: \[\frac{\textcolor{#00dcb4}{1}}{\textcolor{#fa3273}{2}}\,\text{[Kuchen]}\]

Eine Dezimalzahl beinhaltet immer ein Komma, um Anteile darzustellen. Isst Du also einen ganzen und dazu noch einen weiteren halben Kuchen, kann das auf diese Weise aufgeschrieben werden: \[1\textcolor{#1478c8}{,}5\, \text{[Kuchen]}\]

Für mehr Informationen kannst Du bei diesen Erklärungen vorbeischauen:

Proportionalität

Wachsen oder schrumpfen zwei Zahlen gleichermaßen, dann sind sie proportional zueinander.

Legt ein Huhn beispielsweise zwei Eier am Tag, so lassen sich die Tage und die bereits gelegten Eier einander zuordnen (siehe Tabelle).

Tag\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)\(5\)
Eieranzahl\(2\)\((2\cdot 2=)\,4\)\((3\cdot 2=)\,6\)810

Weitere Beispiele und wichtige Aspekte findest Du in diesen Erklärungen.

Prozentrechnung

Prozente geben Anteile am Ganzen an. Genauer wird ein Prozent folgendermaßen festgelegt: \[1\%=\frac{1}{100}\]

Ein Kleidungsstück besteht zum Beispiel zu \(90\%\) aus Baumwolle und beim Supermarkt gibt es \(30\%\) auf Ware im Angebot.

Um nun mit Prozenten zu rechnen und eigene Aufgaben zu lösen, sollten Dir diese Themen ein Begriff sein:

Rechnen mit komplexen Zahlen

Um auch aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen zu können, werden die komplexen Zahlen verwendet.

Daraus ergibt sich diese Definition einer komplexen Zahl \(i\): \begin{align} i&=\sqrt{-1} \\ i^2&=-1\end{align}

Näheres zu der Zahlenmenge der komplexen Zahlen erfährst Du in den unten genannten Erklärungen.

  • Darstellung komplexer Zahlen in Polarform
  • Rechnen mit komplexen Zahlen in Normalform
  • Rechnen mit komplexen Zahlen in Polarform
  • Exponentialform

Terme und Termumformungen

Ein Term ist ein mathematischer Rechenausdruck, der aus Zahlen, Variablen und sinnvoll verknüpften Rechenzeichen besteht und keine Relationszeichen enthält.

\[5a-3c+7-a\]

Hier lernst Du, wie Du Terme aufstellen, strukturieren und berechnen kannst:

Gleichungen

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, welche durch ein Gleichheitszeichen (\(=\)) voneinander getrennt sind.

\begin{align}\textcolor{#fa3273}{x}+2&=4\\ \textcolor{#fa3273}{x}&=\textcolor{#fa3273}{2}\end{align}

Damit auch Du bald solche Gleichungen lösen kannst, helfen Dir die Erklärungen zu den folgenden Themen.

Ungleichungen

Bei einer Ungleichung sind zwei Terme durch ein "Größer" (\(>\)) - oder "Kleiner"(\(<\))-Zeichen voneinander getrennt. Eine der beiden Seiten hat also einen größeren beziehungsweise kleineren Wert als die andere.

Dein Lehrer erzählt Dir, dass Deine Mathenote besser als eine 3 ist. Dies kannst Du mithilfe einer Ungleichung darstellen.

\[x<3\]

Für weitere Informationen zu den Ungleichungen bist Du bei diesen Erklärungen genau richtig.

  • Grundlagen Ungleichungen
  • Äquivalenzumformungen in Ungleichungen
  • Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen
  • Systeme von linearen Ungleichungen mit zwei Variablen

Größen und Einheiten umrechnen

Eine Größe beschreibt eine messbare Eigenschaft eines Objektes und besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit.

Algebra Größen und Einheiten StudySmarterAbb. 3 - Größen und Einheiten.

Im Alltag begegnen Dir immer wieder Geldeinheiten, Längeneinheiten, Gewichtseinheiten und Zeiteinheiten, mit denen Du umgehen können solltest.

Diese Erklärungen helfen Dir dabei.

Matrizen

Grundsätzlich sind Matrizen rechteckige Anordnungen von Elementen (Zahlen und/oder Variablen). Dabei hat eine Matrix definitionsgemäß m Zeilen und n Spalten.

\begin{equation}A_{m,n} = \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots &a_{m,n} \end{pmatrix} \end{equation}

Weitere Grundlagen zu diesem Thema beinhalten die folgenden Erklärungen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Algebra

Folgende Themen gehören zu Algebra: 


  • Mengenlehre
  • Zahlenlehre
  • Grundrechenarten
  • Rechnen mit ganten Zahlen
  • Brüche und Dezimalzahlen
  • Proportionalität
  • Prozentrechnung
  • Rechnen mit komplexen Zahlen
  • Terme und Termumformungen
  • Gleichungen
  • Ungleichungen
  • Größen und Einheiten umrechnen
  • Matrizen

Der Begriff Algebra kommt aus dem Arabischen und bedeutet so viel wie: "das Zusammenfügen gebrochener Teile".

Der Begriff Arithmetik kommt aus dem Griechischen und bedeutet Zahl. In der Arithmetik wird das Rechnen mit Zahlen befasst. Zum Beispiel: Grundrechenarten, Rechengesetze, etc.

Finales Algebra Quiz

Frage

Wie heißt unser Zahlensystem? 


Antwort anzeigen

Antwort

Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind natürliche Zahlen? 

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Antwort

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

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Frage

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

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Frage

Was ist der Betrag einer Zahl? 

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Antwort

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

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Frage

Wann entstehen Brüche? 

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Antwort

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

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Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

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Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

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Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

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Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Was hat jede Zahl?

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Antwort

Jede natürliche Zahl hat eine bestimmte Anzahl von Teilern, d. h. Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.

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Frage

Was ist die Teilermenge einer Zahl? 

Antwort anzeigen

Antwort

Sämtliche Teiler einer natürlichen Zahl n bilden die endliche Teilermenge Tn.


Tn enthält stets die Teiler 1 und n, die deshalb auch als uneigentliche Teiler bezeichnet werden.

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Frage

Was ist die Teilermenge von 16?

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Antwort

T = {1; 2; 4; 8; 16}

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge einer Zahl?

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Antwort

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n, die Vielfachenmenge Vn, ist im Gegensatz zur Teilermenge Tn eine unendliche Menge


Vn = (n; 2 ∙ n; 3 ∙ n; …)

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge von 3?

Antwort anzeigen

Antwort

V3 = {3; 6; 9; 12; 15; …}

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Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18?

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Antwort

T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 

ggT(12; 18) = 6

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Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

Antwort anzeigen

Antwort

V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} 

V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} 

kgV(12; 18) = 36

Frage anzeigen

Frage

Welche Endstellenregeln gibt es?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern der Zahl 00 sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.

Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 916 durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahl 916 ist durch 2 teilbar, weil ihre Endziffer gerade ist. 


Sie ist auch durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern (16) durch 4 teilbar sind. 


916 ist aber nicht durch 5 bzw. 10 teilbar, weil die Zahl weder auf 0 noch auf 5 endet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Quersummenregel?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl?

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Antwort

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern der Zahl.

Frage anzeigen

Frage

ist die Zahl 2154 durch 3 und 9 teilbar? 

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Antwort

Quersumme = 2 + 1 + 5 + 4 = 12


Die Quersumme der Zahl und damit auch die Zahl selbst ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.

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Frage

Wann ist eine Teilbarkeit durch 6 gegeben?

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Antwort

Die Teilbarkeit durch 6 = 2 ∙ 3 ergibt sich, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. 


Eine natürliche Zahl ist also durch 6 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Primzahlen? 

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Antwort

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.


Die Zahl 1 hat nur einen Teiler, daher ist 1 keine Primzahl. Die kleinste und gleichzeitig die einzige gerade Primzahl ist 2.

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Frage

Welche Regeln gelten für römische Zahlzeichen? 

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Antwort

  • Bei absteigenden Werten der Zahlzeichen von links nach rechts werden die Werte addiert
  • Steht ein Zahlzeichen mit geringerem Wert links von einem Zeichen mit höherem Wert, wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
  • Es werden höchstens drei gleiche Hauptzeichen hinter- einander notiert.
  • Nebenzeichen werden nicht wiederholt.

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Frage

Berechne die römische Ziffern: XI 

Antwort anzeigen

Antwort

XI = 10 + 1 = 11

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: IX

Antwort anzeigen

Antwort

IX = 10 - 1 = 9

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Frage

Berechne die römische Ziffern: LXXXVIII

Antwort anzeigen

Antwort

LXXXVIII = 50 + 10 +10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: XCIX

Antwort anzeigen

Antwort

XCIX = (100 - 10) + (10 -1) = 90 + 9 = 99

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: MCDXIX

Antwort anzeigen

Antwort

MCDXIX = 1000 +(500 - 100) + 10 + (10-1) = 1419

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Frage

Wieso kann es sinnvoll sein Werte zu runden? 

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Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. 


In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

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Frage

Wann wird abgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle bleibt stehen.

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Frage

Wann wird aufgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle wird um 1 erhöht.

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Frage

Was ist eine quadratische Gleichung?

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Antwort

Eine Gleichung, in der die gesuchte Größe quadratisch vorkommt, nennt sich quadratische Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man eine quadratische Gleichung in der Normalform mit der quadratischen Ergänzung lösen? 

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Antwort

Die Normalform wird dabei so umgewandelt, dass eine binomische Formel entsteht, aus der man die Wurzel ziehen kann.

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Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 2 = 14 

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Antwort

x^2 - 2 = 14
x^2 = 16
x = +/- 4

x1 = 4
x2 = -4


Reinquadratische Gleichungen können einfach nach x aufgelöst werden.


 Achte beim Wurzelziehen darauf, dass sowohl 4^2 als auch (– 4)^2 als Ergebnis 16 haben. Deswegen muss es zwei Lösungen geben

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Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 5x - 6 = 0 mit der quadratischen Ergänzung

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Antwort

x^2 - 5x - 6 = 0
(x^2 - 2 * 2,5 x +2,5^2) - 2,5^2 - 6 = 0 

(x - 2,5)^2 - 12,25 = 0
(x - 2,5)^2 = 12,25
(x - 2,5)^2 = +/- 3,5 


x1 = 6
x2 = -1


Damit man die 2. binomische Formel erhält, muss man 2,52 addieren. Um die Gleichung insgesamt nicht zu verändern, muss man 2,52 auch wieder subtrahieren.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


x² = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 = 6,25
x = +/- 2,5


x1 = 2,5

x2 = -2,5

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


y² = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

y = 0 

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


z² + 5 = 2
z² = -3


Antwort anzeigen

Antwort

Keine Lösung. Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen.


Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


9a² - 0,25 = 20

Antwort anzeigen

Antwort

9a² - 0,25 = 20

9 a² = 20,25
a² = 9/4
a = +/- 3*/2

a1 = 3/2
a2 = -3/2

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Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² + 6x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x²+ 6x = 0
(x² + 2*3x + 3²) - 3² = 0
(x+3)² = 9
x + 3 = +/- 3

x1 = 0
x2 = -6

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Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² - 4x + 3 = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x² - 4x + 3 = 0
(x² - 2*2x + 2²) - 2² + 3 = 0
(x - 2)² - 1 = 0
(x - 2)² = 1
x - 2 = +/- 1

x1 = 3
x2 = 1

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Frage

Wozu nutzt man den Satz von Vieta? 

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Antwort

Um die Lösung für eine quadratische Gleichung zu überprüfen

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Frage

Was ist der Satz von Vieta?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 gilt der Satz von Vieta:


x1 + x2 = -p
x1*x2 = q 

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Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

x * (x  - 0,5) = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x * (x - 0,5) = 0
x1 = 0 

x2 - 0,5 = 0

x2 = 0,5

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

(x-2) * (x+2) = 0  

Antwort anzeigen

Antwort

(x-2) * (x+2) = 0
x1 - 2 = 0 -> x1 = 2
x2 + 2 = 0 -> x2 = -2

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.


2x² + 0,5x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

2x² * 0,5x = 0
2x (x + 0,25) = 0 

x1 = 0 

x2 + 0,25 = 0 

x2 = -0,25

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x - 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)^2 + 81 = 162 


D > 0: zwei Lösungen

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x + 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)² – 81 = 0 


D = 0: eine Lösung

Frage anzeigen

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