Die Algebra beschreibt ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es um die Lehre von Zahlen, Rechenregeln, Terme, Gleichungen und Ungleichungen geht.
Die weiteren drei großen Teilgebiete der Mathematik, die in der Schule behandelt werden, sind die Analysis, die Geometrie und die Stochastik.
In dieser Erklärung wirst Du erfahren, welche Themen die Algebra beinhaltet.
Welche Themen gehören zur Algebra?
Mengenlehre
In der Mengenlehre werden Zahlen zu verschiedenen Gruppen, den Mengen, zusammengefasst.
\[{2; 3; 4} \in\mathbb{N}\]
Die Zahlen 2, 3 und 4 sind zum Beispiel Elemente (\(\in\)) der Menge der Natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\).
Die wichtigsten Themen und Hintergründe findest Du in diesen Erklärungen:
Zahlenlehre
In der Zahlenlehre erfährst Du näheres über Zahlen an sich. Genauer geht es um ihre Darstellungsformen, den Wert der Zahlen und wichtige Grundlagen im Zusammenhang mit Ziffern. Die Zahlenlehre setzt sich unter anderem mit diesen Themen auseinander:
Grundrechenarten
Um jetzt mit Zahlen rechnen zu können, benötigst Du die sogenannten Grundrechenarten. Dabei können Zahlen zusammengezählt werden (\(1+1=2\)), voneinander abgezogen werden (\(2-1=1\)), vervielfacht werden (\(2\cdot2=4\)) oder auch geteilt werden (\(4:2=2\)).
Um näheres über die Rechenarten zu erfahren und das Rechnen auch selbst einzuüben, sieh Dir die folgenden Erklärungen an:
Rechnen mit ganzen Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen enthält alle negativen und positiven ganzzahligen Ziffern.
Sie begegnen Dir im Alltag immer wieder, etwa in einem Parkhaus mit den Parkdecks \(-4\) bis \(11\) oder auf einem Thermometer.
In den aufgelisteten Erklärungen findest Du weitere Hintergründe zu diesem Thema.
- Addieren ganzer Zahlen
- Subtrahieren ganzer Zahlen
- Multiplizieren ganzer Zahlen
- Dividieren ganzer Zahlen
- Gauß'sche Summenformel
- Der Euklidische Algorithmus
Brüche und Dezimalzahlen
Brüche und Dezimalzahlen stellen immer einen Anteil von etwas dar, etwa ein Stück eines ganzen Kuchens.
Ein Bruch wird mithilfe eines Bruchstriches dargestellt, der den Zähler vom Nenner trennt. Ein halber Kuchen wird also so geschrieben: \[\frac{\textcolor{#00dcb4}{1}}{\textcolor{#fa3273}{2}}\,\text{[Kuchen]}\]
Eine Dezimalzahl beinhaltet immer ein Komma, um Anteile darzustellen. Isst Du also einen ganzen und dazu noch einen weiteren halben Kuchen, kann das auf diese Weise aufgeschrieben werden: \[1\textcolor{#1478c8}{,}5\, \text{[Kuchen]}\]
Für mehr Informationen kannst Du bei diesen Erklärungen vorbeischauen:
Proportionalität
Wachsen oder schrumpfen zwei Zahlen gleichermaßen, dann sind sie proportional zueinander.
Legt ein Huhn beispielsweise zwei Eier am Tag, so lassen sich die Tage und die bereits gelegten Eier einander zuordnen (siehe Tabelle).
| Tag | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| Eieranzahl | \(2\) | \((2\cdot 2=)\,4\) | \((3\cdot 2=)\,6\) | 8 | 10 |
Weitere Beispiele und wichtige Aspekte findest Du in diesen Erklärungen.
Prozentrechnung
Prozente geben Anteile am Ganzen an. Genauer wird ein Prozent folgendermaßen festgelegt: \[1\%=\frac{1}{100}\]
Ein Kleidungsstück besteht zum Beispiel zu \(90\%\) aus Baumwolle und beim Supermarkt gibt es \(30\%\) auf Ware im Angebot.
Um nun mit Prozenten zu rechnen und eigene Aufgaben zu lösen, sollten Dir diese Themen ein Begriff sein:
Rechnen mit komplexen Zahlen
Um auch aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen zu können, werden die komplexen Zahlen verwendet.
Daraus ergibt sich diese Definition einer komplexen Zahl \(i\): \begin{align} i&=\sqrt{-1} \\ i^2&=-1\end{align}
Näheres zu der Zahlenmenge der komplexen Zahlen erfährst Du in den unten genannten Erklärungen.
- Darstellung komplexer Zahlen in Polarform
- Rechnen mit komplexen Zahlen in Normalform
- Rechnen mit komplexen Zahlen in Polarform
- Exponentialform
Terme und Termumformungen
Ein Term ist ein mathematischer Rechenausdruck, der aus Zahlen, Variablen und sinnvoll verknüpften Rechenzeichen besteht und keine Relationszeichen enthält.
\[5a-3c+7-a\]
Hier lernst Du, wie Du Terme aufstellen, strukturieren und berechnen kannst:
Gleichungen
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, welche durch ein Gleichheitszeichen (\(=\)) voneinander getrennt sind.
\begin{align}\textcolor{#fa3273}{x}+2&=4\\ \textcolor{#fa3273}{x}&=\textcolor{#fa3273}{2}\end{align}
Damit auch Du bald solche Gleichungen lösen kannst, helfen Dir die Erklärungen zu den folgenden Themen.
Bei einer Ungleichung sind zwei Terme durch ein "Größer" (\(>\)) - oder "Kleiner"(\(<\))-Zeichen voneinander getrennt. Eine der beiden Seiten hat also einen größeren beziehungsweise kleineren Wert als die andere.
Dein Lehrer erzählt Dir, dass Deine Mathenote besser als eine 3 ist. Dies kannst Du mithilfe einer Ungleichung darstellen.
\[x<3\]
Für weitere Informationen zu den Ungleichungen bist Du bei diesen Erklärungen genau richtig.
- Grundlagen Ungleichungen
- Äquivalenzumformungen in Ungleichungen
- Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen
- Systeme von linearen Ungleichungen mit zwei Variablen
Größen und Einheiten umrechnen
Eine Größe beschreibt eine messbare Eigenschaft eines Objektes und besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit.
Abb. 3 - Größen und Einheiten.
Im Alltag begegnen Dir immer wieder Geldeinheiten, Längeneinheiten, Gewichtseinheiten und Zeiteinheiten, mit denen Du umgehen können solltest.
Diese Erklärungen helfen Dir dabei.
Matrizen
Grundsätzlich sind Matrizen rechteckige Anordnungen von Elementen (Zahlen und/oder Variablen). Dabei hat eine Matrix definitionsgemäß m Zeilen und n Spalten.
\begin{equation}A_{m,n} = \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots &a_{m,n} \end{pmatrix} \end{equation}
Weitere Grundlagen zu diesem Thema beinhalten die folgenden Erklärungen.
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