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Algebra

Im Folgenden erhältst du einen fundierten Überblick über die Algebra, einem zentralen Teilgebiet der Mathematik. Dieser Artikel beleuchtet die Grundlagen der Algebra, gibt eine tiefergehende Einführung in die lineare Algebra und erläutert den bedeutenden Fundamentalsatz der Algebra. Darüber hinaus wird die Anwendung dieser Themen durch praxisnahe Beispiele veranschaulicht und verdeutlicht, warum ein Verständnis der Algebra unerlässlich für das Studium von Mathematik und verwandten Disziplinen ist.

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Algebra

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Im Folgenden erhältst du einen fundierten Überblick über die Algebra, einem zentralen Teilgebiet der Mathematik. Dieser Artikel beleuchtet die Grundlagen der Algebra, gibt eine tiefergehende Einführung in die lineare Algebra und erläutert den bedeutenden Fundamentalsatz der Algebra. Darüber hinaus wird die Anwendung dieser Themen durch praxisnahe Beispiele veranschaulicht und verdeutlicht, warum ein Verständnis der Algebra unerlässlich für das Studium von Mathematik und verwandten Disziplinen ist.

Einführung in die Algebra

Jeder Student der Mathematik und der Wissenschaft im Allgemeinen, muss auf seinem Weg den Teil der Mathematik meistern, der als Algebra bekannt ist. Algebra ist in der Tat einer der umfangreichsten und fundamentalesten Bereiche der Mathematik. Lasse uns tiefer in dieses Thema eintauchen und seine Definition, Beispiele und einige der wichtigsten Regeln verstehen.

Definition Algebra - Die Grundlagen

Algebra ist der Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften von Zahlen und den Operationen, die darauf ausgeführt werden, beschäftigt. Es umfasst Bereiche wie lineare Algebra, abstrakte Algebra, universelle Algebra und mehr. Die im Allgemeinen verwendete Algebra verwendet mathematische Symbole und Regeln für die Manipulation dieser Symbole.

In der Algebra arbeitest du mit unbekannten Zahlen, normalerweise in Form von Variablen dargestellt, um Gleichungen und Ungleichungen zu lösen. Dabei verwendest du algebraische Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzieren.

Als Vertiefung in die Materie solltest du wissen, dass Algebra im Alltag häufig genutzt wird. Beispiele dafür sind das Ausrechnen von Distanzen, das Ermitteln von Kosten und Preisen, das Planen von Zeitplänen und vieles mehr. Es gibt kaum ein Gebiet des Lebens, in dem du nicht direkt oder indirekt mit Algebra in Berührung kommst.

Algebra an Beispielen erklärt

Betrachten wir ein einfaches Beispiel in der Algebra. Angenommen, du hast eine Gleichung wie \(x+5=10\). In diesem Fall ist \(x\) die Variable und die Aufgabe in der Algebra wäre es, den Wert für \(x\) zu finden, der die Gleichung korrekt macht. Durch Anwenden der algebraischen Operation der Subtraktion auf beide Seiten der Gleichung kannst du \(x=5\) lösen.

Ein bisschen komplexer wird es mit quadratischen Gleichungen. Eine typische quadratische Gleichung könnte so aussehen: \(ax^{2}+bx+c=0\). Um diese Art von Gleichungen zu lösen, würdest du den Satz von Pythagoras oder die quadratische Formel anwenden.

Wichtige Algebra Regeln

Beim Studium der Algebra begegnest du einer Vielzahl von Gesetzen und Regeln. Einige dieser Gesetze sind allgemein bekannt und andere sind spezieller. Hier sind einige der grundlegendsten und wichtigsten algebraischen Regeln:

  • Assoziativgesetz: \(a+(b+c)=(a+b)+c\)
  • Kommutativgesetz: \(a+b=b+a\)
  • Distributivgesetz: \(a*(b+c)=ab+ac\)

Zu den fortgeschrittenen Regeln gehört die binomische Formel, die besagt, dass \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\) ist. Und die Regel der Quadratwurzel \(\sqrt{a * b} = \sqrt{a}\sqrt{b}\)

Bevor du die Algebra beherrschst, musst du diese Regeln und Gesetze kennenlernen und verstehen, wie sie anzuwenden sind. Wenn du beispielsweise die Gleichung ...

\(2x+(3x+4)=20\)
hast, könntest du zuerst das Assoziativgesetz anwenden, um die inneren Klammern zu entfernen und dann das Kommutativgesetz, um die Terme zu ordnen, bis du eine Gleichung hast, die einfacher zu lösen ist:
\((2x+3x)+4=20\)
\(5x+4=20\)
\(5x=16\)
\(x=\frac{16}{5}\)

Tiefer Einblick in die lineare Algebra

Nachdem du nun ein grundlegendes Verständnis von Algebra hast, lass uns einen Schritt weiter gehen und den speziellen Bereich der linearen Algebra erkunden. Die lineare Algebra ist ein wichtiger Zweig der Mathematik und hat eine Vielzahl von Anwendungen in Bereichen wie Technik, Forschung, Wirtschaft und mehr.

Was ist lineare Algebra?

Lineare Algebra ist der Teilbereich der Algebra, der sich vor allem mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen Räumen beschäftigt. Sie umfasst das Studium von Konzepten wie Matrizen, Vektoren, Eigenwerte, lineare Gleichungssysteme und vieles mehr.

Ein wichtiger Unterschied zwischen elementarer Algebra und linearer Algebra ist, dass du in der linearen Algebra mit Strukturen arbeitest, die aus einer Menge von Elementen bestehen (wie Vektoren oder Matrizen), während du in der elementaren Algebra normalerweise mit einzelnen Zahlen oder Variablen umgehst.

Als weiterführende Information: Im Kern der linearen Algebra steht das Verständnis von Vektorräumen. Vektorräume sind mathematische Strukturen, die durch Addition und Skalarmultiplikation definiert werden. Sie sind ein fundamentales Konzept in der Mathematik und Physik und finden auch in der Informatik breite Anwendung, etwa in der Computergrafik, in der Verarbeitung von Signalen und Daten und in Künstlicher Intelligenz.

Lineare Algebra Übersicht Themen

In der linearen Algebra befasst du dich mit einer Vielzahl von Themen und Konzepten. Hier sind einige der wichtigsten, rund um die sich die meiste Arbeit in diesem Fachbereich dreht:

  • Vektoren: Vektoren sind die grundlegenden Bausteine in der linearen Algebra. Sie werden verwendet, um Größen darzustellen, die sowohl Richtung als auch Betrag haben, wie Geschwindigkeit oder Kraft.
  • Matrizen: Eine Matrix ist ein rechteckiges Array von Zahlen, Symbolen oder Ausdrücken, das in Zeilen und Spalten angeordnet ist. Matrizen spielen eine zentrale Rolle in der linearen Algebra und werden dazu verwendet, Vektoren und lineare Transformationen zu repräsentieren.
  • Lineare Transformationen: Eine lineare Transformation ist eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen, die die Operationen der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation erhält.
  • Lineare Gleichungssysteme: Diese stellen eine Reihe von linearen Gleichungen dar, die zusammen gelöst werden müssen.
  • Eigenwerte und Eigenvektoren: Eigenwerte und Eigenvektoren sind wichtige Konzepte, die bei der Untersuchung linearer Transformationen verwendet werden.

Beispielhafte Anwendung der linearen Algebra

Jetzt, wo du einige der wichtigsten Konzepte und Themen der linearen Algebra kennst, lass uns betrachten, wie sie in der Praxis angewendet werden können. Ein gutes Beispiel dafür ist die Verwendung von Matrizen in der Computergrafik. Wenn du ein 3D-Modell auf deinem Computerbildschirm siehst, erfolgt die Darstellung dieses Modells durch Anwendung von Matrizen - ein grundlegendes Konzept der linearen Algebra.

Betrachten wir als konkretes Beispiel eine Identitätsmatrix. Eine Identitätsmatrix ist definiert als eine Quadratmatrix (eine Matrix mit gleicher Anzahl an Zeilen und Spalten), bei der alle Einträge der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben und alle anderen Einträge den Wert 0. Betrachten wir die folgende \(3x3\)-Identitätsmatrix:

100
010
001

Jede Matrix, die mit dieser Identitätsmatrix multipliziert wird, bleibt unverändert. In der Computergrafik könnten wir die Identitätsmatrix als Transformation benutzen, die ein Objekt unverändert lässt. Aber durch Ändern der Werte in der Matrix können wir Transformationen erstellen, die ein Objekt drehen, skalieren oder verschieben - all das sind grundlegende Operationen in der Computergrafik.

Der Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra bildet den Eckpfeiler in der Theorie der algebraischen Gleichungen. Er wurde ursprünglich von Carl Friedrich Gauss formuliert und ist von grundlegender Bedeutung in der algebraischen und komplexen Analyse. Du wirst sehen, dass diese Theorie für dein Verständnis verschiedener Bereiche der Mathematik, wie Polynome, wichtig ist.

Fundamentalsatz der Algebra - Definition und Erklärung

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein Polynom vom Grad \(n\), mit \(n > 0\), genau \(n\) komplexe Wurzeln hat. Diese Wurzeln können sowohl real als auch nicht-redal sein, und einige der Wurzeln können gleich sein.

Was bedeutet das genau? Stell dir ein Polynom wie \(x^2 - 1\) vor. Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat dieses Polynom zwei Wurzeln. In der Tat, wenn du es löst, findest du die Wurzeln \(x = 1\) und \(x = -1\).

Was aber ist mit einem Polynom wie \(x^2 + 1\)? In den Realzahlen hat es keine Wurzeln, da keine reale Zahl, quadriert, \( -1 \) ergibt. Aber, gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra, hat es zwei komplexe Wurzeln: \( x = i\) und \(x = -i \), wobei \(i\) die imaginiäre Einheit ist, definiert durch die Gleichung \(i^2 = -1 \).

Der Fundamentalsatz der Algebra gibt uns also die Sicherheit, dass jedes Polynom, ganz gleich wie seine Koeffizienten aussehen, stets eine feste Anzahl von Wurzeln hat, solange wir bereit sind, in den Bereich der komplexen Zahlen zu gehen.

Bedeutung und Anwendung des Fundamentalsatzes der Algebra

Die Bedeutung des Fundamentalsatzes der Algebra kann kaum überschätzt werden. Er stellt sicher, dass jedes Polynom vollständig durch seine Wurzeln beschrieben werden kann. Dies ist die Grundlage für viele Techniken in der algebraischen und komplexen Analysis, sowie in anderen Bereichen der Mathematik.

Im Bereich der Mathematik findest du vielfältige Anwendungen des Fundamentalsatzes der Algebra. Er spielt eine zentrale Rolle in der Lösung von Gleichungen und der Manipulation von Polynomen. Darüber hinaus wird er in der Theorie der linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen verwendet und spielt auch eine wichtige Rolle in der mathematischen Physik. In der theoretischen Informatik wird der Fundamentalsatz der Algebra verwendet, um die Komplexität von Algorithmen zur Lösung von Polynomen zu bestimmen.

Die Praxis des Fundamentalsatzes der Algebra erstreckt sich somit weit über die reine Mathematik hinaus und umfasst nahezu alle Bereiche, die erfordern, algebraische Gleichungen zu lösen oder zu manipulieren.

Zusammenfassung und Überblick über den Fundamentalsatz der Algebra

In der Funktionalanalysis erkennt man, dass der Fundamentalsatz der Algebra einen Kernpunkt in der Strukturtheorie von Ringen und Algebren bildet. Es erlaubt uns nämlich, das Wesen von Polynomen weit besser zu verstehen.

  • Es gibt Dinge wie das Nullelement in Polynomen. Ist dein Polynom gleich Null für alle x, dann sind alle seine Koeffizienten gleich Null.
  • Sowohl in der additiven als auch in der multiplikativen Gruppenstruktur gibt es nützliche Regeln. Ein Polynom vom Grad 0 ist in der multiplikativen Struktur nie das Nullelement. In der additiven Struktur schon.
  • Ein Polynom hat so viele Wurzeln, wie sein Grad angibt. Dies gilt auch dann, wenn die Wurzeln im Bereich der komplexen Zahlen liegen.

Die Analyse und das Verständnis des Fundamentalsatzes tragen erheblich zu einem umfassenden Verständnis von algebraischen Strukturen und Funktionen bei. Seine tiefgreifenden Implikationen sind in der gesamten Mathematik allgegenwärtig, von linearen Gleichungen bis hin zu komplexer Analysis und darüber hinaus.

Algebra - Das Wichtigste

  • Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften von Zahlen und den Operationen, die auf diesen ausgeführt werden, befasst.
  • In der Algebra werden mathematische Symbole und Regeln für die Manipulation dieser Symbole verwendet.
  • Die lineare Algebra ist ein spezieller Bereich der Algebra und beschäftigt sich vor allem mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen Räumen.
  • Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein Polynom vom Grad \(n\), mit \(n > 0\), genau \(n\) komplexe Wurzeln hat.
  • Die Anwendung des Fundamentalsatzes der Algebra erstreckt sich weit über die reine Mathematik hinaus und umfasst nahezu alle Bereiche, die erfordern, algebraische Gleichungen zu lösen oder zu manipulieren.
  • Polynome, Gleichungen, assoziative Regel, kommutative Regel und distributive Regel sind wichtige Themen und Regeln in der Algebra.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Algebra

Der Begriff "Algebra" stammt aus dem arabischen Ausdruck "al-jabr", was so viel wie "Wiederherstellung" oder "Ergänzung" bedeutet. Er wurde erstmals in dem Buch "Kitab al-jabr wa-al-muqabala" des persischen Mathematikers al-Chwarizmi verwendet.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede nicht-konstante Polynomgleichung in einer komplexen Variable mindestens eine komplexe Lösung hat. Dies impliziert, dass ein Polynom vom Grad n genau n Lösungen hat.

Zur Algebra gehören unter anderem Themen wie Gleichungen, Ungleichungen, Funktionen, Polynome, Vektoren, Matrizen, Gruppen, Ringe und Körper. Es werden also sowohl grundlegende operationelle Strukturen als auch komplexere Strukturen und Theorien behandelt.

Algebra ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit Symbolen und den Regeln für die Manipulation dieser Symbole befasst. Es beschäftigt sich mit den Operationen und Beziehungen, den Regeln und Strukturen sowie dem Konzept der Gleichungen, Variablen und Funktionen.

Finales Algebra Quiz

Algebra Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Wie heißt unser Zahlensystem? 


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Antwort

Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

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Frage

Was sind natürliche Zahlen? 

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Antwort

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

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Frage

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

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Antwort

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

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Frage

Was ist der Betrag einer Zahl? 

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Antwort

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

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Frage

Wann entstehen Brüche? 

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Antwort

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

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Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

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Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

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Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Was hat jede Zahl?

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Antwort

Jede natürliche Zahl hat eine bestimmte Anzahl von Teilern, d. h. Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.

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Frage

Was ist die Teilermenge einer Zahl? 

Antwort anzeigen

Antwort

Sämtliche Teiler einer natürlichen Zahl n bilden die endliche Teilermenge Tn.


Tn enthält stets die Teiler 1 und n, die deshalb auch als uneigentliche Teiler bezeichnet werden.

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Frage

Was ist die Teilermenge von 16?

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Antwort

T = {1; 2; 4; 8; 16}

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Frage

Was ist die Vielfachmenge einer Zahl?

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Antwort

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n, die Vielfachenmenge Vn, ist im Gegensatz zur Teilermenge Tn eine unendliche Menge


Vn = (n; 2 ∙ n; 3 ∙ n; …)

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Frage

Was ist die Vielfachmenge von 3?

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Antwort

V3 = {3; 6; 9; 12; 15; …}

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Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

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Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18?

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Antwort

T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 

ggT(12; 18) = 6

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Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

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Antwort

V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} 

V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} 

kgV(12; 18) = 36

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Frage

Welche Endstellenregeln gibt es?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern der Zahl 00 sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.

Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 916 durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahl 916 ist durch 2 teilbar, weil ihre Endziffer gerade ist. 


Sie ist auch durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern (16) durch 4 teilbar sind. 


916 ist aber nicht durch 5 bzw. 10 teilbar, weil die Zahl weder auf 0 noch auf 5 endet.

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Frage

Was ist die Quersummenregel?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl?

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Antwort

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern der Zahl.

Frage anzeigen

Frage

ist die Zahl 2154 durch 3 und 9 teilbar? 

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Antwort

Quersumme = 2 + 1 + 5 + 4 = 12


Die Quersumme der Zahl und damit auch die Zahl selbst ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.

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Frage

Wann ist eine Teilbarkeit durch 6 gegeben?

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Antwort

Die Teilbarkeit durch 6 = 2 ∙ 3 ergibt sich, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. 


Eine natürliche Zahl ist also durch 6 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

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Frage

Was sind Primzahlen? 

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Antwort

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.


Die Zahl 1 hat nur einen Teiler, daher ist 1 keine Primzahl. Die kleinste und gleichzeitig die einzige gerade Primzahl ist 2.

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Frage

Welche Regeln gelten für römische Zahlzeichen? 

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Antwort

  • Bei absteigenden Werten der Zahlzeichen von links nach rechts werden die Werte addiert
  • Steht ein Zahlzeichen mit geringerem Wert links von einem Zeichen mit höherem Wert, wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
  • Es werden höchstens drei gleiche Hauptzeichen hinter- einander notiert.
  • Nebenzeichen werden nicht wiederholt.

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Frage

Berechne die römische Ziffern: XI 

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Antwort

XI = 10 + 1 = 11

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Frage

Berechne die römische Ziffern: IX

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Antwort

IX = 10 - 1 = 9

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Frage

Berechne die römische Ziffern: LXXXVIII

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Antwort

LXXXVIII = 50 + 10 +10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88

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Frage

Berechne die römische Ziffern: XCIX

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Antwort

XCIX = (100 - 10) + (10 -1) = 90 + 9 = 99

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Frage

Berechne die römische Ziffern: MCDXIX

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Antwort

MCDXIX = 1000 +(500 - 100) + 10 + (10-1) = 1419

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Frage

Wieso kann es sinnvoll sein Werte zu runden? 

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Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. 


In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

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Frage

Wann wird abgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle bleibt stehen.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird aufgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle wird um 1 erhöht.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine quadratische Gleichung?

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Antwort

Eine Gleichung, in der die gesuchte Größe quadratisch vorkommt, nennt sich quadratische Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man eine quadratische Gleichung in der Normalform mit der quadratischen Ergänzung lösen? 

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Antwort

Die Normalform wird dabei so umgewandelt, dass eine binomische Formel entsteht, aus der man die Wurzel ziehen kann.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 2 = 14 

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 - 2 = 14
x^2 = 16
x = +/- 4

x1 = 4
x2 = -4


Reinquadratische Gleichungen können einfach nach x aufgelöst werden.


 Achte beim Wurzelziehen darauf, dass sowohl 4^2 als auch (– 4)^2 als Ergebnis 16 haben. Deswegen muss es zwei Lösungen geben

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Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 5x - 6 = 0 mit der quadratischen Ergänzung

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 - 5x - 6 = 0
(x^2 - 2 * 2,5 x +2,5^2) - 2,5^2 - 6 = 0 

(x - 2,5)^2 - 12,25 = 0
(x - 2,5)^2 = 12,25
(x - 2,5)^2 = +/- 3,5 


x1 = 6
x2 = -1


Damit man die 2. binomische Formel erhält, muss man 2,52 addieren. Um die Gleichung insgesamt nicht zu verändern, muss man 2,52 auch wieder subtrahieren.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


x² = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 = 6,25
x = +/- 2,5


x1 = 2,5

x2 = -2,5

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


y² = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

y = 0 

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


z² + 5 = 2
z² = -3


Antwort anzeigen

Antwort

Keine Lösung. Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen.


Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


9a² - 0,25 = 20

Antwort anzeigen

Antwort

9a² - 0,25 = 20

9 a² = 20,25
a² = 9/4
a = +/- 3*/2

a1 = 3/2
a2 = -3/2

Frage anzeigen

Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² + 6x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x²+ 6x = 0
(x² + 2*3x + 3²) - 3² = 0
(x+3)² = 9
x + 3 = +/- 3

x1 = 0
x2 = -6

Frage anzeigen

Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² - 4x + 3 = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x² - 4x + 3 = 0
(x² - 2*2x + 2²) - 2² + 3 = 0
(x - 2)² - 1 = 0
(x - 2)² = 1
x - 2 = +/- 1

x1 = 3
x2 = 1

Frage anzeigen

Frage

Wozu nutzt man den Satz von Vieta? 

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Lösung für eine quadratische Gleichung zu überprüfen

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Frage

Was ist der Satz von Vieta?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 gilt der Satz von Vieta:


x1 + x2 = -p
x1*x2 = q 

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

x * (x  - 0,5) = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x * (x - 0,5) = 0
x1 = 0 

x2 - 0,5 = 0

x2 = 0,5

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

(x-2) * (x+2) = 0  

Antwort anzeigen

Antwort

(x-2) * (x+2) = 0
x1 - 2 = 0 -> x1 = 2
x2 + 2 = 0 -> x2 = -2

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.


2x² + 0,5x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

2x² * 0,5x = 0
2x (x + 0,25) = 0 

x1 = 0 

x2 + 0,25 = 0 

x2 = -0,25

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x - 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)^2 + 81 = 162 


D > 0: zwei Lösungen

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x + 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)² – 81 = 0 


D = 0: eine Lösung

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Wie heißt unser Zahlensystem? 


Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

Was sind natürliche Zahlen? 

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

Was ist der Betrag einer Zahl? 

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

Wann entstehen Brüche? 

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

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