Gleichsetzungsverfahren

Algebra

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Schon wieder keine Ahnung, wie sich Gleichungen mit x, y und z einfach lösen lassen? Mit diesem Artikel löst du Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen mit links. Das Gleichsetzungsverfahren hilft dir dabei, um endlich ein sinnvolles Ergebnis für x und y zu ermitteln.

Gleichsetzungsverfahren Erklärung StudySmarter

Gleichsetzungsverfahren Definition

Um dich endgültig an die Berechnung von linearen Gleichungssystemen mit dem Gleichsetzungsverfahren zu machen, musst du ein paar Grundlagen auffrischen.

Sieh dir dazu am besten auch die Artikel zum Thema lineare Gleichungen, lineare Funktion, Äquivalenzumformungen und lineare Gleichungssysteme genauer an.

Gleichsetzungsverfahren Lineare Gleichungen

Wir wollen trotzdem kurz die wichtigsten Informationen zu linearen Gleichungen an dieser Stelle wiederholen.

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $a \cdot x + b = 0$ (mit nur einer Variablen) oder $a \cdot x + b \cdot y + c = 0$ (mit zwei Variablen).

Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.

Die lineare Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Gerade darstellen.

Linearen Gleichungen sind also Gleichungen, die als Variable nur ein x (oder auch jeden anderen Buchstaben) enthalten, aber kein x², x³ oder andere Variablen mit Potenzen.

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel dazu an.

Diese Gleichung ist eine typische lineare Gleichung. Sie enthält ein einfaches x (in seiner ersten Potenz) und ist somit geradlinig.

$x - 3 = 10$

Andere Gleichungen enthalten auch das x als Variable, jedoch in einer anderen Form (wie etwa $x^{2}, x^{3} o d e r \sqrt{x}$ ). Ist das x also nicht linear, sondern taucht in höheren Potenzen ( $x^{2}, x^{3}$ ) oder unter der Wurzel ( $\sqrt{x}$ ) auf, dann handelt es sich um keine linearen Gleichungen.

Eine lineare Gleichung kann auf zwei Arten aufgeschrieben werden. Man unterscheidet zwischen der Allgemeinen Form und der Normalform.

Form

Bedeutung

Allgemeine Form

a x + b = 0

Diese Form ist oft der Definitionsmaßstab (auch bei anderen Gleichungsformen).

x ist die Variable; a und b sind Platzhalter für Zahlen.

Beispiel: $3 x + 7 = 0$

Normalform

y = m x + t

Man findet diese Form vor allem als Gleichung einer linearen Funktion.

In der Normalform kommen bereits zwei Variablen vor, x und y.

m und t sind ebenfalls nur Platzhalter für Zahlen, beide stehen in der Gleichung der linearen Funktion allerdings für unterschiedliche Dinge: m ist die Steigung und t ist der y-Achsenabschnitt.

Beispiel: $y = 2 x + 5$

Gleichsetzungsverfahren lineare Funktion

Eine lineare Gleichung kann in Form einer linearen Funktion auch grafisch dargestellt werden. Sie bildet eine Gerade ab.

Hier ist die Funktion $y = 2 x - 2$ visualisiert.

Gleichsetzungsverfahren lineare Funktion StudySmarter Abbildung 1: Lineare Funktion

Grafisch ist hier eine Gerade zu sehen, an die man die Steigung $m = 2$ und den Achsenabschnitt $t = - 2$ antragen kann.

Gleichsetzungsverfahren Äquivalenzumformung

Gleichungen kann man mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer Variable auflösen.

Das bedeutet, man bringt das x allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens und den Rest auf die andere Seite. Du kannst dabei die gleiche Zahl auf beiden Seiten addieren beziehungsweise subtrahieren. Oder du multiplizierst/dividierst die gleiche Zahl außer Null beidseitig.

Unter der Äquivalenzumformung versteht man die Umwandlung einer Gleichung (oder Ungleichung) in eine andere Gleichung (oder Ungleichung), welche dieselbe Lösungsmenge hat.

Bei linearen Gleichungen sind Äquivalenzumformungen zum Beispiel Rechnungen, die du gleichzeitig auf beiden Seiten des "=" vornimmst:

Du nimmst also links des Gleichheitszeichens eine Vereinfachung vor (zum Beispiel -3x), welche du dann ganz genauso auf der rechten Seite übernehmen musst.
Diese Umformungen werden mit einem geraden Strich angezeigt, der sich hinter der Gleichung befindet.

$\begin{matrix} 2 y - 1 & = & 6 x + 3 & | + 1 \\ 2 y - 1 + 1 & = & 6 x + 3 + 1 \\ 2 y & = & 6 x + 4 & | : 2 \\ 2 y : 2 & = & (6 x + 4) : 2 \\ y & = & 3 x + 2 \end{matrix}$

Die Rechenoperation muss immer auf beiden Seiten ausgeführt werden und kann durch einen senkrechten Strich angekündigt werden.

Genauere Grundlagen zu Äquivalenzumformungen erfährst du im Artikel zur Äquivalenzumformung.

Gleichsetzungsverfahren Lineare Gleichungssysteme

Bei einem Gleichungssystem betrachtest du mehrere lineare Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten. In Bezug auf das Gleichsetzungsverfahren handelt es sich um zwei lineare Gleichungen mit genau zwei Unbekannten.

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form

$\begin{matrix} I . & a_{1} \cdot x + b_{1} & = & c_{1} \cdot y + d_{1} \\ I I . & a_{2} \cdot x + b_{2} & = & c_{2} \cdot y + d_{2} \end{matrix}$

mit den Zahlen $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}, d_{1}, d_{2} \in ℝ$ .

Ein lineares Gleichungssystem stellt also zwei lineare Gleichungen in Beziehung. Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems beinhaltet all diejenigen Paare $(x, y)$ , die gleichzeitig beide Gleichungen erfüllen.

Man kann sich lineare Gleichungssysteme grafisch vorstellen, dazu benötigt es nur ein bisschen Vorarbeit:

Die beiden Gleichungen des Gleichungssystems kannst du in die Normalform ( $y = m x + t$ ) umwandeln. In dieser Funktionsform kann man die Gleichungen einfach grafisch darstellen und bekommt eine Vorstellung von dem Gleichungssystem.

Gleichsetzungsverfahren lineares Gleichungssystem StudySmarter Abbildung 2: Lineares Gleichungssystem grafisch

Die Lösung des Gleichungssystems ist also der Schnittpunkt, den du in der Abbildung sehen kannst. Er ist das einzige Koordinatenpaar $(x, y)$ , das beide Funktionen gemeinsam haben.

Wenn du jetzt die Lösung des Gleichungssystems berechnest, mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens oder anderer Möglichkeiten, dann ermittelst du den x-Wert und den y-Wert des Schnittpunktes der zwei Funktionen.

Du weißt jetzt also, dass die zwei Geraden die Gleichungen grafisch darstellen und deren Schnittpunkt die Lösung des Gleichungssystems ist.

Gleichsetzungsverfahren lösen

Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Hilfswerkzeug, um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen zu lösen.

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, indem du beide Gleichungen nach einer Variable auflöst und die Gleichungen dann miteinander gleichsetzt.

Der Name des Gleichsetzungsverfahrens verrät dir bereits, was du tun musst: die zwei Gleichungen gleichsetzen. Welche Schritte du dabei nacheinander ausführst, erfährst du im folgenden Beispiel.

Man geht immer nach diesem Schema vor:

Wähle eine der beiden Variablen aus und löse die erste Gleichung nach dieser auf.
Löse anschließend auch die zweite Gleichung nach der ausgewählten Variable auf.
Setze die beiden (nach x oder y) aufgelösten Gleichungen gleich.
Berechne den Wert der verbliebenen Variable.
Setze den Wert der berechneten Variable in die Gleichung aus Schritt 1 oder 2 ein und löse die Gleichung für die fehlende Variable.
Probe: Setze die Werte der beiden Variablen in eine der Ausgangsgleichungen ein und überprüfe das Ergebnis. Ist es richtig, kannst du die richtige Lösung angeben. Ist es falsch, musst du die Rechnung noch einmal durchführen, um deinen Fehler zu finden.
Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an.

Anhand eines Beispiels wird das Gleichsetzungsverfahren genauer aufgezeigt.

Aufgabe 1

Dieses Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ist gegeben. Gib seine Lösungsmenge an.

$I . 4 x + 3 y = 14 I I . 2 x - y = 12$

Schritt 1: Wähle eine der beiden Variablen aus und löse die erste Gleichung nach dieser auf.

Du wählst dir die Variable x aus und stellst direkt Gleichung $I .$ danach um.

$\begin{matrix} I . & 4 x + 3 y & = & 14 & | - 3 y \\ 4 x & = & 14 - 3 y & | : 4 \\ x & = & (14 - 3 y) : 4 \\ x & = & \frac{7}{2} - \frac{3}{4} y \end{matrix}$

Schritt 2: Löse anschließend auch die zweite Gleichung nach der ausgewählten Variable auf.

Gleichung $I I .$ wird also auch noch nach x aufgelöst.

$\begin{matrix} I I . & 2 x - y & = & 12 & | + y \\ 2 x & = & 12 + y & | : 2 \\ x & = & (12 + y) : 2 \\ I I .' & x & = & 6 + \frac{1}{2} y \end{matrix}$

Schritt 3: Setze die beiden nach x aufgelösten Gleichungen gleich. Da ja beide Gleichungen nach x aufgelöst sind und x entsprechen, kannst du sie gleichsetzen.

$\frac{7}{2} - \frac{3}{4} y = 6 + \frac{1}{2} y$

Schritt 4: Berechne den Wert der verbliebenen Variable y. Löse die entstandene Gleichung also nach y auf.

$\begin{matrix} \frac{7}{2} - \frac{3}{4} y & = & 6 + \frac{1}{2} y & | - \frac{1}{2} y \\ - \frac{5}{4} y + \frac{7}{2} & = & 6 & | - \frac{7}{2} \\ - \frac{5}{4} y & = & \frac{5}{2} & | : (- \frac{5}{4}) \\ y & = & \frac{5}{2} \cdot (- \frac{4}{5}) \\ y & = & - 2 \end{matrix}$

Wichtig: Möchtest du durch einen Bruch teilen, kannst du stattdessen mit dessen Kehrbruch multiplizieren: $: (- \frac{5}{4}) = \cdot (- \frac{4}{5})$

Schritt 5: Setze den Wert der berechneten Variable y in eine der beiden Gleichungen aus Schritt 1 oder 2 ein und berechne so die fehlende Variable x.

Hier setzen $y = - 2$ in die umgeformte Gleichung II aus Schritt 2 ein, um den Wert für x zu erhalten.

$\begin{matrix} y in II' \to & x & = & 6 + \frac{1}{2} y \\ x & = & 6 + \frac{1}{2} \cdot (- 2) \\ x & = & 6 - 1 \\ x & = & 5 \end{matrix}$

Schritt 6 Probe: Setze die Werte der beiden Variablen in eine der Ausgangsgleichungen ein und überprüfe das Ergebnis. In die Ausgangsgleichung $I I .$ setzt du jetzt $x = 5$ und $y = - 2$ ein.

$\begin{matrix} I I . & 2 x - y & = & 12 \\ 2 \cdot 5 - (- 2) & = & 12 \\ 10 + 2 & = & 12 \\ 12 & = & 12 & ✅ \end{matrix}$

Die Lösung ist richtig, du hast richtig gerechnet.

Schritt 7: Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an.

$L = {(5 | - 2}$

Gleichsetzungsverfahren lösen Sonderfälle

Das Ziel des Gleichsetzungsverfahrens ist, dass du für beide Variablen einen genauen Wert herausbekommst. Dann ist das Gleichungssystem nämlich eindeutig gelöst.

Es kann jedoch auch in zwei besonderen Fällen vorkommen, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig ist. Das Gleichungssystem hat dann keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese beiden Fälle werden hier noch mal kurz näher erklärt.

Sonderfall 1: keine Lösung

Es kann vorkommen, dass ein Gleichungssystem gar keine Lösung für seine Variablen besitzt. In diesem Fall sind die beiden Graphen der Funktionen parallel, es gibt also keinen Schnittpunkt.

Gleichsetzungsverfahren Lineares Gleichungssystem ohne Lösung StudySmarter Abbildung 3: Lineares Gleichungssystem ohne Lösung

Rechnerisch kann das ganze mit dem bekannten Vorgehen gezeigt werden.

Aufgabe 2

Gesucht ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

$\begin{matrix} I . & - y - 9 & = & 3 x \\ I I . & - 3 x - y & = & 7 \end{matrix}$

Lösung

Schritt 1: Wähle eine der beiden Variablen aus und löse die erste Gleichung nach dieser auf.

Hier ist am einfachsten nach y umzustellen. Beginne mit Gleichung $I .$ .

$\begin{matrix} I . & - y - 9 & = & 3 x & | + 9 \\ - y & = & 3 x + 9 & | \cdot (- 1) \\ I .' & y & = & - 3 x - 9 \end{matrix}$

Schritt 2: Löse anschließend auch die zweite Gleichung nach der ausgewählten Variable auf.

(also $I I .$ nach y)

$\begin{matrix} I I . & - 3 x - y & = & 7 & | + 3 x \\ - y & = & 3 x + 7 & | \cdot (- 1) \\ I I .' & y & = & - 3 x - 7 \end{matrix}$

Schritt 3: Setze die beiden (nach y) aufgelösten Gleichungen gleich.

$\begin{matrix} - 3 x - 9 & = & - 3 x - 7 \\ I .' & I I .' \end{matrix}$

Schritt 4: Berechne den Wert der verbliebenen Variable x. Löse die Gleichung nach x auf.

$\begin{matrix} - 3 x - 9 & = & - 3 x - 7 & | + 3 x \\ - 9 & \neq & - 7 & ❌ \end{matrix}$

Die Gleichung kann nicht nach x aufgelöst werden, es fällt weg. Die verbliebene linke und rechte Seite stimmen nicht überein, die Gleichung ist falsch. Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat.

Schritt 5: Nun kannst du nichts mehr weiter berechnen. Gib noch die Lösungsmenge an. Da das Gleichungssystem ja keine Lösung hat, ist diese leer.

$L = \emptyset$

Sonderfall 2: unendlich viele Lösungen

Es kann außerdem vorkommen, dass ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Das ist dann der Fall, wenn die Gleichungen identisch sind und sich die Graphen in jedem Punkt überschneiden.

Gleichsetzungsverfahren Gleichungssystem unendlich viele Lösungen StudySmarter Abbildung 4: Gleichungssystem unendlich viele Lösungen

Rechnerisch kannst du diesen Sonderfall folgendermaßen bestimmen.

Aufgabe 3

Gesucht ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems

$\begin{matrix} I . & 2 x & = & y + 4 \\ I I . & 2 y + 8 & = & 4 x \end{matrix}$

Lösung

Schritt 1: Wähle eine der beiden Variablen aus und löse die erste Gleichung nach dieser auf.

Wir wählen das y und starten mit Gleichung $I .$ .

$\begin{matrix} I . & 2 x & = & y + 4 & | - 4 \\ 2 x - 4 & = & y \\ I .' & y & = & 2 x - 4 \end{matrix}$

Schritt 2: Löse anschließend auch die zweite Gleichung nach der ausgewählten Variable auf.

( $I I .$ nach y)

$\begin{matrix} I I . & 2 y + 8 & = & 4 x & | - 8 \\ 2 y & = & 4 x - 8 & | : 2 \\ I I .' & y & = & 2 x - 4 \end{matrix}$

Schritt 3: Setze die beiden (nach y) aufgelösten Gleichungen gleich.

$\begin{matrix} 2 x - 4 & = & 2 x - 4 \\ I .' & I I .' \end{matrix}$

Schritt 4: Berechne den Wert der verbliebenen Variable x. Löse dazu die Gleichung nach x auf.

$\begin{matrix} 2 x - 4 & = & 2 x - 4 & | - 2 x \\ - 4 & = & - 4 & ✅ \end{matrix}$

Auch hier ergibt sich keine Lösung für x. Allerdings geht die Gleichung auf, sie ist richtig.

Das heißt, dass das Gleichungssystem für jeden Zahlenwert aufgeht und damit unendlich viele Lösungen besitzt.

Schritt 5: Die Berechnungen sind damit abgeschlossen, du musst nur noch die Lösungsmenge angeben. In diesem Fall darfst du ja alles einsetzen, was laut Definitionsmenge erlaubt ist, denn das Gleichungssystem stimmt für jeden Wert.

$L = D$

Gleichsetzungsverfahren Übungen

Das Gelernte aus diesem Artikel kannst du jetzt anhand dieser Übungsaufgabe selbstständig überprüfen.

Aufgabe 4

Gesucht ist die Lösung des linearen Gleichungssystems:

$\begin{matrix} I . & 8 x - 5 y & = & - 7 \\ I I . & 4 x & = & 2 y - 6 \end{matrix}$

Lösung

Schritt 1: Wähle eine der beiden Variablen aus und löse die erste Gleichung nach dieser auf.

Wir entscheiden uns für das y und starten mit der Gleichung $I .$ .

$\begin{matrix} I . & 8 x - 5 y & = & - 7 & | - 8 x \\ - 5 y & = & - 8 x - 7 & | : (- 5) \\ I .' & y & = & 1, 6 x + 1, 4 \end{matrix}$

Schritt 2: Löse anschließend auch die zweite Gleichung nach der ausgewählten Variable auf.

( $I I .$ nach y)

$\begin{matrix} I I . & 4 x & = & 2 y - 6 & | + 6 \\ 4 x + 6 & = & 2 y & | : 2 \\ 2 x + 3 & = & y \\ I I .' & y & = & 2 x + 3 \end{matrix}$

Schritt 3: Setze die beiden (nach y) aufgelösten Gleichungen gleich.

$\begin{matrix} 1, 6 x + 1, 4 & = & 2 x + 3 \\ I .' & I I .' \end{matrix}$

Schritt 4: Berechne den Wert der verbliebenen Variable x. Löse dazu die Gleichung nach x auf.

$\begin{matrix} 1, 6 x + 1, 4 & = & 2 x + 3 & | - 2 x \\ - 0, 4 x + 1, 4 & = & 3 & | - 1, 4 \\ - 0, 4 x & = & 1, 6 & | : (- 0, 4) \\ x & = & - 4 \end{matrix}$

Schritt 5: Setze den Wert der berechneten Variable (x) in die Gleichung aus Schritt 1 oder 2 ein und löse die Gleichung für die fehlende Variable. Also setzen wir $x = - 4$ in die Gleichung $I I .' y = 2 x + 3$ ein.

$\begin{matrix} I I .' & y & = & 2 x + 3 \\ y & = & 2 \cdot (- 4) + 3 \\ y & = & - 5 \end{matrix}$

Schritt 6/Probe: Setze die Werte der beiden Variablen in eine der Ausgangsgleichungen ein und überprüfe das Ergebnis. In die Ausgangsgleichung $I I .$ setzt du jetzt $x = - 4$ und $y = - 5$ ein.

$\begin{matrix} I I . & 4 x & = & 2 y - 6 \\ 4 \cdot (- 4) & = & 2 \cdot (- 5) - 6 \\ - 16 & = & - 10 - 6 \\ - 16 & = & - 16 \end{matrix} \begin{matrix} ✅ \end{matrix}$

Die Lösung ist richtig, deine Ergebnisse stimmen also.

Schritt 7: Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an.

$L = {(4 | 11)}$

Gleichsetzungsverfahren - Das Wichtigste

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $a x + b = 0$ . Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.
Lineare Gleichungen können in der Allgemeinen Form oder Normalform dargestellt werden und mithilfe der Äquivalenzumformung umgeformt werden.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form $\begin{matrix} I . & a_{1} x + b_{1} & = & c_{1} y + d_{1} \\ I I . & a_{2} x + b_{2} & = & c_{2} y + d_{2} \end{matrix}$
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du beide Gleichungen nach einer Variable auflöst und die Gleichungen dann miteinander gleichsetzt.
Vorgehen beim Gleichsetzungsverfahren:

Schritt 1: Wähle eine der beiden Variablen aus und löse die erste Gleichung nach dieser auf.
Schritt 2: Löse anschließend auch die zweite Gleichung nach der ausgewählten Variable auf.
Schritt 3: Setze die beiden (nach x oder y) aufgelösten Gleichungen gleich.
Schritt 4: Berechne den Wert der verbliebenen Variable.
Schritt 5: Setze den Wert der berechneten Variable in die Gleichung aus Schritt 1 oder 2 ein und löse die Gleichung für die fehlende Variable.
Schritt 6/Probe: Setze die Werte der beiden Variablen in eine der Ausgangsgleichungen ein und überprüfe das Ergebnis. Ist es richtig, kannst du die richtige Lösung angeben. Ist es falsch, musst du die Rechnung noch einmal durchführen, um deinen Fehler zu finden.

Schritt 7: Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an.

Das Gleichungssystem kann auch keine oder unendlich viele Lösungen haben.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren wird eingesetzt, um ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen zu lösen.

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du beide Gleichungen nach einer Variable auflöst und die Gleichungen dann miteinander gleichsetzt.

Man setzt zwei Gleichungen gleich, damit eine der Variablen wegfällt und nur noch eine übrig bleibt (mit der man dann rechnen kann).

Dazu müssen beide Gleichungen vorher natürlich auf die gleiche Variable aufgelöst sein.

Bei der Probe setzt du deine errechneten Ergebnisse für die beiden Variablen (x und y) noch einmal in eine der Ausgangsgleichungen ein und überprüfst, ob die Lösung stimmt.

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