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Wusstest Du, dass Du mit der Analysis zum Beispiel das Wachstum eines gepflanzten Baumes beschreiben kannst? Das ist nur eines von vielen Themengebieten der Analysis. In dieser Erklärung findest Du eine Zusammenfassung und Übersicht der in der Analysis enthaltenen Themen und einen kurzen Einblick in dieses Teilgebiet der Mathematik.Die Analysis ist ein Teilbereich der Mathematik, welcher sich unter anderem mit…
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Jetzt kostenlos anmeldenWusstest Du, dass Du mit der Analysis zum Beispiel das Wachstum eines gepflanzten Baumes beschreiben kannst? Das ist nur eines von vielen Themengebieten der Analysis. In dieser Erklärung findest Du eine Zusammenfassung und Übersicht der in der Analysis enthaltenen Themen und einen kurzen Einblick in dieses Teilgebiet der Mathematik.
Die Analysis ist ein Teilbereich der Mathematik, welcher sich unter anderem mit Funktionen befasst.
Im Allgemeinen fasst die Analysis als Teilbereich der Mathematik Funktionen und deren Eigenschaften in verschiedenen Themengebieten zusammen. Darunter fallen unter anderem die Themen Differential- und Integralrechnung.
So ist die Analysis in der Mathematik ein Teilbereich neben den Bereichen Geometrie, Algebra und Stochastik.
Die Analysis hat verschiedene Teilbereiche, die sich alle mit der Analyse und Eigenschaften von Funktionen befassen. Dazu gehören zum Beispiel:
In dieser Erklärung erhältst Du einen kurzen Einblick in diese Unterthemen.
Eine Funktion \(f(x)\) ist eine Vorschrift, die zwei Mengen und die darin enthaltenen Elemente einander zuordnet. Jedem Element \(x\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb{D}\), wird ein Element \(y\) aus der Wertemenge \(\mathbb{W}\) zugeordnet. Zum Beispiel:
\begin{align}\underbrace{f(x)=\overbrace{2x+3}^{Funktionsterm}}_{Funktionsgleichung}\end{align}
Mehr über die Begriffe rund um das Thema Funktionen findest Du in der Erklärung „Grundbegriffe Funktionen“.
Es gibt verschiedene Arten von Funktionen, dazu gehören unter anderem:
Sieh Dir dazu gleich das folgende Beispiel an!
Gegeben ist eine lineare Funktion \(f(x)\) (eine Gerade) und eine quadratische Funktion \(g(x)\) (eine Parabel) mit den Funktionsgleichungen:
\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)} &{\color{#1478c8}=x} \\[0.2cm] {\color{#00dcb4}g(x)}& {\color{#00dcb4}=x^2} \end{align}
Werden diese Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet, so ergibt sich folgendes Schaubild der Funktionsgraphen.
Abb. 1 - Gerade und Parabel.
Die Funktionsgraphen schneiden sich sogar in zwei Punkten \(S_1\) und \(S_2\).
In den Erklärungen „Schnittpunkt“ und „Funktionsgraphen“ erfährst Du mehr über diese Themen.
Das ist lediglich ein Beispiel zum Thema Funktionen. Welche weiteren Funktionen Dir in der Analysis begegnen und welche Eigenschaften sie besitzen, kannst Du in der Erklärung „Funktionen“ nachlesen.
Die Differentialrechnung untersucht Funktionen auf Veränderungen durch das Differenzieren (Ableiten) dieser Funktion. So lässt sich beispielsweise mit der Ableitung \(f'(x)\) einer Funktion \(f(x)\) die Steigung des Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt ermitteln. Zur Differentialrechnung gehören unter anderem die Themen:
In der Erklärung „Differentialrechnung“ erhältst Du einen Einblick in dieses Teilgebiet.
Eng mit der Differentialrechnung verbunden ist die sogenannte Integralrechnung.
Die Integralrechnung widmet sich der Integration (umgangssprachlich: dem „Aufleiten“) von Funktionen. Damit kannst Du beispielsweise den Flächeninhalt einer Fläche berechnen, die der Funktionsgraph einer Funktion \(f(x)\) und die \(x\)-Achse einschließt und durch die Grenzen \(a\) und \(b\) begrenzt wird.
\[A=\int_{a}^{b} f(x)\,dx\]
Abb. 2 - Fläche unter Funktionsgraph.
Zum Thema Integralrechnung gehören diese Unterthemen:
In der Erklärung „Integralrechnung“ findest Du einen Überblick über all diese Themen.
Neben der Differential- und Integralrechnung begegnet Dir noch ein weiterer Bereich in der Analysis: die Kurvendiskussion.
Mit einer Kurvendiskussion untersuchst Du verschiedene Eigenschaften von Funktionen, wie beispielsweise:
In der Grafik siehst Du einige markierte Stellen, wie etwa Hoch- und Tiefpunkte oder Nullstellen.
Abb. 3 - Funktion mit Markierungen.
Was es mit diesen Markierungen auf sich hat und wie Du bei der Untersuchung einer Funktion vorgehst, erfährst Du in der Erklärung „Kurvendiskussion“.
Das Wachsen eines Baumes kannst Du mit einem weiteren Themengebiet der Analysis untersuchen. Sieh Dir dazu das nächste Kapitel an!
Wachstum und Zerfall begegnen Dir zum Beispiel im Alltag, wie das Wachstum einer Pflanze, einer Stadt oder auch einer Krankheit.
Dabei wird zwischen verschiedenen Wachstumsarten unterschieden. Lineares Wachstum etwa kann durch eine Geradengleichung beschrieben werden.
Neben dem linearen Wachstum und Zerfall gibt es noch weitere Arten und Themen zum Wachstum und Zerfall:
Schau Dir gern die Erklärung zum Thema „Wachstum und Zerfall“ an, wenn Du mehr zum Thema erfahren willst.
Die Analysis umfasst mehrere Teilbereiche, unter anderem die Differentialrechnung, Integralrechnung, Kurvendiskussionen und Wachstum und Zerfall. All diese Bereiche beschäftigen sich mit Funktionen und ihren Eigenschaften.
Die Analysis ist ein Teilbereich der Mathematik, welcher sich umfassend mit Funktionen, deren Eigenschaften und Grenzwerten beschäftigt. Darunter fallen auch die Themen Differential- und Integralrechnung sowie Kurvendiskussionen.
Die Analysis ist keine Algebra. In der Mathematik ist Analysis neben Geometrie, Algebra und Stochastik ein Teilgebiet der Mathematik.
Die Analysis umfasst Wissen in den Teilbereichen Funktionen, Differential- und Integralrechnung sowie Kurvendiskussionen.
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