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Analysis

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Analysis

Wusstest Du, dass Du mit der Analysis zum Beispiel das Wachstum eines gepflanzten Baumes beschreiben kannst? Das ist nur eines von vielen Themengebieten der Analysis. In dieser Erklärung findest Du eine Zusammenfassung und Übersicht der in der Analysis enthaltenen Themen und einen kurzen Einblick in dieses Teilgebiet der Mathematik.

Analysis Mathe Zusammenfassung

Die Analysis ist ein Teilbereich der Mathematik, welcher sich unter anderem mit Funktionen befasst.

Im Allgemeinen fasst die Analysis als Teilbereich der Mathematik Funktionen und deren Eigenschaften in verschiedenen Themengebieten zusammen. Darunter fallen unter anderem die Themen Differential- und Integralrechnung.

So ist die Analysis in der Mathematik ein Teilbereich neben den Bereichen Geometrie, Algebra und Stochastik.

Analysis Übersicht Analysis Themen

Die Analysis hat verschiedene Teilbereiche, die sich alle mit der Analyse und Eigenschaften von Funktionen befassen. Dazu gehören zum Beispiel:

  • Funktionen
  • Differentialrechnung
  • Integralrechnung
  • Kurvendiskussion
  • Wachstum und Zerfall

In dieser Erklärung erhältst Du einen kurzen Einblick in diese Unterthemen.

Analysis Grundlagen Funktionen

Eine Funktion \(f(x)\) ist eine Vorschrift, die zwei Mengen und die darin enthaltenen Elemente einander zuordnet. Jedem Element \(x\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb{D}\), wird ein Element \(y\) aus der Wertemenge \(\mathbb{W}\) zugeordnet. Zum Beispiel:

\begin{align}\underbrace{f(x)=\overbrace{2x+3}^{Funktionsterm}}_{Funktionsgleichung}\end{align}

Mehr über die Begriffe rund um das Thema Funktionen findest Du in der Erklärung „Grundbegriffe Funktionen“.

Es gibt verschiedene Arten von Funktionen, dazu gehören unter anderem:

  • Lineare Funktionen
  • Quadratische Funktionen
  • Ganzrationale Funktionen
  • Gebrochenrationale Funktionen
  • Potenzfunktionen
  • Wurzelfunktionen
  • Trigonometrische Funktionen
  • Exponentialfunktionen
  • Logarithmusfunktionen

Sieh Dir dazu gleich das folgende Beispiel an!

Gegeben ist eine lineare Funktion \(f(x)\) (eine Gerade) und eine quadratische Funktion \(g(x)\) (eine Parabel) mit den Funktionsgleichungen:

\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)} &{\color{#1478c8}=x} \\[0.2cm] {\color{#00dcb4}g(x)}& {\color{#00dcb4}=x^2} \end{align}

Werden diese Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet, so ergibt sich folgendes Schaubild der Funktionsgraphen.

Kurvendiskussion Parabel und Gerade StudySmarterAbb. 1 - Gerade und Parabel.

Die Funktionsgraphen schneiden sich sogar in zwei Punkten \(S_1\) und \(S_2\).

In den Erklärungen „Schnittpunkt“ und „Funktionsgraphen“ erfährst Du mehr über diese Themen.

Das ist lediglich ein Beispiel zum Thema Funktionen. Welche weiteren Funktionen Dir in der Analysis begegnen und welche Eigenschaften sie besitzen, kannst Du in der Erklärung „Funktionen“ nachlesen.

Analysis Differentialrechnung

Die Differentialrechnung untersucht Funktionen auf Veränderungen durch das Differenzieren (Ableiten) dieser Funktion. So lässt sich beispielsweise mit der Ableitung \(f'(x)\) einer Funktion \(f(x)\) die Steigung des Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt ermitteln. Zur Differentialrechnung gehören unter anderem die Themen:

In der Erklärung „Differentialrechnung“ erhältst Du einen Einblick in dieses Teilgebiet.

Eng mit der Differentialrechnung verbunden ist die sogenannte Integralrechnung.

Analysis Integralrechnung

Die Integralrechnung widmet sich der Integration (umgangssprachlich: dem „Aufleiten“) von Funktionen. Damit kannst Du beispielsweise den Flächeninhalt einer Fläche berechnen, die der Funktionsgraph einer Funktion \(f(x)\) und die \(x\)-Achse einschließt und durch die Grenzen \(a\) und \(b\) begrenzt wird.

\[A=\int_{a}^{b} f(x)\,dx\]

Analysis Fläche unter Funktionsgraph Integralrechnung StudySmarterAbb. 2 - Fläche unter Funktionsgraph.

Zum Thema Integralrechnung gehören diese Unterthemen:

  • Stammfunktion bilden
  • Bestimmtes Integral
  • Eigenschaften des Integrals
  • Integralfunktion
  • Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  • Uneigentliche Integrale
  • Bogenlänge
  • Flächenberechnung
  • Integrationsregeln
  • Wichtige Stammfunktionen
  • Unbestimmtes Integral

In der Erklärung „Integralrechnung“ findest Du einen Überblick über all diese Themen.

Neben der Differential- und Integralrechnung begegnet Dir noch ein weiterer Bereich in der Analysis: die Kurvendiskussion.

Analysis Kurvendiskussion

Mit einer Kurvendiskussion untersuchst Du verschiedene Eigenschaften von Funktionen, wie beispielsweise:

  • Wertebereich bestimmen
  • Definitionsbereich bestimmen
  • Nullstelle berechnen
  • Monotonieverhalten
  • Stetigkeit
  • Verhalten im Unendlichen
  • Extremwert berechnen
  • Krümmung und Wendepunkte
  • Kurvendiskussion Beispiele

In der Grafik siehst Du einige markierte Stellen, wie etwa Hoch- und Tiefpunkte oder Nullstellen.

Analysis Funktion Kurvendiskussion StudySmarterAbb. 3 - Funktion mit Markierungen.

Was es mit diesen Markierungen auf sich hat und wie Du bei der Untersuchung einer Funktion vorgehst, erfährst Du in der Erklärung „Kurvendiskussion“.

Das Wachsen eines Baumes kannst Du mit einem weiteren Themengebiet der Analysis untersuchen. Sieh Dir dazu das nächste Kapitel an!

Analysis Wachstum und Zerfall

Wachstum und Zerfall begegnen Dir zum Beispiel im Alltag, wie das Wachstum einer Pflanze, einer Stadt oder auch einer Krankheit.

Dabei wird zwischen verschiedenen Wachstumsarten unterschieden. Lineares Wachstum etwa kann durch eine Geradengleichung beschrieben werden.

Neben dem linearen Wachstum und Zerfall gibt es noch weitere Arten und Themen zum Wachstum und Zerfall:

  • Exponentielles Wachstum
  • Halbwertszeit Mathe
  • Beschränktes Wachstum
  • Logistisches Wachstum

Schau Dir gern die Erklärung zum Thema „Wachstum und Zerfall“ an, wenn Du mehr zum Thema erfahren willst.

Analysis - Das Wichtigste

  • Die Analysis ist ein Teilbereich der Mathematik neben den Gebieten Geometrie, Algebra und Stochastik.
  • Sie fasst Funktionen und deren Eigenschaften in verschiedenen Themengebieten zusammen, wie etwa:
    • Funktionen
    • Differentialrechnung
    • Integralrechnung
    • Kurvendiskussion
    • Wachstum und Zerfall

Nachweise

  1. Heuser (2013): Lehrbuch der Analysis. 12. Auflage. B.G. Teubner. Stuttgart. Leipzig
  2. Humenberger, Schuppar (2019): Mit Funktionen Zusammenhänge und Veränderung beschreiben. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Analysis

Die Analysis umfasst mehrere Teilbereiche, unter anderem die Differentialrechnung, Integralrechnung, Kurvendiskussionen und Wachstum und Zerfall. All diese Bereiche beschäftigen sich mit Funktionen und ihren Eigenschaften.

Die Analysis ist ein Teilbereich der Mathematik, welcher sich umfassend mit Funktionen, deren Eigenschaften und Grenzwerten beschäftigt. Darunter fallen auch die Themen Differential- und Integralrechnung sowie Kurvendiskussionen.

Die Analysis ist keine Algebra. In der Mathematik ist Analysis neben Geometrie, Algebra und Stochastik ein Teilgebiet der Mathematik.

Die Analysis umfasst Wissen in den Teilbereichen Funktionen, Differential- und Integralrechnung sowie Kurvendiskussionen. 

Finales Analysis Quiz

Frage

Was ist der Unterschied bei Nullstellen gerader Ordnung zu ungerader Ordnung?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Polstelle?

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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Arten unterscheidet man bei Grenzwerten?

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Antwort



Frage anzeigen

Frage

Wie kann das Krümmungsverhalten einer Funktion mithilfe einer Krümmungstabelle bestimmt werden?

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Antwort

Vorgehensweise
Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung überprüfen, ob f ''(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
bei VZW: Wendepunkt
kein VZW: kein Wendepunkt

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Frage

Was versteht man unter der Faktorregel?

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Antwort

Die Faktorregel besagt, dass alle konstanten Faktoren bei der Integration erhalten bleiben.

Daher kann man diese konstanten Faktoren auch vor das Integral ziehen:



Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter der Additivitätseigenschaft?

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Antwort

Die Additivitätseigenschaft besagt, dass zwei additive miteinander verknüpfte Funktionen mit den selben Intervallgrenzen zusammengefasst werden können.



Abbildung 1: bestimmtes Integral (zwei Flächenintervalle)

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Frage

Was versteht man unter Additivität?

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Antwort

Unter Additivität versteht man, dass eine Summe innerhalb des Integrals integriert wird, indem die Summanden einzeln integriert und anschließend summiert werden.



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Frage

Was muss man beim Austauschen von Intervallgrenzen beachten?

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Antwort

Beim Austauschen von Intervallgrenzen muss ein Minus vor das Integral gesetzt werden.



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Frage

Welches Ergebnis erhält man, wenn man eine punktsymmetrische Funktion integriert?

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Antwort

Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dann ergibt die Integration dieser Funktion 0, wenn die Grenzen so gewählt sind, dass sie gleich weit vom Symmetriepunkt entfernt sind



Die Grenzen müssen also Gegenzahlen sein, so wie a und -a in der Definition. Sie haben also denselben Betrag.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel bei einer Integration von einer achsensymmetrische Funktion?

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Antwort


Die Formel für die Integration einer achsensymmetrischen Funktion lautet wie folgt:




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Frage

Was ist die untere Grenze eines Integrals?

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Antwort

Die untere Grenze eines Integrals ist eine Nullstelle der Funktion.

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Frage

Wie lautet die Regel der Monotonieeigenschaft?

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Antwort


Die Regel für die Monotonieeigenschaft lautet wie folgt:



Die Monotonieeigenschaft besagt, dass sobald eine Funktion  immer größer ist als eine Funktion , dann ist auch das Integral der Funktion immer größer. Dadurch lässt sich sagen, dass die Fläche unter dem Graphen von f kleiner ist als die Fläche unter dem Graphen von g, da der Graph der Funktion  weiter entfernt von der x-Achse liegt als der Graph der Funktion .



Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem unbestimmten Integral?

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Antwort

Unter unbestimmten Integralen versteht man die Gesamtheit der Stammfunktionen.



Ein unbestimmtes Integral besitzt keine Ober- und Untergrenzen und es kommt somit kein Wert, sondern eine Funktion als Lösung heraus.

Frage anzeigen

Frage

Führe eine Integration mit dem Austausch der Intervallgrenzen durch:





Antwort anzeigen

Antwort

Hier siehst du eine Integration vor dem Austausch der Intervallgrenzen:



Nun siehst du die Integration nach dem Austausch der Intervallgrenzen:



Frage anzeigen

Frage

Nenne einige punktsymmetrische Funktionen.

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Antwort

Punktsymmetrische Funktionen sind zum Beispiel die Sinusfunktion, lineare Funktionen, die durch den Ursprung verlaufen, oder Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten wie.


Frage anzeigen

Frage

Ist eine differenzierbare Funktion auch stetig? Und ist eine stetige Funktion auch differenzierbar?


Nun folgen verschiedene Antwortmöglichkeiten


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


2.Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Antworten sind richtig:


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher gegen einen Punkt läuft?

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Antwort

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer näher an den Wert x0 kommt, so heißt die Zahl c Grenzwert oder Limes der Funktion gegen x0.




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Frage

Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher Unendlich läuft?

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Antwort

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer größer wird, so heißt die Zahl c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen  (sprich "plus unendlich").



Betrachtet man dasselbe für immer kleiner werdende x-Werte, so ist c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen .



Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition einer unstetigen Funktion?

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Antwort

Eine Funktion ist unstetig, wenn der Graph eine Unterbrechung aufweist. 


Im Gegensatz zu einer stetigen Funktion, stimmen die Grenzwerte einer unstetigen Funktion meist nicht überein oder nicht mit dem Funktionswert an der Stelle . Daher ist die Funktion unstetig, da sie Lücken oder Sprünge aufweist, an denen der Funktionsgraph nicht mehr konstant verläuft. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Treppenfunktion?

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Antwort

Eine Treppenfunktion ist eine bekannte unstetige Funktion, welche endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist.

Bei der oben erwähnten Treppenfunktion gilt dies hingegen nicht. Die Treppenfunktion ist im Gegensatz zu gebrochen rationale Funktion auf ganz  definiert. Das heißt auch die Sprungstellen, an denen der Stift abgesetzt werden muss, sind Teil des Definitionsbereichs. Daher sind Treppenfunktionen nicht stetig.


Frage anzeigen

Frage

Nenne das Vorgehen zur Bestimmung der Stetigkeit an einem bestimmten Punkt!

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Bestimmung der Stetigkeit an einem Punkt gibt es drei Bedingungen:


1. Bedingung

Zunächst musst du schauen, ob der Punkt  überhaupt ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


2. Bedingung

Die zweite Bedingung sagt aus, dass   einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle  besitzt.

Dabei muss sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht.


3. Bedingung

Nun musst du prüfen ob der Grenzwert mit dem Funktionswert an der Stelle  übereinstimmt.

Dies muss der Fall sein damit eine Funktion überhaupt stetig sein kann, da ohne die Übereinstimmung eine Unterbrechung des Funktionsgraphen vorliegt.


Frage anzeigen

Frage

Was musst du bei gebrochen rationalen Funktionen beachten?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei den gebrochen rationalen Funktionen musst du beachten, dass sie nicht unbedingt der graphischen Bedingung entsprechen, dass man sie in einer Linie zeichnen kann. Es handelt sich jedoch trotzdem um stetige Funktionen.

Der Grund dafür ist, dass gebrochen rationale Funktion an unstetigen Stellen, wie zum Beispiel Definitionslücken oder Unendlichkeitsstellen, nicht definiert sind. Daher sind die im Definitionsbereich  stetig, aber nicht auf ganz .


Frage anzeigen

Frage

Ist die Funktion  an der Stelle  stetig?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Bedingung

Überprüfen, ob  ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


 gehört zur Definitionsmenge.


2. Bedingung

Überprüfen ob  einen beidseitigen Grenzwert besitzt.


Rechtsseitiger Grenzwert:


 


Linksseitiger Grenzwert:



Die Stelle  existiert ein beidseitiger Grenzwert.


3. Bedingung

Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.


Funktionswert:



Grenzwert:



Der Funktionswert und Grenzwert stimmen an der Stelle  überein, das heißt die Funktion ist an dieser Stelle stetig.




Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, womit sich die Analysis beschäftigt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Analysis befasst sich umfassend mit Funktionen, deren Eigenschaften und ihren Grenzwerten, mit der Differentialrechnung und der Integralrechnung.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Themen zu der Analysis gehören.

Antwort anzeigen

Antwort

Funktionen

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