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Analysis

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Analysis

Analysis beschreibt ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es, vereinfacht gesagt, um die Lehre von Funktionen geht. Die anderen drei großen Teilgebiete der Mathematik, die in der Schule behandelt werden, sind die Geometrie, die Algebra und die Stochastik.

In diesem Artikel erklären wir dir, welche Themen die Analysis beinhaltet, und einige ihrer Grundlagen.

Viel Spaß beim Lernen!

Was versteht man unter Analysis?

Die Analysis befasst sich umfassend mit Funktionen, deren Eigenschaften und ihren Grenzwerten, mit der Differentialrechnung und der Integralrechnung. Durch die Analysis können wir die Änderungen einer Funktion beschreiben. Das kennst du vielleicht schon aus der Schule als Wachstums- und Zerfallsprozesse.

Grundlagen der Analysis

Um dir einen guten Überblick zu diesem sehr umfangreichen Thema zu geben, werden dir nachfolgend die Grundlagen erklärt.

Funktionen

Unter einer Funktion versteht man eine direkte Zuordnung zwischen zwei Mengen, bei der jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird. Es werden mehrere Arten von Funktionen unterschieden, so gibt es zum Beispiel lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen und viele mehr.

Wenn du mehr über Funktionen lernen möchtest, dann liest du dir am Besten die Artikel im Kapitel Funktionen durch!

Differentialrechnung

Hinter den Begriffen Ableitung und Differenzieren verbirgt sich der Oberbegriff Differentialrechnung. Keine Panik! Die Differentialrechnung dient zur Beschreibung des Änderungsverhalten einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Die Ableitung einer Funktion, vor allem bei nichtlinearen Funktionen, gibt an, wie stark eine Funktion an jeder Stelle steigt oder fällt.

Genaue Definitionen, Ableitungsregeln und die Ableitung wichtiger Funktionen findest du im Kapitel Ableitung und Differenzieren!

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich mit der Flächen- und Volumenberechnung zwischen zwei Funktionen oder einer Funktion und einer Achse des Koordinatensystems. Außerdem ist die Integralrechnung der Gegensatz zur Differentialrechnung! Um das Integral auszurechnen, werden die entsprechenden Funktionen durch Integrationsregeln integriert, dann werden diese auch Stammfunktion genannt.

Wenn du mehr zum Thema Integralrechnung lernen möchtest, dann findest du viele Artikel im Kapitel Integralrechnung!

Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion ist eines der wichtigsten Themen in der Schulmathematik. Diese beschäftigt sich mit den Eigenschaften der Funktion wie zum Beispiel Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Extremwerte und dem Verhalten im Unendlichen. Die Kurvendiskussion baut auf der Differential- und Integralrechnung auf, du solltest daher in diesen beiden Themen fit sein, bevor du dich mit der Kurvendiskussion beschäftigst.

Eine Vielzahl an Zusammenfassungen hierzu findest du im Kapitel Kurvendiskussion!

Wachstum und Zerfall

Viele natürliche Wachstums- oder Zerfallsprozesse bei Populationen von Lebewesen sind abhängig vom vorliegenden Bestand der Population. Diese Vorgänge werden dann durch entsprechende Funktionen dargestellt.

Wenn du mehr zum Thema Wachstum und Zerfall lernen möchtest, dann liest du dir am Besten die Artikel im Kapitel Wachstum und Zerfall durch!

Das Wichtigste der Analysis auf einen Blick!

  • Analysis ist der Teilbereich der Mathematik, der sich umfassend mit Funktionen, deren Eigenschaften und ihren Grenzwerten, mit der Differentialrechnung und der Integralrechnung befasst.
  • Es können unterschiedliche Teildisziplinen unterschieden werden wie die Differential- und Integralrechnung, die Kurvendiskussion und Wachstums- sowie Zerfallsprozesse.
  • Die Analysis lässt dich Funktionen genauer unter die Lupe nehmen, so dass du geometrische Eigenschaften oder die Änderungen an einer beliebigen Stelle herausfinden kannst.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Analysis

Die Analysis besteht aus mehreren Teildisziplinen, unter Anderem die Differentialrechnung, Integralrechnung, Kurvendiskussionen. Außerdem beschäftigt sich Analysis umfassend mit Funktionen und deren Eigenschaften und ihren Grenzwerten.

Finales Analysis Quiz

Frage

Was ist der Unterschied bei Nullstellen gerader Ordnung zu ungerader Ordnung?

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Antwort

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Frage

Was ist eine Polstelle?

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Antwort

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Frage

Welche zwei Arten unterscheidet man bei Grenzwerten?

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Antwort



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Frage

Wie kann das Krümmungsverhalten einer Funktion mithilfe einer Krümmungstabelle bestimmt werden?

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Antwort

Vorgehensweise
Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung überprüfen, ob f ''(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
bei VZW: Wendepunkt
kein VZW: kein Wendepunkt

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Frage

Was versteht man unter der Faktorregel?

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Antwort

Die Faktorregel besagt, dass alle konstanten Faktoren bei der Integration erhalten bleiben.

Daher kann man diese konstanten Faktoren auch vor das Integral ziehen:



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Frage

Was versteht man unter der Additivitätseigenschaft?

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Antwort

Die Additivitätseigenschaft besagt, dass zwei additive miteinander verknüpfte Funktionen mit den selben Intervallgrenzen zusammengefasst werden können.



Abbildung 1: bestimmtes Integral (zwei Flächenintervalle)

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Frage

Was versteht man unter Additivität?

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Antwort

Unter Additivität versteht man, dass eine Summe innerhalb des Integrals integriert wird, indem die Summanden einzeln integriert und anschließend summiert werden.



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Frage

Was muss man beim Austauschen von Intervallgrenzen beachten?

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Antwort

Beim Austauschen von Intervallgrenzen muss ein Minus vor das Integral gesetzt werden.



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Frage

Welches Ergebnis erhält man, wenn man eine punktsymmetrische Funktion integriert?

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Antwort

Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dann ergibt die Integration dieser Funktion 0, wenn die Grenzen so gewählt sind, dass sie gleich weit vom Symmetriepunkt entfernt sind



Die Grenzen müssen also Gegenzahlen sein, so wie a und -a in der Definition. Sie haben also denselben Betrag.

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Frage

Wie lautet die Formel bei einer Integration von einer achsensymmetrische Funktion?

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Antwort


Die Formel für die Integration einer achsensymmetrischen Funktion lautet wie folgt:




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Frage

Was ist die untere Grenze eines Integrals?

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Antwort

Die untere Grenze eines Integrals ist eine Nullstelle der Funktion.

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Frage

Wie lautet die Regel der Monotonieeigenschaft?

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Antwort


Die Regel für die Monotonieeigenschaft lautet wie folgt:



Die Monotonieeigenschaft besagt, dass sobald eine Funktion  immer größer ist als eine Funktion , dann ist auch das Integral der Funktion immer größer. Dadurch lässt sich sagen, dass die Fläche unter dem Graphen von f kleiner ist als die Fläche unter dem Graphen von g, da der Graph der Funktion  weiter entfernt von der x-Achse liegt als der Graph der Funktion .



Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem unbestimmten Integral?

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Antwort

Unter unbestimmten Integralen versteht man die Gesamtheit der Stammfunktionen.



Ein unbestimmtes Integral besitzt keine Ober- und Untergrenzen und es kommt somit kein Wert, sondern eine Funktion als Lösung heraus.

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Frage

Führe eine Integration mit dem Austausch der Intervallgrenzen durch:





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Antwort

Hier siehst du eine Integration vor dem Austausch der Intervallgrenzen:



Nun siehst du die Integration nach dem Austausch der Intervallgrenzen:



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Frage

Nenne einige punktsymmetrische Funktionen.

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Antwort

Punktsymmetrische Funktionen sind zum Beispiel die Sinusfunktion, lineare Funktionen, die durch den Ursprung verlaufen, oder Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten wie.


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Frage

Ist eine differenzierbare Funktion auch stetig? Und ist eine stetige Funktion auch differenzierbar?


Nun folgen verschiedene Antwortmöglichkeiten


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


2.Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Antworten sind richtig:


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

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Frage

Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher gegen einen Punkt läuft?

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Antwort

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer näher an den Wert x0 kommt, so heißt die Zahl c Grenzwert oder Limes der Funktion gegen x0.




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Frage

Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher Unendlich läuft?

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Antwort

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer größer wird, so heißt die Zahl c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen  (sprich "plus unendlich").



Betrachtet man dasselbe für immer kleiner werdende x-Werte, so ist c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen .



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Frage

Wie lautet die Definition einer unstetigen Funktion?

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Antwort

Eine Funktion ist unstetig, wenn der Graph eine Unterbrechung aufweist. 


Im Gegensatz zu einer stetigen Funktion, stimmen die Grenzwerte einer unstetigen Funktion meist nicht überein oder nicht mit dem Funktionswert an der Stelle . Daher ist die Funktion unstetig, da sie Lücken oder Sprünge aufweist, an denen der Funktionsgraph nicht mehr konstant verläuft. 

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Frage

Was ist eine Treppenfunktion?

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Antwort

Eine Treppenfunktion ist eine bekannte unstetige Funktion, welche endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist.

Bei der oben erwähnten Treppenfunktion gilt dies hingegen nicht. Die Treppenfunktion ist im Gegensatz zu gebrochen rationale Funktion auf ganz  definiert. Das heißt auch die Sprungstellen, an denen der Stift abgesetzt werden muss, sind Teil des Definitionsbereichs. Daher sind Treppenfunktionen nicht stetig.


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Frage

Nenne das Vorgehen zur Bestimmung der Stetigkeit an einem bestimmten Punkt!

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Antwort

Für die Bestimmung der Stetigkeit an einem Punkt gibt es drei Bedingungen:


1. Bedingung

Zunächst musst du schauen, ob der Punkt  überhaupt ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


2. Bedingung

Die zweite Bedingung sagt aus, dass   einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle  besitzt.

Dabei muss sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht.


3. Bedingung

Nun musst du prüfen ob der Grenzwert mit dem Funktionswert an der Stelle  übereinstimmt.

Dies muss der Fall sein damit eine Funktion überhaupt stetig sein kann, da ohne die Übereinstimmung eine Unterbrechung des Funktionsgraphen vorliegt.


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Frage

Was musst du bei gebrochen rationalen Funktionen beachten?

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Antwort

Bei den gebrochen rationalen Funktionen musst du beachten, dass sie nicht unbedingt der graphischen Bedingung entsprechen, dass man sie in einer Linie zeichnen kann. Es handelt sich jedoch trotzdem um stetige Funktionen.

Der Grund dafür ist, dass gebrochen rationale Funktion an unstetigen Stellen, wie zum Beispiel Definitionslücken oder Unendlichkeitsstellen, nicht definiert sind. Daher sind die im Definitionsbereich  stetig, aber nicht auf ganz .


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Frage

Ist die Funktion  an der Stelle  stetig?

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Antwort

1. Bedingung

Überprüfen, ob  ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


 gehört zur Definitionsmenge.


2. Bedingung

Überprüfen ob  einen beidseitigen Grenzwert besitzt.


Rechtsseitiger Grenzwert:


 


Linksseitiger Grenzwert:



Die Stelle  existiert ein beidseitiger Grenzwert.


3. Bedingung

Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.


Funktionswert:



Grenzwert:



Der Funktionswert und Grenzwert stimmen an der Stelle  überein, das heißt die Funktion ist an dieser Stelle stetig.




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