Vierecke

Vierecke sind in vielen alltäglichen Dingen zu erkennen. Nimm zum Beispiel eine Tafel Schokolade. Schaust Du von oben auf die Tafel, bildet die Schokolade ein Rechteck. Die einzelnen Schokoladenstücke sind quadratisch, bilden also Quadrate. All diese Begriffe sind Arten von Vierecken. In dieser Erklärung findest Du eine Übersicht über alle Arten von Vierecken, ihre Berechnung und ihre Eigenschaften!

Vierecke Vierecke

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Vierecke Schokolade Beispiel Vierecke Eigenschaften StudySmarter

    Vierecke – Eigenschaften

    Um die verschiedenen Arten der Vierecke besser kennenzulernen, ist es sinnvoll, sich eine Wiederholung zu Vierecken anzuschauen. Also: Was sind Vierecke denn überhaupt? Und welche Figuren gelten alle als Vierecke?

    Vierecke – Grundlagenwissen

    Vierecke allgemeines Viereck StudySmarterAbbildung 1: Allgemeines Viereck

    Vierecke haben, wie es der Name schon verrät, vier Ecken. Diese Ecken sind Begrenzungspunkte und grenzen die vier Seiten der Vierecke ein. Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Buchstaben A, B, C und D bezeichnet. Die Seiten werden ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn mit den Kleinbuchstaben a, b, c und d beschrieben. Die Innenwinkelsumme in einem Viereck beträgt 360°.

    Ein Viereck ist eine geometrische Figur. Vierecke werden durch vier Strecken begrenzt und besitzen dadurch

    • vier Eckpunkte
    • vier Seiten
    • vier Winkel (die addiert 360° ergeben)

    Möchtest Du Dir die Definition von Vierecken nochmal genauer anschauen? Dann schau gerne in dem Artikel Viereck vorbei!

    Unter diese Definition fallen viele Figuren. Fallen Dir schon ein paar Figuren ein?

    Wie Du bei der Schokolade gesehen hast, gelten sowohl Rechtecke als auch Quadrate als Vierecke. Es gibt jedoch noch andere Arten von Vierecken.

    Vierecke – Arten

    Es gibt acht Arten von Vierecken. In dieser Übersicht findest Du die verschiedenen Arten dieser Vierecke und ihre Eigenschaften.

    Quadrat

    • Die Innenwinkel im Quadrat sind alle gleich groß (90°)
    • alle Seiten sind gleichlang
    • die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander
    • zwei gleichlange Diagonalen, die sich einander halbieren und senkrecht aufeinander stehen

    Vierecke Quadrat Vierecke Arten StudySmarter

    Abbildung 2: Quadrat

    Rechteck

    • Innenwinkel sind alle gleich groß (90°)
    • jeweils gegenüberliegende Seiten sind gleichlang
    • gegenüberliegende Seiten sind parallel
    • zwei gleichlange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren

    Vierecke Rechteck Vierecke Arten StudySmarter

    Abbildung 3: Rechteck

    Raute

    • gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
    • alle Seiten sind gleichlang
    • gegenüberliegende Seiten sind parallel
    • zwei Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren und senkrecht aufeinander stehen

    Vierecke Raute Vierecke Arten StudySmarter

    Abbildung 4: Raute

    Parallelogramm

    • gegenüberliegende Innenwinkel sind gleich groß
    • gegenüberliegende Seiten sind gleichlang
    • gegenüberliegende Seiten sind parallel
    • zwei Diagonalen, die sich halbieren

    Vierecke Parallelogramm Vierecke Arten StudySmarter

    Abbildung 5: Parallelogramm

    Drachenviereck

    • zwei gegenüberliegende Innenwinkel sind gleich groß
    • jeweils zwei Seiten sind gleichlang
    • zwei Diagonalen, die senkrecht aufeinander stehen

    Vierecke Drachenviereck Vierecke Arten StudySmarter

    Abbildung 6: Drachenviereck

    gleichschenkliges Trapez

    • zwei nebeneinanderliegende Winkel sind gleich groß
    • mindestens zwei gegenüberliegende Seiten sind gleichlang
    • mindestens zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel
    • zwei gleichlange Diagonalen

    Vierecke gleichschenkliges Trapez Vierecke Arten StudySmarter

    Abbildung 7: Gleichschenkliges Trapez

    Trapez

    • mindestens zwei Seiten sind parallel

    Vierecke Trapez Vierecke Arten StudySmarter

    Abbildung 8: Trapez

    allgemeines Viereck

    • vier unterschiedliche Winkel
    • vier unterschiedliche Seiten
    • vier Eckpunkte

    Vierecke allgemeines Viereck Vierecke Arten StudySmarter

    Abbildung 9: Allgemeines Viereck

    Wie die verschiedenen Vierecke aussehen, hast Du jetzt gesehen. Um sich die Formen der Vierecke besser vorzustellen, ist es sinnvoll, sich die Arten von Vierecken im Alltag anzuschauen!

    Wie sehen die Vierecke im Alltag aus? Fallen Dir schon ein paar Beispiele ein?

    Quadrat:

    Vierecke Beispiel Schachbrett StudySmarterSchachbrett

    Rechteck:

    Vierecke Beispiel Geldscheine StudySmarterGeldscheine

    Raute:

    Vierecke Beispiel Kartendeck Karo StudySmarter

    Symbol Raute/Karo auf einem Kartendeck

    Parallelogramm:

    Vierecke Beispiel Fliesen StudySmarter

    Einige Elemente dieser Fliese sind Parallelogramme

    Drachenviereck:

    Vierecke Beispiel Flugdrache StudySmarterFlugdrache

    Trapez:

    Vierecke Beispiel Einkaufskorb StudySmarter

    Form eines Einkaufskorb (ohne Henkel)

    Vierecke – Diagonalen und Symmetrie

    Alle Vierecke haben zwei Diagonalen. Diese Diagonalen sind gerade Strecken, die nicht benachbarte Punkte miteinander verbinden. In ein paar Vierecken haben die Diagonalen besondere Eigenschaften. Das sind zum Beispiel:

    • Diagonalen, die senkrecht aufeinander stehen
    • Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren
    • Diagonalen, die gleichlang sind.

    Vierecke haben also zwei Diagonalen. Aber nicht jedes Viereck hat eine Symmetrie. Dabei kann bei der Symmetrie zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie unterschieden werden.

    Was ist nochmal Achsensymmetrie und was Punktsymmetrie? Wenn Du Dich das fragst, dann schau gerne in den Artikeln zur Achsensymmetrie und Punktsymmetrie vorbei!

    Um die Symmetrie von Vierecken kennenzulernen, kannst Du Dir eine Übersicht über die Vierecke und ihre Symmetrie anschauen!

    Vierecke Übersicht Symmetrie Vierecke StudySmarter

    Abbildung 10: Übersicht Vierecke Symmetrie

    Das Quadrat, das Rechteck, die Raute, das gleichschenklige Trapez und das Drachenviereck sind achsensymmetrisch. Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Wie Du siehst, sind sowohl das allgemeine Trapez und das allgemeine Viereck nicht aufgeführt. Sie haben nämlich keine Achsen - oder Punktsymmetrie.

    Vierecke sind geometrische Figuren und sind somit ein Thema der Geometrie. In der Geometrie kannst Du unter anderem Formen und Figuren konstruieren. Auch Vierecke können konstruiert werden. Wie das funktioniert, erfährst Du im nächsten Abschnitt.

    Haus der Vierecke

    Wie du an der Abbildung erkennen kannst, besteht das Haus der Vierecke aus verschiedenen Stockwerken. Dabei sind die verschiedenen Vierecke nach ihren unterschiedlichen Eigenschaften und Besonderheiten angeordnet. Auf der untersten Ebene, dem Erdgeschoss, befindet sich das allgemeine Viereck. Dies hat außer den vier Eckpunkten und vier Seiten keine besonderen Eigenschaften. Je höher du gehst, desto mehr spezifische Eigenschaften kannst du an den jeweiligen Vierecksarten entdecken. So hat beispielsweise das Quadrat im Obergeschoss vier gleich große (rechte) Winkel, alle Seiten sind gleich lang und die gegenüberliegenden Seiten parallel.

    Die Kategorien, die zur Einstufung der verschiedenen Vierecke maßgeblich sind, sind vor allem die Winkel- und Seitenbeziehungen und die Symmetrieeigenschaften. Vielleicht fragst du dich, wie die verschiedenen Vierecke innerhalb der Stockwerke und zwischen Erdgeschoss und Dach angeordnet werden.

    Vierecke Haus der Vierecke StudySmarter

    Abbildung 11: Haus der Vierecke

    In der Erklärung zum Viereck findest du eine detaillierte Beschreibung der Stockwerke im Haus der Vierecke.

    Vierecke konstruieren

    Vierecke Konstruktion Vierecke StudySmarter

    Um Vierecke zu konstruieren, benötigst Du einige Angaben. Diese sind meist in Übungs - oder Anwendungsaufgaben gegeben. Zur Konstruktion benötigst Du ein Geodreieck und oft auch einen Zirkel!

    Hier findest Du die Konstruktion eines Vierecks anhand eines Beispiels. Wenn Du Dir Konstruktion von geometrischen Elementen genauer anschauen willst, kannst Du gerne in den Artikel "Grundkonstruktionen" reinschauen!

    Aufgabe 1

    Konstruiere das Viereck mithilfe der folgenden Angaben:

    a=5 cmb=3 cmc=6,39 cmd=5 cmα=102,82°

    Lösung

    Zur Konstruktion dieses Vierecks startest Du mit der Strecke a. Diese zeichnest Du mit der Länge 5 cm.

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarterAbbildung 12: Strecke a

    Danach schaust Du in die angegebenen Werte. Welcher der Werte kann Dir jetzt sinnvoll bei der Konstruktion des Vierecks weiterhelfen? Der Winkel α! Er liegt nämlich an Punkt A. Dann weißt Du auch, in welchem Winkel der Punkt D und die dazugehörige Seite d zum Punkt a steht. Zeichne den Winkel α mit einer Größe von 102,82° am Punkt A ein.

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarter

    Abbildung 13: Winkel ɑ

    Du weißt, dass die Strecke d eine Länge von 5 cm hat. Du kannst dann eine Strecke von 5 cm von Punkt A am Winkel α anliegend einzeichnen.

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarterAbbildung 14: Strecke d

    Die nächsten Angaben, die gegeben sind, ist die Länge der Seite c mit 6,39 cm und die Länge der Seite b mit 3 cm. Um die beiden Seiten anzufügen, solltest Du mit dem Zirkel arbeiten. Dafür zeichnest Du einen Kreisabschnitt um den Punkt B mit einem Radius von 3 cm und einen Kreisabschnitt um Punkt D mit einem Radius von 6,39 cm. Diese Kreisabschnitte sollten sich in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt ist dann der Punkt C.

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarterAbbildung 15: Konstruktion Punkt C

    Jetzt kannst Du die Punkte miteinander verbinden und erhältst das gesuchte Viereck.

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarterAbbildung 16: Konstruiertes Viereck

    So kannst Du ein allgemeines Viereck konstruieren.

    Das kannst Du aber auch nochmal in den Übungsaufgaben oder in dem Finalen Quiz selbst ausprobieren!

    Vierecke – Formeln

    Zu den wichtigsten Formeln zur Berechnung eines Vierecks gehören der Umfang (abgekürzt U) und der Flächeninhalt (abgekürzt A). Wie diese Formeln genau aussehen und welche Werte sie in Vierecken angeben, erfährst Du im folgenden Abschnitt!

    Umfang von Vierecken

    Der Umfang eines Vierecks lässt sich aus der Summe der vier Seitenlängen berechnen. Das bedeutet, dass Du alle Seitenlängen des Vierecks miteinander addierst, um den Umfang U zu ermitteln.

    Die Formel für den Umfang U eines allgemeinen Vierecks ist:

    U=a+b+c+d

    Da es verschiedene Vierecke gibt, ändert sich die Formel abhängig von der Art des Vierecks. Der Umfang wird meistens in den Einheiten Zentimetern (cm), Metern (m) usw. angegeben.

    Flächeninhalt von Vierecken

    Der Flächeninhalt eines Vierecks ist die Fläche, die von den vier Seiten eingeschlossen wird. Für die Berechnung des Flächeninhalts benötigst Du - je nach Art des Vierecks - die Länge der Seiten, die Länge der Höhe oder die Länge der Diagonalen.

    Der Flächeninhalt A eines allgemeinen Vierecks berechnet sich folgendermaßen:

    A=12·e·f·sin(ε)

    Der Winkel 𝜀 ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Diagonalen e und f.

    Der Flächeninhalt wird meistens in den Einheiten Quadratzentimeter (cm2), Quadratmeter (m2) usw. angegeben.

    Eine Zusammenfassung der Formeln für jede Art von Vierecken kannst Du Dir in der folgenden Übersicht anschauen!

    Formeln Vierecke – Übersicht

    Je nach Art des Vierecks gibt es auch unterschiedliche Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts und des Umfangs. Eine Übersicht ist da immer ganz hilfreich, um mit den ganzen Formeln nicht durcheinanderzugeraten!

    Art von ViereckFormel UmfangFormel FlächeninhaltBild
    QuadratU=4·aA=a2

    Vierecke Quadrat Formel StudySmarterAbbildung 17: Quadrat

    RechteckU=2·(a+b)=2·a+2·bA=a·b

    Vierecke Formel Rechteck StudySmarterAbbildung 18: Rechteck

    RauteU=4·aA=e·f2=a2·sin(α)

    Vierecke Formel Raute StudySmarterAbbildung 19: Raute

    ParallelogrammU=2·(a+b)=2·a+2·bA=a·ha

    Vierecke Formel Parallelogramm StudySmarterAbbildung 20: Parallelogramm

    DrachenviereckU=2·(a+b)=2·a+2·bA=e·f2

    Vierecke Formel Drachenviereck StudySmarter

    Abbildung 21: Drachenviereck
    TrapezU=a+b+c+dA=(a+c)2·h=m·h

    Vierecke Formel Trapez StudySmarterAbbiddung 22 Trapez

    Diese Formeln kannst Du für die Ermittlung und Berechnung von Vierecken anwenden. Achte immer genau auf die Eigenschaften der Vierecke, um die richtigen Formeln für die richtigen Vierecke zu verwenden!

    Aufgabe 2

    Berechne den Umfang und den Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge a=6 cm und den Diagonalen e=11,3 cm und f=4 cm.

    Lösung

    Den Umfang berechnest Du, indem Du alle Seiten miteinander addierst. Weil bei einer Raute alle Seiten gleichlang sind, kannst Du die gegebene Seitenfläche a mit 4 multiplizieren.

    U=4·a=4·4 cm=16 cm

    Der Umfang beträgt U=16 cm.

    Für den Flächeninhalt kannst Du die Werte in die in der Übersicht gegebene Formel A=e·f2 einsetzen. Das sieht dann so aus:

    A=11,3 cm·4 cm2=45,2 cm22=22,6 cm2

    Der Flächeninhalt beträgt A=22,6 cm2.

    Du kannst für die Formeln auch immer in die Übersicht schauen!

    Vierecke – Übungen

    Hier kannst Du Dein Wissen über Vierecke, ihre Formeln und Eigenschaften überprüfen. Du kannst gerne nochmal in die Übersichten und Definitionen schauen, wenn Du an einer Aufgabe hängst!

    Aufgabe 3

    Welche Aussagen über Vierecke sind wahr und welche nicht? Entscheide, welche der folgenden Aussagen falsch sind und begründe Deine Entscheidung!

    1. Ein Drachenviereck hat drei Symmetrieachsen.
    2. Bei einem Trapez sind mindestens zwei Seiten parallel zueinander.
    3. Ein Parallelogramm hat zwei Symmetrieachsen.
    4. Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich mit der Formel A=a·ha.
    5. Bei einem Rechteck gilt: Die Länge der Diagonale e ist gleich der Länge der Diagonale f.

    Lösung

    1. Nein, ein Drachenviereck hat eine senkrechte Symmetrieachse.
    2. Ja.
    3. Nein, ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch und hat somit ein Symmetriezentrum.
    4. Nein, das ist die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich mit der Formel A=a2.
    5. Ja.

    Aufgabe 4

    Konstruiere ein Parallelogramm mithilfe der folgenden Angaben:

    a=6 cmb=4 cmα=59,72°

    Lösung

    Zeichne die Strecke a mit einer Länge von 6 cm:

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarter

    Abbildung 23: Strecke a

    Danach kannst Du mit dem Geodreieck den Winkel ɑ an dem Punkt A anzeichnen.

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarter

    Abbildung 24: Winkel ɑ

    An diesen Winkel kannst Du die Strecke b mit einer Länge von 4 cm anzeichnen.

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarter

    Abbildung 25: Strecke b

    Du weißt, dass die zu konstruierende Figur ein Parallelogramm ist. In einem Parallelogramm sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleichlang und parallel. Das heißt, Du kannst jetzt parallel zu Seite a an der Seite b eine Strecke von 6 cm anzeichnen und Du erhältst die zweite Seite a.

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarter

    Abbildung 26: zweite Strecke a

    Zuletzt kannst Du die letzte Seite anzeichnen, und zwar die zweite Seite b.

    Vierecke Vierecke konstruieren StudySmarterAbbildung 27: konstruiertes Parallelogramm

    So kannst Du ein Parallelogramm konstruieren.

    Vierecke – Das Wichtigste

    • Ein Viereck hat vier Eckpunkte, vier Seiten und vier Winkel
    • Die Eckpunkte eines Vierecks werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Buchstaben A, B, C und D beschriftet
    • Die Seiten eines Vierecks werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Kleinbuchstaben a, b, c und d beschriftet
    • Es gibt acht Arten von Vierecken
    • Jedes Viereck hat eine Innenwinkelsumme von 360°
    • Jedes Viereck hat zwei Diagonalen
    • Nicht jedes Viereck ist symmetrisch
    • Der Umfang eines allgemeinen Vierecks wird mit der Formel U=a+b+c+d berechnet
    • Der Flächeninhalt eines allgemeinen Vierecks wird mit der Formel A=12·e·f·sin(ε) berechnet

    Nachweise

    1. Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
    2. Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Vierecke

    Was gibt es alles für Vierecke?

    Es gibt insgesamt acht Arten von Vierecken. Darunter fallen das Quadrat, das Rechteck, die Raute, das Parallelogramm, das Drachenviereck, das gleichschenklige Trapez, das allgemeine Trapez und das allgemeine Viereck. 

    Wie wird der Flächeninhalt von Vierecken berechnet?

    Der Flächeninhalt wird abgekürzt mit einem großen A bezeichnet. Je nach Art des Vierecks ist die Berechnung des Flächeninhalts unterschiedlich. Der Flächeninhalt eines Quadrats wird beispielsweise mit der Formel A = a2 berechnet. Für ein Rechteck gilt die Formel A = a・b.

    Was sind die Eigenschaften von Vierecken?

    Vierecke haben vier Eckpunkte, vier Seiten und vier Innenwinkel, die in der Summe immer 360° ergeben. Jedes Viereck hat zwei Diagonalen, die durch zwei nicht benachbarte Punkte begrenzt werden.

    Was ist die Symmetrie von Vierecken?

    Vierecke können eine Symmetrie aufweisen. Achsensymmetrisch sind Quadrate mit vier Symmetrieachsen, Rechtecke und Rauten mit zwei Symmetrieachsen und Trapeze und Drachenvierecke mit einer Symmetrieachse. Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch und hat ein Symmetriezentrum.

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