Konstruieren

Vielleicht hast Du Dich schon einmal gefragt, wie Du einen Kreis oder einen konkreten Winkel konstruieren kannst. Mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal kannst Du dabei so einige wichtigen Figuren der Geometrie mit ein paar Tricks konstruieren. Wie das geht und welche Figuren das sind, lernst Du im Kapitel Konstruktion.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    In dieser Erklärung findest Du dabei kurze Zusammenfassungen der einzelnen Konstruktionen, darunter zum Beispiel, wie Du eine Mittelsenkrechte konstruieren kannst oder wie ein Winkel abgetragen wird. Die genauen Anleitungen dazu findest Du noch in den einzelnen Erklärungen der Themen.

    Konstruieren – Grundkonstruktionen: mit Zirkel und Lineal

    Einige wichtige Konstruktionen werden mit dem Lineal und dem Zirkel durchgeführt. Hier lernst Du, wie Du eine Strecke zeichnest, wie Du Winkel oder Parallelen konstruieren kannst oder was es mit der Konstruktion des Lots auf sich hat.

    Strecke abtragen

    Eine Strecke ist eine gerade Linie, begrenzt durch zwei Punkte. Sie besitzt also immer eine festgelegte Größe sowie einen Anfangs- und Endpunkt.

    Hast Du eine Strecke gegeben, kannst Du diese zum Beispiel auf eine Gerade oder Halbgerade abtragen. Du „kopierst“ sie sozusagen an einen anderen Ort. Das funktioniert am besten mit dem Zirkel und geht wie folgt:

    KonstruktionsbeschreibungBeispiel an Halbgerade
    1. Gegeben ist die Strecke \(\overline{AB}\).

    Konstruieren Strecke abtragen StudySmarter

    2. Stich Deinen Zirkel in den Punkt \(A\) und stelle den Radius auf die Länge der Strecke \(\overline{AB}\) ein.
    3. Stich dann mit dem Zirkel auf der (Halb-)Geraden gegebenenfalls im Punkt \(A^\prime\) ein.
    4. Ziehe einen Kreis und markiere seinen Schnittpunkt mit der (Halb-)Geraden als Punkt \(B^\prime\). So entsteht die Strecke \(\overline{A^\prime B^\prime}\).

    Mehr dazu kannst Du Dir in der Erklärung „Abtragen von Strecken“ ansehen.

    Winkel konstruieren und abtragen

    Winkel kannst Du auf ähnliche Weise abtragen. Was genau ein Winkel ist, siehst Du Dir vorab am besten in der Erklärung Winkel an.

    KonstruktionsbeschreibungBeispiel
    1. Gegeben sind ein Winkel \(\alpha\) im Punkt \(S\) sowie ein Punkt \(C\), der auf einer Strecke \(c\) liegt. Jetzt soll der Winkel \(\alpha\) auf \(c\) übertragen werden.

    Konstruieren Winkel abtragen 1 StudySmarter

    2. Stich Deinen Zirkel in den Punkt \(S\) und zeichne einen Kreis mit beliebigem Radius. Der Radius muss dabei jedoch kleiner als die Länge von \(c\) sein. Markiere die Schnittpunkte \(S_1\) und \(S_2\) des Kreises mit den Schenkeln des Winkels.

    Konstruieren Winkel abtragen 2 StudySmarter

    3. Behalte den Zirkelradius bei und Stich in Punkt \(C\) ein. Ziehe einen Kreis und markiere seinen Schnittpunkt \(S_3\) mit \(c\).
    4. Stich mit dem Zirkel in den Punkt \(S_1\) und miss die Entfernung zu \(S_2\). Stich dann in \(S_3\) und zeichne einen Kreis. Es entsteht ein Schnittpunkt \(S_4\) der beiden Kreise.
    5. Verbinde die Punkte \(C\) und \(S_4\) mit dem Lineal zu einer Halbgeraden. Der Winkel, der dabei entsteht, ist der Winkel \(\alpha\).

    Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Winkel abtragen“.

    Mittelsenkrechte konstruieren

    Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die zu einer gegebenen Strecke oder Gerade senkrecht verläuft und diese auch somit schneidet.

    Wie Du sie konstruierst, erfährst Du hier.

    KonstruktionsbeschreibungBeispiel
    1. Gegeben ist die Strecke \(\overline{AB}\).

    Konstruieren Mittelsenkrechte StudySmarter

    2. Stich den Zirkel in \(A\) und zeichne einen Kreis mit Radius \(r>\frac{\overline{AB}}{2}\). Verfahre genauso für Punkt \(B\).
    3. Markiere die zwei Schnittpunkte der Kreise und verbinde sie mit dem Lineal zu einer Geraden. Dies ist die Mittelsenkrechte \(m\) zur Strecke \(\overline{AB}\).

    Eine genaue Anleitung mit Beispielen findest Du in der Erklärung „Mittelsenkrechte konstruieren“.

    Winkelhalbierende konstruieren

    Die Winkelhalbierende ist, wie der Name schon sagt, eine Gerade, die einen Winkel genau in der Hälfte teilt.

    Konstruktionsbeschreibung Beispiel
    1. Gegeben ist ein Winkel \(\alpha\) im Punkt \(S\) mit zwei Schenkeln \(s_1\) und \(s_2\).

    Konstruieren Winkelhalbierende 1 StudySmarter

    2. Zeichne einen Kreis mit beliebigem Radius um den Punkt \(S\). Markiere die Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln. Nenne sie \(S_1\) und \(S_2\).

    Konstruieren Winkelhalbierende 2 StudySmarter

    3. Zeichne nun einen Kreis um \(S_1\) mit einem Radius, der etwas größer als die Entfernung zwischen \(S_1\) und \(S_2\) ist. Wiederhole dies mit gleichem Radius für \(S_2\).
    4. Markiere die Schnittpunkte der beiden Kreise und verbinde sie mit dem Lineal zu einer Gerade. Du erhältst die Winkelhalbierende \(w\).

    Mehr dazu findest Du in der Erklärung „Winkelhalbierende konstruieren“.

    Lot konstruieren

    Ein Lot ist eine Gerade oder Strecke, die senkrecht zu einer anderen Geraden oder Strecke verläuft.

    Es wird konstruiert wie die Mittelsenkrechte. Dabei kann es vorkommen, dass Du die Punkte \(A\) und \(B\) auf einer Geraden selbst markieren musst.

    KonstruktionsbeschreibungBeispiel
    1. Gegeben ist eine Gerade \(g\). Markiere zwei beliebige Punkte \(A\) und \(B\) auf der Geraden.

    Konstruieren Lot StudySmarter

    2. Stich den Zirkel in \(A\) und zeichne einen Kreis mit Radius \(r>\frac{\overline{AB}}{2}\). Verfahre genauso für Punkt \(B\).
    3. Markiere die zwei Schnittpunkte der Kreise und verbinde sie mit dem Lineal zu einer Geraden. Dies ist das Lot auf die Gerade \(g\).

    Beispiele dazu sowie eine Anleitung zum Berechnen der Lotgerade findest Du in der Erklärung „Lot konstruieren“.

    Parallele konstruieren

    Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie sich nie schneiden. Hast Du also eine Gerade oder eine Strecke gegeben, kannst Du eine Parallele dazu konstruieren.

    KonstruktionsbeschreibungBeispiel
    1. Gegeben ist die Strecke \(\overline{AB}\). Konstruiere die Mittelsenkrechte bzw. das Lot zur Strecke \(\overline{AB}\).Konstruieren Parallele StudySmarter
    2. Wähle einen Punkt auf dem Lot mit etwas Abstand zur Strecke. Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis um diesen Punkt. Es entstehen zwei Schnittpunkte \(P_1\) und \(P_2\) mit den zuvor gezeichneten Kreisen.
    3. Verbinde die Schnittpunkte mit dem Lineal und Du erhältst die Parallele \(p\).

    Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Parallele konstruieren“.

    Konstruieren – Dreiecke konstruieren

    Was ein Dreieck ist, wie Du es konstruierst und alles Weitere zu Dreiecken erfährst Du in den Erklärungen zum Dreieck.

    Besondere Kreise eines Dreiecks konstruieren

    Dreiecke besitzen einen Inkreis und einen Umkreis. Der Inkreis berührt gleichzeitig alle Seiten und liegt daher innerhalb des Dreiecks, während der Umkreis alle Ecken des Dreiecks berührt und somit außerhalb liegt.

    Der Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

    Konstruieren Inkreis StudySmarterAbb. 1 – Inkreis eines Dreiecks.

    Du konstruierst den Inkeis also, indem Du zunächst alle drei Winkelhalbierenden konstruierst und ihren Mittelpunkt \(M_I\) markierst. Dann fällst Du das Lot von \(M_I\) auf eine der drei Seiten. Stich zuletzt den Zirkel in \(M_I\), stelle seinen Radius auf die Länge des Lots ein und ziehe einen Kreis.

    Mehr dazu findest Du unter „Inkreis Dreieck“.

    Ähnlich gehst Du bei dem Umkreis vor.

    Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten.

    Konstruieren Umkreis StudySmarterAbb. 2 – Umkreis eines Dreiecks.

    Hier konstruierst Du also zunächst die Mittelsenkrechten und markierst ebenfalls wieder den Schnittpunkt \(M_U\). Stich dann den Zirkel in \(M_U\) und stelle den Radius auf den Abstand von \(M_U\) zu einer der Ecken. Ziehe dann einen Kreis und Du erhältst den Umkreis.

    Zum Umkreis kannst Du Dich ebenfalls weiter informieren. Du findest alles Wichtige in der Erklärung „Umkreis Dreieck“.

    Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren

    Um den Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren zu können, solltest Du wissen, wie Du die Seitenhalbierenden konstruierst, denn: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er wird auch Massenmittelpunkt oder physikalischer Schwerpunkt der Dreiecksfläche genannt.

    Konstruiere für den Schwerpunkt des Dreiecks also zunächst die Seitenhalbierenden der drei Seiten. Nun musst Du lediglich den Punkt markieren, indem sie sich schneiden. Dies ist der Schwerpunkt des Dreiecks.

    Konstruieren Schwerpunkt eines Dreiecks StudySmarterAbb. 3 – Schwerpunkt eines Dreiecks.

    Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Schwerpunkt Dreieck“. Wie genau Du die Seitenhalbierenden konstruierst, erfährst Du in der Erklärung „Seitenhalbierende Dreieck“.

    Konstruieren – Vierecke konstruieren

    Der Begriff Viereck ist sehr vielseitig. Natürlich haben Vierecke die Gemeinsamkeit, dass sie vier Ecken besitzen. Dennoch gibt es die verschiedensten Arten von Vierecken, wie das Parallelogramm, die Raute, das Quadrat und viele andere.

    Ihre Konstruktion und ihr Aussehen kann daher nicht verallgemeinert werden. Sieh Dir deshalb am besten die Erklärungen der einzelnen Vierecke an:

    • Quadrat
    • Rechteck
    • Raute
    • Drachenviereck
    • Trapez
    • Parallelogramm

    Konstruieren – Kreis und Kreismittelpunkt konstruieren

    Ein Kreis kann mithilfe zweier gegebener Punkte konstruiert werden.

    KonstruktionsbeschreibungBeispiel
    1. Gegeben sind zwei Punkte \(P\) und \(M\).

    Konstruieren Kreis StudySmarter

    2. Wähle einen der beiden Punkte als Mittelpunkt des Kreises, z. B. \(M\). Stich dort Deinen Zirkel ein und stelle den Radius auf die Entfernung von \(M\) zu \(P\).
    3. Ziehe einen Kreis.

    Mehr darüber kannst Du in der Erklärung „Kreis konstruieren“ erfahren.

    Hast Du jedoch einen Kreis gegeben und möchtest den Kreismittelpunkt herausfinden, gehst Du anders vor. Auch hier helfen Dir wieder die Mittelsenkrechten.

    KonstruktionsbeschreibungBeispiel
    1. Wähle drei beliebige Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf der Kreislinie, also dem Rand des Kreises. Verbinde sie zu zwei Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{BC}\).

    Konstruieren Kreisschwerpunkt StudySmarter

    2. Konstruiere die Mittelsenkrechten zu den beiden Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{BC}\).
    3. Markiere den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Dieser bildet den Mittelpunkt \(M\) des Kreises.

    Konstruieren – Achsenspiegelung und Punktspiegelung konstruieren

    Vielleicht fragst Du Dich, was noch mal der Unterschied dieser beiden Spiegelungen ist. Keine Sorge, das wird Dir hier kurz erklärt!

    • Die Achsenspiegelung ist eine Spiegelung eines Punktes oder mehrerer Punkte oder Figuren an einer Geraden als Spiegelachse.

    • Die Punktspiegelung ist die Spiegelung an einem Punkt \(Z\). Dabei können einzelne Punkte, aber auch ganze Figuren an diesem Punkt gespiegelt werden.

    Du kannst dabei sowohl mit dem Geodreieck als auch mit dem Zirkel spiegeln. Die exakte Anleitung findest Du in den Erklärungen „Achsenspiegelung“ bzw. „Punktspiegelung“. Dort kannst Du Dir die genauen Erklärungen mit Abbildungen und Beispielen ansehen.

    Konstruieren – Geometrie Konstruieren Aufgaben

    Nach der Theorie kannst Du hier direkt noch eine Übungsaufgabe zur Konstruktion lösen. Weitere Übungsaufgaben findest Du in jedem Unterartikel der Konstruktion.

    Aufgabe 1

    Zeichne das folgende rechtwinklige Dreieck in Dein Heft ab. Konstruiere dann den Umkreis des Dreiecks. Die Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{AC}\) besitzen dabei folgende Längen:

    \begin{align}\overline{AB}&=6\,cm\\[0.1cm]\overline{AC}&=4\,cm\end{align}

    Konstruieren Aufgabe 1 StudySmarterAbb. 4 – Aufgabe 1.

    Lösung

    Zuerst konstruierst Du die Mittelsenkrechten der Seiten. Ihr Schnittpunkt bildet den Mittelpunkt des Umkreises. Deine Konstruktion sollte wie folgt aussehen:

    Konstruieren Lösung Aufgabe 1 StudySmarterAbb. 5 – Lösung Aufgabe 1.

    Möchtest Du weitere Aufgaben probieren, schau am besten in den Erklärungen der einzelnen Themen. Zu jedem Thema findest Du dort passende Aufgaben!

    Konstruieren – Das Wichtigste


    Nachweise

    1. Hensel (2020). Winkel: einfach erklärt. BoD – Books on Demand.
    2. Benölken et. al. (2018). Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter. Springer-Verlag.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Konstruieren

    Was bedeutet Konstruieren in Mathe?

    Beim Konstruieren wird eine exakte Zeichnung einer Figur, zum Beispiel eines Dreiecks, angefertigt. Dabei werden lediglich die Werkzeuge Zirkel und Lineal verwendet. 

    Was ist der Unterschied zwischen Zeichnen und Konstruieren?

    Beim Konstruieren einer geometrischen Figur sind als Hilfsmittel nur ein Lineal und ein Zirkel erlaubt.

    Beim Zeichnen darfst Du auch das Geodreieck für das Fällen des Lots oder das Zeichnen einer parallelen Gerade nutzen.

    Was wird gebraucht, um ein Dreieck zu konstruieren?

    Für das Konstruieren eines Dreiecks werden die Werkzeuge Lineal und Zirkel benötigt. Außerdem ist Wissen über die verschiedenen Kongruenzsätze hilfreich.

    Was bedeutet Halbieren beim geometrischen Konstruieren?

    Winkel können beispielsweise halbiert werden, indem die Winkelhalbierende konstruiert wird. Eine Strecke wird mithilfe einer Mittelsenkrechten halbiert.

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    Wie findest du den Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks?

    Wo liegt der Mittelpunkt M des Umkreises eines spitzwinkligen Dreiecks?

    Welche Aussagen sind richtig?

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