Konstruieren

Konstruieren – Grundkonstruktionen: mit Zirkel und Lineal

Einige wichtige Konstruktionen werden mit dem Lineal und dem Zirkel durchgeführt. Hier lernst Du, wie Du eine Strecke zeichnest, wie Du Winkel oder Parallelen konstruieren kannst oder was es mit der Konstruktion des Lots auf sich hat.

Strecke abtragen

Eine Strecke ist eine gerade Linie, begrenzt durch zwei Punkte. Sie besitzt also immer eine festgelegte Größe sowie einen Anfangs- und Endpunkt.

Hast Du eine Strecke gegeben, kannst Du diese zum Beispiel auf eine Gerade oder Halbgerade abtragen. Du „kopierst“ sie sozusagen an einen anderen Ort. Das funktioniert am besten mit dem Zirkel und geht wie folgt:

Winkel konstruieren und abtragen

Winkel kannst Du auf ähnliche Weise abtragen. Was genau ein Winkel ist, siehst Du Dir vorab am besten in der Erklärung Winkel an.

Mittelsenkrechte konstruieren

Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die zu einer gegebenen Strecke oder Gerade senkrecht verläuft und diese auch somit schneidet.

Wie Du sie konstruierst, erfährst Du hier.

Winkelhalbierende konstruieren

Die Winkelhalbierende ist, wie der Name schon sagt, eine Gerade, die einen Winkel genau in der Hälfte teilt.

Lot konstruieren

Ein Lot ist eine Gerade oder Strecke, die senkrecht zu einer anderen Geraden oder Strecke verläuft.

Es wird konstruiert wie die Mittelsenkrechte. Dabei kann es vorkommen, dass Du die Punkte \(A\) und \(B\) auf einer Geraden selbst markieren musst.

Parallele konstruieren

Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie sich nie schneiden. Hast Du also eine Gerade oder eine Strecke gegeben, kannst Du eine Parallele dazu konstruieren.

Konstruktionsbeschreibung	Beispiel
1. Gegeben ist die Strecke \(\overline{AB}\). Konstruiere die Mittelsenkrechte bzw. das Lot zur Strecke \(\overline{AB}\).
2. Wähle einen Punkt auf dem Lot mit etwas Abstand zur Strecke. Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis um diesen Punkt. Es entstehen zwei Schnittpunkte \(P_1\) und \(P_2\) mit den zuvor gezeichneten Kreisen.
3. Verbinde die Schnittpunkte mit dem Lineal und Du erhältst die Parallele \(p\).

Konstruieren – Dreiecke konstruieren

Was ein Dreieck ist, wie Du es konstruierst und alles Weitere zu Dreiecken erfährst Du in den Erklärungen zum Dreieck.

Besondere Kreise eines Dreiecks konstruieren

Dreiecke besitzen einen Inkreis und einen Umkreis. Der Inkreis berührt gleichzeitig alle Seiten und liegt daher innerhalb des Dreiecks, während der Umkreis alle Ecken des Dreiecks berührt und somit außerhalb liegt.

Der Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

Abb. 1 – Inkreis eines Dreiecks.

Du konstruierst den Inkeis also, indem Du zunächst alle drei Winkelhalbierenden konstruierst und ihren Mittelpunkt \(M_I\) markierst. Dann fällst Du das Lot von \(M_I\) auf eine der drei Seiten. Stich zuletzt den Zirkel in \(M_I\), stelle seinen Radius auf die Länge des Lots ein und ziehe einen Kreis.

Ähnlich gehst Du bei dem Umkreis vor.

Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten.

Abb. 2 – Umkreis eines Dreiecks.

Hier konstruierst Du also zunächst die Mittelsenkrechten und markierst ebenfalls wieder den Schnittpunkt \(M_U\). Stich dann den Zirkel in \(M_U\) und stelle den Radius auf den Abstand von \(M_U\) zu einer der Ecken. Ziehe dann einen Kreis und Du erhältst den Umkreis.

Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren

Um den Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren zu können, solltest Du wissen, wie Du die Seitenhalbierenden konstruierst, denn: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er wird auch Massenmittelpunkt oder physikalischer Schwerpunkt der Dreiecksfläche genannt.

Konstruiere für den Schwerpunkt des Dreiecks also zunächst die Seitenhalbierenden der drei Seiten. Nun musst Du lediglich den Punkt markieren, indem sie sich schneiden. Dies ist der Schwerpunkt des Dreiecks.

Abb. 3 – Schwerpunkt eines Dreiecks.

Konstruieren – Vierecke konstruieren

Der Begriff Viereck ist sehr vielseitig. Natürlich haben Vierecke die Gemeinsamkeit, dass sie vier Ecken besitzen. Dennoch gibt es die verschiedensten Arten von Vierecken, wie das Parallelogramm, die Raute, das Quadrat und viele andere.

Ihre Konstruktion und ihr Aussehen kann daher nicht verallgemeinert werden. Sieh Dir deshalb am besten die Erklärungen der einzelnen Vierecke an:

• Quadrat
• Rechteck
• Raute
• Drachenviereck
• Trapez
• Parallelogramm

Konstruieren – Kreis und Kreismittelpunkt konstruieren

Ein Kreis kann mithilfe zweier gegebener Punkte konstruiert werden.

Hast Du jedoch einen Kreis gegeben und möchtest den Kreismittelpunkt herausfinden, gehst Du anders vor. Auch hier helfen Dir wieder die Mittelsenkrechten.

Konstruieren – Achsenspiegelung und Punktspiegelung konstruieren

Vielleicht fragst Du Dich, was noch mal der Unterschied dieser beiden Spiegelungen ist. Keine Sorge, das wird Dir hier kurz erklärt!

• Die Achsenspiegelung ist eine Spiegelung eines Punktes oder mehrerer Punkte oder Figuren an einer Geraden als Spiegelachse.

• Die Punktspiegelung ist die Spiegelung an einem Punkt \(Z\). Dabei können einzelne Punkte, aber auch ganze Figuren an diesem Punkt gespiegelt werden.

Du kannst dabei sowohl mit dem Geodreieck als auch mit dem Zirkel spiegeln. Die exakte Anleitung findest Du in den Erklärungen „Achsenspiegelung“ bzw. „Punktspiegelung“. Dort kannst Du Dir die genauen Erklärungen mit Abbildungen und Beispielen ansehen.

Konstruieren – Geometrie Konstruieren Aufgaben

Nach der Theorie kannst Du hier direkt noch eine Übungsaufgabe zur Konstruktion lösen. Weitere Übungsaufgaben findest Du in jedem Unterartikel der Konstruktion.