Nahezu jede Funktionsgleichung besitzt Koeffizienten. Manchmal sind sie direkt ersichtlich und manchmal musst Du ein wenig nach Ihnen suchen. Sie geben an, wie stark etwas in eine Funktion oder Gleichung einfließen soll. Öfter werden Koeffizienten einer Funktion mit Koeffizienten einer anderen Funktion verglichen. Meistens, um Funktionen in eine andere Form zu bringen. Im Alltag benutzt Du Koeffizienten meistens als Mengenangabe. Beispielsweise \(750\text{ ml}\) Milch, \(380\text{ g}\) Mehl, \(3\) Eier und \(2\text{ g}\) Salz in einem Rezept. Wie Koeffizienten jedoch in der Mathematik eingesetzt werden, erfährst Du in dieser Erklärung.
Koeffizient – Definition
Als Koeffizienten bezeichnet man Zahlen, Konstanten, Parameter oder sonstige Größen, die vor der Funktionsvariable \( x \) stehen. Sie geben an, mit welchem Faktor das \( x \) in die Funktion einfließt.
Ein Koeffizient ist ein Vorfaktor einer veränderlichen Größe, also eine Größe, die vor der Funktionsvariable \( x \) steht.
Das heißt, dass die Variable mit dem Koeffizienten multipliziert wird und dadurch bestimmt, wie oft diese Variable vorkommt. Also beispielsweise so:
\[ {\color{#1478c8}5}{\color{#00dcb4}x}={\color{#1478c8}5}\cdot {\color{#00dcb4}x}={\color{#00dcb4}x}+{\color{#00dcb4}x}+{\color{#00dcb4}x}+{\color{#00dcb4}x}+{\color{#00dcb4}x} \]
In der Mathematik beziehen sich Koeffizienten auf eine veränderliche Größe einer Funktion.
Die veränderliche Größe (Variable) der Funktion \( f(x) = {\color{#1478c8}3}{\color{#00dcb4}x} + {\color{#1478c8}5} \) lautet \( x \).
Die \( {\color{#1478c8}3} \) bezieht sich direkt auf das \({\color{#00dcb4}x}\) und ist demnach ein Koeffizient. Obwohl die \(5\) sich nicht auf eine veränderliche Größe bezieht, sondern lediglich auf \( x^{0}=1 \), wird diese auch zu den Koeffizienten hinzugezählt. Man bezeichnet diese Art von Koeffizient als Absolutglied oder Konstante.
Die Funktionsvariable \( x \) kann innerhalb einer Funktion beliebig oft vorkommen. Für jede Potenz der Funktionsvariable \( x \) gibt es jeweils einen Koeffizienten. Schau Dir dafür die ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion genannt) an:
\begin{align} f(x) &= {\color{#1478c8}8}{\color{#00dcb4}x^{3}}+{\color{#1478c8}3}{\color{#00dcb4}x^{2}}+{\color{#1478c8}17}{\color{#00dcb4}x^{1}}+{\color{#1478c8}\frac{ 3 }{ 4 }}{\color{#00dcb4}x^{0}}\\[10pt]&= {\color{#1478c8}8}{\color{#00dcb4}x^{3}}+{\color{#1478c8}3}{\color{#00dcb4}x^{2}}+{\color{#1478c8}17}{\color{#00dcb4}x}+{\color{#1478c8}\frac{ 3 }{ 4 }}\\\end{align}
\({\color{#1478c8}8}\), \({\color{#1478c8}3}\), \({\color{#1478c8}17}\) und \({\color{#1478c8}\frac{ 3 }{ 4 }}\) sind Koeffizienten der Funktion \( f(x) \). \({\color{#1478c8}\frac{ 3 }{ 4 }}\) bezeichnet man dabei auch als Absolutglied bzw. Konstante.
Parameter und Koeffizient
Im Unterschied zu Koeffizienten besitzen Parameter keinen festen Wert und müssen sich auch nicht auf die Funktionsvariable \( x \) beziehen. Ein Parameter kann somit – außer es wurden vorher Grenzen festgelegt – jeden Wert annehmen. Ein Parameter, der sich auf die Funktionsvariable \( x \) bezieht, ist auch gleichzeitig Koeffizient.
$$f(x)={\color{#00dcb4}c}x^2+{\color{#1478c8}2} x+{\color{#fa3272}k}$$
- \({\color{#00dcb4}c}\): Koeffizient & Parameter
- \({\color{#1478c8}2}\): Koeffizient
- \({\color{#fa3272}k}\): Parameter & Absolutglied
Koeffizienten dagegen besitzen einen definierten Wert und lassen sich auch nicht verändern. Parameter und Koeffizienten nehmen beide Einfluss auf die Funktionswerte \( f(x) \).
Korrelationskoeffizient
Der Korrelationskoeffizient ist eine Zahl zwischen \(-1\) und \(1\). Er dient eher als eine Art Bewertung der Linearität von mindestens zwei Messpunkten oder Merkmalen. Grob gesagt: Je eher Du die Messpunkte in einem Koordinatensystem mit nur einer Geraden abbilden kannst, desto größer ist der Korrelationskoeffizient für positive Steigungen (maximal \(1\)) und desto kleiner ist er für negative Steigungen (maximal \(-1\)).
Stell Dir vor, Du schaust an einem belebten Samstagnachmittag von oben auf Deine Stadt herab und siehst die Menschenmasse durch die Stadt spazieren. Du hältst den Moment kurz als Foto fest. Plötzlich fängt es an zu regnen und Du beobachtest, wie sich die Leute alle unter einem Dach vor dem Regen schützen. Wieder hältst Du den Moment als Foto fest.
Schau Dir Deine geschossenen Fotos als Modell in einem Koordinatensystem an. Jeder Punkt steht für eine Person.
Abb. 1: Position der Menschen vor dem Regen (links) und während des Regens (rechts).
Versuche, mit einer Geraden so viele Menschen wie möglich zu erfassen. Du wirst merken, dass es mit den Menschen, die enger zusammenstehen (rechtes Bild), einfacher ist, als wenn sie verteilt mit großem Abstand voneinander durch die Stadt spazieren (linkes Bild). Die Gerade im rechten Bild korreliert eher mit der Menschenmasse als im linken Bild. Der Korrelationskoeffizient beträgt fast \(1\).
Für Geraden mit negativer Steigung ergibt sich die höchste Korrelation bei \(-1\) und die niedrigste bzw. keine Korrelation bei \(0\).
Koeffizient – Mathe
Wie genau Koeffizienten in der Mathematik benutzt werden und welche Aufgabentypen Dir begegnen können, erfährst Du jetzt.
Ganzrationale Funktionen
Aus dem allgemeinen Aufbau einer ganzrationalen Funktion können die Koeffizienten durch eine feste Nummerierung den einzelnen Gliedern zugewiesen werden:
$$f(x)={\color{#1478c8}a_{ n }}x^{ n }+{\color{#1478c8}a_{ n-1 }}x^{ n-1 }+...+{\color{#1478c8}a_{ 1 }}x^{ (1) }+{\color{#1478c8}a_{ 0 }}$$
| Für \( n=1 \) | \( f(x)={\color{#1478c8}a_{ 1 }}x+{\color{#1478c8}a_{ 0 }}\) |
| Für \( n=2 \) | \( f(x)={\color{#1478c8}a_{ 2 }}x^{ 2 }+{\color{#1478c8}a_{ 1 }}x+{\color{#1478c8}a_{ 0 }}\) |
| Für \( n=3 \) | \( f(x)={\color{#1478c8}a_{ 3 }}x^{ 3 }+{\color{#1478c8}a_{ 2 }}x^{ 2 }+{\color{#1478c8}a_{ 1 }}x+{\color{#1478c8}a_{ 0 }} \) |
| Für \( n=4 \) | \( f(x)={\color{#1478c8}a_{ 4 }}x^{ 4 }+{\color{#1478c8}a_{ 3 }}x^{ 3 }+{\color{#1478c8}a_{ 2 }}x^{ 2 }+{\color{#1478c8}a_{ 1 }}x^+{\color{#1478c8}a_{ 0 }}\) |
Die Koeffizienten sind blau gekennzeichnet. Die Koeffizienten-Variablen-Paare werden nach dem Exponenten der Variable in absteigender Reihenfolge sortiert.
Es kann vorkommen, dass sich innerhalb einer Funktion mehr als ein Element die Potenz der Funktionsvarianten \( x \) teilen. Schau Dir dazu das folgende Beispiel an:
$$f(x)=8x^{3}+3x^2+9x^2+17x+\frac{ 3 }{ 4 }$$
Die allgemeine Form der ganzrationalen Funktion lautet:
\[f(x)={\color{#1478c8}a_{ 3 }}x^{ 3 }+{\color{#1478c8}a_{ 2 }}x^{ 2 }+{\color{#1478c8}a_{ 1 }}x+{\color{#1478c8}a_{ 0 }} \]
Für jede Potenz der Funktionsvariablen \( x \) darf es nur einen Koeffizienten geben. Die Potenz \( x^{2} \) kommt aber in der Funktion zweimal vor, und zwar in \( {\color{#1478c8}3}x^{2}+{\color{#1478c8}9}x^{2}\). Da die Potenz dieselbe ist, kannst Du die Koeffizienten addieren.
$${\color{#1478c8}3}x^{2}+{\color{#1478c8}9}x^{2}= ({\color{#1478c8}3}+{\color{#1478c8}9})x^{2}={\color{#1478c8}12}x^2$$
Die Koeffizienten der Funktion lauten somit:
\begin{align} a_{ 3 }&=8\\a_{ 2 }&=12\\a_{ 1 }&=17\\a_{ 0 }&=\frac{ 3 }{ 4 }\\\end{align}
Versuche nun selbst, die folgende Aufgabe zu lösen:
Aufgabe 1: Ganzrationale Funktion bestimmen
Eine ganzrationale Funktion \( g(x) \) hat die Koeffizienten:
- \(a_{ 3 }=2\)
- \(a_{ 1 }=9\)
- \( a_{ 0 } = 0\)
- \( a_{ 2 } = 0 \)
Wären \(a_0\) und \(a_2\) nicht gegeben, kannst Du sie ebenfalls mit 0 gleichsetzen.
Wie lautet die ganzrationale Funktion?
Lösung
Die allgemeine Form der ganzrationalen Funktion lautet:
$$g(x)={\color{#1478c8}a_{ 3 }}x^{ 3 }+{\color{#1478c8}a_{ 2 }}x^{ 2 }+{\color{#1478c8}a_{ 1 }}x^{ 1 }+a_{ 0 }$$
Durch Einsetzen der Koeffizienten erhältst Du:
\begin{align}g(x)&={\color{#1478c8}2}x^{ 3 }+{\color{#1478c8}0}x^{ 2 }+{\color{#1478c8}9}x+0\\g(x)&={\color{#1478c8}2}x^{ 3 }+{\color{#1478c8}9}x\end{align}
Koeffizientenvergleich
Bei einem Koeffizientenvergleich werden die Koeffizienten zweier Gleichungen miteinander verglichen. Das kann dazu dienen, um genauere Aussagen über die Funktionen treffen zu können oder zum Beispiel, um eine Partialbruchzerlegung durchzuführen. Sieh Dir dafür das folgende Beispiel an:
Folgende Gleichung ist gegeben:
$${\color{#1478c8}6}x^{3}+{\color{#00dcb4}2}x^{2}+{\color{#fa3273}0}x+{\color{#8363e2}10}={\color{#1478c8}A}x^{3}+{\color{#00dcb4}B}x^{2}+{\color{#fa3273}C}x+{\color{#8363e2}D}$$
Die Funktion auf der linken Seite entspricht der Funktion auf der rechten Seite. Das, was bei der einen Funktion vor dem \(x^{3}\) steht, muss also genau dem entsprechen, was vor dem \(x^{3}\) in der anderen Funktion steht.
Für die Funktion auf der linken Seite wäre das die \(6\) und für die Funktion auf der rechten Seite das \(A\). Somit erkennst Du das \(A = 6\) entspricht.
Vergleichst Du die restlichen Koeffizienten beider Funktionen miteinander erhälst Du:
\begin{align} {\color{#1478c8}A} &= {\color{#1478c8}6}\\{\color{#00dcb4}B} &= {\color{#00dcb4}2}\\{\color{#fa3272}C} &= {\color{#fa3272}0}\\{\color{#8363e2}D} &= {\color{#8363e2}10}\\\end{align}
Koeffizienten von linearen Gleichungssystemen – Koeffizientenmatrix
Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen stößt Du öfter auf den Gauß-Algorithmus. Beim Erstellen der Gauß-Tabelle trägst Du die Koeffizienten, das Absolutglied und das Ergebnis der einzelnen Gleichungen untereinander in eine Matrix auf.
\begin{align} {\color{#1478c8}3}x+{\color{#1478c8}8}y-35 &= 11\\{\color{#1478c8}7}x+{\color{#1478c8}2}y &= 24 \\\end{align}
Überträgt man die Werte in eine Gauß-Tabelle, erhält man folgendes Ergebnis:
$$\left(\begin{array}{ccc|c} {\color{#1478c8}3} & {\color{#1478c8}8} & -35 & 11 \\ {\color{#1478c8}7} & {\color{#1478c8}2} & 0 & 24 \\\end{array}\right)$$
Die zweite Gleichung besteht nur aus 2 Teilen, anstatt 3, wie die Gleichung darüber. Du kannst hier die Stelle des Absolutgliedes einfach mit einer 0 auffüllen, sodass die Matrix vollständig ist.
Durch das Übertragen der Werte kannst Du die Gauß-Tabelle erstellen und das lineare Gleichungssystem lässt sich anschließend mit dem Gauß-Algorithmus lösen.
Koeffizient – Aufgaben
Um Dein Wissen zu testen, versuche nun selbstständig die folgenden Aufgaben zu lösen:
Aufgabe 2
Betrachte folgende Gleichung:
$$2x^{3}+16x^{3}+x^{2}-9x+3x+1000=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$$
Wie groß sind A, B, C und D?
Lösung
Hier handelt es sich um einen Koeffizientenvergleich. Du vergleichst also jeweils die Koeffizienten einer Variable gleicher Potenz miteinander.
Fasse zuerst die Gleichung zusammen, sodass die Koeffizienten sichtbar werden:
$${\color{#1478c8}18}x^{3}+{\color{#00dcb4}1}x^{2}-{\color{#fa3273}6}x+{\color{#8363e2}1000}={\color{#1478c8}A}x^{3}+{\color{#00dcb4}B}x^{2}+{\color{#fa3273}C}x+{\color{#8363e2}D}$$
Vergleiche nun die Koeffizienten der linken Seite mit den Koeffizienten der rechten Seite:
Somit ist etwa die \(18\) mit dem \(A\) auf der anderen Seite der Gleichung zu vergleichen, da sie beide vor einem \(x^3\) stehen usw.
Die Koeffizienten A, B, C und D ergeben sich zu:
\begin{align} {\color{#1478c8}A} &= {\color{#1478c8}18}\\{\color{#00dcb4}B} &= {\color{#00dcb4}1}\\{\color{#fa3272}C} &= {\color{#fa3272}-6}\\{\color{#8363e2}D} &= {\color{#8363e2}1000}\\\end{align}
Aufgabe 3
Wie lauten die Koeffizienten der folgenden ganzrationalen Funktion?
\[ f(x)=\sqrt{ 17 }x^{5}-10x^{2}-\frac{ 3 }{ 8 }x^{7}-1000+x \]
Lösung
Sortierst Du die Formel nach den Exponenten der Variable \( x \), erhältst Du:
$$f(x)=-\frac{ 3 }{ 8 }x^{7}+\sqrt{ 17 }x^{5}-10x^{2}+x-1000$$
Die allgemeine Formel der ganzrationalen Funktion lautet:
$$f(x)={\color{#1478c8}a_{ 7 }}x^{ 7 }+{\color{#1478c8}a_{ 6 }}x^{ 6 }+{\color{#1478c8}a_{ 5 }}x^{ 5 }+{\color{#1478c8}a_{ 4 }}x^{ 4 }+{\color{#1478c8}a_{ 3 }}x^{ 3 }+{\color{#1478c8}a_{ 2 }}x^{ 2 }+{\color{#1478c8}a_{ 1 }}x+{\color{#1478c8}a_{ 0 }}$$
Die Koeffizienten ergeben sich zu:
\begin{align} a_{ 7 }&=-\frac{ 3 }{ 8 }\\a_{ 6 }&=0\\a_{ 5 }&=\sqrt{ 17 }\\a_{ 4 }&=0\\a_{ 3 }&=0\\a_{ 2 }&=-10\\a_{ 1 }&=1\\a_{ 0 }&=-1000\\\end{align}
Aufgabe 4
Folgendes lineares Gleichungssystem ist gegeben. Du willst das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Erstelle aus dem Gleichungssystem die Gauß-Tabelle.
\begin{align} 300x+4^{4}y-\frac{ 1 }{ 5 }z+2,2 &= 1582\\3y-33z-\frac{ 3 }{ 3 }x+333 &= 312\\ \sqrt{ 9 }z-5y &= -22\\ \end{align}
Lösung
Für die Lösung erhält jeder Koeffizient eine Zelle Matrix. Achte dabei auf die Potenz der Variablen. Leere Stellen werden mit 0 aufgefüllt.
$$\left(\begin{array}{cccc|c} 300 & 4^{4} & -\frac{ 1 }{ 5 } & 2,2 & 1582\\ -\frac{ 3 }{ 3 } & 3 & -33 & 333 & 312 \\ 0 & -5 & \sqrt{ 9 } & 0 & -22 \\ \end{array}\right)$$
Koeffizient – Das Wichtigste
- Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion lautet: $$f(x)={\color{#1478c8}a_{ n }}x^{ n }+{\color{#1478c8}a_{ n-1 }}x^{ n-1 }+...+{\color{#1478c8}a_{ 1 }}x^{1}+{\color{#1478c8}a_{ 0 }}$$ Die blau markierten Elemente sind Koeffizienten. Das letzte Element \( {\color{#1478c8}a_{ 0 }} \) bezeichnet man als Absolutglied.
- Für jede Potenz der Funktionsvariable \( x \) gibt es genau einen Koeffizienten. Findest du zwei Elemente mit derselben Potenz von \( x \), kannst Du diese zusammenfassen: $${\color{#1478c8}3}x^{2}+{\color{#1478c8}9}x^{2}= ({\color{#1478c8}3}+{\color{#1478c8}9})x^{2}={\color{#1478c8}12}x^2$$
- Bei einem Koeffizientenvergleich vergleichst Du die Koeffizienten zweier Funktionen miteinander: $${\color{#1478c8}6}x^{3}+{\color{#00dcb4}2}x^{2}+{\color{#fa3273}0}x+{\color{#8363e2}10}={\color{#1478c8}A}x^{3}+{\color{#00dcb4}B}x^{2}+{\color{#fa3273}C}x+{\color{#8363e2}D}$$
- Parameter sind meistens Buchstaben, in denen Du was einsetzen kannst. Sie besitzen keinen festen Wert und können auch Koeffizienten sein.
- Der Korrelationskoeffizient ist eine Zahl von -1 bis 1 und gibt an, wie gut mindestens zwei Punkte durch eine Gerade angenähert werden können.
Nachweise
- Papula (2014). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium (14., überarb. u. erw. Aufl.). Vieweg.
- Kreh (2014). Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1. Springer Spektrum Berlin, Heidelberg.
- Weber, Missal. (2020). Basiswissen Schule – Mathematik Abitur: Das Standardwerk für die Oberstufe. Duden ein Imprint von Cornelsen Verlag GmbH.
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