Wie wird das Kreuzprodukt berechnet und wie lautet die Formel dafür? Welche Rechenregeln sind dabei zu beachten und welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt und dem Kreuzprodukt? In der folgenden Erklärung findest Du alle Antworten auf diese Fragen!
Kreuzprodukt Vektor Formel
Das Kreuzprodukt ist die Verknüpfung (Multiplikation) von zwei Vektoren, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist – der Normalenvektor \(\vec{n}\).
Das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)\) und \(\vec{b}=\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)\) ist definiert durch den Vektor
\begin{align}\vec{a}\times\vec{b}&=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{rcl}a_2\cdot b_3&-&a_3\cdot b_2\\a_3\cdot b_1&-&a_1\cdot b_3\\a_1\cdot b_2&-&a_2\cdot b_1\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{c}c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right)\Rightarrow \vec{n}\end{align}
Der Normalenvektor \(\vec{n}\) steht senkrecht (orthogonal) auf der von den Ausgangsvektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Ebene:
\begin{align}\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}\quad \text{mit}\quad \vec{n}\perp\vec{a}\quad \text{und}\quad \vec{n}\perp\vec{b}\end{align}
Wenn Du also zwei Vektoren gegeben hast, die in unterschiedliche Richtungen zeigen, kannst Du damit einen dritten Vektor \(\vec{c}\) berechnen, der senkrecht auf diesen beiden steht.
Abb. 1 - Kreuzprodukt Vektor.
Das folgende Beispiel veranschaulicht Dir die Berechnung mit der oben genannten Formel.
Den Normalenvektor \(\vec{n}\) auf \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\4\end{array}\right)\) und \(\vec{b}=\left(\begin{array}{c}5\\3\\-1\end{array}\right)\) berechnest Du somit, indem Du das Kreuzprodukt bildest:
\begin{align}\vec{n}&=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\4\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}5\\3\\-1\end{array}\right)\\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{rcl}-2\cdot(-1)&-&(-4)\cdot3\\4\cdot5&-&(-2)\cdot(-1)\\2\cdot3&-&(-4)\cdot5\end{array}\right)\\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{c}-8\\22\\26\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\vec{n}\perp\vec{a}\enspace \text{und} \enspace\vec{n}\perp\vec{b}\end{align}
Kreuzprodukt berechnen
Damit Du Dir diese Formel besser merken kannst, gibt es eine Eselsbrücke. Die sogenannte Gartenzaunregel:
Abb. 2 - Kreuzprodukt berechnen – Schema.
- Schreibe die einzelnen Zeilen der Vektoren zweimal untereinander auf.
- Streiche die oberste und die unterste Zeile.
- Nun rechnest Du die übrigen Zahlen kreuzweise, indem Du die miteinander verbundenen Zahlen multiplizierst und das Produkt der kreuzenden Linie davon abziehst.
Kreuzprodukt berechnen – Aufgabe 1
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Vektoren \( \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \) und \( \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \).
Lösung
Das Kreuzprodukt kannst Du berechnen, indem Du das Gartenzaunschema anwendest:
Abb. 3 - Lösung des Kreuzprodukts mit dem Gartenzaunschema
Deine Rechnung sieht dann so aus:
\begin{align} \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \vec{a} \times \vec{b} & = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \\[0.2cm] & = \left( \begin{array}{rcl} \color{bl} 4 \cdot 2 & \color{bl} - & \color{bl} 1 \cdot 1 \\ \color{gr} 1 \cdot 2 & \color{gr} - & \color{gr} 3 \cdot 2 \\ \color{li} 3 \cdot 1 & \color{li} - & \color{li} 4\cdot 2 \end{array} \right) \\[0.2cm] & = \left( \begin{array}{c} 8 & - & 1 \\ 2 & - & 6 \\ 3 & - & 8 \end{array} \right) \\[0.2cm] & = \left( \begin{array}{c} 7 \\ -4 \\ -5 \end{array} \right) \Rightarrow \vec{n} \end{align}
Der resultierende Vektor ist orthogonal zu den beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), also der Normalenvektor \(\vec{n}\) von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). Die Länge des resultierenden Vektors ist die Fläche des Parallelogramms, welches mit den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannt wird.
Falls Du hier als Ergebnis des Kreuzprodukts 0 herausbekommen hättest, sind die Vektoren entweder gleich oder Vielfache voneinander und spannen somit keine Fläche auf, sondern eine Gerade. Aus diesem Grund ist der Normalenvektor null und wird daher Nullvektor genannt.
Neben der Orthogonaliätsbeziehung lässt sich mithilfe des Vektorprodukts der Winkel bestimmen, der zwischen den Richtungsvektoren der Ebene \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) auftritt.
Kreuzprodukt Betrag (Rechte Hand Regel)
Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi\). $$\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\cdot\vert\vec{b}\vert\cdot\sin\phi\enspace (0^\circ\le\phi\le 180^\circ)$$
Das heißt, mit dem Betrag des Kreuzprodukts kannst Du den Winkel berechnen, der zwischen den Richtungsvektoren der Ebene auftritt, sowie Flächeninhalte und Volumina.
Kreuzprodukt Flächeninhalt
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms oder Dreiecks kann mit dem Kreuzprodukt berechnet werden.
Die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) spannen ein Parallelogramm auf, das den Flächeninhalt $$\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\cdot\vert\vec{b}\vert\cdot\sin\phi$$ besitzt. Dabei gibt der Betrag oder die Länge des Vektors \(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert\) den Flächeninhalt des von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms an, wobei \(\phi\) der von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) eingeschlossene Winkel ist.
Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren lässt sich also geometrisch als die Maßzahl des Flächeninhalts des Parallelogramms deuten.
Abb. 4 - Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen
Mithilfe des Kreuzprodukts lässt sich der Flächeninhalt eines Parallelogramms oder Dreiecks berechnen:
\begin{align}A_{\text{Parallelo}\text{gramm}}&=\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert\\ A_{\text{Dre}\text{ieck}}&=\frac{1}{2}\cdot\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert \end{align}
Du beginnst also damit, das Kreuzprodukt der beiden gegebenen Vektoren nach der Formel zu berechnen. Wie bereits gelernt, wird das Ergebnis wieder ein Vektor \(\vec{c}\) sein. Als Nächstes berechnest Du den Betrag des Vektors \(\vec{c}\) und es ergibt sich der Flächeninhalt des Parallelogramms bzw. der Flächeninhalt des Dreiecks.
Der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den zwei Vektoren \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c}4\\2\\-5\end{array}\right)\) und \(\vec{b}=\left(\begin{array}{c}0\\4\\6\end{array}\right)\) aufgespannt wird, kannst Du folgendermaßen berechnen:
\begin{align}A_{\text{Parallelogramm}} &=\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert =\left\vert\begin{array}{c} 4\\2\\-5\end{array}\times\begin{array}{c}0\\4\\6\end{array}\right\vert =\left\vert\begin{array}{c} 32\\-24\\16\end{array}\right\vert \\[0.2cm] & =\sqrt{32^2+(-24)^2+16^2}=\sqrt{1\,856}\approx 43,08\\[0.5cm] A_{\text{Drei}\text{eck}}&=\frac{1}{2}\cdot\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1\,856}\approx 17,49\end{align}
Ebenso kann das Volumen eines Spats oder einer dreiseitigen Pyramide berechnet werden. Falls Du mehr über die Volumenberechnung erfahren möchtest, schau Dir gerne die Erklärungen „Volumen eines Spates“ und „Volumen Pyramide“ an.
Kreuzprodukt Rechenregeln
In der nachfolgenden Tabelle findest Du eine Übersicht zu allen Eigenschaften und die sich daraus ergebenden Anwendungen des Kreuzprodukts.
| Regel | Erklärung |
| nicht kommutativ | Die Reihenfolge spielt bei der Berechnung eine wichtige Rolle. Wenn Du die beiden Vektoren vertauschst, erhältst Du als Kreuzprodukt den Gegenvektor:$$\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})$$Werden \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen bzw. der Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung. |
| nicht assoziativ | $$(c(\vec{a}\times\vec{b})=(c\vec{a})\times\vec{b}=\vec{a}\times(c\vec{b}))$$ |
| distributiv | $$(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$$ |
| kollinear | Wenn das Kreuzprodukt Null ist, dann sind die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) kollinear.$$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\Rightarrow\vec{a}\parallel\vec{b}$$ |
| weitere Regel | $$(r\cdot\vec{a})\times\vec{b}=r\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}\times(r\cdot\vec{b})$$ |
Kreuzprodukt – Herleitung
Das Kreuzprodukt kann mit einem Gleichungssystem hergeleitet werden. Die Gleichungen basieren auf den Eigenschaften, dass ...
- ... der Vektor \(\vec{c}\) senkrecht auf den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) steht.
- ... das Skalarprodukt zweier Vektoren genau dann null wird, wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Somit lautet der Ansatz:
\begin{align} \vec{c} \cdot \vec{a} & = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) = 0 \Leftrightarrow a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 = 0 \\[0.2cm] \vec{c} \cdot \vec{b} & = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = 0 \Leftrightarrow b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3 = 0 \end{align}
Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\). Alle anderen Variablen werden als bekannt vorausgesetzt. Nun wird das LGS gelöst:
\begin{eqnarray} (I)\enspace a_{1}c_{1}+ a_{2}c_{2} - a_{3}c_{3} & = & 0\enspace &|\cdot(-b_1)\\ (II)\enspace b_{1}c_{1} -b_{2}c_{2} + b_{3}c_{3} & = & 0\enspace &|\cdot a_1 \end{eqnarray}
Du erhältst:
\begin{eqnarray}c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{eqnarray}
Der gesamte Vektor aus den drei Gleichungen nennt sich Kreuzprodukt \(\vec{a}\times\vec{b}\):
\begin{align}\vec{a}\times\vec{b}&=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{rcl}a_2\cdot b_3&-&a_3\cdot b_2\\ a_3\cdot b_1&-&a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2&-&a_2\cdot b_1\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{c}c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right)\Rightarrow \vec{n}\end{align}
Das Kreuzprodukt kannst Du auch für zweidimensionale Vektoren bilden.
Kreuzprodukt zweidimensional
Seien \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)\) und \(\vec{b}=\left(\begin{array}b_1\\b_2\end{array}\right)\) zwei Vektoren, dann gilt für das Kreuzprodukt im \(\mathbb{R^2}\):
\begin{align}\vec{a}\times\vec{b}=det(\vec{a}\vec{b})=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1\cdot b_2-b_1\cdot a_2\end{align}
Der Unterschied zu dreidimensionalen Vektoren ist der, dass das Kreuzprodukt zweier zweidimensionaler Vektoren ein Skalar bzw. die Determinante ist. Genauer gesagt ist es nur der Betrag des resultierenden Vektors.
Kreuzprodukt – Übungsaufgaben
Im Folgenden findest Du Übungsaufgaben zur Berechnung des Kreuzprodukts, sowie deren Lösungen.
Kreuzprodukt – Aufgabe 2
Gegeben sind die Vektoren
\begin{align}\vec{a}=\left(\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right)\enspace und\enspace\vec{b}=\left(\begin{array}{c}2\\5\\5 \end{array}\right)\end{align}
- Berechne \(\vec{a}\times\vec{b}\).
- Bestimme einen Vektor, der orthogonal zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist.
- Bestimme alle Vektoren, die orthogonal zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind.
Lösung
- \(\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}=\left(\begin{array}{c}-5\\-13\\15\end{array}\right)\)
- Für den in a. errechneten Vektor \(\vec{z}=\left(\begin{array}{c} -5\\-13\\15\end{array}\right)\) gilt \(\vec{z}\perp\vec{a}\) und \(\vec{z}\perp\vec{b}\).
- Alle Vektoren, die gleichzeitig senkrecht auf \(\vec{a}\)
Kreuzprodukt – Aufgabe 3
Wie lautet das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\end{array}\right)\enspace und \enspace \vec{y}=\left(\begin{array}{c} 1\\-1\\2\end{array}\right)\) ?
Lösung
\begin{align}\vec{x}\times\vec{y}&=\left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 1\\-1\\2\end{array}\right)\\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{rcl}2\cdot 2&-&(-1)\cdot 3\\3\cdot 1&-&2\cdot 1\\1\cdot(-1)&-&2\cdot 1\end{array}\right)\\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{c}7\\1\\-3\end{array}\right)\end{align}
Kreuzprodukt – Das Wichtigste
- Mit dem Kreuzprodukt ermittelst Du den Normalenvektor \(\vec{n}\), der senkrecht auf einer Ebene steht.
- Sind die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) parallel, dann ist \(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vec{0}\) (Nullvektor).
- Für die Länge des Vektorprodukts \(\vec{a}\times\vec{b}\) gilt die Bezeichnung \(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\cdot\vert\vec{b}\vert\cdot\sin\phi\). Dabei bezeichnet \(\phi\) den Winkel, der von den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) eingeschlossen wird.
- Der Betrag des Kreuzprodukts stimmt mit dem Flächeninhalt des von den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms überein
Nachweise
- Präsler, Max (1977). Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung. Walter de Gruyter
- Amann, Herbert; Eschert, Joachim (2006). Analysis 2. Band 2. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel
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