Select your language

Suggested languages for you:
Login Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Gleichungen

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Gleichungen

Du feierst heute Deinen 12ten Geburtstag und fragst Dich, wie lange es noch dauert, bis Du volljährig wirst. Schon bist Du mitten in einer Matheaufgabe, bei welcher ein grundlegendes Wissen zum Thema Gleichungen benötigt wird.

Arten von Gleichungen Gleichung StudySmarter

Alles rund ums Thema Gleichungen erfährst Du in folgender Staffel.

Gleichungen – Grundlagen

Zunächst einmal sollte Dir klar sein, was eine Gleichung überhaupt ist.

Gleichung – Definition & Aufbau

Eine Gleichung ist per Definition folgendermaßen aufgebaut:

Gleichungen Aufbau einer Gleichung StudySmarterAbbildung 1: Aufbau einer Gleichung

Eine Gleichung besteht immer aus zwei Termen, welche durch ein Gleichzeichen '=' voneinander getrennt werden.

Gleichung einfach erklärt

Aber, ein Schritt zurück: Was soll denn eine Gleichung überhaupt darstellen? Schaue Dir dazu Abbildung 2 an, welche die StudySmarter Waage darstellt.

Gleichungen Waage im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 2: Waage im Gleichgewicht

Genau diese Abbildung beschreibt den Kern hinter Gleichungen. Gleichungen verbinden zwei Objekte miteinander, indem sie Dir mitteilen: Links und rechts steht genau dasselbe.

Bedeutung des Gleichheitszeichen | Linke & Rechte Seite einer Gleichung

Das Gewicht auf der linken Seite soll mit dem Buchstaben L und das auf der rechten Seite mit R bezeichnet werden.

Die Beobachtung, dass sich die Waage im Gleichgewicht befindet, kannst Du mit dem Ausdruck Gleichungen Grundlagen Gleichung zwischen zwei Ausdrücken A und B StudySmarternotieren.

Der Ausdruck "" steht also für eine Gleichung, bei welcher linke Seite und R die rechte Seite gleich groß sind.

Doch wie kannst Du nun mit einer solchen Gleichung umgehen?

Gleichungen – Anwendung

Gleichungen können Dir in der Mathematik enorm weiterhelfen. Dazu musst Du lernen, sie aufzustellen und zu lösen.

1. Aufstellen von Gleichungen

Um das Gleichgewicht zu erhalten, musst Du auf beiden Seiten immer genau dasselbe machen. Das heißt, Du entfernst beispielsweise auf beiden Seite den türkisfarbenen Block. Würde dieser nur auf einer Seite entfernt werden, gäbe es ein Ungleichgewicht.

Gleichungen Waage ins Gleichgewicht bringen StudySmarterAbbildung 3: Waage ins Gleichgewicht bringen

Wie Gleichungen korrekt definiert, erkannt, aufgestellt und gelöst werden, wird im Beitrag Gleichungen Grundlagen auf StudySmarter erklärt. Neugierig? Dann sieh Dir diesen unbedingt noch an!

Eine einfache mathematische Gleichung für dieses grafische Beispiel sieht wie folgt aus:

Aufgabe 1

Stelle eine Gleichung für Abbildung 2 auf, wobei die Bausteine folgendes Gewicht aufweisen:

Rot =

Türkis =

Orange =

Entferne anschließend in der Gleichung den türkisfarbenen Baustein, wie Abbildung 2 aufzeigt.

Lösung

Es ergibt sich folgende Gleichung:

Als nächsten Schritt wird das Gewicht anstelle der Begriffe eingesetzt.

Um den türkisfarbenen Baustein zu entfernen, werden auf beiden Seiten die abgezogen, um die Lösung zu erhalten. Es ergibt sich somit folgende Gleichung:

In der Mathematik beinhalten Gleichungen meistens sogenannte Variablen, welche mit x, y, z bezeichnet werden und stellvertretend für einen beliebigen Wert stehen.

Beispielsweise bei unserem einführenden Beispiel, bei welchem Du berechnen möchtest, wie lange Du warten musst, bis Du 18 Jahre alt wirst. Es muss also eine Zahl gefunden werden, welche, wenn man 12 addiert, genau 18 ergibt.

Wie folgende Gleichung gelöst werden kann, erfährst Du im nächsten Abschnitt.

2. Lösen von Gleichungen

Du kannst Gleichungen auf verschiedene Arten lösen.

Rechnerisch Lösen

Möchtest Du eine Gleichung rechnerisch lösen, musst Du sie zunächst mithilfe von Äquivalenzumformungen nach der Variable auflösen und sie dann vereinfachen.

Die Äquivalenzumformung ist dazu da, die Gleichung so umzustellen, dass die Variable sich allein auf einer Seite befindet.

Äquivalenzumformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert lassen.

Du nimmst also auf beiden Seiten der Gleichung die genau gleiche Rechenoperation vor, um verschiedene Terme von einer Seite der Gleichung auf die andere zu schieben.

Möchtest Du mehr zum Thema der Äquivalenzumformung erfahren, dann sieh Dir unbedingt den Beitrag hierzu auf StudySmarter an!

Folgendes Beispiel soll versuchen, die Gleichung aus der Einführung korrekt umzustellen:

Aufgabe 1

Wende die Äquivalenzumformung für folgende Gleichung an:

Lösung

Um diese Gleichung so umzustellen, dass die Variable x allein auf der linken Seite steht, muss die auf die andere Seite geschoben werden. Dazu wird die gegensätzliche Rechenoperation () auf beiden Seiten angewendet:

Nun ist die Gleichung mithilfe der Äquivalenzumformung nach x aufgelöst, das heißt das x steht allein auf einer Seite der Gleichung.

Ist das der Fall, so muss die andere Seite der Gleichung mithilfe von Rechnungen nur noch vereinfacht werden.

Mithilfe der Vereinfachung der Gleichung, kannst Du jetzt also bestimmen, wie viele Jahre es noch zu Deinem 18. Geburtstag sind.

Du musst also noch genau 6 Jahre warten, bis Du volljährig wirst.

Gleichungen können nicht nur rechnerisch, sondern auch grafisch gelöst werden.

Grafisch lösen

Um eine Gleichung grafisch lösen zu können, werden beide Seiten einer Gleichung voneinander getrennt aufgeschrieben und in eine Funktion umgewandelt. Anhand eines Beispiels sieht dies wie folgt aus:

Aufgabe 3

Löse die Gleichung grafisch!

Lösung

Schreibe als Erstes die Gleichung hin:

Jetzt werden beide Seiten getrennt voneinander betrachtet. Jede Seite wird jetzt als eine eigene Funktion dargestellt.

Werden jetzt beide Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet, kann die Aufgabe gelöst werden.

Gleichungen Gleichung grafisch lösen StudySmarterAbbildung 4: Gleichung grafisch lösen

Wie folgende Abbildung zeigt, schneiden sich beide Geraden genau an einem Punkt S, an dem der Wert für x genau 6 ist.

Die Lösung lautet somit .

Weiteres zum Lösen von Gleichungen findest Du im jeweiligen Beitrag auf StudySmarter!

Welche Arten von Gleichungen gibt es grundsätzlich in der Mathematik?

Arten von Gleichungen – Übersicht

Folgende Tabelle gibt Dir eine Übersicht über die grundlegenden Arten der Gleichungen, welche es so gibt, jeweils mit dem allgemeinen Ausdruck der Gleichung oder einem Beispielausdruck.

Lineare GleichungenQuadratische GleichungenPotenzgleichungenExponentialgleichungenBruchgleichungenWurzelgleichungen

Im Matheunterricht wirst Du öfter auf Textaufgaben stoßen, aus welchen Du sogenannte äquivalente Gleichungen aufstellen und lösen musst. Wie dies geht, erfährst Du jetzt!

Äquivalente Gleichungen

Mehrere Gleichungen sind dann äquivalent, wenn alle dieselbe Lösung haben, sprich gleich sind. Ein Beispiel wären folgende zwei Gleichungen:

Beide Gleichungen haben die Lösung , somit handelt es sich hierbei um äquivalente Gleichungen. Ein Merkmal äquivalenter Gleichungen ist, dass diese gleichgesetzt werden können, da beide das identische Ergebnis haben.

Äquivalente Gleichungen gleichsetzen

Werden grundsätzlich Gleichungen anhand des vorherigen Beispiels so freigestellt, dass jeweils alles auf eine Seite geschoben wird, sieht dies wie folgt aus:

Da beide Gleichungen auf einer Seite dasselbe Ergebnis haben, nämlich die 0, können diese zusammen als eine Gleichung dargestellt und gelöst werden:

Nun kann diese Gleichung mithilfe der zuvor beschriebenen Schritte gelöst werden.

Somit lautet das Ergebnis .

Mehr zum Thema Äquivalente Gleichungen findest Du im verlinkten Artikel!

Gleichungen können nicht nur rechnerisch, sondern auch grafisch gelöst werden.

Lineare Gleichungssysteme

Sollten hingegen mehrere Variablen mithilfe mehrerer Gleichungen herausgefunden werden, so kann dies mithilfe verschiedener Methoden im sogenannten linearen Gleichungssystem (LGS) gelöst werden.

Eine mögliche Vorgehensweise des Lösens eines linearen Gleichungssystems würde wie folgt aussehen:

Aufgabe

Finde die Werte für x und y des folgenden linearen Gleichungssystems:

Lösung

Dieses Gleichungssystem könnte gelöst werden, indem das x aus der zweiten Gleichung berechnet und anschließend in die erste Gleichung eingesetzt wird:

Nun kann die in die erste Gleichung anstelle des x eingesetzt und die Gleichung nach y aufgelöst werden.

Die beiden Gleichungen werden gelöst, wenn und ergeben.

Mehr zu den verschiedenen Lösungswegen und Methoden findest Du im Beitrag LGS lösen.

Abschließend noch einige vertiefende wiederholende Übungsbeispiele zum Thema Gleichungen.

Gleichungen – Aufgaben & Beispiele

Folgende praktische Beispiele sollen das Erlernte vertiefen.

Aufgabe 3

Löse folgende Gleichung:

Lösung

Erstmals wird die Äquivalenzumformung durchgeführt und anschließend die Gleichung gelöst.

Die Lösung lautet somit .

Auf geht's zum nächsten Beispiel!

Aufgabe 4

"Du hast von Deinen Eltern ein monatliches Taschengeld in Höhe von erhalten. Davon kaufst Du Dir eine Packung Chips für , eine Packung Pringles für und eine Packung Gummibärchen, jedoch kannst Du Dich nicht an den Preis dieser erinnern. Die Kassiererin gibt Dir genau zurück. Berechne den Preis der Gummibärchen!"

Lösung

Hierfür musst Du dies als Gleichung hinschreiben. Dies sieht wie folgt aus:

Jetzt kommt die Äquivalenzumformung zur Anwendung und anschließend wird die Gleichung aufgelöst.

Die Gummibärchen haben gekostet.

Bereit für die letzte Aufgabe?

Aufgabe 5

"Dein Vater sagt an Deinem 14. Geburtstag: Vor 6 Jahren war ich noch 5 Mal so alt wie Du! Berechne das Alter Deines Vaters!

Lösung

Die Gleichung sieht wie folgt aus:

Dein Vater ist jetzt 46 Jahre alt.

Gleichungen - Das Wichtigste

  • Gleichungen werden durch das Zeichen '=' gekennzeichnet.
  • Bei Gleichungen muss immer auf beiden Seiten dieselbe Rechnung durchgeführt werden.
  • Um eine Gleichung lösen zu können, muss die Unbekannte auf einer Seite allein stehen (Äquivalenzumformung)
  • Eine lineare Gleichung hat die Form
  • Gleichungen können sowohl rechnerisch als auch grafisch gelöst werden.

Nachweise

  1. Kemnitz (2010). Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner Verlag
  2. Böge (1995). Das Techniker Handbuch. Springer Fachmedien Wiesbaden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichungen

Es gibt folgende zwei Arten von quadratischen Gleichungen:

  • Reinquadratische Gleichungen
    • ax² + c = 0
  • Gemischtquadratische Gleichungen
    • ax² + bx + c = 0

Es gibt lineare Gleichungen, Quadratische Gleichungen, Potenzgleichungen, Exponentialgleichungen, Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen und Transzendente Gleichungen.

Hierunter versteht man alle Gleichungen, welche nicht der Form ax + b = 0 entsprechen.

Die beiden Seiten der Gleichung werden als Terme bezeichnet, welche von einem Gleichzeichen getrennt werden.

Finales Gleichungen Quiz

Frage

Was ist eine quadratische Gleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gleichung, in der die gesuchte Größe quadratisch vorkommt, nennt sich quadratische Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man eine quadratische Gleichung in der Normalform mit der quadratischen Ergänzung lösen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Normalform wird dabei so umgewandelt, dass eine binomische Formel entsteht, aus der man die Wurzel ziehen kann.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 2 = 14 

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 - 2 = 14
x^2 = 16
x = +/- 4

x1 = 4
x2 = -4


Reinquadratische Gleichungen können einfach nach x aufgelöst werden.


 Achte beim Wurzelziehen darauf, dass sowohl 4^2 als auch (– 4)^2 als Ergebnis 16 haben. Deswegen muss es zwei Lösungen geben

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 5x - 6 = 0 mit der quadratischen Ergänzung

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 - 5x - 6 = 0
(x^2 - 2 * 2,5 x +2,5^2) - 2,5^2 - 6 = 0 

(x - 2,5)^2 - 12,25 = 0
(x - 2,5)^2 = 12,25
(x - 2,5)^2 = +/- 3,5 


x1 = 6
x2 = -1


Damit man die 2. binomische Formel erhält, muss man 2,52 addieren. Um die Gleichung insgesamt nicht zu verändern, muss man 2,52 auch wieder subtrahieren.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


x² = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 = 6,25
x = +/- 2,5


x1 = 2,5

x2 = -2,5

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


y² = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

y = 0 

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


z² + 5 = 2
z² = -3


Antwort anzeigen

Antwort

Keine Lösung. Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen.


Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


9a² - 0,25 = 20

Antwort anzeigen

Antwort

9a² - 0,25 = 20

9 a² = 20,25
a² = 9/4
a = +/- 3*/2

a1 = 3/2
a2 = -3/2

Frage anzeigen

Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² + 6x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x²+ 6x = 0
(x² + 2*3x + 3²) - 3² = 0
(x+3)² = 9
x + 3 = +/- 3

x1 = 0
x2 = -6

Frage anzeigen

Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² - 4x + 3 = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x² - 4x + 3 = 0
(x² - 2*2x + 2²) - 2² + 3 = 0
(x - 2)² - 1 = 0
(x - 2)² = 1
x - 2 = +/- 1

x1 = 3
x2 = 1

Frage anzeigen

Frage

Wozu nutzt man den Satz von Vieta? 

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Lösung für eine quadratische Gleichung zu überprüfen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Satz von Vieta?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 gilt der Satz von Vieta:


x1 + x2 = -p
x1*x2 = q 

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

x * (x  - 0,5) = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x * (x - 0,5) = 0
x1 = 0 

x2 - 0,5 = 0

x2 = 0,5

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

(x-2) * (x+2) = 0  

Antwort anzeigen

Antwort

(x-2) * (x+2) = 0
x1 - 2 = 0 -> x1 = 2
x2 + 2 = 0 -> x2 = -2

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.


2x² + 0,5x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

2x² * 0,5x = 0
2x (x + 0,25) = 0 

x1 = 0 

x2 + 0,25 = 0 

x2 = -0,25

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x - 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)^2 + 81 = 162 


D > 0: zwei Lösungen

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x + 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)² – 81 = 0 


D = 0: eine Lösung

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 2x + 3 = 0


Antwort anzeigen

Antwort

x² - 2x + 3 = 0
D = (-1)² -3 = -2


D<0: keine Lösung

Frage anzeigen

Frage

Herr Engel, Frau Friedrich und Frau Gerlach gründen eine Firma. Herr Engel investiert 120 000 €. Frau Friedrich gibt 1/4 und Frau Gerlach 2/3 des Kapitals dazu. 


Wie groß ist das gesamte Kapital?

Antwort anzeigen

Antwort

Herr Engel: 120.000 €
Frau Friedrich = 1/4 x
Frau Gerlach = 2/3*x

120.000 + 1/4x + 2/3x = x
1.440.000 + 3x + 8x = 12x
1.440.000 + 11x = 12x
1.440.000 = x

Das Gesamtkapital beträgt 1.440.000 €

Frage anzeigen

Frage

Welche Werte werden in der Definitionsmenge von Bruchgleichungen ausgeschlossen?

Antwort anzeigen

Antwort

Werte, für welche der Nener gleich Null werden würde, werden in der Definitionsmenge von Bruchgleichungen ausgeschlossen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Bruchgleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, welche mindestens einen Bruchterm enthält.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der erste Schritt, wenn du eine Bruchgleichung mit einem Bruchterm auflösen möchtest?

Antwort anzeigen

Antwort

Du multiplizierst beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruches. So löst sich der Bruch auf und du kannst die Gleichung wie gewohnt weiter auflösen.

Frage anzeigen

Frage

Was muss bei der Definitionsmenge von Bruchgleichungen mit mehreren Brüchen beachtet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt mehrere Werte für x aus der Definitionsmenge auszuschließen, da es mehrere Nenner gibt, welche nicht 0 werden dürfen.

Frage anzeigen

Frage

Wie bringst du Brüche auf einen gemeinsamen Nenner?


Antwort anzeigen

Antwort

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Brüche und erweitere diese entsprechend.

Frage anzeigen

Frage

Um das Lösen einer Bruchgleichung einfacher zu machen kannst du...

Antwort anzeigen

Antwort

... den Kehrwert bilden.

Frage anzeigen

Frage

Eine Bruchgleichung ...

Antwort anzeigen

Antwort

... kann mehrere Bruchterme haben.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre die Bedeutung der graphischen Lösung einer linearen Gleichung.

Antwort anzeigen

Antwort

Willst du die lineare Gleichung graphisch lösen, betrachtest du die Terme links und rechts des Gleichheitszeichens als Funktionen.

Diese Funktionen kannst du in ein gemeinsames Koordinatensystem einzeichnen. 

Der x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden ist die Lösung der linearen Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

Zwei Grafen schneiden sich in einem Punkt. Wie viele Lösungen hat die zugehörige Gleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt eine Lösung der Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem Gleichungssystem?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Wert der Variablen muss für alle Gleichungen des Systems gelten.

Frage anzeigen

Frage

Kann man quadratische Funktionen grafisch lösen? Falls ja, welche Lösung erhält man?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, man erhält dabei die Nullstellen der Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Können die Grafen zweier linearer Funktionen keinen Schnittpunkt haben? Warum?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, zwei lineare Funktionen können keine gemeinsame Lösung haben. In diesem Fall verlaufen die Grafen parallel zueinander.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Problem bei grafisch ermittelten Lösungen?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie sind nur Näherungen und nicht exakt.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele gemeinsame Lösungen können zwei lineare Funktionen haben?

Antwort anzeigen

Antwort

keine

Frage anzeigen

Frage

Wie kann es sein, dass zwei lineare Funktionen unendlich viele Schnittpunkte haben?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie haben den exakt selben Verlauf.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du kontrollieren, ob die grafisch ermittelten Nullstellen einer quadratischen Funktion richtig sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst den Graf der ursprünglichen quadratischen Funktion zeichnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man quadratische Funktionen rechnerisch lösen?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit der Mitternachts- oder abc-Formel.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der 1. Schritt, um Gleichungen grafisch zu lösen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktionsgleichungen notieren.

Frage anzeigen

Frage

Was heißt log4(64)=3 ?

Antwort anzeigen

Antwort

Dass man die 4 drei mal mit sich selbst multiplizieren muss um auf 64 zu kommen. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne die zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Nullstellen einer biquadratischen Gleichung.

Antwort anzeigen

Antwort

Die 1. Möglichkeit die Nullstellen einer biquadratischen Formel zu berechnen, ist die pq-Formel anzuwenden. Die zweite Möglichkeit ist die Mitternachtsformel.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Schritte, die bei der Berechnung der Nullstellen einer biquadratischen Gleichung mit der pq-Formel zu beachten sind.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Schritt (falls nötig): Gleichung in die Normalform bringen

2. Schritt: Substituieren

3. Schritt: p und q herausfinden

4. Schritt: pq-Formel anwenden

5. Schritt: Resubstituieren

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Schritte, die bei der Berechnung der Nullstellen einer biquadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel zu beachten sind.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Schritt: Substituieren

2. Schritt: Mitternachtsformel anwenden

3. Schritt: Resubstituieren

Frage anzeigen

Frage

Was zeichnet eine gemischtquadratische Gleichung aus?


Es handelt sich dabei um eine quadratische Gleichung

Antwort anzeigen

Antwort

ohne lineares Glied

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine reinquadratische Gleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Reinquadratische Gleichungen beinhalten kein lineares Glied .

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Schritte zur Lösung gemischtquadratischer Gleichungen ohne absolutem Glied?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Schritte lauten:


  1. x Ausklammern
  2. Faktoren gleich 0 setzen
  3. nach x auflösen

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Lösungsverfahren für gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied in der allgemeinen Form.

Antwort anzeigen

Antwort

Gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied können in der allgemeinen Form durch die Mitternachtsformel gelöst werden. Alternativ kannst Du auch die pq-Formel anwenden, wenn Du die Gleichung vorher in die Normalform bringst.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Lösungsverfahren für gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied in der Normalform.

Antwort anzeigen

Antwort

p-q-Formel

Frage anzeigen

Frage

Nenne den ersten Umformungsschritt den Du machst, wenn Du eine Wurzelgleichung lösen sollst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um eine Wurzelgleichung zu lösen, isolierst Du zuerst eine Wurzel. Du formst also so um, dass die Wurzel alleine auf einer Seite der Gleichung steht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Schritte sind beim Lösen einer Wurzelgleichung sinnvoll?

Antwort anzeigen

Antwort

Wurzel isolieren

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, warum du die mögliche Lösung einer Wurzelgleichung mit einer Probe überprüfen solltest.

Antwort anzeigen

Antwort

Um Wurzelgleichungen zu lösen quadrierst Du sie. Durch das Quadrieren können Lösungen hinzukommen, die von der ursprünglichen Gleichung gar keine Lösungen sind. Deswegen prüfst Du zum Schluss, ob deine bestimmte Lösung auch wirklich eine Lösung ist.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff der Wurzelgleichung.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der mindestens eine Variable sich in einer Wurzel als Radikand befindet.

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Gleichungen
60%

der Nutzer schaffen das Gleichungen Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.