Gleichungen

Du feierst heute Deinen 12ten Geburtstag und fragst Dich, wie lange es noch dauert, bis Du volljährig wirst. Schon bist Du mitten in einer Matheaufgabe, bei welcher ein grundlegendes Wissen zum Thema Gleichungen benötigt wird.

Zunächst einmal sollte Dir klar sein, was eine Gleichung überhaupt ist.

Gleichung – Definition & Aufbau

Eine Gleichung ist per Definition folgendermaßen aufgebaut:

Abbildung 1: Aufbau einer Gleichung

Eine Gleichung besteht immer aus zwei Termen, welche durch ein Gleichzeichen '=' voneinander getrennt werden.

Gleichung einfach erklärt

Aber, ein Schritt zurück: Was soll denn eine Gleichung überhaupt darstellen? Schaue Dir dazu Abbildung 2 an, welche die StudySmarter Waage darstellt.

Abbildung 2: Waage im Gleichgewicht

Genau diese Abbildung beschreibt den Kern hinter Gleichungen. Gleichungen verbinden zwei Objekte miteinander, indem sie Dir mitteilen: Links und rechts steht genau dasselbe.

Doch wie kannst Du nun mit einer solchen Gleichung umgehen?

Gleichungen – Anwendung

Gleichungen können Dir in der Mathematik enorm weiterhelfen. Dazu musst Du lernen, sie aufzustellen und zu lösen.

1. Gleichungen aufstellen

Um das Gleichgewicht zu erhalten, musst Du auf beiden Seiten immer genau dasselbe machen. Das heißt, Du entfernst beispielsweise auf beiden Seite den türkisfarbenen Block. Würde dieser nur auf einer Seite entfernt werden, gäbe es ein Ungleichgewicht.

Abbildung 3: Waage ins Gleichgewicht bringen

Eine einfache mathematische Gleichung für dieses grafische Beispiel sieht wie folgt aus:

In der Mathematik beinhalten Gleichungen meistens sogenannte Variablen, welche mit x, y, z bezeichnet werden und stellvertretend für einen beliebigen Wert stehen.

Beispielsweise bei unserem einführenden Beispiel, bei welchem Du berechnen möchtest, wie lange Du warten musst, bis Du 18 Jahre alt wirst. Es muss also eine Zahl gefunden werden, welche, wenn man 12 addiert, genau 18 ergibt.

Wie folgende Gleichung gelöst werden kann, erfährst Du im nächsten Abschnitt.

2. Gleichungen lösen

Du kannst Gleichungen auf verschiedene Arten lösen.

Gleichungen rechnerisch Lösen

Möchtest Du eine Gleichung rechnerisch lösen, musst Du sie zunächst mithilfe von Äquivalenzumformungen nach der Variable auflösen und sie dann vereinfachen.

Die Äquivalenzumformung ist dazu da, die Gleichung so umzustellen, dass die Variable sich allein auf einer Seite befindet.

Du nimmst also auf beiden Seiten der Gleichung die genau gleiche Rechenoperation vor, um verschiedene Terme von einer Seite der Gleichung auf die andere zu schieben.

Folgendes Beispiel soll versuchen, die Gleichung aus der Einführung korrekt umzustellen:

Nun ist die Gleichung mithilfe der Äquivalenzumformung nach x aufgelöst, das heißt das x steht allein auf einer Seite der Gleichung.

Ist das der Fall, so muss die andere Seite der Gleichung mithilfe von Rechnungen nur noch vereinfacht werden.

Gleichungen können nicht nur rechnerisch, sondern auch grafisch gelöst werden.

Gleichungen grafisch lösen

Um eine Gleichung grafisch lösen zu können, werden beide Seiten einer Gleichung voneinander getrennt aufgeschrieben und in eine Funktion umgewandelt. Anhand eines Beispiels sieht dies wie folgt aus:

Welche Arten von Gleichungen gibt es grundsätzlich in der Mathematik?

Arten von Gleichungen – Übersicht

Folgende Tabelle gibt Dir eine Übersicht über die grundlegenden Arten der Gleichungen, welche es so gibt, jeweils mit dem allgemeinen Ausdruck der Gleichung oder einem Beispielausdruck.

Beide Gleichungen haben die Lösung , somit handelt es sich hierbei um äquivalente Gleichungen. Ein Merkmal äquivalenter Gleichungen ist, dass diese gleichgesetzt werden können, da beide das identische Ergebnis haben.

Äquivalente Gleichungen gleichsetzen

Werden grundsätzlich Gleichungen anhand des vorherigen Beispiels so freigestellt, dass jeweils alles auf eine Seite geschoben wird, sieht dies wie folgt aus:

Gleichungen können nicht nur rechnerisch, sondern auch grafisch gelöst werden.

Lineare Gleichungssysteme

Sollten hingegen mehrere Variablen mithilfe mehrerer Gleichungen herausgefunden werden, so kann dies mithilfe verschiedener Methoden im sogenannten linearen Gleichungssystem (LGS) gelöst werden.

Eine mögliche Vorgehensweise des Lösens eines linearen Gleichungssystems würde wie folgt aussehen:

Abschließend noch einige vertiefende wiederholende Übungsbeispiele zum Thema Gleichungen.

Folgende praktische Beispiele sollen das Erlernte vertiefen.

Auf geht's zum nächsten Beispiel!

Bereit für die letzte Aufgabe?