|
|
Normalenvektor

Du sitzt am Schreibtisch und kannst überhaupt nichts mit dem Mathethema "Normalenvektor" anfangen. Dabei ist fast alles, was auf Deinem Schreibtisch steht, ein "Normalenvektor". Stell Dir einfach vor Dein Schreibtisch ist die Ebene im Raum (Dein Zimmer) und Deine Trinkflasche der Normalenvektor n. Wie Du einen solchen Normalenvektor n erkennst oder auch berechnest, wird Dir in dieser Erklärung gezeigt.

Mockup Schule

Entdecke über 50 Millionen kostenlose Lernmaterialien in unserer App.

Normalenvektor

Illustration

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Du sitzt am Schreibtisch und kannst überhaupt nichts mit dem Mathethema "Normalenvektor" anfangen. Dabei ist fast alles, was auf Deinem Schreibtisch steht, ein "Normalenvektor". Stell Dir einfach vor Dein Schreibtisch ist die Ebene im Raum (Dein Zimmer) und Deine Trinkflasche der Normalenvektor n. Wie Du einen solchen Normalenvektor n erkennst oder auch berechnest, wird Dir in dieser Erklärung gezeigt.

Ebenen und Geraden im Raum – Grundlagenwissen

Zum Einstieg in das Thema des Normalenvektors n, ist eine Wiederholung zu Ebenen E:x und Geraden g:xsehr wichtig, weil Normalenvektoren n immer orthogonal zu Geraden g:x oder Ebenen E:x stehen. Wenn Du das aber alles schon weißt, kannst Du den nächsten Abschnitt überspringen.

Ebenen im Raum

Im Folgenden wird Dir erläutert, was eine Ebene E:x im Raum ist.

Eine Ebene E:x im Raum ist ein zweidimensionales Objekt in der analytischen Geometrie, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

Meistens wird die EbenengleichungE:x in der Parameterform dargestellt. Die Ebene E:x kann aber auch in Normalenform und Koordinatenform dargestellt werden.

Ein Beispiel für eine Ebene E:x in Parameterform ist E:x=000+r·010+s·100.

Wie diese Ebene im Koordinatensystem aussieht, siehst Du im Folgenden:

Normalenvektor Ebene E:x im Raum StudySmarterAbbildung 1: Ebene E:x im Raum.

Geraden

Eine Gerade kann in der Ebene und im Raum liegen. Einen Überblick über Geraden im Dreidimensionalen erhältst Du in diesem Abschnitt.

Eine Gerade g:x ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.

g:x=a+r·b

a= Stützvektor der Gerade g:x.

b= Richtungsvektor der Geradeg:x.

Geraden g:x in Parameterform und im dreidimensionalen Koordinatensystem:

g:x=x1x2x3+r·x1x2x3

Hier siehst Du noch einmal ganz gut, dass die Parameterform der Geradengleichung aus einem Stützvektor a und dem Richtungsvektor b besteht.

Die nächste Abbildung zeigt die Gerade g:x=123+r·234 in Parameterform im dreidimensionalen Koordinatensystem zur Veranschaulichung.

Normalenvektor Gerade g:x im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 2: Gerade g:x im Koordinatensystem.

Normalenvektor Definition

Eine Ebene E:x und einer Gerade g:x können beide einen Normalenvektor n besitzen.

Der Normalenvektor nist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade g:x, Ebene E:x, beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.

Normalenvektor Normalenvektor einer Ebene StudySmarterAbbildung 3: Normalenvektor einer Ebene

Dieser Normalenvektor n kann auch berechnet werden. Wie das funktioniert, zeigt Dir der Rest der Erklärung.

Normalenvektor einer Ebene berechnen

Einen Normalenvektor neiner Ebene E:x kann auf verschiedene Wege berechnet werden, je nach angegebener Form der Ebenengleichung.

In manchen Fällen kann der Normalenvektor anhand einer Ebenengleichung in Normalenform und Koordinatenform abgelesen werden oder in der Parameterebene durch das Kreuzprodukt berechnet werden.

Normalenvektor einer Ebene in Normalenform

Den Normalenvektor n einer Ebene E:x in Normalenform findest Du heraus, indem Du ihn einfach abliest.

Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor n, einem Vektor x, der den Aufbau eines Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor o. Hier siehst Du die Rohform der Normalenform E:x .

nx-o=0

Das ist die ausgeschriebene Form einer EbeneE:x in Normalenform:

n1n2n3x1x2x3-o1o2o3=0


n = Normalenvektor einer Ebene E:x .

x = Variable X einer Ebene E:x .

o = Ortsvektor/Stützvektor einer Ebene E:x .

Wie wird der Normalenvektor jetzt bestimmt?

Aufgabe 1

Bestimme den Normalenvektor n der Ebene E:x in Normalenform.

3-413x-2-20=0

Lösung

Du liest in diesem Fall den Normalenvektor n ab. Der Normalenvektor ist der türkisfarbene Vektor zu Beginn der Geradengleichung.

Der Normalenvektor ist:

n=3-413

Wenn Dich die Form Ebene E:x in Normalenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Normalenform der Ebene E:x zurückgreifen.

Normalenvektor einer Ebene in Koordinatenform

Die Koordinatenform ist eine Ebenengleichung, bei der der Normalenvektor abgelesen werden kann.

Die Koordinatenform E:x ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform:

n1x1+n2x2+n3x3=d

n= Normalenvektor der Ebene E:x .

x= Variable X einer Ebene E:x .

d= Skalar (reelle Zahl) aus o·n=d.

o= Ortsvektor der Ebene E:x .

Wenn Dich die Form Ebene E:x in Koordinatenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Koordinatenform der Ebene E:x zurückgreifen.

Nun hast Du erfahren, dass der Normalenvektor n abgelesen werden kann. Dazu werden die Zahlen, die vor der Variable x stehen, zu einem Normalenvektor n angeordnet.

Aufgabe 2

Benenne den Normalenvektor n der Ebene 2x1+4x2+9x3=6.

Lösung

Der Normalenvektor n wird von den türkisfarbenen Zahlen vor den Variablen x abgelesen.

Somit ist der Normalenvektor n der EbeneE:x n=249.

Normalenvektor einer Ebene in Parameterform

Die Parameterform ist die gängigste Form, eine Ebene E:x aufzuschreiben.


Die Ebene E:x in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren aund b bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.

E:x=o+r·a+s·b

Die Ebene E:x in Parameterform:

E:x=x1x2x3+r·x1x2x3+s·z1z2z3

o= Ortsvektor/Stützvektor der Ebene E:x .

a= Spannvektor/Richtungsvektor der EbeneE:x .

b= Spannvektor/Richtungsvektor der EbeneE:x .

Wenn Dich die Form Ebene E:x in Parameterform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Parameterform der Ebene E:x zurückgreifen.

Der Normalenvektor n wird aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren einer Ebenengleichung E:x in Parameterform aufgestellt.

Kreuzprodukt

Beim Kreuzprodukt, werden die Vektoren a und b in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt.

Berechnung eines Kreuzprodukts zwischen zwei Vektoren a×b im dreidimensionalen Koordinatensystem:

a×b=a1a2a3×b1b2b3=a2b3-a3b2a3b1-a1b3a1b2-a2b1=c

Die Werte der Vektoren a und b werden dann untereinander multipliziert und subtrahiert und im wahrsten Sinne des Wortes gekreuzt.

Aufgabe 2

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren a=121 und b=2-11.

Lösung

Es werden also Vektor a und b in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt und verrechnet.

a×b=121×2-11=2·1-1·(-1)1·2-1·11·(-1)-2·2=2-(-1)2-1-1-4=31-5

Das Kreuzprodukt ist in diesem Fall der Vektor c=31-5.

Ein Normalenvektor n aus einer EbeneE:x in Parameterform wird berechnet, indem die beiden Spannvektoren a und b in das Kreuzprodukt eingesetzt und ausmultipliziert werden.

Aufgabe 3

Berechne den Normalenvektor n der Ebene E:x=142+r·231+s·131.

Lösung

Du berechnest den Normalenvektor n , indem Du die beiden Spannvektoren a und b der Ebene E:x in die Formel des Kreuzprodukts einsetzt und das Kreuzprodukt dann ausmultiplizierst.

a×b=231×131=3·1-1·31·1-2·12·3-3·1=3-31-26-3=0-13

Der Normalenvektor der Ebene E:x ist n=0-13.

Hier siehst Du eine Abbildung des Normalenvektors n=0-13 im Koordinatensystem. Auch da erkennt man, dass der Normalenvektor n senkrecht auf der Ebene E:x steht.

Normalenvektor Normalenvektor n der Ebene E:x im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 3: Normalenvektor n der Ebene E:x im Koordinatensystem

Normalenvektor einer Gerade bestimmen

Auch bei einem Normalenvektor einer Gerade g:x, muss der Normalenvektor orthogonal zu der Gerade g:x verlaufen.

Einen Normalenvektor n einer Gerade g:x wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor b ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor n verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist sehr wichtig für die Berechnung eines Normalenvektors n einer Gerade g:x.

Ein Skalarprodukt wird berechnet, indem die jeweiligen Zahlen zweier Vektoren a und b multipliziert werden. Nämlich x1·y1 und x2·y2, etc. und diese werden addiert, um das Skalarprodukt zu erhalten. Die Formel sieht folgendermaßen aus:

ab=a1a2a3b1b2b3=a1·b1+a2·b2+a·b3

Ein Skalarprodukt nennt sich so, weil man die Produkte aus Skalaren (reelle Zahlen) miteinander addiert.

Wichtig ist in dem Fall, dass nicht das normale Multiplikationszeichen verwendet wird, sondern dieser Kringel: .

Wenn ein Skalarprodukt zweier Vektoren a und b gleich 0 ist, dann liegen diese Vektoren orthogonal zueinander.

cos-1(0)=90°

Aufgabe 4

Berechne das Skalarprodukt des Vektors a=-211,5 und b=212.

Lösung

ab=-211,5212=(-2)·2+1·1+1,5·2=(-4)+1+3=0

Auch hier geht man nach dem gleich Prinzip vor, wie bisher. In diesem Fall kommt man zu dem Skalarprodukt 0. Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 sind, dann sind sie orthogonal zueinander.

ab ab=0

Das Skalarprodukt wird für die Bestimmung des Normalenvektors neiner Gerade g:xbenötigt.

Normalenvektor einer Gerade bestimmen – Beispiel

Zur Veranschaulichung der Normalenvektor Bestimmung kannst Du Dir das Folgende Beispiel anschauen.

Aufgabe 5

Berechne den Normalenvektor n der Gerade g:x=000+r·312.

Lösung

Für das Bestimmen der Normalenvektors n der Gerade g:x muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors a und des Normalenvektors n gleich 0 sein.

an=0 " id="2358655 " role="math " style="max-width: none;">na=0

Zuerst wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

an=312n1n2n3=3·n1+1·n2+2·n3=0 " id="2358681 " role="math " style="max-width: none;">na=n1·3+n2·1+n3·2=0

Anhand dieser Rechnung erkennst Du, welche Zahlen für n eingesetzt werden müssen, um den Normalenvektor n zu bestimmen.

Hier kannst Du verschiedene Zahlen für n Einsetzen. Alle möglichen Normalenvektoren n sind parallel zueinander.

an=312(-1)11=3·(-1)+1·1+2·1=-3+1+2=-3+3=0 " id="2358791 " role="math " style="max-width: none;">na=(-1)·3+1·1+1·2=0

Du rechnest also -1 mal 3 und bekommst den Wert -3 raus. Die Werte danach bleiben gleich. Addierst du -3 und 3 erhältst du 0.

In diesem Fall ist der Normalenvektor n " id="2543213 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> der Gerade g:x n=(-1)11. Es ist allerdings auch ein anderer Normalenvektor möglich, nämlich n=1(-1)(-1). Das siehst Du an der Rechnung im nächsten Abschnitt.

na=1·3+(-1)·1+(-1)·2=0

an=3121(-1)(-1)=3·1+1·(-1)+2·(-1)=3+(-1)+(-2)=3+(-3)=0 " id="2358825 " role="math " style="max-width: none;">

Auch hier rechnest Du das Gleiche wie vorhin, allerdings ist der Normalenvektor n " id="2543217 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> mit -1 multipliziert. Du multiplizierst also 3 mit 1, somit bleibt der Wert gleich. Die anderen beiden Werte multiplizierst Du mit -1 und addierst sie. Dann erhältst Du -3. Die Zahl 3 addiert mit -3 ist gleich 0.

Hier siehst Du eine Abbildung zu dem Normalenvektor n der Gerade g:x " id="2543086 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> .

Normalenvektor Rechter Winkel der Gerade g:x und der Normalenvektor n StudySmarter Abbildung 4: Rechter Winkel ger Gerade g:x und dem Normalenvektor n

Normalenvektor berechnen – Übungsaufgaben

Du hast nun das nötigste Wissen, um einen Normalenvektor zu berechnen. Jetzt kannst Du dein Wissen überprüfen

Zuerst erhältst Du eine Übung zum Berechnen eines Normalenvektors n einer Ebene E:x in Parameterform.

Aufgabe 6

Berechne den Normalenvektor n der Ebene E:x=245+r·36-5+s·123.

Lösung

Um den Normalenvektor n zu berechnen, musst Du das Kreuzprodukt der Spannvektoren a und bausrechnen.

a×b=26-5×123=6·3-(-5)·2(-5)·1-2·32·2-6·1=18-(-10)-5-64-6=28-11-2

Somit hast Du den Normalenvektor n=28-11-2.

Danach kannst Du den Normalenvektor n einer Ebene E:x in Normalenform beziehen.

Aufgabe 7

Benenne den Normalenvektor n der Ebene 243x1x2x3-461=0 in Normalenform.

Lösung

Der Normalenvektor nist einfach abzulesen, in dem Du den Vektor vor der Klammer nimmst.

Der Normalenvektor ist in diesem Falle n=243.

Als Nächstes bekommst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors n einer Ebene E:x in Koordinatenform.

Aufgabe 8

Benenne den Normalenvektor n der Ebene 1x1+6x2+3x3=5 in Koordinatenform.

Lösung

Der Normalenvektor n der Ebene E:x ist in diesem Fall ebenfalls abzulesen, in dem Du die Zahlen vor der Variable x nimmst und sie in einen Vektor n " id="2543219 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> umwandelst.

Der Normalenvektor ist n=163.

Zuletzt kannst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors n einer Gerade g:x machen.

Aufgabe 9

Berechne den Normalenvektorn der Gerade g:x=146+r·521.

Lösung

Der Normalenvektor n muss, im Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor a der Gerade g:x, gleich 0 sein.

an=0

Danach multiplizierst Du das Skalarprodukt aus.

an=521n1n2n3=5·n1+2·n2+1·n3=0

Jetzt siehst Du direkt, welche Zahlen Du für n Einsetzen musst, um den Normalenvektor n zu bestimmen.

an=5211(-2)(-1)=5·1+2·(-2)+1·(-1)=5+(-4)+(-1)=5+(-5)=0

Wenn Du die Zahlen des Normalenvektors n mit dem Richtungsvektor a verrechnest, erhältst du das Produkt 0 .

Du müsstest jetzt den Normalenvektor n=1(-2)(-1) haben, oder einen, parallelen Vektor, wie n=(-1)21

Normalenvektor - Das Wichtigste

  • Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

    Meistens wird sie in einer Parameterform dargestellt.

  • Eine Gerade in der analytischen Geometrie ist eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.
  • Geradengleichung: g:x=x1x2x3+r·x1x2x3 " id="2322415 " role="math " style="max-width: none;">

g:x=a+r·b

a= Stützvektor

b= Richtungsvektor

  • Der Normalenvektor n ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Geradeg:x , Ebene E:x " id="2543150 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> , beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.
  • Ebenengleichung der Ebene E:x in Parameterform:

E:x=o+r·a+s·b

  • Einen Normalenvektor n aus einer Ebene E:x in Parameterform berechnet man, in dem man die beiden Spannvektoren a und b in das Kreuzprodukt einsetzt und ausmultipliziert.
    • Kreuzprodukt: a×b=x1x2x3×y1y2y3=x2y3-x3y2x3y1-x1y3x1y2-x2y1=c " id="2351873 " role="math " style="max-width: none;">

a×b=a1a2a3×b1b2b3=a2b3-a3b2a3b1-a1b3a1b2-a2b1=c

  • Ebenengleichung der Ebene E:x in Normalenform:

nx-o=0

    • Den Normalenvektor n eine Ebene E:x in Normalenform findest Du heraus, wenn Du den Vektor n=n1n2n3 vor der Klammer abliest.
  • Ebenengleichung einer Ebene E:xin Koordinatenform:
    • Bei einer Ebene E:x in Koordinatenform wird der Normalenvektor n ebenfalls abgelesen. Dazu nimmt man die Zahlen, die vor der Variable x stehen und ordnet sie als einen Vektor n=n1n2n3 an.
  • Einen Normalenvektor n einer Gerade g:x wird bestimmt, in dem der Richtungsvektorb ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor n verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Normalenvektor

Der Normalenvektor n ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade, Ebene, bzw. generell auf einem Objekt steht.

Auf den Normalenvektor n kommst auf verschiedene Arten:

  1. Ist eine Ebene in Normalenform gegeben, kannst du den Normalenvektor einfach aus der Gleichung ablesen
  2. Ist eine Ebene in Koordinatenform gegeben, kannst du den Normalenvektor durch ablesen der Koeffizienten vor den Koordinaten zusammensetzen.
  3. Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, berechnest du den Normalenvektor als Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren a und b.
  4. Ist eine Gerade in Parameterform gegeben, berechnest du einen Normalenvektor, dessen Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor a Null ergibt.

Den Normalenvektor n kannst du auf verschiedene Arten berechnen:

  1. Ist eine Ebene in Normalenform gegeben, kannst du den Normalenvektor einfach aus der Gleichung ablesen
  2. Ist eine Ebene in Koordinatenform gegeben, kannst du den Normalenvektor durch ablesen der Koeffizienten vor den Koordinaten zusammensetzen.
  3. Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, berechnest du den Normalenvektor als Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren a und b.

Der Normalenvektor n sagt die orthogonale Richtung einer Ebene E oder einer Gerade g aus.

Mehr zum Thema Normalenvektor

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

  • Karteikarten & Quizze
  • KI-Lernassistent
  • Lernplaner
  • Probeklausuren
  • Intelligente Notizen
Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App! Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Entdecke Lernmaterial in der StudySmarter-App

Google Popup

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

  • Karteikarten & Quizze
  • KI-Lernassistent
  • Lernplaner
  • Probeklausuren
  • Intelligente Notizen
Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!