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Du sitzt am Schreibtisch und kannst überhaupt nichts mit dem Mathethema "Normalenvektor" anfangen. Dabei ist fast alles, was auf Deinem Schreibtisch steht, ein "Normalenvektor". Stell Dir einfach vor Dein Schreibtisch ist die Ebene im Raum (Dein Zimmer) und Deine Trinkflasche der Normalenvektor . Wie Du einen solchen Normalenvektor
erkennst oder auch berechnest, wird Dir in dieser Erklärung gezeigt.
Zum Einstieg in das Thema des Normalenvektors , ist eine Wiederholung zu Ebenen
und Geraden
sehr wichtig, weil Normalenvektoren
immer orthogonal zu Geraden
oder Ebenen
stehen. Wenn Du das aber alles schon weißt, kannst Du den nächsten Abschnitt überspringen.
Im Folgenden wird Dir erläutert, was eine Ebene im Raum ist.
Eine Ebene im Raum ist ein zweidimensionales Objekt in der analytischen Geometrie, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Meistens wird die Ebenengleichung in der Parameterform dargestellt. Die Ebene
kann aber auch in Normalenform und Koordinatenform dargestellt werden.
Ein Beispiel für eine Ebene in Parameterform ist
.
Wie diese Ebene im Koordinatensystem aussieht, siehst Du im Folgenden:
Abbildung 1: Ebene E:x im Raum.
Eine Gerade kann in der Ebene und im Raum liegen. Einen Überblick über Geraden im Dreidimensionalen erhältst Du in diesem Abschnitt.
Eine Gerade ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.
= Stützvektor der Gerade
.
= Richtungsvektor der Gerade
.
Geraden in Parameterform und im dreidimensionalen Koordinatensystem:
Hier siehst Du noch einmal ganz gut, dass die Parameterform der Geradengleichung aus einem Stützvektor und dem Richtungsvektor
besteht.
Die nächste Abbildung zeigt die Gerade in Parameterform im dreidimensionalen Koordinatensystem zur Veranschaulichung.
Abbildung 2: Gerade g:x im Koordinatensystem.
Eine Ebene und einer Gerade
können beide einen Normalenvektor
besitzen.
Der Normalenvektor ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade
, Ebene
, beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.
Abbildung 3: Normalenvektor einer Ebene
Dieser Normalenvektor kann auch berechnet werden. Wie das funktioniert, zeigt Dir der Rest der Erklärung.
Einen Normalenvektor einer Ebene
kann auf verschiedene Wege berechnet werden, je nach angegebener Form der Ebenengleichung.
In manchen Fällen kann der Normalenvektor anhand einer Ebenengleichung in Normalenform und Koordinatenform abgelesen werden oder in der Parameterebene durch das Kreuzprodukt berechnet werden.
Den Normalenvektor einer Ebene
in Normalenform findest Du heraus, indem Du ihn einfach abliest.
Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor , einem Vektor
, der den Aufbau eines Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor
. Hier siehst Du die Rohform der Normalenform
.
Das ist die ausgeschriebene Form einer Ebene in Normalenform:
= Normalenvektor einer Ebene
.
= Variable X einer Ebene
.
= Ortsvektor/Stützvektor einer Ebene
.
Wie wird der Normalenvektor jetzt bestimmt?
Aufgabe 1
Bestimme den Normalenvektor der Ebene
in Normalenform.
Lösung
Du liest in diesem Fall den Normalenvektor ab. Der Normalenvektor ist der türkisfarbene Vektor zu Beginn der Geradengleichung.
Der Normalenvektor ist:
Wenn Dich die Form Ebene in Normalenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Normalenform der Ebene
zurückgreifen.
Die Koordinatenform ist eine Ebenengleichung, bei der der Normalenvektor abgelesen werden kann.
Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform:
= Normalenvektor der Ebene
.
= Variable X einer Ebene
.
= Skalar (reelle Zahl) aus
.
= Ortsvektor der Ebene
.
Wenn Dich die Form Ebene in Koordinatenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Koordinatenform der Ebene
zurückgreifen.
Nun hast Du erfahren, dass der Normalenvektor abgelesen werden kann. Dazu werden die Zahlen, die vor der Variable x stehen, zu einem Normalenvektor
angeordnet.
Die Parameterform ist die gängigste Form, eine Ebene aufzuschreiben.
Die Ebene E:x in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren und
bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.
Die Ebene in Parameterform:
= Ortsvektor/Stützvektor der Ebene
.
= Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene
.
= Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene
.
Wenn Dich die Form Ebene in Parameterform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Parameterform der Ebene
zurückgreifen.
Der Normalenvektor wird aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren einer Ebenengleichung
in Parameterform aufgestellt.
Beim Kreuzprodukt, werden die Vektoren und
in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt.
Berechnung eines Kreuzprodukts zwischen zwei Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem:
Aufgabe 2
Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren und
.
Lösung
Es werden also Vektor und
in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt und verrechnet.
Das Kreuzprodukt ist in diesem Fall der Vektor .
Ein Normalenvektor aus einer Ebene
in Parameterform wird berechnet, indem die beiden Spannvektoren
und
in das Kreuzprodukt eingesetzt und ausmultipliziert werden.
Aufgabe 3
Berechne den Normalenvektor der Ebene
.
Lösung
Du berechnest den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren
und
der Ebene
in die Formel des Kreuzprodukts einsetzt und das Kreuzprodukt dann ausmultiplizierst.
Der Normalenvektor der Ebene ist
.
Hier siehst Du eine Abbildung des Normalenvektors im Koordinatensystem. Auch da erkennt man, dass der Normalenvektor
senkrecht auf der Ebene
steht.
Abbildung 3: Normalenvektor n der Ebene E:x im Koordinatensystem
Auch bei einem Normalenvektor einer Gerade , muss der Normalenvektor orthogonal zu der Gerade
verlaufen.
Einen Normalenvektor einer Gerade
wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor
ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor
verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.
Das Skalarprodukt ist sehr wichtig für die Berechnung eines Normalenvektors einer Gerade
.
Ein Skalarprodukt wird berechnet, indem die jeweiligen Zahlen zweier Vektoren und
multipliziert werden. Nämlich
und
, etc. und diese werden addiert, um das Skalarprodukt zu erhalten. Die Formel sieht folgendermaßen aus:
Ein Skalarprodukt nennt sich so, weil man die Produkte aus Skalaren (reelle Zahlen) miteinander addiert.
Wichtig ist in dem Fall, dass nicht das normale Multiplikationszeichen verwendet wird, sondern dieser Kringel: .
Wenn ein Skalarprodukt zweier Vektoren und
gleich 0 ist, dann liegen diese Vektoren orthogonal zueinander.
Aufgabe 4
Berechne das Skalarprodukt des Vektors und
.
Lösung
Auch hier geht man nach dem gleich Prinzip vor, wie bisher. In diesem Fall kommt man zu dem Skalarprodukt 0. Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 sind, dann sind sie orthogonal zueinander.
Das Skalarprodukt wird für die Bestimmung des Normalenvektors einer Gerade
benötigt.
Zur Veranschaulichung der Normalenvektor Bestimmung kannst Du Dir das Folgende Beispiel anschauen.
Aufgabe 5
Berechne den Normalenvektor der Gerade
.
Lösung
Für das Bestimmen der Normalenvektors der Gerade
muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors
und des Normalenvektors
gleich 0 sein.
Zuerst wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.
Anhand dieser Rechnung erkennst Du, welche Zahlen für eingesetzt werden müssen, um den Normalenvektor
zu bestimmen.
Hier kannst Du verschiedene Zahlen für Einsetzen. Alle möglichen Normalenvektoren
sind parallel zueinander.
Du rechnest also -1 mal 3 und bekommst den Wert -3 raus. Die Werte danach bleiben gleich. Addierst du -3 und 3 erhältst du 0.
In diesem Fall ist der Normalenvektor der Gerade
. Es ist allerdings auch ein anderer Normalenvektor möglich, nämlich
. Das siehst Du an der Rechnung im nächsten Abschnitt.
Auch hier rechnest Du das Gleiche wie vorhin, allerdings ist der Normalenvektor mit -1 multipliziert. Du multiplizierst also 3 mit 1, somit bleibt der Wert gleich. Die anderen beiden Werte multiplizierst Du mit -1 und addierst sie. Dann erhältst Du -3. Die Zahl 3 addiert mit -3 ist gleich 0.
Hier siehst Du eine Abbildung zu dem Normalenvektor der Gerade
.
Abbildung 4: Rechter Winkel ger Gerade g:x und dem Normalenvektor n
Du hast nun das nötigste Wissen, um einen Normalenvektor zu berechnen. Jetzt kannst Du dein Wissen überprüfen
Zuerst erhältst Du eine Übung zum Berechnen eines Normalenvektors einer Ebene
in Parameterform.
Aufgabe 6
Berechne den Normalenvektor der Ebene
.
Lösung
Um den Normalenvektor zu berechnen, musst Du das Kreuzprodukt der Spannvektoren
und
ausrechnen.
Somit hast Du den Normalenvektor .
Danach kannst Du den Normalenvektor einer Ebene
in Normalenform beziehen.
Aufgabe 7
Benenne den Normalenvektor der Ebene
in Normalenform.
Lösung
Der Normalenvektor ist einfach abzulesen, in dem Du den Vektor vor der Klammer nimmst.
Der Normalenvektor ist in diesem Falle .
Als Nächstes bekommst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors einer Ebene
in Koordinatenform.
Aufgabe 8
Benenne den Normalenvektor der Ebene
in Koordinatenform.
Lösung
Der Normalenvektor der Ebene
ist in diesem Fall ebenfalls abzulesen, in dem Du die Zahlen vor der Variable x nimmst und sie in einen Vektor
umwandelst.
Der Normalenvektor ist .
Zuletzt kannst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors einer Gerade
machen.
Aufgabe 9
Berechne den Normalenvektor der Gerade
.
Lösung
Der Normalenvektor muss, im Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor
der Gerade
, gleich 0 sein.
Danach multiplizierst Du das Skalarprodukt aus.
Jetzt siehst Du direkt, welche Zahlen Du für Einsetzen musst, um den Normalenvektor
zu bestimmen.
Wenn Du die Zahlen des Normalenvektors mit dem Richtungsvektor
verrechnest, erhältst du das Produkt 0 .
Du müsstest jetzt den Normalenvektor haben, oder einen, parallelen Vektor, wie
Meistens wird sie in einer Parameterform dargestellt.
Der Normalenvektor n ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade, Ebene, bzw. generell auf einem Objekt steht.
Auf den Normalenvektor n kommst auf verschiedene Arten:
Den Normalenvektor n kannst du auf verschiedene Arten berechnen:
Der Normalenvektor n sagt die orthogonale Richtung einer Ebene E oder einer Gerade g aus.
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