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Du sitzt am Schreibtisch und kannst überhaupt nichts mit dem Mathethema "Normalenvektor" anfangen. Dabei ist fast alles, was auf Deinem Schreibtisch steht, ein "Normalenvektor". Stell Dir einfach vor Dein Schreibtisch ist die Ebene im Raum (Dein Zimmer) und Deine Trinkflasche der Normalenvektor 
. Wie Du einen solchen Normalenvektor 
erkennst oder auch berechnest, wird Dir in dieser Erklärung gezeigt.
Zum Einstieg in das Thema des Normalenvektors 
, ist eine Wiederholung zu Ebenen 
und Geraden 
sehr wichtig, weil Normalenvektoren 
immer orthogonal zu Geraden 
oder Ebenen 
stehen. Wenn Du das aber alles schon weißt, kannst Du den nächsten Abschnitt überspringen.
Im Folgenden wird Dir erläutert, was eine Ebene 
im Raum ist.
Eine Ebene im Raum ist ein zweidimensionales Objekt in der analytischen Geometrie, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Meistens wird die Ebenengleichung in der Parameterform dargestellt. Die Ebene kann aber auch in Normalenform und Koordinatenform dargestellt werden.
Ein Beispiel für eine Ebene 
in Parameterform ist 
.
Wie diese Ebene im Koordinatensystem aussieht, siehst Du im Folgenden:
Abbildung 1: Ebene E:x im Raum.
Eine Gerade kann in der Ebene und im Raum liegen. Einen Überblick über Geraden im Dreidimensionalen erhältst Du in diesem Abschnitt.
Eine Gerade 
ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.
= Stützvektor der Gerade 
.
= Richtungsvektor der Gerade
.
Geraden 
in Parameterform und im dreidimensionalen Koordinatensystem:
Hier siehst Du noch einmal ganz gut, dass die Parameterform der Geradengleichung aus einem Stützvektor 
und dem Richtungsvektor 
besteht.
Die nächste Abbildung zeigt die Gerade 
in Parameterform im dreidimensionalen Koordinatensystem zur Veranschaulichung.
Abbildung 2: Gerade g:x im Koordinatensystem.
Eine Ebene 
und einer Gerade 
können beide einen Normalenvektor 
besitzen.
Der Normalenvektor 
ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade , Ebene , beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.
Abbildung 3: Normalenvektor einer Ebene
Dieser Normalenvektor 
kann auch berechnet werden. Wie das funktioniert, zeigt Dir der Rest der Erklärung.
Einen Normalenvektor 
einer Ebene kann auf verschiedene Wege berechnet werden, je nach angegebener Form der Ebenengleichung.
In manchen Fällen kann der Normalenvektor anhand einer Ebenengleichung in Normalenform und Koordinatenform abgelesen werden oder in der Parameterebene durch das Kreuzprodukt berechnet werden.
Den Normalenvektor 
einer Ebene in Normalenform findest Du heraus, indem Du ihn einfach abliest.
Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor 
, einem Vektor 
, der den Aufbau eines Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor 
. Hier siehst Du die Rohform der Normalenform .
Das ist die ausgeschriebene Form einer Ebene in Normalenform:
= Normalenvektor einer Ebene .
= Variable X einer Ebene .
= Ortsvektor/Stützvektor einer Ebene .
Wie wird der Normalenvektor jetzt bestimmt?
Aufgabe 1
Bestimme den Normalenvektor 
der Ebene 
in Normalenform.
Lösung
Du liest in diesem Fall den Normalenvektor 
ab. Der Normalenvektor ist der türkisfarbene Vektor zu Beginn der Geradengleichung.
Der Normalenvektor ist:
Wenn Dich die Form Ebene in Normalenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Normalenform der Ebene zurückgreifen.
Die Koordinatenform ist eine Ebenengleichung, bei der der Normalenvektor abgelesen werden kann.
Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform:
= Normalenvektor der Ebene .
= Variable X einer Ebene .
= Skalar (reelle Zahl) aus 
.
= Ortsvektor der Ebene .
Wenn Dich die Form Ebene in Koordinatenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Koordinatenform der Ebene zurückgreifen.
Nun hast Du erfahren, dass der Normalenvektor 
abgelesen werden kann. Dazu werden die Zahlen, die vor der Variable x stehen, zu einem Normalenvektor 
angeordnet.
Die Parameterform ist die gängigste Form, eine Ebene aufzuschreiben.
Die Ebene E:x in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren 
und 
bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.
Die Ebene 
in Parameterform:
= Ortsvektor/Stützvektor der Ebene .
= Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene .
= Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene .
Wenn Dich die Form Ebene in Parameterform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Parameterform der Ebene zurückgreifen.
Der Normalenvektor wird aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren einer Ebenengleichung in Parameterform aufgestellt.
Beim Kreuzprodukt, werden die Vektoren 
und 
in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt.
Berechnung eines Kreuzprodukts zwischen zwei Vektoren 
im dreidimensionalen Koordinatensystem:
und 
werden dann untereinander multipliziert und subtrahiert und im wahrsten Sinne des Wortes gekreuzt.Aufgabe 2
Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren 
und 
.
Lösung
Es werden also Vektor 
und 
in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt und verrechnet.
Das Kreuzprodukt ist in diesem Fall der Vektor 
.
Ein Normalenvektor 
aus einer Ebene in Parameterform wird berechnet, indem die beiden Spannvektoren 
und 
in das Kreuzprodukt eingesetzt und ausmultipliziert werden.
Aufgabe 3
Berechne den Normalenvektor 
der Ebene 
.
Lösung
Du berechnest den Normalenvektor 
, indem Du die beiden Spannvektoren 
und 
der Ebene in die Formel des Kreuzprodukts einsetzt und das Kreuzprodukt dann ausmultiplizierst.
Der Normalenvektor der Ebene ist 
.
Hier siehst Du eine Abbildung des Normalenvektors 
im Koordinatensystem. Auch da erkennt man, dass der Normalenvektor 
senkrecht auf der Ebene steht.
Abbildung 3: Normalenvektor n der Ebene E:x im Koordinatensystem
Auch bei einem Normalenvektor einer Gerade 
, muss der Normalenvektor orthogonal zu der Gerade 
verlaufen.
Einen Normalenvektor 
einer Gerade 
wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor 
ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor 
verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.
Das Skalarprodukt ist sehr wichtig für die Berechnung eines Normalenvektors 
einer Gerade 
.
Ein Skalarprodukt wird berechnet, indem die jeweiligen Zahlen zweier Vektoren 
und 
multipliziert werden. Nämlich 
und 
, etc. und diese werden addiert, um das Skalarprodukt zu erhalten. Die Formel sieht folgendermaßen aus:
Ein Skalarprodukt nennt sich so, weil man die Produkte aus Skalaren (reelle Zahlen) miteinander addiert.
Wichtig ist in dem Fall, dass nicht das normale Multiplikationszeichen verwendet wird, sondern dieser Kringel: 
.
Wenn ein Skalarprodukt zweier Vektoren 
und 
gleich 0 ist, dann liegen diese Vektoren orthogonal zueinander.
Aufgabe 4
Berechne das Skalarprodukt des Vektors 
und 
.
Lösung
Auch hier geht man nach dem gleich Prinzip vor, wie bisher. In diesem Fall kommt man zu dem Skalarprodukt 0. Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 sind, dann sind sie orthogonal zueinander.
Das Skalarprodukt wird für die Bestimmung des Normalenvektors 
einer Gerade 
benötigt.
Zur Veranschaulichung der Normalenvektor Bestimmung kannst Du Dir das Folgende Beispiel anschauen.
Aufgabe 5
Berechne den Normalenvektor 
der Gerade 
.
Lösung
Für das Bestimmen der Normalenvektors 
der Gerade 
muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors 
und des Normalenvektors 
gleich 0 sein.
Zuerst wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.
Anhand dieser Rechnung erkennst Du, welche Zahlen für 
eingesetzt werden müssen, um den Normalenvektor 
zu bestimmen.
Hier kannst Du verschiedene Zahlen für 
Einsetzen. Alle möglichen Normalenvektoren 
sind parallel zueinander.
Du rechnest also -1 mal 3 und bekommst den Wert -3 raus. Die Werte danach bleiben gleich. Addierst du -3 und 3 erhältst du 0.
In diesem Fall ist der Normalenvektor der Gerade
. Es ist allerdings auch ein anderer Normalenvektor möglich, nämlich 
. Das siehst Du an der Rechnung im nächsten Abschnitt.
Auch hier rechnest Du das Gleiche wie vorhin, allerdings ist der Normalenvektor mit -1 multipliziert. Du multiplizierst also 3 mit 1, somit bleibt der Wert gleich. Die anderen beiden Werte multiplizierst Du mit -1 und addierst sie. Dann erhältst Du -3. Die Zahl 3 addiert mit -3 ist gleich 0.
Hier siehst Du eine Abbildung zu dem Normalenvektor 
der Gerade .
Abbildung 4: Rechter Winkel ger Gerade g:x und dem Normalenvektor n
Du hast nun das nötigste Wissen, um einen Normalenvektor zu berechnen. Jetzt kannst Du dein Wissen überprüfen
Zuerst erhältst Du eine Übung zum Berechnen eines Normalenvektors 
einer Ebene 
in Parameterform.
Aufgabe 6
Berechne den Normalenvektor 
der Ebene 
.
Lösung
Um den Normalenvektor 
zu berechnen, musst Du das Kreuzprodukt der Spannvektoren 
und 
ausrechnen.
Somit hast Du den Normalenvektor 
.
Danach kannst Du den Normalenvektor 
einer Ebene 
in Normalenform beziehen.
Aufgabe 7
Benenne den Normalenvektor 
der Ebene 
in Normalenform.
Lösung
Der Normalenvektor 
ist einfach abzulesen, in dem Du den Vektor vor der Klammer nimmst.
Der Normalenvektor ist in diesem Falle 
.
Als Nächstes bekommst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors 
einer Ebene 
in Koordinatenform.
Aufgabe 8
Benenne den Normalenvektor 
der Ebene 
in Koordinatenform.
Lösung
Der Normalenvektor 
der Ebene 
ist in diesem Fall ebenfalls abzulesen, in dem Du die Zahlen vor der Variable x nimmst und sie in einen Vektor umwandelst.
Der Normalenvektor ist 
.
Zuletzt kannst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors 
einer Gerade 
machen.
Aufgabe 9
Berechne den Normalenvektor
der Gerade 
.
Lösung
Der Normalenvektor 
muss, im Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor 
der Gerade 
, gleich 0 sein.
Danach multiplizierst Du das Skalarprodukt aus.
Jetzt siehst Du direkt, welche Zahlen Du für 
Einsetzen musst, um den Normalenvektor 
zu bestimmen.
Wenn Du die Zahlen des Normalenvektors 
mit dem Richtungsvektor 
verrechnest, erhältst du das Produkt 0 .
Du müsstest jetzt den Normalenvektor 
haben, oder einen, parallelen Vektor, wie 
Meistens wird sie in einer Parameterform dargestellt.
= Stützvektor
ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade
, Ebene 
in Parameterform:
aus einer Ebene 
in Parameterform berechnet man, in dem man die beiden Spannvektoren 
und 
in das Kreuzprodukt einsetzt und ausmultipliziert.
in Normalenform:
eine Ebene 
in Normalenform findest Du heraus, wenn Du den Vektor 
vor der Klammer abliest.
in Koordinatenform:
in Koordinatenform wird der Normalenvektor 
ebenfalls abgelesen. Dazu nimmt man die Zahlen, die vor der Variable x stehen und ordnet sie als einen Vektor 
an.
einer Gerade 
wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor
ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor 
verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.Der Normalenvektor n ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade, Ebene, bzw. generell auf einem Objekt steht.
Auf den Normalenvektor n kommst auf verschiedene Arten:
Den Normalenvektor n kannst du auf verschiedene Arten berechnen:
Der Normalenvektor n sagt die orthogonale Richtung einer Ebene E oder einer Gerade g aus.
Frage
Was ist eine Ebene im Raum?
Antwort anzeigen
Antwort
Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Frage anzeigen
Frage
In welchen Formen kann eine Ebene im Raum dargestellt werden?
Antwort anzeigen
Antwort
Meistens wird eine Ebene in einer Parameterform dargestellt. Die Ebene
kann aber auch in einer Normalenform, und Koordinatenform dargestellt werden.
Frage anzeigen
Frage
Was macht eine Gerade in der analytischen Geometrie aus?
Antwort anzeigen
Antwort
Eine Gerade ist in der analytischen Geometrie eine Strecke im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor
, welcher sich auf einem Stützvektor
stützt.eine Strecke im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.
Frage anzeigen
Frage
Was ist der Normalenvektor ?
Antwort anzeigen
Antwort
Der Normalenvektor ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade, Ebene, bzw. generell auf einem Objekt steht.
Frage anzeigen
Frage
Wie berechnet man den Normalenvektor einer Ebene
in Parameterform?
Antwort anzeigen
Antwort
Ein Normalenvektor aus einer Ebene
in Parameterform wird berechnet, in dem die beiden Spannvektoren
und
in das Kreuzprodukt eingesetzt und ausmultipliziert werden.
Frage anzeigen
Frage
Wie wird der Normalenvektor einer Ebene
in Normalenform bezogen?
Antwort anzeigen
Antwort
Den Normalenvektor bezieht man in diesem Fall, in dem der Vektor
abgelesen wird.
Frage anzeigen
Frage
Wie wird der Normalenvektor einer Ebene
in Koordinatenform bezogen?
Antwort anzeigen
Antwort
In diesem Fall wird der Normalenvektor ebenfalls abgelesen. Dazu werden die Zahlen, die vor der Variable x stehen, zu einem Normalenvektor
angeordnet.
Frage anzeigen
Frage
Wie wird ein Normalenvektor einer Gerade
bestimmt?
Antwort anzeigen
Antwort
Einen Normalenvektor einer Gerade
wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor
ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor
verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.
Frage anzeigen
Frage
Was ist der Normalenvektor der Ebene
in Parameterform?
Antwort anzeigen
Antwort
Für die Berechnung nimmst du die beiden Vektoren und
setzt sie in das Kreuzprodukt ein.
Der Normalenvektor der Ebene
ist
Frage anzeigen
Frage
Bestimme den Normalenvektor der Ebene
in Normalenform.
Antwort anzeigen
Antwort
Der Normalenvektor der Ebene
wird bestimmt, in dem der Normalenvektor
vor der Klammer abgelesen wird.
Der Normalenvektor der Ebene ist Vektor
.
Frage anzeigen
Frage
Bestimme den Normalenvektor der Ebene
in Koordinatenform.
Antwort anzeigen
Antwort
Der Normalenvektor wird bestimmt, in dem die Zahlen vor der Variable x abgelesen werden und danach in einen Vektor
umgewandelt werden.
Der Normalenvektor ist .
Frage anzeigen
Frage
Bestimme den Normalenvektor der Gerade
.
Antwort anzeigen
Antwort
Um den Normalenvektor zu bestimmen, muss das Skalarprodukt des des Normalenvektor
und des Vektor
gleich 0 sein. Dafür werden die beiden Vektoren
und
nun in das Skalarprodukt eingesetzt.
Der Normalenvektor ist .
Frage anzeigen
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der Ebene 
.
wird von den türkisfarbenen 
der Ebene
.
= 
