Select your language

Suggested languages for you:
Login Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Normalenvektor

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Normalenvektor

Du sitzt am Schreibtisch und kannst überhaupt nichts mit dem Mathethema "Normalenvektor" anfangen. Dabei ist fast alles, was auf Deinem Schreibtisch steht, ein "Normalenvektor". Stell Dir einfach vor Dein Schreibtisch ist die Ebene im Raum (Dein Zimmer) und Deine Trinkflasche der Normalenvektor . Wie Du einen solchen Normalenvektor erkennst oder auch berechnest, wird Dir in dieser Erklärung gezeigt.

Ebenen und Geraden im Raum – Grundlagenwissen

Zum Einstieg in das Thema des Normalenvektors , ist eine Wiederholung zu Ebenen und Geraden sehr wichtig, weil Normalenvektoren immer orthogonal zu Geraden oder Ebenen stehen. Wenn Du das aber alles schon weißt, kannst Du den nächsten Abschnitt überspringen.

Ebenen im Raum

Im Folgenden wird Dir erläutert, was eine Ebene im Raum ist.

Eine Ebene im Raum ist ein zweidimensionales Objekt in der analytischen Geometrie, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

Meistens wird die Ebenengleichung in der Parameterform dargestellt. Die Ebene kann aber auch in Normalenform und Koordinatenform dargestellt werden.

Ein Beispiel für eine Ebene in Parameterform ist .

Wie diese Ebene im Koordinatensystem aussieht, siehst Du im Folgenden:

Normalenvektor Ebene E:x im Raum StudySmarterAbbildung 1: Ebene E:x im Raum.

Geraden

Eine Gerade kann in der Ebene und im Raum liegen. Einen Überblick über Geraden im Dreidimensionalen erhältst Du in diesem Abschnitt.

Eine Gerade ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.

Normalenvektor Aufbau einer Gerade g:x im Koordinatensystem StudySmarter

Normalenvektor Aufbau einer Gerade g:x im Koordinatensystem Stützvektor StudySmarter= Stützvektor der Gerade .

Normalenvektor Aufbau einer Gerade g:x im Koordinatensystem RichtungsvektorStudySmarter= Richtungsvektor der Gerade.

Geraden in Parameterform und im dreidimensionalen Koordinatensystem:

Normalenvektor Aufbau einer Gerade g:x im Koordinatensystem StudySmarter

Hier siehst Du noch einmal ganz gut, dass die Parameterform der Geradengleichung aus einem Stützvektor und dem Richtungsvektor besteht.

Die nächste Abbildung zeigt die Gerade in Parameterform im dreidimensionalen Koordinatensystem zur Veranschaulichung.

Normalenvektor Gerade g:x im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 2: Gerade g:x im Koordinatensystem.

Normalenvektor Definition

Eine Ebene und einer Gerade können beide einen Normalenvektor besitzen.

Der Normalenvektor ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade , Ebene , beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.

Normalenvektor Normalenvektor einer Ebene StudySmarterAbbildung 3: Normalenvektor einer Ebene

Dieser Normalenvektor kann auch berechnet werden. Wie das funktioniert, zeigt Dir der Rest der Erklärung.

Normalenvektor einer Ebene berechnen

Einen Normalenvektor einer Ebene kann auf verschiedene Wege berechnet werden, je nach angegebener Form der Ebenengleichung.

In manchen Fällen kann der Normalenvektor anhand einer Ebenengleichung in Normalenform und Koordinatenform abgelesen werden oder in der Parameterebene durch das Kreuzprodukt berechnet werden.

Normalenvektor einer Ebene in Normalenform

Den Normalenvektor einer Ebene in Normalenform findest Du heraus, indem Du ihn einfach abliest.

Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor , einem Vektor , der den Aufbau eines Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor . Hier siehst Du die Rohform der Normalenform .

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x in Normalenform StudySmarter

Das ist die ausgeschriebene Form einer Ebene in Normalenform:

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x in Normalenform  StudySmarter


Normalenvektor Normalenvektor der Ebenengleichung E:x in Normalenform  StudySmarter = Normalenvektor einer Ebene .

Normalenvektor x-Variable der Ebenengleichung E:x in Normalenform StudySmarter = Variable X einer Ebene .

Normalenvektor Ortsvektor der Ebenengleichung E:x in Normalenform StudySmarter = Ortsvektor/Stützvektor einer Ebene .

Wie wird der Normalenvektor jetzt bestimmt?

Aufgabe 1

Bestimme den Normalenvektor der Ebene in Normalenform.

Lösung

Du liest in diesem Fall den Normalenvektor ab. Der Normalenvektor ist der türkisfarbene Vektor zu Beginn der Geradengleichung.

Der Normalenvektor ist:

Wenn Dich die Form Ebene in Normalenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Normalenform der Ebene zurückgreifen.

Normalenvektor einer Ebene in Koordinatenform

Die Koordinatenform ist eine Ebenengleichung, bei der der Normalenvektor abgelesen werden kann.

Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform:

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x in Koordinatenform StudySmarter

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x in Koordinatenform NormalenvektorStudySmarter= Normalenvektor der Ebene .

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x in Koordinatenform x-Variable StudySmarter= Variable X einer Ebene .

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x in Koordinatenform Skalar StudySmarter= Skalar (reelle Zahl) aus Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x in Koordinatenform Skalar StudySmarter.

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x in Koordinatenform Ortsvektor StudySmarter= Ortsvektor der Ebene .

Wenn Dich die Form Ebene in Koordinatenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Koordinatenform der Ebene zurückgreifen.

Nun hast Du erfahren, dass der Normalenvektor abgelesen werden kann. Dazu werden die Zahlen, die vor der Variable x stehen, zu einem Normalenvektor angeordnet.

Aufgabe 2

Benenne den Normalenvektor der Ebene .

Lösung

Der Normalenvektor wird von den türkisfarbenen Zahlen vor den Variablen x abgelesen.

Somit ist der Normalenvektor der Ebene .

Normalenvektor einer Ebene in Parameterform

Die Parameterform ist die gängigste Form, eine Ebene aufzuschreiben.


Die Ebene E:x in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren und bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x StudySmarter

Die Ebene in Parameterform:

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x in ParameterformStudySmarter

Normalenvektor Ortsvektor der Ebene E:x StudySmarter= Ortsvektor/Stützvektor der Ebene .

= Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene .

Normalenvektor Aufbau Ebenengleichung E:x Spannvektor StudySmarter= Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene .

Wenn Dich die Form Ebene in Parameterform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Parameterform der Ebene zurückgreifen.

Der Normalenvektor wird aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren einer Ebenengleichung in Parameterform aufgestellt.

Kreuzprodukt

Beim Kreuzprodukt, werden die Vektoren und in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt.

Berechnung eines Kreuzprodukts zwischen zwei Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem:

Normalenvektor Formel Kreuzprodukt StudySmarter

Die Werte der Vektoren und werden dann untereinander multipliziert und subtrahiert und im wahrsten Sinne des Wortes gekreuzt.

Aufgabe 2

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren und .

Lösung

Es werden also Vektor und in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt und verrechnet.

Das Kreuzprodukt ist in diesem Fall der Vektor .

Ein Normalenvektor aus einer Ebene in Parameterform wird berechnet, indem die beiden Spannvektoren und in das Kreuzprodukt eingesetzt und ausmultipliziert werden.

Aufgabe 3

Berechne den Normalenvektor der Ebene .

Lösung

Du berechnest den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren und der Ebene in die Formel des Kreuzprodukts einsetzt und das Kreuzprodukt dann ausmultiplizierst.

Der Normalenvektor der Ebene ist .

Hier siehst Du eine Abbildung des Normalenvektors im Koordinatensystem. Auch da erkennt man, dass der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht.

Normalenvektor Normalenvektor n der Ebene E:x im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 3: Normalenvektor n der Ebene E:x im Koordinatensystem

Normalenvektor einer Gerade bestimmen

Auch bei einem Normalenvektor einer Gerade , muss der Normalenvektor orthogonal zu der Gerade verlaufen.

Einen Normalenvektor einer Gerade wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist sehr wichtig für die Berechnung eines Normalenvektors einer Gerade .

Ein Skalarprodukt wird berechnet, indem die jeweiligen Zahlen zweier Vektoren und multipliziert werden. Nämlich und , etc. und diese werden addiert, um das Skalarprodukt zu erhalten. Die Formel sieht folgendermaßen aus:

Normalenvektor Formel Skalarprodukt StudySmarter

Ein Skalarprodukt nennt sich so, weil man die Produkte aus Skalaren (reelle Zahlen) miteinander addiert.

Wichtig ist in dem Fall, dass nicht das normale Multiplikationszeichen verwendet wird, sondern dieser Kringel: .

Wenn ein Skalarprodukt zweier Vektoren und gleich 0 ist, dann liegen diese Vektoren orthogonal zueinander.

Aufgabe 4

Berechne das Skalarprodukt des Vektors und .

Lösung

Auch hier geht man nach dem gleich Prinzip vor, wie bisher. In diesem Fall kommt man zu dem Skalarprodukt 0. Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 sind, dann sind sie orthogonal zueinander.

Das Skalarprodukt wird für die Bestimmung des Normalenvektors einer Gerade benötigt.

Normalenvektor einer Gerade bestimmen – Beispiel

Zur Veranschaulichung der Normalenvektor Bestimmung kannst Du Dir das Folgende Beispiel anschauen.

Aufgabe 5

Berechne den Normalenvektor der Gerade .

Lösung

Für das Bestimmen der Normalenvektors der Gerade muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors und des Normalenvektors gleich 0 sein.

Zuerst wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

Anhand dieser Rechnung erkennst Du, welche Zahlen für eingesetzt werden müssen, um den Normalenvektor zu bestimmen.

Hier kannst Du verschiedene Zahlen für Einsetzen. Alle möglichen Normalenvektoren sind parallel zueinander.

Du rechnest also -1 mal 3 und bekommst den Wert -3 raus. Die Werte danach bleiben gleich. Addierst du -3 und 3 erhältst du 0.

In diesem Fall ist der Normalenvektor der Gerade . Es ist allerdings auch ein anderer Normalenvektor möglich, nämlich . Das siehst Du an der Rechnung im nächsten Abschnitt.

Auch hier rechnest Du das Gleiche wie vorhin, allerdings ist der Normalenvektor mit -1 multipliziert. Du multiplizierst also 3 mit 1, somit bleibt der Wert gleich. Die anderen beiden Werte multiplizierst Du mit -1 und addierst sie. Dann erhältst Du -3. Die Zahl 3 addiert mit -3 ist gleich 0.

Hier siehst Du eine Abbildung zu dem Normalenvektor der Gerade .

Normalenvektor Rechter Winkel der Gerade g:x und der Normalenvektor n StudySmarter Abbildung 4: Rechter Winkel ger Gerade g:x und dem Normalenvektor n

Normalenvektor berechnen – Übungsaufgaben

Du hast nun das nötigste Wissen, um einen Normalenvektor zu berechnen. Jetzt kannst Du dein Wissen überprüfen

Zuerst erhältst Du eine Übung zum Berechnen eines Normalenvektors einer Ebene in Parameterform.

Aufgabe 6

Berechne den Normalenvektor der Ebene .

Lösung

Um den Normalenvektor zu berechnen, musst Du das Kreuzprodukt der Spannvektoren und ausrechnen.

Somit hast Du den Normalenvektor .

Danach kannst Du den Normalenvektor einer Ebene in Normalenform beziehen.

Aufgabe 7

Benenne den Normalenvektor der Ebene in Normalenform.

Lösung

Der Normalenvektor ist einfach abzulesen, in dem Du den Vektor vor der Klammer nimmst.

Der Normalenvektor ist in diesem Falle .

Als Nächstes bekommst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors einer Ebene in Koordinatenform.

Aufgabe 8

Benenne den Normalenvektor der Ebene in Koordinatenform.

Lösung

Der Normalenvektor der Ebene ist in diesem Fall ebenfalls abzulesen, in dem Du die Zahlen vor der Variable x nimmst und sie in einen Vektor umwandelst.

Der Normalenvektor ist .

Zuletzt kannst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors einer Gerade machen.

Aufgabe 9

Berechne den Normalenvektor der Gerade .

Lösung

Der Normalenvektor muss, im Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor der Gerade , gleich 0 sein.

Danach multiplizierst Du das Skalarprodukt aus.

Jetzt siehst Du direkt, welche Zahlen Du für Einsetzen musst, um den Normalenvektor zu bestimmen.

Wenn Du die Zahlen des Normalenvektors mit dem Richtungsvektor verrechnest, erhältst du das Produkt 0 .

Du müsstest jetzt den Normalenvektor haben, oder einen, parallelen Vektor, wie

Normalenvektor - Das Wichtigste

= Stützvektor

= Richtungsvektor

  • Der Normalenvektor ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade , Ebene , beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.
  • Ebenengleichung der Ebene in Parameterform:

  • Einen Normalenvektor aus einer Ebene in Parameterform berechnet man, in dem man die beiden Spannvektoren und in das Kreuzprodukt einsetzt und ausmultipliziert.

    • Den Normalenvektor eine Ebene in Normalenform findest Du heraus, wenn Du den Vektor vor der Klammer abliest.
  • Ebenengleichung einer Ebene in Koordinatenform:
    • Bei einer Ebene in Koordinatenform wird der Normalenvektor ebenfalls abgelesen. Dazu nimmt man die Zahlen, die vor der Variable x stehen und ordnet sie als einen Vektor an.
  • Einen Normalenvektor einer Gerade wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Normalenvektor

Der Normalenvektor n ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade, Ebene, bzw. generell auf einem Objekt steht.

Auf den Normalenvektor n kommst auf verschiedene Arten:

  1. Ist eine Ebene in Normalenform gegeben, kannst du den Normalenvektor einfach aus der Gleichung ablesen
  2. Ist eine Ebene in Koordinatenform gegeben, kannst du den Normalenvektor durch ablesen der Koeffizienten vor den Koordinaten zusammensetzen.
  3. Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, berechnest du den Normalenvektor als Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren a und b.
  4. Ist eine Gerade in Parameterform gegeben, berechnest du einen Normalenvektor, dessen Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor a Null ergibt.

Den Normalenvektor n kannst du auf verschiedene Arten berechnen:

  1. Ist eine Ebene in Normalenform gegeben, kannst du den Normalenvektor einfach aus der Gleichung ablesen
  2. Ist eine Ebene in Koordinatenform gegeben, kannst du den Normalenvektor durch ablesen der Koeffizienten vor den Koordinaten zusammensetzen.
  3. Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, berechnest du den Normalenvektor als Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren a und b.

Der Normalenvektor n sagt die orthogonale Richtung einer Ebene E oder einer Gerade g aus.

Finales Normalenvektor Quiz

Frage

Was ist eine Ebene  im Raum?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ebene  im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

Frage anzeigen

Frage

In welchen Formen kann eine Ebene  im Raum dargestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Meistens wird eine Ebene  in einer Parameterform dargestellt. Die Ebene  kann aber auch in einer Normalenform, und Koordinatenform dargestellt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was macht eine Gerade  in der analytischen Geometrie aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gerade  ist in der analytischen Geometrie eine Strecke im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.eine Strecke im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.



Frage anzeigen

Frage

Was ist der Normalenvektor ?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Normalenvektor  ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade, Ebene, bzw. generell auf einem Objekt steht.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man den Normalenvektor einer Ebene  in Parameterform?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Normalenvektor aus einer Ebene  in Parameterform wird berechnet, in dem die beiden Spannvektoren und in das Kreuzprodukt eingesetzt und ausmultipliziert werden.




Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Normalenvektor einer Ebene  in Normalenform bezogen?

Antwort anzeigen

Antwort

Den Normalenvektor  bezieht man in diesem Fall, in dem der Vektor  abgelesen wird.



Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Normalenvektor  einer Ebene  in Koordinatenform bezogen?

Antwort anzeigen

Antwort

In diesem Fall wird der Normalenvektor  ebenfalls abgelesen. Dazu werden die Zahlen, die vor der Variable x stehen, zu einem Normalenvektor angeordnet.



Frage anzeigen

Frage

Wie wird ein Normalenvektor  einer Gerade  bestimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Normalenvektor einer Gerade  wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.




Frage anzeigen

Frage

Was ist der Normalenvektor der Ebene  in Parameterform?



Antwort anzeigen

Antwort

Für die Berechnung nimmst du die beiden Vektoren  und  setzt sie in das Kreuzprodukt ein.



Der Normalenvektor der Ebene   ist  

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Normalenvektor  der Ebene  in Normalenform.



Antwort anzeigen

Antwort

Der Normalenvektor der Ebene  wird bestimmt, in dem der Normalenvektor vor der Klammer abgelesen wird.



Der Normalenvektor der Ebene  ist Vektor .

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Normalenvektor  der Ebene  in Koordinatenform.



Antwort anzeigen

Antwort

Der Normalenvektor  wird bestimmt, in dem die Zahlen vor der Variable x abgelesen werden und danach in einen Vektor  umgewandelt werden.



Der Normalenvektor ist .

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Normalenvektor  der Gerade .



Antwort anzeigen

Antwort

Um den Normalenvektor  zu bestimmen, muss das Skalarprodukt des des Normalenvektor  und des Vektor  gleich 0 sein. Dafür werden die beiden Vektoren  und  nun in das Skalarprodukt eingesetzt.



Der Normalenvektor ist .



Frage anzeigen

60%

der Nutzer schaffen das Normalenvektor Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.