Du hast bestimmt schon öfter Karten gespielt und Dich dadurch vielleicht auch einmal gefragt, welche Form eigentlich das Karo Symbol, beispielsweise das Karo Ass, hat?
Abbildung 1: Poker Karten
Denn genau mit den Seitenlängen dieser geometrischen Figur, nämlich der Raute, wird sich dieser Artikel beschäftigen.
Raute Definition – Grundlagenwissen
Der folgende Abschnitt wird klären, welche Eigenschaften eine Raute aufweist und inwiefern diese von anderen Vierecken wie dem Quadrat oder dem Drachenviereck unterschieden werden kann.
Die Raute gehört der Gruppe der
Vierecke an und weist insgesamt
vier Seiten auf, wobei die
gegenüberliegenden Seiten parallel und die
gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind. Das wichtigste Merkmal der Raute ist, dass
alle vier Seiten immer
gleich lang sind und beide
Diagonalen jeweils eine
Symmetrieachse darstellen.
Eine vollständig korrekt beschriftete Raute sieht demnach wie folgt aus:
Abbildung 2: Die Raute
Wie Dir vielleicht aufgefallen ist, sehen sich die Raute und das Quadrat sehr ähnlich, jedoch gibt es einen konkreten Unterschied, nämlich dass beim Quadrat im Gegensatz zur Raute alle vier Winkel immer zwingend 90° groß sind.
Raute mit gleicher Seitenlänge – Definition
Was genau die Seitenlänge der Raute ist, wird Dir im folgenden Abschnitt erklärt.
Unter der Seitenlänge der Raute wird in der Mathematik die Länge der Strecke, welche zwei nebeneinanderliegende Eckpunkte dieser geometrischen Figur miteinander verbindet, verstanden. Die Raute hat vier gleich lange Seiten, welche alle mit dem Buchstaben a bezeichnet werden.
Um genau verstehen zu können, was eine Seitenlänge ist, werden die folgenden drei geometrischen Figuren zum Vergleich gezogen.
Wie in der folgenden Abbildung 3 erkenntlich wird, gibt es geometrische Figuren mit drei, vier oder mehr Seiten. Zudem kann die Länge der jeweiligen Seiten unterschiedlich groß sein, wobei das Verwenden desselben Buchstabens für die Beschriftung mehrerer Seiten dafür steht, dass diese gleich groß sind.
Abbildung 3: Die Seiten einer geometrischen Figur
Hier eine kurze Übersicht der Seitenlänge und Anzahl der abgebildeten geometrischen Figuren.
| Figur | Seitenanzahl | Länge der Seite a |
Dreieck | 3 | 5 cm |
Raute | 4 | 3 cm |
Sechseck | 6 | 2 cm |
Die Raute fällt somit in die Kategorie der Vierecke, aufgrund ihrer vier Seiten und Ecken.
Raute – Ermitteln der Seitenlänge a
Der folgende Abschnitt zeigt auf, wie die Seitenlängen einer Raute abgelesen und mit welchen Methoden diese berechnet werden können.
Raute – Ablesen der Seitenlänge
Wie genau eine Seitenlänge abgelesen wird, soll folgendes Beispiel klären.
Aufgabe 1
Du möchtest wissen, wie lang die Seiten der Raute mit den Diagonalen und sind?
Lösung
Zeichne hierfür erstmals die folgenden Diagonalen in dein Heft und verbinde anschließend die nebeneinander liegenden Endpunkte der Strecken, sodass eine Raute entsteht.
Abbildung 4: Schritt 1
Abbildung 5: Schritt 2
Nun kann mithilfe des Geodreiecks oder eines Lineals, indem die Null auf einen beliebigen Punkt gelegt wird, die Strecke von z. B. A nach B abgemessen werden.
Die Seite a hat, wenn richtig abgemessen, demnach eine Länge von cm.
Natürlich kann die Seite a auch auf verschiedene Art und Weisen berechnet werden, da zum einen das Abmessen nicht immer genau ist und genaues Abmessen bei größeren Werten schwierig werden kann. Diese verschiedenen Möglichkeiten werden nun im Detail behandelt.
Seitenlänge einer Raute aus dem Umfang berechnen – Formel
Um die Seitenlänge a aus dem Umfang U einer Raute berechnen zu können, ist es essentiell zu verstehen, was genau der Umfang U ist und welcher Zusammenhang zwischen diesen beiden Variablen besteht.
Unter dem Umfang U der Raute wird die Summe aller Seiten der Raute, welche diese Figur begrenzen, verstanden und wird wie folgt berechnet:
Zur Veranschaulichung der Definition und der Formeln soll folgende Abbildung helfen.
Abbildung 6: Die Seitenlängen
Da mithilfe der Seitenlänge der Raute der Umfang ausgerechnet werden kann, kann umgekehrt auch die Seite a aus dem Umfang berechnet werden. Wie genau dies funktioniert, wird nun anhand eines Beispiels geschildert.
Aufgabe 2
Eine Raute weist folgenden Umfang auf:
Berechne die Seite a der Figur!
Lösung
Im ersten Schritt wird die Formel des Umfangs der Raute aufgeschrieben und diese nach der Seite a umgestellt.
Nun wird der Wert für den Umfang U in die Formel eingesetzt und die Seite a berechnet.
Die Seite a der Raute mit dem Umfang von beträgt also .
Somit wurde in diesem Beispiel die Formel für die Berechnung der Seitenlänge korrekt aus der Umfangsformel hergeleitet.
Die Formel für die Berechnung der Seitenlänge in der Raute aus dem Umfang lautet somit:
Es gibt auch noch weitere Möglichkeiten, die Seitenlänge zu berechnen.
Raute – Seitenlänge aus dem Flächeninhalt berechnen
In einem speziellen Fall, nämlich wenn die Diagonalen e und f gleich lang sind, kann die Seite a bei gegebenem Flächeninhalt berechnet werden. Wenn folgende Abbildung genau untersucht wird, kann festgestellt werden, dass nun beide Figuren, die exakt gleichen Merkmale aufweisen, von den Seitenlängen bis hin zu den Größen der Winkel. Folglich entspricht nun die Raute einem gedrehtem Quadrat.
Abbildung 7: Quadrat vs. Raute
Gleiche Eigenschaften bedeuten auch, dass nun bestimmte Variablen der Figuren mit denselben Formeln berechnet werden können. Somit kann nun für die Berechnung des Flächeninhalts auch die Formel des Quadrates verwendet werden, woraus im Anschluss die Seite a berechnet werden kann. Dies wird anhand der folgenden Beispielaufgabe aufgezeigt:
Aufgabe 3
Eine Raute mit gleich langen Diagonalen e und f weist folgende Fläche auf:
Berechne die Seite a!
Lösung
Da die beiden Diagonalen e und f gleich lang sein, stellt die Raute zugleich ein Quadrat dar, welches gedreht wurde.
Für den Flächeninhalt A eines Quadrats gilt folgende Formel:
Wird nun die Gleichung nach der Seite a aufgelöst und der Wert für die Fläche A eingesetzt, ergibt dies folgende
Lösung:
Die Seite a der Raute beträgt somit .
In diesem Beispiel wurde die Formel für die Berechnung der Seitenlänge korrekt aus der Flächenformel des Quadrates hergeleitet und bewiesen.
Bei gleich langen Diagonalen kann die Seitenlänge der Raute mithilfe folgender Formel aus der Fläche berechnet werden:
Es gibt auch noch eine weitere fortgeschrittene Möglichkeit, wie die Seitenlänge berechnet werden kann, nämlich mithilfe der Diagonalen unter Anwendung des Lehrsatzes nach Pythagoras.
Seitenlänge der Raute mit Diagonale berechnen
Befindest Du Dich bereits in der neunten Klasse oder höher, dann sieh Dir das Beispiel in der folgenden Vertiefung an, welches Schritt für Schritt erklärt, wie die Seite a bei gegebenen Diagonalen berechnet werden kann.
Ansonsten überspringe diesen und gehe direkt zum Abschnitt der Übungsaufgaben.
Aufgabe 4
Eine Raute weist folgende Werte auf:
Berechne die Länge der Seite a der Raute!
Lösung
Wie in Abbildung 8 dargestellt wird, teilen die beiden Diagonalen e und f die Raute in vier gleich große rechtwinklige Dreiecke. Besonders an diesen rechtwinkligen Dreiecken ist, dass mithilfe des Satzes von Pythagoras eine der drei Seiten ausgerechnet werden kann, insofern die anderen zwei gegeben sind.
Abbildung 8: Satz des Pythagoras
Da die Seite a berechnet werden soll, muss der Satz des Pythagoras verwendet werden, welcher wie folgt lautet:
Unter und werden die am rechten Winkel angrenzenden Seiten im rechtwinkligen Dreieck verstanden, welche in Abbildung 9 veranschaulicht werden. Da beide Diagonalen zugleich die Symmetrieachse der Figur abbilden, sind die kurzen Seiten bzw. die Katheten des in der Abbildung dargestellten rechtwinkligen Dreiecks jeweils die Hälfte der Länge der Strecke der Diagonalen, also und , welche somit als und bezeichnet werden können. Die Seite a stellt die Hypotenuse H, also die längere und vom rechten Winkel gegenüberliegende Seite dar.
Abbildung 9: Satz des Pythagoras
Werden nun die Werte für e und f in die Formel eingesetzt und im Anschluss daran die Gleichung nach a aufgelöst, sieht dies wie folgt aus:
Die Seite a einer Raute mit den Diagonalen und beträgt demnach .
Somit wurde nun auch die letzte Möglichkeit aufgezeigt, wie die Seitenlänge der Raute berechnet werden kann.
Die Seitenlänge der Raute kann mithilfe folgender Formel aus den Diagonalen berechnet werden:
Raute Seitenlänge – Übungsaufgaben
Los geht's mit einer Aufgabe zum Thema Seitenlänge aus dem Umfang berechnen.
Aufgabe 5
Eine Raute weist folgenden Umfang auf:
Berechne die Seite a der Figur!
Lösung
Zuerst wird die Formel des Umfangs der Raute aufgeschrieben und diese nach der Seite a umgestellt.
Nun wird der Wert für den Umfang U in die Formel eingesetzt und die Seite a berechnet.
Die Seite a der Raute mit dem Umfang von beträgt also .
Als nächstes folgt ein kurzes Beispiel zur Berechnung der Seitenlänge der Raute bei gegebener Fläche.
Aufgabe 6
Eine Raute mit gleich langen Diagonalen e und f weist folgende Fläche auf:
Berechne die Seite a!
Lösung
Da die beiden Diagonalen e und f gleich lang sein, stellt die Raute zugleich ein Quadrat dar, welches gedreht wurde.
Als Erstes wird die Flächenformel des Quadrates hingeschrieben und im Anschluss daran diese Formel nach a aufgelöst. Die Flächenformel des Quadrates lautet wie folgt:
Nun wird der Wert für die Fläche aus der Angabe eingesetzt und die Gleichung aufgelöst.
Die Seite a der Raute beträgt somit .
Auf zum letzten Beispiel, der Berechnung der Seitenlänge bei gegebenen Diagonalen.
Aufgabe 7
Eine Raute weist folgende Werte auf:
Berechne die Seite a der Raute!
Lösung
Nachdem eine kurze Skizze des Sachverhaltes angefertigt wird, können die vier rechtwinkligen Dreiecke, aus welcher die Figur besteht, erkannt werden. Dies bedeutet, dass mithilfe des Satzes von Pythagoras eine der drei Seiten eines Dreiecks ausgerechnet werden kann, insofern die anderen zwei gegeben sind.
Abbildung 10:Satz des Pythagoras
Da die Seite a berechnet werden soll, muss der Satz des Pythagoras verwendet werden, welcher wie folgt lautet:
Unter und werden die kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck verstanden. Die Seiten des Dreiecks also und werden als und bezeichnet. Die Seite a stellt die Hypotenuse H, also die längere und vom rechten Winkel gegenüberliegende Seite dar.
Werden nun die Werte für e und f in die Formel eingesetzt und im Anschluss daran die Gleichung nach a aufgelöst, sieht dies wie folgt aus:
Die Seite a einer Raute mit den Diagonalen und beträgt demnach .
Seitenlänge Raute – Das Wichtigste auf einen Blick
Eine Raute erkennst Du daran, dass sie vier Winkel, vier Ecken und vier Seiten aufweist.
Unter einer Seite wird die Strecke, welche zwei Eckpunkte einer geometrischen Figur verbindet, verstanden.
Alle Seiten der Raute sind immer gleich lang, wobei die Diagonalen jedoch unterschiedlich lang sein können.
Seitenformel für a (Diagonalen sind unterschiedlich lang):
Seitenformel für a (Diagonalen sind gleich lang):
Bei gegebenen Diagonalen e und f kann die Seite a mithilfe des Satzes nach Pythagoras berechnet werden:
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