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Lagebeziehungen von Geraden

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Mathe

Was kann passieren, wenn man sich nicht nur eine, sondern zwei Geraden im anschaut? Zwei Geraden im Koordinatensystem können in unterschiedlichen Lagen zueinander stehen. Sie können sich schneiden, identisch oder parallel zueinander sein oder aber auch windschiefe zueinander stehen. Um zu bestimmen, wie die Geraden zueinander stehen, müssen unterschiedliche Voraussetzungen bestehen.

Lagebeziehungen von Geraden Achsen StudySmarter

Lagebeziehungen von Geraden im Raum

Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen können. Um sich diese Lagebeziehungen genauer anschauen zu können, müssen die beiden Geraden aber erst gegeben sein. Gegeben sind die Gerade g mit ihrer Geradengleichung und die Gerade h mit ihrer Geradengleichung .

Die beiden Geraden sind in der Parameterform angegeben:

  • Die Vektoren und sind jeweils die Aufhänge Punkte beziehungsweise Stützvektoren.
  • Die Vektoren und heißen Richtungsvektoren.

Falls du nicht mehr genau weißt, was die Parameterform einer Geraden ist, kannst du im Artikel Parameterform der Geradengleichung nachlesen.

Zwei Geraden im Raum (im ) können wie lineare Funktionen im identisch oder parallel sein oder einen Schnittpunkt haben. Zusätzlich können zwei Geraden im aber auch windschief sein.

Zwei Geraden sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen Geraden ist.

In der Abbildung siehst du zwei identische Geraden.

Lagebeziehung von Geraden, identische Geraden, StudySmarterAbbildung 1: Identische Geraden

Zwei Geraden sind (echt) parallel, wenn sie keinen Schnittpunkt haben und ihr Abstand überall gleich groß ist.

Lagebeziehung von Geraden, parallele Geraden, StudySmarter

Abbildung 2: (Echt) parallele Geraden

Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.

Der Punkt M, an dem die beiden Geraden sich schneiden, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Lagebeziehung von Geraden, sich schneidende Geraden, StudySmarterAbbildung 3: Sich schneidende Geraden

Ist bei sich schneidenden Geraden zusätzlich das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren 0, so handelt es sich um aufeinander senkrecht stehende Geraden.

Zwei Geraden sind windschief, wenn sie sich nicht berühren und nicht parallel sind.

Obwohl das Bild der Abbildung 3 ähnlich sieht, handelt es sich um einen anderen Fall. Denn die beiden Geraden schneiden sich nicht: Gerade g verläuft oberhalb von Gerade h.

Lagebeziehung von Geraden, windschiefe Geraden, StudySmarter

Abbildung 4: Windschiefe Geraden

Lagebeziehung von Geraden bestimmen

Um die Lagebeziehung von zwei Geraden im Raum zu bestimmen, gibt es ein bestimmtes Prüfungsschema, welches dir einen Überblick über das Vorgehen gibt.

Zwei Vektoren und sind kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind. Mathematische bedeutet das:

Es gibt ein , für das Lagebeziehungen von Geraden kollinear StudySmarter gilt.

Manchmal werden kollineare Vektoren auch als linear abhängige Vektoren bezeichnet.

Folgendes Beispiel hilft zur Veranschaulichung:

Aufgabe

a) Überprüfe, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden und kollinear/linear abhängig sind.

b) Überprüfe, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden und kollinear/linear abhängig sind.

Lösung

a) Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, gibt es einen Wert für k, für den die Gleichung erfüllt ist.

Aus dieser Gleichung ergibt sich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Variablen:

Damit die einzelnen Gleichungen erfüllt sind, muss k einen bestimmten Wert annehmen:

In der dritten Zeile müsste k den Wert annehmen, damit Gleichung (III) erfüllt ist. Dies steht im Widerspruch dazu, dass k den Wert annehmen muss, damit die Gleichungen (I) und (II) erfüllt sind.

Die beiden Richtungsvektoren sind also nicht linear abhängig.

b) Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, gibt es einen Wert für k, für den die Gleichung

erfüllt ist.

Aus dieser Gleichung ergibt sich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Variablen:

Damit die einzelnen Gleichungen erfüllt sind, muss k einen bestimmten Wert annehmen:

Die beiden Richtungsvektoren sind linear abhängig.

  • Wenn die Richtungsvektoren der Geraden kollinear (linear abhängig) sind, dann sind die Geraden entweder (echt) parallel oder identisch.
  • Wenn die Richtungsvektoren der Geraden nicht kollinear (linear unabhängig) sind, dann schneiden sich die Geraden oder sie sind windschief.

Lagebeziehungen von Geraden, Richtungsvektoren linear abhängig, StudySmarterAbbildung 5: Richtungsvektoren auf Kollinearität überprüfen

Wenn die Richtungsvektoren kollinear sind, musst du überprüfen, ob die Geraden identisch oder parallel sind. Dazu setzt du einen Punkt einer Geraden in die Geradengleichung der anderen Gerade ein. Hierfür kannst du jeden Punkt der Gerade verwenden. Am einfachsten ist es aber, den Aufpunkt der einen Gerade in die andere Gerade einzusetzen.

  • Falls der eingesetzte Punkt die Geradengleichung erfüllt, sind die Geraden identisch.
  • Wenn der eingesetzte Punkt die Geradengleichung nicht erfüllt, dann sind die beiden Geraden parallel.

Lagebeziehungen von Geraden, identisch oder parallel, StudySmarterAbbildung 6: Überprüfen, ob die Geraden echt parallel oder identisch sind

Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, musst du überprüfen, ob die Geraden sich schneiden oder windschief sind. Dabei versuchst du den Schnittpunkt der beiden Geraden zu berechnen, indem du das Gleichungssystem löst.

  • Wenn das Gleichungssystem eine Lösung besitzt, dann schneiden sich die Geraden.
  • Besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, so sind die beiden Geraden windschief.

Lagebeziehungen von Geraden, Prüfungsschema, StudySmarter

Abbildung 7: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung von zwei Geraden

Lagebeziehungen von Geraden Beispiel

Damit du verstehst, wie du das oben vorgestellte Schema anwenden kannst, um die Lagebeziehung von zwei Geraden zu bestimmen, findest du hier einige Beispiele.

Identische Geraden

Im Folgenden findest du ein Beispiel zu identischen Geraden:

Aufgabe

Welche Lagebeziehung haben die beiden Geraden und ?

Lösung

1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da für die Gleichung oben erfüllt ist.

Da die Richtungsvektoren kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder parallel oder identisch sein.

2. Schritt: Überprüfe, ob der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen Gerade liegt.

Der Stützvektor der Geraden g wird in die Geradengleichung der Gerade h eingesetzt:

Dadurch ergeben sich drei Gleichungen:

In der ersten Gleichungen ist es egal, welcher Wert für eingesetzt wird. In der zweiten und dritten Zeile muss gleich 2 sein, damit die Gleichung erfüllt ist.

Für sind also alle drei Gleichungen erfüllt und der Punkt liegt auf der Geraden

.

Die Geraden g und h sind also identisch.

Immer wenn zwei Geraden identisch sind, sind ihre Richtungsvektoren linear abhängig und sie haben einen gemeinsamen Punkt.

Lagebeziehungen von Geraden, identische Geraden, StudySmarter

Abbildung 8: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung bei identischen Geraden

Parallele Geraden

Im folgenden Beispiel werden zwei parallele Geraden behandelt.

Aufgabe

Welche Lagebeziehung haben die beiden Geraden und ?

Lösung

1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da für die Gleichung oben erfüllt ist.

Da die Richtungsvektoren kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder parallel oder identisch sein.

2. Schritt: Überprüfe, ob der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen Gerade liegt.

Der Stützvektor der Geraden g wird in die Geradengleichung der Gerade h eingesetzt:

Dadurch ergeben sich drei Gleichungen:

Der Stützvektor der Geraden g liegt nicht auf der Geraden h, da es kein gibt, für das alle drei Gleichungen "gleichzeitig" erfüllt sind. Damit die drei Gleichungen erfüllt sind, müsste unterschiedliche Werte annehmen. Dies ist aber nicht möglich und führt zum Widerspruch. Die beiden Geraden g und h sind also echt parallel.

Immer wenn zwei Geraden echt parallel sind, sind ihre Richtungsvektoren linear abhängig und sie haben keinen gemeinsamen Punkt.

Lagebeziehungen von Geraden, parallele Geraden, StudySmarter

Abbildung 9: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung bei echt parallelen Geraden

Windschiefe Geraden

Dieses Beispiel umfasst zwei Geraden, die windschief zueinander sind.

Aufgabe

Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden und und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.

Lösung

1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

Im ersten Schritt überprüfst du, wie bereits in den vorherigen Beispielen, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind.

Es gibt kein k, für das diese Gleichung erfüllt ist, denn in der dritten Zeile gilt:

Diese Gleichung ist für jedes k nicht erfüllt, da die rechte Seite der Gleichung immer 0 ist.

Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder windschief sein oder sich schneiden.

2. Schritt: Überprüfe, ob das Gleichungssystem eine Lösung besitzt.

Anschließend setzt du die beiden Geraden miteinander gleich, um herauszufinden, ob das lineare Gleichungssystem eine Lösung hat:

Durch das Gleichsetzen erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.

Mithilfe von Gleichung (II) kann berechnet werden:

Mithilfe von Gleichung (III) kann berechnet werden:

Jetzt muss noch überprüft werden, ob auch Gleichung (I) mit den berechneten Werten für und ( und ) erfüllt ist:

Beim Einsetzen der Werte fällt auf, dass ein Widerspruch entsteht. Das lineare Gleichungssystem hat also keine Lösung.

Die beiden Geraden g und h sind windschief.

Immer wenn zwei Geraden windschief sind, sind ihre Richtungsvektoren linear unabhängig und das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Lagebeziehungen von Geraden, windschiefe Geraden, StudySmarter

Abbildung 10: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung bei windschiefen Geraden

Sich schneidende Geraden

Im folgenden Beispiel prüfst du, welche Lagebeziehung die beiden Geraden haben.

Aufgabe

Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden und und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.

Lösung

1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

Erneut untersuchst du, ob die Richtungsvektoren der Geraden g und h Vielfache voneinander sind:

Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhängig wären, so würde es einen Wert für k geben, bei dem alle drei Gleichungen erfüllt sind:

Die drei Gleichungen sind alle nur für unterschiedliche Werte für k erfüllt. Die beiden Richtungsvektoren sind also nicht kollinear/linear unabhängig. Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder windschief sein oder sich schneiden.

2. Schritt: Überprüfe, ob das Gleichungssystem eine Lösung besitzt.

Im nächsten Schritt erstellst du ein lineares Gleichungssystem, indem du die beiden Geradengleichungen der Geraden g und h gleichsetzt:

Durch das Gleichsetzen erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.

Mithilfe von Gleichung (I) kann berechnet werden:

Jetzt kannst du in die zweite Gleichung einsetzen und dann berechnen:

Jetzt muss noch überprüft werden, ob auch Gleichung (III) mit den berechneten Werten für und ( und ) erfüllt ist:

Auch die dritte Gleichung ist erfüllt. Das Gleichungssystem besitzt also die Lösung und .

3. Schritt: Schnittpunkt berechnen

Um den Schnittpunkt S der zwei Geraden zu bestimmen, musst du entweder in die Gerade g oder in die Gerade h einsetzen:

In diesem Fall ist es einfacher, denn Schnittpunkt zu berechnen, indem in die Gerade h eingesetzt wird. Der Schnittpunkt entspricht dann dem Aufpunkt der Gerade h:

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind also .

Wenn du überprüfen möchtest, ob du richtig gerechnet hast, kannst du in die Gerade g einsetzen. Dann muss der gleiche Punkt herauskommen:

Die Ergebnisse beider Rechnungen stimmen überein.

Immer wenn zwei Geraden sich schneiden, sind ihre Richtungsvektoren linear unabhängig und das Gleichungssystem hat eine Lösung.

Lagebeziehungen von Geraden, sich schneidende Geraden, StudySmarter

Abbildung 11: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung bei sich schneidenden Geraden

Lagebeziehungen von Geraden - Das Wichtigste

  • Zwei Geraden g und h können
    • sich schneiden,
    • identisch,
    • parallel oder
    • windschief sein.
  • Wenn die Richtungsvektoren der Geraden kollinear (linear abhängig) sind, dann sind die Geraden entweder (echt) parallel oder identisch.
    • Die Geraden sind identisch, falls der Aufpunkt der einen Geraden die Geradengleichung der anderen Geraden erfüllt.
    • Die Geraden sind echt parallel, falls der Aufpunkt der einen Geraden die Geradengleichung der anderen Geraden nicht erfüllt.
  • Wenn die Richtungsvektoren der Geraden nicht kollinear (linear unabhängig) sind, dann schneiden sich die Geraden oder sie sind windschief.
    • Die Geraden schneiden sich, falls das Gleichungssystem eine Lösung besitzt.
    • Die Geraden sind windschief, falls das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
  • Prüfungschema:Lagebeziehungen von Geraden Prüfungsschema StudySmarter

Lagebeziehungen von Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind und der Aufhängepunkt der einen Geraden die Geradengleichung der anderen Geraden nicht erfüllt.

Geraden können nicht kollinear sein, aber ihre Richtungsvektoren. Zwei Richtungsvektoren sind kollinear, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist.

Zwei Geraden im Raum können sich schneiden, oder identisch, parallel oder windschief sein.

Zwei Geraden schneiden sich, wenn ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind und beim Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen eine Lösung berechnet werden kann.

Finales Lagebeziehungen von Geraden Quiz

Frage

Beschreibe, wie du nachweisen kannst, ob zwei Vektoren linear abhängig sind. 

Antwort anzeigen

Antwort

Um nachzuweisen, dass zwei Vektoren linear abhängig sind, überprüfst du, ob der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist. 


Wenn die Vektoren Vielfache voneinander sind, sind sie linear abhängig.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Lagebeziehungen, die zwei Geraden im Raum haben können.

Antwort anzeigen

Antwort


Zwei Geraden im Raum können 

  • identisch
  • parallel oder
  • windschief sein
  •  oder einen Schnittpunkt haben.
Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die Geraden g und h.

  1. Die Richtungsvektoren der Geraden sind kollinear.
  2. Der Aufhängepunkt von g liegt nicht auf h.


Gib die Lagebeziehung der Geraden an.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Geraden sind echt parallel.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die Geraden g und h.

  1. Die Richtungsvektoren der Geraden sind kollinear.
  2. Der Aufhängepunkt von g liegt auf h.


Gib die Lagebeziehung der Geraden an.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Geraden sind identisch.

Frage anzeigen
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