Lagebeziehungen von Geraden

Was kann passieren, wenn man sich nicht nur eine, sondern zwei Geraden im 3 anschaut? Zwei Geraden im Koordinatensystem können in unterschiedlichen Lagen zueinander stehen. Sie können sich schneiden, identisch oder parallel zueinander sein oder aber auch windschiefe zueinander stehen. Um zu bestimmen, wie die Geraden zueinander stehen, müssen unterschiedliche Voraussetzungen bestehen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Lagebeziehungen von Geraden Achsen StudySmarter

    Lagebeziehungen von Geraden im Raum

    Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen können. Um sich diese Lagebeziehungen genauer anschauen zu können, müssen die beiden Geraden aber erst gegeben sein. Gegeben sind die Gerade g mit ihrer Geradengleichungg:x=p+λu und die Gerade h mit ihrer Geradengleichung h:x=q+μv.

    Die beiden Geraden sind in der Parameterform angegeben:

    • Die Vektoren p und q sind jeweils die Aufhänge Punkte beziehungsweise Stützvektoren.
    • Die Vektoren u und v heißen Richtungsvektoren.

    Falls du nicht mehr genau weißt, was die Parameterform einer Geraden ist, kannst du im Artikel Parameterform der Geradengleichung nachlesen.

    Zwei Geraden im Raum (im 3) können wie lineare Funktionen im 2 identisch oder parallel sein oder einen Schnittpunkt haben. Zusätzlich können zwei Geraden im 3 aber auch windschief sein.

    Zwei Geraden sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen Geraden ist.

    In der Abbildung siehst du zwei identische Geraden.

    Lagebeziehung von Geraden, identische Geraden, StudySmarterAbbildung 1: Identische Geraden

    Zwei Geraden sind (echt) parallel, wenn sie keinen Schnittpunkt haben und ihr Abstand überall gleich groß ist.

    Lagebeziehung von Geraden, parallele Geraden, StudySmarter

    Abbildung 2: (Echt) parallele Geraden

    Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.

    Der Punkt M, an dem die beiden Geraden sich schneiden, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.

    Lagebeziehung von Geraden, sich schneidende Geraden, StudySmarterAbbildung 3: Sich schneidende Geraden

    Ist bei sich schneidenden Geraden zusätzlich das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren 0, so handelt es sich um aufeinander senkrecht stehende Geraden.

    Zwei Geraden sind windschief, wenn sie sich nicht berühren und nicht parallel sind.

    Obwohl das Bild der Abbildung 3 ähnlich sieht, handelt es sich um einen anderen Fall. Denn die beiden Geraden schneiden sich nicht: Gerade g verläuft oberhalb von Gerade h.

    Lagebeziehung von Geraden, windschiefe Geraden, StudySmarter

    Abbildung 4: Windschiefe Geraden

    Lagebeziehung von Geraden bestimmen

    Um die Lagebeziehung von zwei Geraden im Raum zu bestimmen, gibt es ein bestimmtes Prüfungsschema, welches dir einen Überblick über das Vorgehen gibt.

    Zwei Vektoren u und v sind kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind. Mathematische bedeutet das:

    Es gibt ein k, für das u=k·v gilt.

    Manchmal werden kollineare Vektoren auch als linear abhängige Vektoren bezeichnet.

    Folgendes Beispiel hilft zur Veranschaulichung:

    Aufgabe

    a) Überprüfe, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden g:x=123+λ143 und h:x=1619+μ28-3 kollinear/linear abhängig sind.

    b) Überprüfe, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden g:x=123+λ143 und h:x=1619+μ286 kollinear/linear abhängig sind.

    Lösung

    a) Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, gibt es einen Wert für k, für den die Gleichung 143=k·28-3 erfüllt ist.

    Aus dieser Gleichung ergibt sich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Variablen:

    (I)II 1=k·2(I) I 4=k·8(III) 3=k·(-3)

    Damit die einzelnen Gleichungen erfüllt sind, muss k einen bestimmten Wert annehmen:

    (I)II 1=k·2 k=12(I) I 4=k·8 k=12(III) 3=k·(-3) k=-112

    In der dritten Zeile müsste k den Wert -1 annehmen, damit Gleichung (III) erfüllt ist. Dies steht im Widerspruch dazu, dass k den Wert 12 annehmen muss, damit die Gleichungen (I) und (II) erfüllt sind.

    Die beiden Richtungsvektoren sind also nicht linear abhängig.

    b) Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, gibt es einen Wert für k, für den die Gleichung

    143=k·286 erfüllt ist.

    Aus dieser Gleichung ergibt sich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Variablen:

    (I)II 1=k·2(I) I 4=k·8(III) 3=k·6

    Damit die einzelnen Gleichungen erfüllt sind, muss k einen bestimmten Wert annehmen:

    (I)II 1=k·2 k=12(I) I 4=k·8 k=12(III) 3=k·6 k=1212

    Die beiden Richtungsvektoren sind linear abhängig.

    • Wenn die Richtungsvektoren der Geraden kollinear (linear abhängig) sind, dann sind die Geraden entweder (echt) parallel oder identisch.
    • Wenn die Richtungsvektoren der Geraden nicht kollinear (linear unabhängig) sind, dann schneiden sich die Geraden oder sie sind windschief.

    Lagebeziehungen von Geraden, Richtungsvektoren linear abhängig, StudySmarterAbbildung 5: Richtungsvektoren auf Kollinearität überprüfen

    Wenn die Richtungsvektoren kollinear sind, musst du überprüfen, ob die Geraden identisch oder parallel sind. Dazu setzt du einen Punkt einer Geraden in die Geradengleichung der anderen Gerade ein. Hierfür kannst du jeden Punkt der Gerade verwenden. Am einfachsten ist es aber, den Aufpunkt der einen Gerade in die andere Gerade einzusetzen.

    • Falls der eingesetzte Punkt die Geradengleichung erfüllt, sind die Geraden identisch.
    • Wenn der eingesetzte Punkt die Geradengleichung nicht erfüllt, dann sind die beiden Geraden parallel.

    Lagebeziehungen von Geraden, identisch oder parallel, StudySmarterAbbildung 6: Überprüfen, ob die Geraden echt parallel oder identisch sind

    Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, musst du überprüfen, ob die Geraden sich schneiden oder windschief sind. Dabei versuchst du den Schnittpunkt der beiden Geraden zu berechnen, indem du das Gleichungssystem p+λu=q+μv löst.

    • Wenn das Gleichungssystem eine Lösung besitzt, dann schneiden sich die Geraden.
    • Besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, so sind die beiden Geraden windschief.

    Lagebeziehungen von Geraden, Prüfungsschema, StudySmarterAbbildung 7: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung von zwei Geraden

    Lagebeziehungen von Geraden Beispiel

    Damit du verstehst, wie du das oben vorgestellte Schema anwenden kannst, um die Lagebeziehung von zwei Geraden zu bestimmen, findest du hier einige Beispiele.

    Identische Geraden

    Im Folgenden findest du ein Beispiel zu identischen Geraden:

    Aufgabe

    Welche Lagebeziehung haben die beiden Geraden g:x=123+λ014 und h:x=1619+μ0-2-8?

    Lösung

    1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

    014=k·0-2-8

    Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da für k=-0,5 die Gleichung oben erfüllt ist.

    (-0,5)·0-2-8=014

    Da die Richtungsvektoren kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder parallel oder identisch sein.

    2. Schritt: Überprüfe, ob der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen Gerade liegt.

    Der Stützvektor der Geraden g wird in die Geradengleichung der Gerade h eingesetzt:

    123=1619+μ0-2-8

    Dadurch ergeben sich drei Gleichungen:

    (Ι)ΙΙ 1=11+μ·0 (ΙΙ)Ι 2=16+μ·(-2) μ=2(ΙΙΙ) 3=19+μ·(-8) μ=2

    In der ersten Gleichungen ist es egal, welcher Wert für μ eingesetzt wird. In der zweiten und dritten Zeile muss μ gleich 2 sein, damit die Gleichung erfüllt ist.

    Für μ=2 sind also alle drei Gleichungen erfüllt und der Punkt 123 liegt auf der Geraden

    h:x=1619+μ0-2-8.

    Die Geraden g und h sind also identisch.

    Immer wenn zwei Geraden identisch sind, sind ihre Richtungsvektoren linear abhängig und sie haben einen gemeinsamen Punkt.

    Lagebeziehungen von Geraden, identische Geraden, StudySmarterAbbildung 8: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung bei identischen Geraden

    Parallele Geraden

    Im folgenden Beispiel werden zwei parallele Geraden behandelt.

    Aufgabe

    Welche Lagebeziehung haben die beiden Geraden g:x=914+λ2-24 und h:x=112+μ1-12?

    Lösung

    1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

    2-24=k·1-12

    Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da für k=2 die Gleichung oben erfüllt ist.

    2·1-12=2-24

    Da die Richtungsvektoren kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder parallel oder identisch sein.

    2. Schritt: Überprüfe, ob der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen Gerade liegt.

    Der Stützvektor der Geraden g wird in die Geradengleichung der Gerade h eingesetzt:

    914=112+μ1-12

    Dadurch ergeben sich drei Gleichungen:

    (Ι)ΙΙ 9=1+μ·1 μ=8(ΙΙ)Ι 1=1+μ·(-1) μ=0 (ΙΙΙ) 4=2+μ·2 μ=1

    Der Stützvektor der Geraden g liegt nicht auf der Geraden h, da es kein μ gibt, für das alle drei Gleichungen "gleichzeitig" erfüllt sind. Damit die drei Gleichungen erfüllt sind, müsste μ unterschiedliche Werte annehmen. Dies ist aber nicht möglich und führt zum Widerspruch. Die beiden Geraden g und h sind also echt parallel.

    Immer wenn zwei Geraden echt parallel sind, sind ihre Richtungsvektoren linear abhängig und sie haben keinen gemeinsamen Punkt.

    Lagebeziehungen von Geraden, parallele Geraden, StudySmarterAbbildung 9: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung bei echt parallelen Geraden

    Windschiefe Geraden

    Dieses Beispiel umfasst zwei Geraden, die windschief zueinander sind.

    Aufgabe

    Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden g:x=1-54+λ320 und h:x=112+μ10-2 und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.

    Lösung

    1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

    Im ersten Schritt überprüfst du, wie bereits in den vorherigen Beispielen, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind.

    10-2=k·320

    Es gibt kein k, für das diese Gleichung erfüllt ist, denn in der dritten Zeile gilt:

    -2=k·0

    Diese Gleichung ist für jedes k nicht erfüllt, da die rechte Seite der Gleichung immer 0 ist.

    Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder windschief sein oder sich schneiden.

    2. Schritt: Überprüfe, ob das Gleichungssystem p+λu=q+μv eine Lösung besitzt.

    Anschließend setzt du die beiden Geraden miteinander gleich, um herauszufinden, ob das lineare Gleichungssystem eine Lösung hat:

    1-54+λ320=112+μ10-2

    Durch das Gleichsetzen erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.

    (Ι)ΙΙ- 1+3λ=1+1μ(ΙΙ)Ι -5+2λ=1+0μ(ΙΙΙ) -4+2y=2-2μ

    Mithilfe von Gleichung (II) kann λ berechnet werden:

    (ΙΙ)Ι -5+2λ=1+0μ |+52λ=6 i |:2λ=3

    Mithilfe von Gleichung (III) kann μ berechnet werden:

    (ΙΙΙ) -4=2-2μ |+2μ |-42μ=-2 |:2μ=-1

    Jetzt muss noch überprüft werden, ob auch Gleichung (I) mit den berechneten Werten für λ und μ (λ=3 und μ=-1) erfüllt ist:

    (Ι)Ι 1+3λ =1+1μ |Einsetzen von λ=3 und μ=-1 1+3·3=1+1·(-1)10=0

    Beim Einsetzen der Werte fällt auf, dass ein Widerspruch entsteht. Das lineare Gleichungssystem hat also keine Lösung.

    Die beiden Geraden g und h sind windschief.

    Immer wenn zwei Geraden windschief sind, sind ihre Richtungsvektoren linear unabhängig und das Gleichungssystem hat keine Lösung.

    Lagebeziehungen von Geraden, windschiefe Geraden, StudySmarterAbbildung 10: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung bei windschiefen Geraden

    Sich schneidende Geraden

    Im folgenden Beispiel prüfst du, welche Lagebeziehung die beiden Geraden haben.

    Aufgabe

    Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden g:x=3-41+λ012 und h:x=3-25+μ-124 und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.

    Lösung

    1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

    Erneut untersuchst du, ob die Richtungsvektoren der Geraden g und h Vielfache voneinander sind:

    012=k·-124

    Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhängig wären, so würde es einen Wert für k geben, bei dem alle drei Gleichungen erfüllt sind:

    (Ι)ΙΙ 0=k·(-1) k=0 (ΙΙ)Ι 1=k·2 k=12 (ΙΙΙ) 4=k·4 k=14

    Die drei Gleichungen sind alle nur für unterschiedliche Werte für k erfüllt. Die beiden Richtungsvektoren sind also nicht kollinear/linear unabhängig. Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder windschief sein oder sich schneiden.

    2. Schritt: Überprüfe, ob das Gleichungssystem p+λu=q+μv eine Lösung besitzt.

    Im nächsten Schritt erstellst du ein lineares Gleichungssystem, indem du die beiden Geradengleichungen der Geraden g und h gleichsetzt:

    3-41+λ012=3-25+μ-124

    Durch das Gleichsetzen erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.

    (Ι)ΙΙ- 3+0λ=-3-1μ(ΙΙ)Ι -4+1λ=-2+2μ(ΙΙΙ) -1+2λ=-5+4μ

    Mithilfe von Gleichung (I) kann μ berechnet werden:

    (Ι) 3+0λ=3-1μ |-30=-μ0=μ

    Jetzt kannst du μ=0 in die zweite Gleichung einsetzen und dann λ berechnen:

    (ΙΙ) -4+1λ=-2+2μ |μ=0 einsetzen-4+λ=-2+2·0 |+4λ=2

    Jetzt muss noch überprüft werden, ob auch Gleichung (III) mit den berechneten Werten für λ und μ (λ=2 und μ=0) erfüllt ist:

    (ΙΙΙ) 1+2·2=5+4·05=5

    Auch die dritte Gleichung ist erfüllt. Das Gleichungssystem besitzt also die Lösung λ=2 und μ=0.

    3. Schritt: Schnittpunkt berechnen

    Um den Schnittpunkt S der zwei Geraden zu bestimmen, musst du entweder λ in die Gerade g oder μ in die Gerade h einsetzen:

    In diesem Fall ist es einfacher, denn Schnittpunkt zu berechnen, indem μ=0 in die Gerade h eingesetzt wird. Der Schnittpunkt entspricht dann dem Aufpunkt der Gerade h:

    3-25+0·-124=3-25

    Die Koordinaten des Schnittpunkts sind also S=3-25.

    Wenn du überprüfen möchtest, ob du richtig gerechnet hast, kannst du λ=2 in die Gerade g einsetzen. Dann muss der gleiche Punkt herauskommen:

    3-41+2·012=3+2·0-4+2·11+2·2=3-25

    Die Ergebnisse beider Rechnungen stimmen überein.

    Immer wenn zwei Geraden sich schneiden, sind ihre Richtungsvektoren linear unabhängig und das Gleichungssystem hat eine Lösung.

    Lagebeziehungen von Geraden, sich schneidende Geraden, StudySmarterAbbildung 11: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung bei sich schneidenden Geraden

    Lagebeziehungen von Geraden - Das Wichtigste

    • Zwei Geraden g und h können
      • sich schneiden,
      • identisch,
      • parallel oder
      • windschief sein.
    • Wenn die Richtungsvektoren der Geraden kollinear (linear abhängig) sind, dann sind die Geraden entweder (echt) parallel oder identisch.
      • Die Geraden sind identisch, falls der Aufpunkt der einen Geraden die Geradengleichung der anderen Geraden erfüllt.
      • Die Geraden sind echt parallel, falls der Aufpunkt der einen Geraden die Geradengleichung der anderen Geraden nicht erfüllt.
    • Wenn die Richtungsvektoren der Geraden nicht kollinear (linear unabhängig) sind, dann schneiden sich die Geraden oder sie sind windschief.
      • Die Geraden schneiden sich, falls das Gleichungssystem p+λu=q+μv eine Lösung besitzt.
      • Die Geraden sind windschief, falls das Gleichungssystem p+λu=q+μv keine Lösung besitzt.
    • Prüfungschema:Lagebeziehungen von Geraden Prüfungsschema StudySmarter
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Lagebeziehungen von Geraden

    Wie finde ich heraus ob zwei Geraden parallel sind?

    Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind und der Aufhängepunkt der einen Geraden die Geradengleichung der anderen Geraden nicht erfüllt.

    Sind die Geraden kollinear?

    Geraden können nicht kollinear sein, aber ihre Richtungsvektoren. Zwei Richtungsvektoren sind kollinear, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist.

    Wie können zwei Geraden zueinander liegen?

    Zwei Geraden im Raum können sich schneiden, oder identisch, parallel oder windschief sein.

    Wann schneiden sich zwei Geraden?

    Zwei Geraden schneiden sich, wenn ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind und beim Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen eine Lösung berechnet werden kann.

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