Kegel – dazu fällt dir vielleicht zunächst die Sportart Kegeln ein. Doch ein mathematischer Kegel und das Kegelspielen haben nichts miteinander zu tun, die geometrischen Körper sehen sogar ganz anders aus als die Kegel im Sport. Dennoch begegnen Sie dir oft im Alltag und sind in vielen Bereichen nicht wegzudenken.
Kegel – Definition, Netz und Eigenschaften
Der Kegel ist ein dreidimensionaler, geometrischer Körper.
Definition
Bevor wir uns damit beschäftigen können, wie man das Volumen oder den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnen kann, sollten wir uns erst einmal den Kegel selbst ein wenig näher anschauen.
Der Kegel ist ein spitz zulaufender, dreidimensionaler Körper mit einem Kreis als Grundfläche.
Er setzt sich zusammen aus der Grundfläche G, der Spitze S, der Mantelfläche M, der Mantellinie s und der Höhe h.
So kannst du dir einen Kegel vorstellen.
Abbildung 1: Kegel
Wenn man einen Kegel aufschneidet, erhält man das Netz eines Kegels, das sieht dann so aus:
Abbildung 2: Netz eines Kegels
Zeichnen eines Kegelschrägbildes
Zeichnung | Anleitung |
 Abbildung 3: Waagrechte Linie mit Radius rechts und links und Mittelpunkt
| Zeichne eine waagrechte Linie mit der Länge des Durchmessers. Markiere dir die Mitte dieser Strecke mit einem Punkt und beschrifte diesen mit \(M_G\) (Mittelpunkt der Grundfläche). |
 Abbildung 4: Waagrechte Linie mit Radius rechts und links und Mittelpunkt
| Zeichne jetzt eine senkrechte Linie durch den Mittelpunkt mit der Länge des Radius (Je die Hälfte der Länge des Radius auf jeder Seite). |
 Abbildung 5: Ellipse um Endpunkte
| Verbinde die vier Endpunkte zu einer Ellipse. |
 Abbildung 6: Senkrechte Höhe auf Mittelpunkt
| Zeichne eine senkrechte Linie vom Mittelpunkt aus nach oben mit der Länge der Höhe. |
 Abbildung 7: Endpunkte der waagrechten Linie mit Endpunkt der Höhe verbinden
| Verbinde den rechten und linken Punkt der waagrechten Linie mit dem Ende der Höhengeraden. |
 Abbildung 8: Hilfslinien ausradieren
| Zum Schluss kannst du alle Linien, die du nur für das Zeichnen gebraucht hast, ausradieren. |
Kegel Figur – Eigenschaften
- Der Kegel besitzt
- zwei Flächen: Grund- und Mantelfläche G und M;
- eine Spitze
- und eine Seite: die Kreislinie/der Umfang der Grundfläche U.
- Die Höhe h des Kegels streckt sich von der Spitze senkrecht zur Grundfläche G.
- Der Kegel ist achsensymmetrisch zur Kegelhöhe h, die durch die Spitze und den Mittelpunkt der Grundfläche verläuft.
Arten von Kegeln
Grundsätzlich gibt es drei Arten von Kegeln:
- Gerade Kegel
- Schiefe Kegel
- Kegelstümpfe
1. Gerade Kegel
Gerade Kegel sind die "normalen" Kegeln, mit denen wir uns bisher beschäftigt haben. Bei ihnen liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
Wenn wir in diesem Artikel von einem Kegel reden, dann meinen wir den geraden Kegel.
Abbildung 9: Gerader Kegel
2. Schiefe Kegel
Schiefe Kegel sind Kegel, bei denen die Spitze nicht senkrecht auf dem Mittelpunkt der Grundfläche steht, sondern verschoben ist. Dadurch wirkt er, wie der Name schon sagt, schief.
Abbildung 10: Schiefer Kegel
Der einzige Unterschied zwischen einem geraden Kegel und einem schiefen Kegel liegt in der Ermittlung der Höhe. Hier ist die Höhe das Lot, welches die Spitze mit der Grundfläche verbindet.
Die Länge der senkrechten Strecke zwischen Spitze und der verlängerten Grundfläche entspricht der Höhe.
Abbildung 11: Höhe h eines schiefen Kegels
3. Kegelstümpfe
Kegelstümpfe sind Kegel, bei denen im Prinzip die Spitze abgeschnitten wurde. Sie werden deshalb auch manchmal abgeschnittene Kegel oder stumpfe Kegel genannt.
Abbildung 12: Kegelstumpf
Im Gegensatz zu geraden und schiefen Kegeln haben Kegelstümpfe eine zusätzliche Fläche. Daher wird auch ihr Oberflächeninhalt und das Volumen anders berechnet.
Für den Oberflächeninhalt O eines Kegelstumpfes gilt:\[O = \pi \cdot(r^2+R^2+s\cdot (r+R))\]
Für das Volumen V eines Kegelstumpfes gilt:\[V=\frac{1}{3}\pi \cdot h\cdot (R^2+R\cdot r +r^2)\]
R ist dabei immer der größere Radius, während r immer der kleinere Radius ist.
Wenn du eine genauere Erklärung zu den Formeln und insgesamt zum Thema Kegelstümpfe haben willst, dann lies dir doch unseren Artikel dazu durch!
Kegel im Alltag
Kegel kannst du im Alltag an vielen Orten finden.
Beispiel | Bild |
| Eine Eiswaffel ist ein Kegel | 
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| Genauso wie Verkehrshütchen auch Kegel sind. | 
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| Bestimmt kennst du "Zaubererhüte". Auch hier handelt es sich um Kegel. | 
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| Turmdächer sind Kegel. | 
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| Die bunten kleinen Partyhüte, das sind auch Kegel. | 
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Berechnen des Volumens eines Kegels
Das Volumen \(V\) eines Kegels berechnet sich anhand der folgenden Formel\[V=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h\]
Dabei ist G die Grundfläche des Kegels und h die Höhe, also der Abstand zwischen Spitze und Grundfläche des Kegels. Die Grundfläche G ist bei einem Kegel ein Kreis, es gilt also \(G = \pi \cdot r^2\), wobei r der Radius des Kegels ist.Beide Formeln zusammen ergeben die Volumenformel des Kegels:\[V=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h\]
Wenn du mehr zum Thema „Volumen Kegel“ erfahren willst, dann lies dir doch unseren Artikel dazu durch.
Die Mantelfläche eines Kegels
Wie bereits erwähnt, erhält man unter anderem die Mantelfläche, wenn man einen Kegel in seine Teile zerlegt. Diese Mantelfläche kann berechnet werden. Aber schauen wir uns erst einmal genauer an, was die Mantelfläche überhaupt ist.
Die Mantelfläche M eines Kegels ist ein Kreisausschnitt (auch Kreissegment genannt).
Der Radius dieses Kreisausschnittes entspricht der Mantellinie s des Kegels, während die Bogenlänge b dem Umfang U des Kreises der Kegelgrundfläche entspricht. Die Mantelfläche wird mit folgender Formel berechnet \[M= r\cdot \pi \cdot s\]
In einer Abbildung sieht die Mantelfläche so aus:
Abbildung 13: Mantelfläche M
Berechnen des Oberflächeninhalts eines Kegels
Die Formel für den Oberflächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe der Einzelflächen des Kegels. Wie du oben gesehen hast, besteht ein Kegel aus zwei Flächen: der Mantelfläche M und der kreisförmigen Grundfläche G. Wenn du den Flächeninhalt der beiden Flächen addierst, erhältst du die Formel für den Oberflächeninhalt.
Für den Oberflächeninhalt O eines Kegels gilt:\[O=\pi \cdot r^2 +\pi\cdot r\cdot s\]
Diese Formel kann noch zusammengefasst werden.\[O=\pi\cdot r\cdot (r+s)\]
O ist der Oberflächeninhalt, während r der Radius, s die Mantellinie und π die Kreiszahl ist. Das Ergebnis dieser Rechnung wird in m² angegeben.
Kegel – Formeln
In der folgenden Tabelle findest du alle Formeln, die du zur Berechnung eines Kegels benötigst.
Zur Referenz ist hier nochmal ein beschrifteter Kegel, sodass du sehen kannst, was die einzelnen Größen nochmal sind.
Abbildung 14: Kegel
Parameter | Formel |
| Durchmesser d | \(d= 2\cdot r\) |
Mantellinie s | \(s=\sqrt{h^2+r^2}\) |
Umfang U | \(U=2\cdot \pi \cdot r\) |
Grundfläche G | \(G=A_O=\pi\cdot r^2\) |
Mantelfläche M | \(M=\pi\cdot r \cdot s\) |
Oberflächeninhalt O | \(O=\pi \cdot r \cdot(r+s)\) |
Volumen V | \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2 \cdot h\) |
Länge der Mantellinie s berechnen
Um die Länge der Mantellinie s zu berechnen, schauen wir uns erst einmal eine Abbildung eines Kegels an:
Abbildung 15: Beschrifteter Kegel
An diesem Kegel kann man erkennen, dass die Mantellinie s, die Höhe h und der Radius r zusammen ein Dreieck bilden. Dieses Dreieck bildet zwischen r und h einen rechten Winkel, da die Höhe ja senkrecht auf der Grundlinie steht.
Abbildung 16: Kegel mit rechtem Winkel
Und was wissen wir über rechtwinklige Dreiecke? Man kann den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge einer Seite zu berechnen.
Der Satz des Pythagoras lautet:\[a^2+b^2=c^2\]
Dabei ist c die Hypotenuse, also die Seite gegenüber vom rechten Winkel, und a und b sind die Katheten.
In unserem Fall entspricht s der Hypotenuse, da die Mantellinie gegenüber dem rechten Winkel liegt. h und r entsprechen dann den beiden Katheten.
Abbildung 17: Satz des Pythagoras
Wenn wir die Formel passend umschreiben, sieht sie dann so aus:\[h^2+r^2=s^2\]
Jetzt wollen wir aber die Länge der Seite s wissen und nicht die quadrierte Länge. Deshalb ziehen wir die Wurzel.\
Und schon haben wir die Formel zur Berechnung der Länge der Mantelseite s.
Für die Mantelseite s gilt:\[s=\sqrt{h^2+r^2}\]
Achtung! Dieses Verfahren funktioniert nur bei geraden Kegeln.
Kegel – Das Wichtigste
- Ein Kegel ist ein spitz zulaufender dreidimensionaler Körper mit einem Kreis als Grundfläche.
- Die Höhe h des Kegels streckt sich von der Spitze senkrecht zur Grundfläche G.
Es gibt gerade Kegel, schiefe Kegel und Kegelstümpfe.
Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreisausschnitt.
Für die Mantelfläche M gilt: \(M=\pi \cdot r \cdot s\).
Für das Volumen V eines Kegels gilt: \(V=\frac{1}{3}\pi \cdot r^2\cdot h\).
Für den Oberflächeninhalt O eines Kegels gilt: \(O=\pi \cdot r \cdot (r+s)\).
Dadurch, dass Kegelstümpfe eine zusätzliche Fläche haben, wird ihr Volumen und ihr Oberflächeninhalt anders berechnet
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