Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Kegel

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Mathe

Kegel – dazu fällt dir vielleicht zunächst die Sportart Kegeln ein. Doch ein mathematischer Kegel und das Kegelspielen haben nichts miteinander zu tun, die geometrischen Körper sehen sogar ganz anders aus als die Kegel im Sport. Dennoch begegnen Sie dir oft im Alltag und sind in vielen Bereichen nicht wegzudenken.

Kegel Kegel StudySmarter

Kegel Definition, Netz und Eigenschaften

Der Kegel ist ein dreidimensionaler, geometrischer Körper.

Definition

Bevor wir uns damit beschäftigen können, wie man das Volumen oder den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnen kann, sollten wir uns erst einmal den Kegel selbst ein wenig näher anschauen.

Der Kegel ist ein spitz zulaufender, dreidimensionaler Körper mit einem Kreis als Grundfläche.

Er setzt sich zusammen aus der Grundfläche G, der Spitze S, der Mantelfläche M, der Mantellinie s und der Höhe h.

So kannst du dir einen Kegel vorstellen.

Kegel Abbildung Kegel StudySmarterAbbildung 1: Kegel

Wenn man einen Kegel aufschneidet, erhält man das Netz eines Kegels, das sieht dann so aus:

Kegel Netz eines Kegels StudySmarterAbbildung 2: Netz eines Kegels

Zeichnen eines Kegelschrägbildes

Zeichnung
Anleitung

Kegel Konstruktionsschritt 1 StudySmarterAbbildung 3: waagrechte Linie mit Radius rechts und links und Mittelpunkt

Zeichne eine waagrechte Linie mit der Länge des Durchmessers. Markiere dir die Mitte dieser Strecke mit einem Punkt und beschrifte diesen mit MG (Mittelpunkt der Grundfläche).

Kegel Konstruktionsschritt 2 StudySmarterAbbildung 4: waagrechte Linie mit Radius rechts und Links und Mittelpunkt

Zeichne jetzt eine senkrechte Linie durch den Mittelpunkt mit der Länge des Radius (Je die Hälfte der Länge des Radius auf jeder Seite).

Kegel Konstruktionsschritt 3 StudySmarterAbbildung 5: Ellipse um Endpunkte

Verbinde die vier Endpunkte zu einer Ellipse.

Kegel Konstruktionsschritt 4 StudySmarterAbbildung 6: senkrechte Höhe auf Mittelpunkt

Zeichne eine senkrechte Linie vom Mittelpunkt aus nach oben mit der Länge der Höhe.

Kegel Konstruktionsschritt 5 StudySmarterAbbildung 7: Endpunkte der waagrechten Linie mit Endpunkt der Höhe verbinden

Verbinde den rechten und linken Punkt der waagrechten Linie mit dem Ende der Höhengeraden.

Kegel Konstruktionsschritt 6 StudySmarterAbbildung 8: Hilfslinien ausradieren

Zum Schluss kannst du alle Linien, die du nur für das Zeichnen gebraucht hast, ausradieren.

Kegel Figur – Eigenschaften

  • Der Kegel besitzt
    • zwei Flächen: Grund- und Mantelfläche G und M;
    • eine Spitze
    • und eine Seite: die Kreislinie/der Umfang der Grundfläche U.
  • Die Höhe h des Kegels streckt sich von der Spitze senkrecht zur Grundfläche G.
  • Der Kegel ist achsensymmetrisch zur Kegelhöhe h, die durch die Spitze und den Mittelpunkt der Grundfläche verläuft.

Arten von Kegeln

Grundsätzlich gibt es drei Arten von Kegeln:

  1. Gerade Kegel
  2. Schiefe Kegel
  3. Kegelstümpfe

1. Gerade Kegel

Gerade Kegel sind die "normalen" Kegeln, mit denen wir uns bisher beschäftigt haben. Bei ihnen liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

Wenn wir in diesem Artikel von einem Kegel reden, dann meinen wir den geraden Kegel.

Kegel gerader Kegel StudySmarterAbbildung 9: gerader Kegel

2. Schiefe Kegel

Schiefe Kegel sind Kegel, bei denen die Spitze nicht senkrecht auf dem Mittelpunkt der Grundfläche steht, sondern verschoben ist. Dadurch wirkt er, wie der Name schon sagt, schief.

Kegel schiefer Kegel StudySmarterAbbildung 10: schiefer Kegel

Der einzige Unterschied zwischen einem geraden Kegel und einem schiefen Kegel liegt in der Ermittlung der Höhe. Hier ist die Höhe das Lot, welches die Spitze mit der Grundfläche verbindet.

Die Länge der senkrechten Strecke zwischen Spitze und der verlängerten Grundfläche entspricht der Höhe.

Kegel die Höhe eines schiefen Kegels StudySmarterAbbildung 11: Höhe h eines schiefen Kegels

3. Kegelstümpfe

Kegelstümpfe sind Kegel, bei denen im Prinzip die Spitze abgeschnitten wurde. Sie werden deshalb auch manchmal abgeschnittene Kegel oder stumpfe Kegel genannt.

Kegel Kegelstumpf StudySmarterAbbildung 12: Kegelstumpf

Im Gegensatz zu geraden und schiefen Kegeln haben Kegelstümpfe eine zusätzliche Fläche. Daher wird auch ihr Oberflächeninhalt und das Volumen anders berechnet.

Für den Oberflächeninhalt O eines Kegelstumpfes gilt:

O = π · (r2 + R2 + s · (r + R))

Für das Volumen V eines Kegelstumpfes gilt:

V = 13 · π · h · (R2 + R · r + r2)

R ist dabei immer der größere Radius, während r immer der kleinere Radius ist.

Wenn du eine genauere Erklärung zu den Formeln und insgesamt zum Thema Kegelstümpfe haben willst, dann lies dir doch unseren Artikel dazu durch!

Kegel im Alltag

Kegel kannst du im Alltag an vielen Orten finden.

Beispiel
Bild
Eine Eiswaffel ist ein Kegel
Kegel Eiswaffel StudySmarter
Genauso wie Verkehrshütchen auch Kegel sind.
Kegel Verkehrshütchen StudySmarter
Bestimmt kennst du "Zaubererhüte". Auch hier handelt es sich um Kegel.
Kegel Zauberhut StudySmarter
Turmdächer sind Kegel.
Kegel Turmdach StudySmarter
Die bunten kleinen Partyhüte, das sind auch Kegel.
Kegel Partyhütchen StudySmarter

Berechnen des Volumens eines Kegels

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels setzt sich zusammen aus einer Formel, die allgemein für alle spitzen Körper, also beispielsweise auch Pyramiden, gilt:

V = 13 · G · h

Anschließend musst du nur die passenden Zahlen für die Kegelgrundfläche einsetzten, um eine konkrete Formel für das Volumen eines Kegels zu erhalten.

Die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels lautet:

V = 13 · π · r2 · h

V ist das Volumen, während r der Radius, h die Höhe und π die Kreiszahl ist.

Wenn du mehr zum Thema Volumen eines Kegels erfahren willst, dann lies dir doch unseren Artikel dazu durch. Dort findest du genauere Informationen und Anwendungsbeispiele.

Die Mantelfläche eines Kegels

Wie bereits erwähnt, erhält man unter anderem die Mantelfläche, wenn man einen Kegel in seine Teile zerlegt. Diese Mantelfläche kann berechnet werden. Aber schauen wir uns erst einmal genauer an, was die Mantelfläche überhaupt ist.

Die Mantelfläche M eines Kegels ist ein Kreisausschnitt (auch Kreissegment genannt).

Der Radius dieses Kreisausschnittes entspricht der Mantellinie s des Kegels, während die Bogenlänge b dem Umfang U des Kreises der Kegelgrundfläche entspricht.

In einer Abbildung sieht die Mantelfläche dann so aus:

Kegel Mantelfläche M StudySmarterAbbildung 13: Mantelfläche M

Für die Mantelfläche M eines Kegels gilt:

M = π · r · s

Wenn du Beispielaufgaben zur Mantelfläche sehen möchtest, dann lies dir doch unseren Artikel zum Thema Oberflächeninhalt eines Kegels durch.

Berechnen des Oberflächeninhalts eines Kegels

Die Formel für den Oberflächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe der Einzelflächen des Kegels. Wie du oben gesehen hast, besteht ein Kegel aus zwei Flächen: der Mantelfläche M und der kreisförmigen Grundfläche G. Wenn du den Flächeninhalt der beiden Flächen addierst, erhältst du die Formel für den Oberflächeninhalt.

Für den Oberflächeninhalt O eines Kegels gilt:

O = π · r2 + π · r · s

Diese Formel kann noch zusammengefasst werden.

O = π · r · (r +s)

O ist der Oberflächeninhalt, während r der Radius, s die Mantellinie und π die Kreiszahl ist. Das Ergebnis dieser Rechnung wird in m² angegeben.

Kegel Formeln

In der folgenden Tabelle findest du alle Formeln, die du zur Berechnung eines Kegels benötigst.

Zur Referenz ist hier nochmal ein beschrifteter Kegel, sodass du sehen kannst, was die einzelnen Größen nochmal sind.

Kegel Beschrifteter Kegel StudySmarterAbbildung 14: Kegel

Parameter

Formel

Durchmesser dd = 2 · r

Mantellinie s

s = h2 + r2

Umfang U

U = 2 · π · r

Grundfläche G

G = A = π · r2

Mantelfläche M

M = π · r · s

Oberflächeninhalt O

O = π · r ·(r + s)

Volumen V

V = 13 · π · r2 · h

Länge der Mantellinie s berechnen

Um die Länge der Mantellinie s zu berechnen, schauen wir uns erst einmal eine Abbildung eines Kegels an:

Kegel beschrifteter Kegel StudySmarterAbbildung 15: beschrifteter Kegel

An diesem Kegel kann man erkennen, dass die Mantellinie s, die Höhe h und der Radius r zusammen ein Dreieck bilden. Dieses Dreieck bildet zwischen r und h einen rechten Winkel, da die Höhe ja senkrecht auf der Grundlinie steht.

Kegel Kegel mit rechtem Winkel StudySmarterAbbildung 16: Kegel mit rechtem Winkel

Und was wissen wir über rechtwinklige Dreiecke? Man kann den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge einer Seite zu berechnen.

Der Satz des Pythagoras lautet:

a2 + b2 = c2

Dabei ist c die Hypotenuse, also die Seite gegenüber vom rechten Winkel, und a und b sind die Katheten.

In unserem Fall entspricht s der Hypotenuse, da die Mantellinie gegenüber dem rechten Winkel liegt. h und r entsprechen dann den beiden Katheten.

Kegel Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 17: Satz des Pythagoras

Wenn wir die Formel passend umschreiben, sieht sie dann so aus:

h2 + r2 = s2

Jetzt wollen wir aber die Länge der Seite s wissen und nicht die quadrierte Länge. Deshalb ziehen wir die Wurzel.

s2 = h2 + r2 |s = h2 + r2

Und schon haben wir die Formel zur Berechnung der Länge der Mantelseite s.

Für die Mantelseite s gilt:

s = h2 + r2

Achtung! Dieses Verfahren funktioniert nur bei geraden Kegeln.

Kegel – Das Wichtigste

  • Ein Kegel ist ein spitz zulaufender dreidimensionaler Körper mit einem Kreis als Grundfläche.
  • Die Höhe h des Kegels streckt sich von der Spitze senkrecht zur Grundfläche G.
  • Es gibt gerade Kegel, schiefe Kegel und Kegelstümpfe.

  • Dadurch, dass Kegelstümpfe eine zusätzliche Fläche haben, wird ihr Volumen und ihr Oberflächeninhalt anders berechnet

    • Für das Volumen V gilt: V = 13 · π · h · ( R2 + R · r + r2)

    • Für den Oberflächeninhalt O gilt: O = π · (r2 + R2 + s · (r + R)).

  • Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreisausschnitt.

  • Für die Mantelfläche M gilt: M = π · r · s.

  • Für das Volumen V eines Kegels gilt: V = 13 · π · r2 · h.

  • Für den Oberflächeninhalt O eines Kegels gilt: O =π · r · (r + s).

Kegel

  • Der Kegel besitzt 
    • zwei Flächen: Grund- und Mantelfläche G und M
    • eine Spitze 
    • und eine Seite: die Kreislinie/der Umfang der Grundfläche U
  • Die Höhe h des Kegels streckt sich von der Spitze senkrecht zur Grundfläche G
  • Der Kegel ist achsensymmetrisch zur Kegelhöhe h, die durch die Spitze und den Mittelpunkt der Grundfläche verläuft

Ein Kegel hat eine Spitze.

Eine Ecke entsteht dagegen, wenn mehrere Kanten aufeinander treffen, was bei einem Kegel nicht der Fall ist.

Kegel kannst du im Alltag an vielen unerwarteten Orten finden.

Eine Eiswaffel ist ein Kegel, genauso wie ein Verkehrshütchen auch. Du kennst doch bestimmt diese "Zaubererhüte", die die Schüler teilweise in Harry Potter tragen, auch die sind Kegel. Turmdächer oder die bunten kleinen Partyhüte zählen ebenfalls zu den Kegeln. Wir könnten noch viele andere Beispiele finden, aber du kannst ja auch mal überlegen, was noch so die Form eines Kegels hat.

Ein Kegel hat ein Netz, welches aus der kreisförmigen Grundfläche G und dem Kreissegment, der Mantelfläche M besteht.

Finales Kegel Quiz

Frage

Welche Fläche hat die Grundfläche G bei einem Kegel?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim (geraden) Kegel ist die Grundfläche G eine Kreisfläche

Frage anzeigen

Frage

Zeichne einen geraden Kreiskegel 

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Abwicklung des Mantels M eines geraden Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Abwicklung des Mantels M ist ein Kreissektor mit der Mantellinie s als Radius und der Bogenlänge b, die gleich dem Umfang u = 2 ⋅ π ⋅ r des Grundkreises ist.


Frage anzeigen

Frage

Der Umfang eines kegelförmigen Sandhaufens beträgt 18,85 m, sein Volumen 56,55 m3. Welche Höhe hat der Sandhaufen?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * hk

mit

r = Radius
hk = Höhe des Körpers

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

M = 1 / 2 * b * s = π * r * s

mit

r = Radius
b= Umfang des Grundkreises
s = Mantellinie

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man den Umfang eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

Umfang u = 2 * π * r

mit

r = Radius

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

O = π * r² + π * r * s
O = π * r * (r + s)

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Mantellinie?

.

Antwort anzeigen

Antwort

Länge einer Mantellinie:

s² = h² + r²
s² = (17 cm)² + (7 cm)² = 338 cm²
s = 18,38 cm 

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm den Mittelpunktswinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Maß des Mittelpunktswinkels:


a / 360° * π * s² = r*π*s
a / 360 = r / s
a = r / s * 360°
a = 7 cm / 18,38 cm * 360°
a = 137,11°

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm das Volumen

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * r² * π * h
V = 1 / 3 * (7 cm)² * π * 17 cm
V = 872,32 cm³

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Mantelfläche

Antwort anzeigen

Antwort

Mantelfläche:

M = r * π * s
M = 7 cm * π * 18,38 cm
M = 404,20 cm²

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Oberfläche

Antwort anzeigen

Antwort

Oberfläche

O = G + M

O = (7 cm)² * π + M = (7 cm)² + π * r * s
O = (7 cm)² * π + π * 7 cm * 18,38 cm
O = 153,94 cm² + 404,20 cm²
O = 558,14 cm² 

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Höhe des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

Höhe des Kegels:
s² = h² + r²
h² = s² - r²
h² = (15 cm)² - (5,62 cm)²
h² = 193,42 cm²
h = 13,91 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne das Volumen des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * h
V = 1 / 3 * (562 cm)² * π * 13,91 cm
V = 457,62 cm³

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm, der Mantelfläche = 265,07 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Oberfläche des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

Oberfläche 

O = G + M

O = r² ⋅ π + M

O = (5,62 cm)² ⋅ π + M 

O = 99,22 cm² + 265,07 cm²

O = 364,30 cm²

Frage anzeigen

Frage

Gehört der gerade oder schiefe Kegel zu den geometrischen Körpern?

Antwort anzeigen

Antwort

Der gerade Kegel ist ein geometrischer Körper.

Frage anzeigen

Frage

Wie ist ein Kegel aufgebaut?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kegel hat als Grundfläche einen Kreis, der von einer Mantelfläche umlaufen ist, die in einem spitzen Winkel auf der Grundfläche steht. Oben schließt sie sich in einem Punkt.

Frage anzeigen
60%

der Nutzer schaffen das Kegel Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.