Schwerpunkt eines Dreiecks

In einem Dreieck sind zahlreiche Konstruktionen möglich, um neue geometrische Objekte oder Punkte mit besonderen Eigenschaften zu erhalten. Besonders anschaulich ist der Schwerpunkt des Dreiecks. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Das ist der Punkt, an dem du ein Dreieck mit einem Finger von unten balancieren kannst, ohne dass es herunterfällt. Alternativ ist es auch der Punkt, an dem du das Dreieck aufhängen kannst, sodass es genau waagrecht (und damit parallel zum Boden) ausgerichtet ist.

    Versuche einmal auf diese Art selbst den Schwerpunkt deines Geodreiecks zu bestimmen.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Schwerpunkt Geodreieck selbst bestimmen, StudySmarterAbbildung 1: Schwerpunkt eines Geodreiecks selbst bestimmen

    Wie man diesen besonderen Punkt für ein beliebiges Dreieck bestimmen kann, ohne es auf Pappe auszuschneiden und zu balancieren, wird im Folgenden aufgezeigt.

    Schwerpunkt und Seitenhalbierende Dreieck Grundlagenwissen

    Bevor wir uns mit der Konstruktion befassen, wiederholen wir knapp, was als Schwerpunkt eines Dreiecks gilt.

    Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der eindeutige Punkt im Dreieck, in dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden. Er wird auch Massenmittelpunkt oder physikalischer Schwerpunkt der Dreiecksfläche genannt.

    Zur Erinnerung: Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks verläuft von einer Ecke des Dreiecks zum Seitenmittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite. Mehr über die Seitenhalbierenden im Dreieck kannst du gerne in unserem Artikel nachlesen. Außerdem werden der Schwerpunkt eines Dreiecks und seine Eigenschaften in einem entsprechenden Artikel ausführlicher erklärt.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Seitenhalbierende, StudySmarterAbbildung 2: Seitenhalbierende vom Punkt C zum Mittelpunkt M der Strecke AB

    Die Seitenhalbierenden nennt man auch Schwerelinien. Der Name kommt daher, dass sie das Dreieck ausgehend von einer Ecke so teilen, dass zwei flächengleiche ("gleichschwere") Teildreiecke entstehen.

    Zur Veranschaulichung: Die Schwerelinien sind die Linien, die durch die Eckpunkte des Dreiecks verlaufen und auf denen du ein Dreieck mit einem Lineal oder Stift balancieren kannst. Davon gibt es genau drei Stück.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Schwerelinie Geodreieck selbst bestimmen, StudySmarterAbbildung 3: Eine Schwerelinie eines Geodreiecks

    Wird das Dreieck nun im Schwerpunkt – dem Schnittpunkt der Schwerelinien – gehalten, ziehen die Flächen auf den beiden Seiten der Schwerelinien jeweils mit gleicher Kraft nach unten. So wird das Dreieck im Gleichgewicht gehalten.

    Alle drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt im Dreiecksinneren, da sie innerhalb des Dreiecks verlaufen. Das gilt für jedes und innerhalb von jedem Dreieck (im Gegensatz zu, beispielsweise, den Mittelsenkrechten).

    Der Schwerpunkt hat noch eine besondere Eigenschaft: Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Das bedeutet, dass das Teilstück jeder Seitenhalbierenden vom Eckpunkt bis zum Schwerpunkt doppelt so lang ist wie das andere Teilstück vom Schwerpunkt zur Dreiecksseite.

    Mehr dazu im Artikel zum Schwerpunkt eines Dreiecks.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Seitenhalbierende und Schwerpunkt Dreieck ABC, StudySmarterAbbildung 4: Die drei Seitenhalbierenden und ihr Schnittpunkt als Schwerpunkt im Dreieck ABC

    Die Seitenhalbierenden sind üblicherweise nach der Dreiecksseite benannt, die sie halbieren. So ist die Seitenhalbierende sc die Strecke, die durch den Punkt C verläuft und die Seite c halbiert.

    Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren

    Um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu konstruieren, benötigst du einen Zirkel und ein Lineal.

    Du kannst den Schwerpunkt auch berechnen, statt ihn zu konstruieren. Dies erfordert allerdings einige Rechenschritte. Im Artikel Schwerpunkt eines Dreiecks wird erklärt, wie die Berechnung funktioniert.

    Zur Konstruktion:

    Indem du nacheinander die einzelnen Schritte der untenstehenden Tabelle in deinem Dreieck anwendest, kannst du leicht den Schwerpunkt erarbeiten.

    SchrittBeschreibungVisualisierung (Abbildungen 5 - 6)
    1. Dreieck ABCStarte mit einem beliebigen Dreieck, dessen Schwerpunkt du konstruieren möchtest.

    Schwerpunkt eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

    2. Konstruktion der SeitenmittelpunkteKonstruiere für die drei Strecken a, b und c jeweils den Seitenmittelpunkt. Hier am Beispiel der Seite b. Zeichne dazu zwei Kreise K1 und K2 mit demselben Radius um die beiden Eckpunkte A und C der Strecke b. Der Radius der Kreise muss dabei größer sein als die halbe Seitenlänge von b (sonst gibt es keinen Schnittpunkt der Kreise). Verbinde dann die beiden Schnittpunkte der Kreise D und E.Diese Verbindungsstrecke DEschneidet die Dreiecksseite b im Seitenmittelpunkt Mb.

    Schwerpunkt eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

    Schwerpunkt eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

    Die Konstruktion der Seitenmittelpunkte entspricht größtenteils dem Verfahren zur Konstruktion einer Mittelsenkrechten. Eine detailliertere Erklärung zu diesem wichtigen Schritt steht im Artikel Mittelsenkrechte konstruieren.

    SchrittBeschreibungVisualisierung (Abbildungen 7 - 8)
    3. Einzeichnen der SeitenhalbierendenDie Seitenhalbierenden erhältst du, indem du die Seitenmittelpunkte Ma, Mb und Mc)mit den gegenüberliegenden Ecken verbindest.

    Schwerpunkt eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

    4. Einzeichnen des SchwerpunktesDer Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt S des Dreiecks.

    Schwerpunkt eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

    Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren - ausführliches Beispiel

    Wie die oben beschriebenen Schritte angewendet werden können, wird anhand des folgenden Beispiels zur Konstruktion des Schwerpunktes ausführlich besprochen:

    Aufgabe

    Konstruiere den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Seitenlängen a = 3cm, b = 3,5 cm und c = 5cm.

    Lösung

    1. Schritt: Dreieck ABC

    Zeichne das Dreieck.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Dreieck Konstruktionsschritte, StudySmarterAbbildung 9:Dreieck ABC

    2. Schritt: Konstruktion der Seitenmittelpunkte

    Du kannst mit einer beliebigen Dreiecksseite beginnen. Wir beginnen hier mit der Seite a.

    Zeichne zwei Kreise mit Radius r = 2 cm (> 1,5 cm) um die Punkte B und C. Dabei entstehen die Kreise K1und K2. Zeichne deren Schnittpunkte E und F ein.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Konstruktionsschritt 2, StudySmarterAbbildung 10: Konstruktion Seitenmittelpunkt von a

    Verbinde jetzt E und F. Der Schnittpunkt der Verbindungsstrecke EF mit der Dreiecksseite a liefert den Mittelpunkt Mader Seite a.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Konstruktionsschritt 2, StudySmarterAbbildung 11: Konstruktion Seitenmittelpunkt von a

    Wiederhole dieses Verfahren an der Dreiecksseite b. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden in den Abbildungen die vorherigen Konstruktionsschritte ausgeblendet.

    Zeichne zwei Kreise mit Radius 2 cm (> 1,75 cm) um die Eckpunkte A und C der Dreiecksseite b. Es entstehen die Kreise K3 und K4. Zeichne dann die Schnittpunkte J und K der beiden Kreise ein.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Konstruktionsschritt 2, StudySmarterAbbildung 12: Konstruktion Seitenmittelpunkt von b

    Verbinde im nächsten Schritt die Punkte J und K miteinander. Der Schnittpunkt der Verbindungsstrecke JKund der Dreiecksseite b ist der Seitenmittelpunkt Mb.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Konstruktionsschritt 2, StudySmarterAbbildung 13: Konstruktion Seitenmittelpunkt von b

    Zuletzt konstruieren wir den Mittelpunkt der Seite c. Zeichne dazu Kreise K5 und K6mit Radius r = 3 cm (> 2,5 cm) um die Eckpunkte A und B. Markiere auch hier wieder die Schnittpunkte N und O der beiden Kreise.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Konstruktionsschritt 2, StudySmarterAbbildung 14: Konstruktion Seitenmittelpunkt von c

    Du erhältst den Seitenmittelpunkt Mc, indem du die Verbindungsstrecke einzeichnest und ihren Schnittpunkt mit der Seite c bestimmst.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Konstruktionsschritt 2, StudySmarterAbbildung 15: Konstruktion Seitenmittelpunkt von c

    3. Schritt: Einzeichnen der Seitenhalbierenden

    Verknüpfe dazu die Seitenmittelpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Dreiecks.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Konstruktionsschritt 3, StudySmarterAbbildung 16: Einzeichnen der Seitenhalbierenden

    4. Schritt: Einzeichnen des Schwerpunktes

    Kennzeichne nun den Schwerpunkt S des Dreiecks als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Konstruktionsschritt 4, StudySmarterAbbildung 17: Einzeichnen des Schwerpunktes

    Fertig ist die Konstruktion deines Schwerpunktes S des Dreiecks ABC.

    Schwerpunkte eines Dreiecks - besondere Dreiecke

    Im folgenden Abschnitt wird erläutert, ob und welche besonderen Eigenschaften der Schwerpunkt im gleichseitigen, gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreieck hat.

    Schwerpunkt im gleichseitigen Dreieck

    Schwerpunkt eines Dreiecks, gleichseitiges Dreieck, StudySmarterAbbildung 18: Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks DEF als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

    Im gleichseitigen Dreieck fallen die Seitenhalbierenden mit den Mittelsenkrechten und den Winkelhalbierenden zusammen. Also kann der Schwerpunkt auch als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden oder als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten konstruiert werden.

    Eine Anleitung zur Konstruktion von Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten findest du in den jeweiligen Artikeln.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, gleichseitiges Dreieck, StudySmarterAbbildung 19: Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks ABC als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden bzw. Mittelsenkrechten

    Schwerpunkt im gleichschenkligen Dreieck

    Schwerpunkt eines Dreiecks, gleichschenkliges Dreieck, StudySmarterAbbildung 20: Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks ABC als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

    Im gleichschenkligen Dreieck fallen die Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten nicht mit den Seitenhalbierenden zusammen. In der Abbildung wird dies anhand des Dreiecks ABC deutlich:

    Die Mittelsenkrechten sind gestrichelt dargestellt, die Seitenhalbierenden wie oben in türkis, die Winkelhalbierenden in Schwarz. Die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden W und der Mittelsenkrechten M entsprechen nicht dem Schwerpunkt S.

    Wie du im Bild gut erkennen kannst, liegen die drei Schnittpunkte auf einer Geraden (die gleichzeitig Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ist). Dies ist eine wichtige Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks.

    Um den Schwerpunkt eines gleichschenkligen Dreiecks zu konstruieren, musst du also den gewöhnlichen Weg über die Seitenhalbierenden und deren Schnittpunkt gehen.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, gleichschenkliges Dreieck, StudySmarterAbbildung 21: Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks ABC im Vergleich zum Schnittpunkt der Winkelhalbierenden W und dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M

    Schwerpunkt im rechtwinkligen Dreieck

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Schwerpunkt Spezialfall rechtwinkliges Dreieck, StudySmarterAbbildung 22: Schwerpunkt des rechtwinkligen Dreiecks ABC als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

    Auch im rechtwinkligen Dreieck fallen die Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten nicht mit den Seitenhalbierenden zusammen. In der Abbildung wird dies anhand des Dreiecks ABC deutlich:

    Die Mittelsenkrechten sind gestrichelt, die Seitenhalbierenden in türkis (siehe oben), und die Winkelhalbierenden in Schwarz dargestellt. Die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden W und der Mittelsenkrechten M entsprechen nicht dem Schwerpunkt S.

    Vielleicht ist dir aufgefallen, dass der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks liegt. Das ist eine wichtige Eigenschaft von rechtwinkligen Dreiecken. Obwohl diese Information für die Konstruktion des Schwerpunktes nicht relevant ist, kann sie sich in anderen Aufgaben als hilfreich erweisen.

    Schwerpunkt eines Dreiecks, Schwerpunkt Spezialfall rechtwinkliges Dreieck, StudySmarterAbbildung 23: Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks ABC im Vergleich zum Schnittpunkt der Winkelhalbierenden W und der Mittelsenkrechten M

    Schwerpunkt eines Dreiecks – Das Wichtigste

    • Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist leicht zu konstruieren.
    • Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
    • Die Seitenhalbierenden eines Schwerpunktes werden auch Schwerelinien genannt. Somit ist der Schwerpunkt der Schnittpunkt der Schwerelinien des Dreiecks.
    • Anschaulich ist der Schwerpunkt eines Dreiecks der Punkt, auf dem ein Dreieck balanciert werden kann, ohne dass es seitlich kippt oder herunterfällt.
    • Beim gleichseitigen Dreieck fällt der Schwerpunkt mit dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zusammen.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Schwerpunkt eines Dreiecks

    Wie bekommt man den Schwerpunkt?

    Den Schwerpunkt in einem Dreieck bekommt man, indem man den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck bestimmt. Um die Seitenhalbierenden zu zeichnen, muss man zunächst die drei Mittelsenkrechten konstruieren, weil deren Schnittpunkt mit der jeweiligen Dreiecksseite der Mittelpunkt der Dreiecksseite ist. Verbindet man den Mittelpunkt der Dreiecksseite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt, so erhält man die Seitenhalbierende.

    Was ist der Schwerpunkt in einem Dreieck?

    Der Schwerpunkt in einem Dreieck ist der Punkt, in dem sich die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks schneiden. Er ist der Massenschwerpunkt des Dreiecks, also der Punkt, an dem das Dreieck auf einer Fingerspitze oder Bleistiftspitze balanciert werden kann, ohne dass es herunterfällt. Von diesem Punkt aus ziehen alle Seiten des Dreiecks mit der gleichen Kraft zu Boden und halten das Dreieck so im Gleichgewicht.

    Kann der Schwerpunkt eines Dreiecks auch außerhalb liegen?

    Nein, der Schwerpunkt eines Dreiecks kann nicht außerhalb des Dreiecks liegen. Die Seitenhalbierenden liegen als Strecken alle innerhalb des Dreiecks und damit auch ihr Schnittpunkt. Auch anschaulich muss sich der Massenmittelpunkt der Dreiecksfläche innerhalb des Dreiecks befinden.

    Was ist eine Seitenhalbierende?

    Eine Seitenhalbierende ist eine Strecke im Dreieck, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verläuft. Sie teilt damit das Dreieck in zwei flächengroße, "gleichschwere" Teildreiecke. Daher wird die auch Schwerelinie des Dreiecks genannt. Es gibt genau drei Seitenhalbierende im Dreieck.

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