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In einem Dreieck sind zahlreiche Konstruktionen möglich, um neue geometrische Objekte oder Punkte mit besonderen Eigenschaften zu erhalten. Besonders anschaulich ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
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Jetzt kostenlos anmeldenIn einem Dreieck sind zahlreiche Konstruktionen möglich, um neue geometrische Objekte oder Punkte mit besonderen Eigenschaften zu erhalten. Besonders anschaulich ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
Das ist der Punkt, an dem du ein Dreieck mit einem Finger von unten balancieren kannst, ohne dass es herunterfällt. Alternativ ist es auch der Punkt, an dem du das Dreieck aufhängen kannst, sodass es genau waagrecht (und damit parallel zum Boden) ausgerichtet ist.
Versuche einmal auf diese Art selbst den Schwerpunkt deines Geodreiecks zu bestimmen.
Wie man diesen besonderen Punkt für ein beliebiges Dreieck bestimmen kann, ohne es auf Pappe auszuschneiden und zu balancieren, wird im Folgenden aufgezeigt.
Bevor wir uns mit der Konstruktion befassen, wiederholen wir knapp, was als Schwerpunkt eines Dreiecks gilt.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der eindeutige Punkt im Dreieck, in dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden. Er wird auch Massenmittelpunkt oder physikalischer Schwerpunkt der Dreiecksfläche genannt.
Zur Erinnerung: Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks verläuft von einer Ecke des Dreiecks zum Seitenmittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite. Mehr über die Seitenhalbierenden im Dreieck kannst du gerne in unserem Artikel nachlesen. Außerdem werden der Schwerpunkt eines Dreiecks und seine Eigenschaften in einem entsprechenden Artikel ausführlicher erklärt.
Die Seitenhalbierenden nennt man auch Schwerelinien. Der Name kommt daher, dass sie das Dreieck ausgehend von einer Ecke so teilen, dass zwei flächengleiche ("gleichschwere") Teildreiecke entstehen.
Zur Veranschaulichung: Die Schwerelinien sind die Linien, die durch die Eckpunkte des Dreiecks verlaufen und auf denen du ein Dreieck mit einem Lineal oder Stift balancieren kannst. Davon gibt es genau drei Stück.
Wird das Dreieck nun im Schwerpunkt – dem Schnittpunkt der Schwerelinien – gehalten, ziehen die Flächen auf den beiden Seiten der Schwerelinien jeweils mit gleicher Kraft nach unten. So wird das Dreieck im Gleichgewicht gehalten.
Alle drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt im Dreiecksinneren, da sie innerhalb des Dreiecks verlaufen. Das gilt für jedes und innerhalb von jedem Dreieck (im Gegensatz zu, beispielsweise, den Mittelsenkrechten).
Der Schwerpunkt hat noch eine besondere Eigenschaft: Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Das bedeutet, dass das Teilstück jeder Seitenhalbierenden vom Eckpunkt bis zum Schwerpunkt doppelt so lang ist wie das andere Teilstück vom Schwerpunkt zur Dreiecksseite.
Mehr dazu im Artikel zum Schwerpunkt eines Dreiecks.
Die Seitenhalbierenden sind üblicherweise nach der Dreiecksseite benannt, die sie halbieren. So ist die Seitenhalbierende die Strecke, die durch den Punkt C verläuft und die Seite c halbiert.
Um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu konstruieren, benötigst du einen Zirkel und ein Lineal.
Du kannst den Schwerpunkt auch berechnen, statt ihn zu konstruieren. Dies erfordert allerdings einige Rechenschritte. Im Artikel Schwerpunkt eines Dreiecks wird erklärt, wie die Berechnung funktioniert.
Zur Konstruktion:
Indem du nacheinander die einzelnen Schritte der untenstehenden Tabelle in deinem Dreieck anwendest, kannst du leicht den Schwerpunkt erarbeiten.
Schritt | Beschreibung | Visualisierung (Abbildungen 5 - 6) |
1. Dreieck ABC | Starte mit einem beliebigen Dreieck, dessen Schwerpunkt du konstruieren möchtest. | |
2. Konstruktion der Seitenmittelpunkte | Konstruiere für die drei Strecken a, b und c jeweils den Seitenmittelpunkt. Hier am Beispiel der Seite b. Zeichne dazu zwei Kreise und mit demselben Radius um die beiden Eckpunkte A und C der Strecke b. Der Radius der Kreise muss dabei größer sein als die halbe Seitenlänge von b (sonst gibt es keinen Schnittpunkt der Kreise). Verbinde dann die beiden Schnittpunkte der Kreise D und E.Diese Verbindungsstrecke schneidet die Dreiecksseite b im Seitenmittelpunkt . |
Die Konstruktion der Seitenmittelpunkte entspricht größtenteils dem Verfahren zur Konstruktion einer Mittelsenkrechten. Eine detailliertere Erklärung zu diesem wichtigen Schritt steht im Artikel Mittelsenkrechte konstruieren.
Schritt | Beschreibung | Visualisierung (Abbildungen 7 - 8) |
3. Einzeichnen der Seitenhalbierenden | Die Seitenhalbierenden erhältst du, indem du die Seitenmittelpunkte , und )mit den gegenüberliegenden Ecken verbindest. | |
4. Einzeichnen des Schwerpunktes | Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt S des Dreiecks. |
Wie die oben beschriebenen Schritte angewendet werden können, wird anhand des folgenden Beispiels zur Konstruktion des Schwerpunktes ausführlich besprochen:
Konstruiere den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Seitenlängen , und .
1. Schritt: Dreieck ABC
Zeichne das Dreieck.
2. Schritt: Konstruktion der Seitenmittelpunkte
Du kannst mit einer beliebigen Dreiecksseite beginnen. Wir beginnen hier mit der Seite a.
Zeichne zwei Kreise mit Radius r = 2 cm (> 1,5 cm) um die Punkte B und C. Dabei entstehen die Kreise und . Zeichne deren Schnittpunkte E und F ein.
Verbinde jetzt E und F. Der Schnittpunkt der Verbindungsstrecke mit der Dreiecksseite a liefert den Mittelpunkt der Seite a.
Wiederhole dieses Verfahren an der Dreiecksseite b. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden in den Abbildungen die vorherigen Konstruktionsschritte ausgeblendet.
Zeichne zwei Kreise mit Radius 2 cm (> 1,75 cm) um die Eckpunkte A und C der Dreiecksseite b. Es entstehen die Kreise und . Zeichne dann die Schnittpunkte J und K der beiden Kreise ein.
Verbinde im nächsten Schritt die Punkte J und K miteinander. Der Schnittpunkt der Verbindungsstrecke und der Dreiecksseite b ist der Seitenmittelpunkt .
Zuletzt konstruieren wir den Mittelpunkt der Seite c. Zeichne dazu Kreise und mit Radius r = 3 cm (> 2,5 cm) um die Eckpunkte A und B. Markiere auch hier wieder die Schnittpunkte N und O der beiden Kreise.
Du erhältst den Seitenmittelpunkt , indem du die Verbindungsstrecke einzeichnest und ihren Schnittpunkt mit der Seite c bestimmst.
3. Schritt: Einzeichnen der Seitenhalbierenden
Verknüpfe dazu die Seitenmittelpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Dreiecks.
4. Schritt: Einzeichnen des Schwerpunktes
Kennzeichne nun den Schwerpunkt S des Dreiecks als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Fertig ist die Konstruktion deines Schwerpunktes S des Dreiecks ABC.
Im folgenden Abschnitt wird erläutert, ob und welche besonderen Eigenschaften der Schwerpunkt im gleichseitigen, gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreieck hat.
Im gleichseitigen Dreieck fallen die Seitenhalbierenden mit den Mittelsenkrechten und den Winkelhalbierenden zusammen. Also kann der Schwerpunkt auch als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden oder als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten konstruiert werden.
Eine Anleitung zur Konstruktion von Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten findest du in den jeweiligen Artikeln.
Im gleichschenkligen Dreieck fallen die Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten nicht mit den Seitenhalbierenden zusammen. In der Abbildung wird dies anhand des Dreiecks ABC deutlich:
Die Mittelsenkrechten sind gestrichelt dargestellt, die Seitenhalbierenden wie oben in türkis, die Winkelhalbierenden in Schwarz. Die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden W und der Mittelsenkrechten M entsprechen nicht dem Schwerpunkt S.
Wie du im Bild gut erkennen kannst, liegen die drei Schnittpunkte auf einer Geraden (die gleichzeitig Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ist). Dies ist eine wichtige Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks.
Um den Schwerpunkt eines gleichschenkligen Dreiecks zu konstruieren, musst du also den gewöhnlichen Weg über die Seitenhalbierenden und deren Schnittpunkt gehen.
Auch im rechtwinkligen Dreieck fallen die Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten nicht mit den Seitenhalbierenden zusammen. In der Abbildung wird dies anhand des Dreiecks ABC deutlich:
Die Mittelsenkrechten sind gestrichelt, die Seitenhalbierenden in türkis (siehe oben), und die Winkelhalbierenden in Schwarz dargestellt. Die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden W und der Mittelsenkrechten M entsprechen nicht dem Schwerpunkt S.
Vielleicht ist dir aufgefallen, dass der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks liegt. Das ist eine wichtige Eigenschaft von rechtwinkligen Dreiecken. Obwohl diese Information für die Konstruktion des Schwerpunktes nicht relevant ist, kann sie sich in anderen Aufgaben als hilfreich erweisen.
Den Schwerpunkt in einem Dreieck bekommt man, indem man den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck bestimmt. Um die Seitenhalbierenden zu zeichnen, muss man zunächst die drei Mittelsenkrechten konstruieren, weil deren Schnittpunkt mit der jeweiligen Dreiecksseite der Mittelpunkt der Dreiecksseite ist. Verbindet man den Mittelpunkt der Dreiecksseite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt, so erhält man die Seitenhalbierende.
Der Schwerpunkt in einem Dreieck ist der Punkt, in dem sich die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks schneiden. Er ist der Massenschwerpunkt des Dreiecks, also der Punkt, an dem das Dreieck auf einer Fingerspitze oder Bleistiftspitze balanciert werden kann, ohne dass es herunterfällt. Von diesem Punkt aus ziehen alle Seiten des Dreiecks mit der gleichen Kraft zu Boden und halten das Dreieck so im Gleichgewicht.
Nein, der Schwerpunkt eines Dreiecks kann nicht außerhalb des Dreiecks liegen. Die Seitenhalbierenden liegen als Strecken alle innerhalb des Dreiecks und damit auch ihr Schnittpunkt. Auch anschaulich muss sich der Massenmittelpunkt der Dreiecksfläche innerhalb des Dreiecks befinden.
Eine Seitenhalbierende ist eine Strecke im Dreieck, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verläuft. Sie teilt damit das Dreieck in zwei flächengroße, "gleichschwere" Teildreiecke. Daher wird die auch Schwerelinie des Dreiecks genannt. Es gibt genau drei Seitenhalbierende im Dreieck.
Wie kannst du den Schwerpunkt eines
Dreiecks anschaulich beschreiben?
Der Punkt, in dem das Dreieck nicht herunterfällt, wenn es auf einem Bleistift/einer Fingerspitze balanciert wird. Alternativ der Punkt, an dem man ein Dreieck aufhängen kann, sodass es waagrecht (genau parallel zum Boden) hängt.
Warum liegt der Schwerpunkt eines Dreiecks immer innerhalb des Dreiecks?
Das liegt daran, dass die Seitenhalbierenden drei Strecken sind, die nur im Inneren des Dreiecks verlaufen. Daher liegt auch ihr Schnittpunkt im Inneren des Dreiecks. Auch anschaulich muss sich der Massenmittelpunkt des Dreiecks innerhalb des Dreiecks befinden (Vorstellung, das Dreieck dort auszubalancieren).
In welchem Dreieck fällt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten immer mit dem Schwerpunkt zusammen?
In jedem Dreieck
Wie viele Seitenhalbierende gibt es
in einem Dreieck?
1
Wie konstruiere ich den Schwerpunkt
im Dreieck?
Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den
Schwerelinien des Dreiecks und dem
Schwerpunkt des Dreiecks?
Die Schwerelinien sind eine andere Bezeichnung für die Seitenhalbierenden im Dreieck. Der Schwerpunkt ist daher der Schnittpunkt der Schwerelinien.
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