Du musst bald eine Klausur über Vektoren schreiben und weißt absolut nicht, wie Du sie vervielfachst? Dann bist Du hier genau Richtig! Hier bekommst Du die Information, was Vektoren überhaupt sind und wie man sie vervielfacht.
Skalarmultiplikation – Grundlagenwissen
Für das Thema zum Vervielfachen zweier Vektoren ist die Wiederholung von Vektoren und Richtungsvektoren notwendig, wenn Du Dir nicht mehr sicher bist, was genau das ist, kannst Du ja gern nochmal reinschauen. Wenn nicht, kannst Du den Teil auch überspringen.
Vektoren
Zum Einstieg in das Thema ist eine Wiederholung zu Vektoren empfehlenswert.
Ein Vektor ist ein Objekt, welches in einem Koordinatensystem eine Richtung zu einem Punkt zeigt. Das Koordinatensystem kann zwei- und dreidimensional sein.
Ein Vektor kann aus zwei oder drei Zahlen bestehen. Aus zwei Zahlen besteht er, wenn er im zweidimensionalen Koordinatensystem liegt, aus drei, wenn er im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt. Hier siehst Du den Aufbau der Vektoren (3D) und (2D)
Im Folgenden siehst Du ein Beispiel des Vektors im Koordinatensystem.
Das nächste zweidimensionale Koordinatensystem zeigt Dir den Vektor , welcher Dich zum Punkt führt.
Abbildung 1: Vektor im zweidimensionalen Koordinatensystem
Und ebenfalls für den Vektor .
Der Vektor führt Dich im dreidimensionalen Koordinatensystem zum Punkt . Dies sieht man in folgender Abbildung:
Abbildung 2: Vektor a im dreidimensionalen Koordinatensystem.
Ein Vektor kann in einem drei- oder zweidimensionalen Koordinatensystem liegen.
In einem dreidimensionalen Koordinatensystem hat der Vektor zwei Bewegungsrichtungen. Einmal , die Bewegung in Richtung x-Achse, in Richtung y-Achse und x3 verläuft in Richtung der z-Achse.
Das nächste Bild zeigt Dir den Weg, den Vektor innerhalb des dreidimensionalen Koordinatensystems zurücklegt. Zuerst verläuft er eine Einheit auf der x-Achse voran, nämlich den Vektor . Gleich darauf verläuft er von dem Punkt den Vektor zum Punkt auf der y-Achse. Von diesem Punkt verläuft der Vektor zum Endpunkt auf der z-Achse.
Abbildung 4: Der Weg des Vektors a.
Richtungsvektor
Im Folgenden wird Dir der Begriff des Richtungsvektors erklärt.
Der Richtungsvektor gibt die räumliche Richtung von einer Gerade vor. Er geht nie aus dem Ursprung. Er stützt sich auf dem Stützvektor, welcher immer aus dem Ursprung geht und fängt ab dem Punkt des Stützvektors an.
Hier noch einmal die Erklärung zur Veranschaulichung:
- = Stützvektor
- = Richtungsvektor
- r = Variable für einen Skalar
Ein Stützvektor kann beliebig gewählt werden, denn der Richtungsvektor bleibt dabei unverändert. Er erhält lediglich eine andere Position im Koordinatensystem.
Im nächsten Beispiel siehst Du eine Abbildung, um den Stützvektor zu veranschaulichen.
Hier siehst Du eine Gerade im Koordinatensystem. Der Stützvektor ist ebenfalls eingezeichnet, damit Du Dir besser vorstellen kannst, was ein Stützvektor ist und wie er aussieht.
Abbildung 5: Stützvektor a im Koordinatensystem
Skalarmultiplikation – Definition
In diesem Abschnitt erfährst Du, was eine Skalarmultiplikation ist.
Eine Skalarmultiplikation ist die Multiplikation einer reellen Zahl (Skalar y) mit einem Vektor. Durch eine Skalarmultiplikation erhält man einen verlängerten Vektor.
Skalarmultiplikation Anwendung
Bei einer Skalarmultiplikation wird eine reelle Zahl mit einem Vektor multipliziert. Eine Berechnung sieht folgendermaßen aus:
Wenn zwei Vektoren vielfache voneinander sind, nennt man sie auch kollinear.
Aber was passiert, wenn y größer, kleiner oder gleich 0 ist?
- Wenn , dann wird der Vektor verlängert.
- Wenn , dann bleibt der Vektor gleich.
- Wenn und , dann wird der Vektor kürzer, wechselt aber noch nicht seine Richtung.
- Wenn , dann geht der Vektor in die entgegengesetzte Richtung.
Im Folgenden siehst Du ein paar Anwendungsbeispiele.
Aufgabe 1
Vervielfache den Vektor mit der Zahl 4.
Lösung
Um den Vektor um 4 zu vervielfachen, werden die einzelnen Zahlen mit 4 multipliziert.
Durch die Vervielfachung mit 4 erhältst Du den verlängerten Vektor . Vektor und das Vielfache sind kollinear.
Hier siehst Du, wie der verlängerte Vektor aussieht.
Abbildung 6: Vervielfachung des Vektors a.
Aufgabe 2
Vervielfache den Vektor um 3.
Lösung
Das Vervielfachen funktioniert, in dem Du die einzelnen Zahlen des Vektors mit der Zahl 3 multiplizierst. Dadurch erhält man den Vektor:
Im dreidimensionalen Koordinatensystem sieht das so aus:
Abbildung 7: Vervielfachen des Vektors a.
Skalarmultiplikation mit negativem Skalar
Bei einer Skalarmultiplikation mit negativem Skalar verläuft der Vektor nach dem Ausmultiplizieren in die entgegengesetzte Richtung.
Im Folgenden siehst Du zwei Beispiele. Zuerst in einem zweidimensionalen Koordinatensystem.
Aufgabe 3
Multipliziere den Vektor mit der Zahl -1.
Lösung
Du multiplizierst einen Vektor, indem Du jede Zahl des Vektors mit dem Skalar verrechnest.
Hier siehst Du den Vektor vor und nach der Multiplikation.
Abbildung 8: Vervielfachung des Vektors a mit -1
Bei einer Vervielfachung mit -1 kommt es nicht zu einer Verlängerung des Vektors, sondern nur zu einer Symmetrie.
Das nächste Beispiel ist eine negative Skalarmultiplikation im dreidimensionalen Koordinatensystem.
Aufgabe 4
Multipliziere den Vektor mit dem Skalar -0,5.
Lösung
Beim Multiplizieren mit einem negativen Skalar erhältst Du einen Vektor in die entgegengesetzte Richtung. In diesem Fall sogar mit einer geringeren Strecke, weil mit -0,5 multipliziert wurde. Dadurch erhältst Du den Vektor:
Abbildung 9: Vervielfachung des Vektors a mit dem Skalar -0,5.
Falls Dir die Berechnung eines Skalarproduktes noch unbekannt ist, hier ein kleiner Hinweis.
Skalarmultiplikation zweier Vektoren
Ein Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Multiplikation zweier Vektoren miteinander. Dafür werden die jeweils gegenüberstehende Zahl zweier Vektoren multipliziert und danach werden die Produkte addiert.
Im Folgenden siehst Du die Formel eines Skalarprodukts.
Hier siehst Du ein Beispiel zur Berechnung eines Skalarprodukts:
Berechne das Skalarprodukt vom Vektor und Vektor .
Auch hier siehst Du, wie die Zahlen des Vektors multipliziert und danach addiert werden, um das Skalarprodukt zu erhalten.
Das Skalarprodukt ist in diesem Fall 13.
Richtungsvektor Vielfaches
Bei einer Vervielfachung eines Richtungsvektors gehst Du genauso wie bei einem alleinstehenden Vektor vor.
Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden Vielfache voneinander sind, liegen sie parallel zueinander. Wenn in diesem Fall der Stützvektor derselbe ist, sind die Geraden identisch. Wenn der Stützvektor kein Vielfaches oder der gleiche ist, dann sind die Geraden parallel.
Im Folgenden siehst Du ein Beispiel zum Vielfachen eines Richtungsvektors einer Gerade.
Aufgabe 5
Erstelle zur Gerade eine parallele Gerade, indem Du den Richtungsvektor um 2 vervielfachst.
Lösung
Die Lösung ist nur eine mögliche Lösung, weil Du einen beliebigen Stützvektor verwenden kannst, der kein Vielfaches von dem Stützvektor der Ausgangsfunktion ist. Du kannst zum Beispiel auch einen Stützvektor nehmen, wie oder . Jegliche Zahlenkombination ist möglich, solange sie die beiden Ortsvektoren der Geraden und nicht linear abhängig voneinander sind.
Linear abhängige Vektoren und sind Vielfache voneinander.
Als Stützvektor wurde hier der Vektor verwendet.
Beim Vervielfachen des Richtungsvektors kommt der Vektor raus. Das führt Dich zu der Gerade :
Wenn Du an dieser Stelle eine andere Gerade hast, ist das kein Problem, denn der Stützvektor kann und darf anders aussehen. Durch die Vervielfachung des Richtungsvektors erhältst Du zwei parallele Geraden .
Diese Abbildung zeigt die Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem:
Abbildung 10: Zwei parallele Geraden g:x und h:x.
Skalarmultiplikation – Aufgaben
Und zum Abschluss noch ein paar Übungsaufgaben, um Dein gelerntes Wissen zu überprüfen!
Aufgabe 6
Vervielfache den Vektor mit der Zahl 8.
Lösung
Durch die Skalarmultiplikation von 8 mit dem Vektor erhält man den Vektor .
Aufgabe 7
Mache eine Skalarmultiplikation von -5 und dem Vektor .
Lösung
Durch die Skalarmultiplikation von -5 von dem Vektor erhältst Du den Vektor .
Aufgabe 8 zu parallelen Geraden
Erstelle eine parallele Gerade zu der Gerade , indem Du den Richtungsvektor mit 3 vervielfachst.
Lösung
Durch das Vervielfachen des Richtungsvektors und der Verwendung eines ganz anderen Stützvektors erhältst Du die Gerade .
Skalarmultiplikation – Das Wichtigste
- Bei einer Skalarmultiplikation wird eine reelle Zahl mit einem Vektor multipliziert. Die Berechnung sieht folgendermaßen aus:
- Es gibt verschieden Arten, einen Vektor zu vervielfachen:
- Wenn , dann wird der Vektor verlängert.
- Wenn , dann bleibt der Vektor gleich.
- Wenn , dann wird der Vektor kürzer.
- Wenn , dann verläuft der Vektor in die entgegengesetzte Richtung.
- Der Richtungsvektor gibt die räumliche Richtung von zum Beispiel einer Gerade oder einer Seite einer Ebene vor. Er geht nie aus dem Ursprung. Er stützt sich auf dem Stützvektor, welcher immer aus dem Ursprung geht und fängt ab dem Punkt des Stützvektors an.
- Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden Vielfache voneinander sind, dann liegen sie parallel zueinander.
- Wenn in diesem Fall der Stützvektor derselbe ist, dann sind die Geraden identisch.
- Wenn der Stützvektor kein Vielfaches oder der gleiche ist, dass sind die Geraden parallel.
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