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Auf den ersten Blick wirkt die Tangentialebene einer Kugel so, als gäbe es keinen Bezug zur realen Welt. Tatsächlich bist Du der Verwendung von Tangentialebenen aber schon begegnet, wenn auch etwas entfernt. Tangentialebenen spielen bei der Projektion von Kugeln in zwei Dimensionen, also auf Papier, eine wichtige Rolle. Wenn Du also mal die Karten-App auf Deinem Smartphone genutzt hast, sind Dir Dinge begegnet, die durch Verwendung von Tangentialebenen entstehen. In dieser Erklärung siehst Du, was es mit Tangentialebenen von Kugeln auf sich hat. Du findest die Definition der Tangentialebene der Kugel und eine Anleitung wie Du die Tangentialebene einer Kugel berechnen kannst und welche Formel Du dafür benötigst. Anhand von Beispielen wirst Du Dein Wissen anwenden und die Tangentialebene aufstellen, parallele Tangentialebenen bestimmen und Berührpunkte berechnen.
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Team Tangentialebene Kugel Lehrer
Es ist offensichtlich, dass Tangentialebenen etwas mit Tangenten zu tun haben. Möchtest Du bei einem Kreis in einem Punkt die Tangente anlegen, dann ist diese eindeutig festgelegt. Bei einer Kugel hingegen gibt es unendlich viele Tangenten in einem Punkt \(P\). Was diese Tangenten gemeinsam haben ist, sie liegen alle in einer Ebene. Das kannst Du Dir klarmachen, indem Du Dir vom Mittelpunkt \(M\) der Kugel den Vektor zum Punkt \(P\) vorstellst, \( \overrightarrow{MP}\). Dieser Vektor \( \overrightarrow{MP}\) steht senkrecht auf jeder Tangente in dem Punkt, stellt also den Normalenvektor einer Ebene dar, in der alle Tangenten liegen, die Tangentialebene im Punkt \(P\).
Solltest Du Dir bei der Darstellung von Geraden und Ebenen nicht mehr ganz sicher sein, frische Dein Wissen, was analytische Geometrie betrifft, in unseren Erklärungen auf.
Abb. 1 Kugel, Tangenten, Tangentialebene und Normalenvektor
Wie bereits durch die Anschauung deutlich wurde, existieren zu einem Punkt \(P\) auf der Oberfläche einer Kugel mit Mittelpunkt \(M\) unendliche viele Tangenten.
Die Tangentialebene einer Kugel mit Mittelpunkt \(M\) im Berührpunkt \(P\) ist die Ebene, die durch alle Tangenten in \(P\) gebildet wird.
In Abb. 1 siehst Du eine Kugel mit Mittelpunkt \(M\) im Ursprung und eine Tangentialebene im Punkt \(P=(0,0,2)\). Der Normalenvektor der Ebene ist der Vektor \( \overrightarrow{MP}\). Einige der unendlich vielen Tangenten in diesem Punkt sind angedeutet, wie Du sehen kannst, bilden sie die Tangentialebene.
Zur Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\) soll die Tangentialebene im Punkt \(P_0\) bestimmt werden. Die Kugel wird beschrieben durch $$\left| \vec{x} -\vec{M} \right|^2 = r^2$$
Normalenvektor der Tangentialebene im Punkt \(P_0\): \( \overrightarrow{MP_0}\)
Es gilt für jeden beliebigen Punkt \( \vec{x}= \left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{array}\right) \) der Tangentialebene:
$$ \overrightarrow{xP_0} \cdot \overrightarrow{PP_0} =0 $$
Daraus ergibt sich die Definition für die Tangentialebene der Kugel:
$$\overrightarrow{MP_0} \cdot x = \overrightarrow{MP_0} \cdot P_0$$
Zu einer Kugel mit Mittelpunkt \( M = ( 1 , 1 , 2) \) und Radius \(r=3\) soll die Tangente im Punkt \(P=(3,3,3)\) bestimmt werden.
Mit der obigen Formel kannst Du direkt die Gleichung der Tangentialebene aufstellen:
$$ \Biggl[ \overrightarrow{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) \Biggr] \cdot \Biggl[ \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \Biggr] = 0$$
$$ \Leftrightarrow \Biggl[ \overrightarrow{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) \Biggr] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) = 0$$
$$2x+2y+z=15$$
Abb. 2 - Tangentialebene im Punkt P
Ohne viel Aufwand lässt sich also aus den vorhandenen Informationen die Tangentialebene der Kugel bestimmen.
Im nächsten Schritt sollst Du zeigen, dass eine vorgegebene Ebene \(E\) eine Tangentialebene zur Kugel \(K\) darstellt.
Gegeben sind eine Kugel \(K\) mit Mittelpunkt \(M=(3,3,2) \) und Radius \(r= \sqrt{11} \) und eine Ebene \(E: -x-3y+z=1\).
Zeige, dass es sich bei \(E\) um eine Tangentialebene der Kugel \(K\) handelt und berechne den Berührpunkt \(B\).
Strategie: Zeigen, dass der Abstand von \(M\) zu \(E\) dem Radius \(r\) entspricht.
Hessesche Normalform der Ebene \(E\):
\( \begin{align} &&\frac{-x-3y+z-1}{\sqrt{(-1)^2+(-3)^2+1^2}}=0 \\ \\ &\Leftrightarrow &\frac{-x-3y+z-1}{\sqrt{11}}=0\end{align} \)
Abstand \(d(M,E)\) des Kugelmittelpunkts zur Ebene:
\( \begin{align} d(M,E) &=\Biggl| \frac{-3-3\cdot 3+2-1}{\sqrt{11}} \Biggr| \\ &= \Biggl| \frac{-11}{\sqrt{11}} \Biggr| \\ &= \frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}}{\sqrt{11}} \\ &= \sqrt{11} \end{align} \)
Damit ist gezeigt, \(E\) ist eine Tangentialebene zu \(K\).
Um B zu bestimmen, schneiden wir die Lotgerade auf \(E\) durch M mit \(E\)
\( \begin{align} g_{Lot} : \overrightarrow{x}= \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-t \\ 3-3t \\ 2+t \end{array} \right)\end{align} \)
Schnittpunkt, Einsetzen von \(g_{Lot}\) in \(E\)
\( \begin{align} -(3-t)-3(3-3t)+(2+t) &= 1 \\ -3+t-9+9t+2+t &= 1 \\ 11t-10 &= 1 &&|+10 \\ 11t &= 11 &&|:11 \\ t &=1 \end{align}\)
Durch Einsetzen von \(t=1\) in \( g_{Lot}\) erhältst Du \(B= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)\) als Berührpunkt B.
Abb. 3 - Tangentialebene und Lotgerade
Um das Wissen auch anzuwenden, findest Du hier ein paar Beispielaufgaben.
Bei diesem Aufgabentyp sollst Du den Berührpunkt einer Tangentialebene und einer Kugel bestimmen.
Wie in der vorherigen Aufgabe nutzt Du dafür am besten eine Lotgerade durch \(M\).
Zu einer Kugel \(K\) mit Mittelpunkt \(M=(1,1,2) \) existiert eine Tangentialebene \(E: y=6\).
Bestimme den Berührpunkt \(B\).
Normalenvektor von \(E\) ablesen: \(n= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)
$$ \begin{align} g_{Lot} : \overrightarrow{x}= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1+t \\ 0 \end{array} \right)\end{align} $$
Einsetzen von \(g_{Lot}\) in \(E\) ergibt:
$$\begin{align} 1+t&=6 &&|-1 \\ t &= 5\end{align} $$
Einsetzen von \(t=5\) in \(g_{Lot}\) ergibt:
$$B=(1,6,3)$$
Daraus ergibt sich auch der Radius der Kugel \(r=5\)
Abb. 4 - Tangentialebene und Berührpunkt
Jede Tangentialebene einer Kugel besitzt auch eine parallele Tangentialebene. In diesem Beispiel wird sie berechnet.
Bestimme zur Kugel \(K\) mit Mittelpunkt \(M=(2,1,0) \) und Radius \(r=3\) die Tangentialebene \(E_1\) im Punkt \(P=(0,0,2)\) und die parallele Tangentialebene \(E_2\).
Bestimme die Tangentialebene \(E_1\) in \(P\):
$$ \begin{align} \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \\ \\ -2x-y+2z &= 4\end{align}$$
Bestimme den Berührpunkt \(P_1\), der \(P\) gegenüberliegt:
\( \begin{align} P_1 &= P_0 + 2 \cdot \overrightarrow{PM} \\ &= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \\ &= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)\end{align}\)
Bestimme die Tangentialebene in \(P_1\) wie zuvor.
$$ \begin{align} \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) \\ \\ 2x+y-2z &= 14\end{align}$$
Abb. 5 - Parallele Tangetialebene
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Was ist eine Tangentialebene?
Eine Tangentialebene ist eine ebene Fläche, die eine gekrümmte Oberfläche, wie die einer Kugel, in genau einem Punkt berührt. Diese Ebene ist parallel zu der Tangente, die an diesem Punkt an die Oberfläche gelegt wird. In der Differentialgeometrie wird die Tangentialebene als die Menge aller Tangenten definiert, die durch einen Punkt auf einer gekrümmten Oberfläche verlaufen.
Wie bestimmt man die Tangentialebene einer Kugel?
Um die Tangentialebene einer Kugel zu bestimmen, benötigt man den Mittelpunkt der Kugel, den Radius der Kugel und den Berührungspunkt der Ebene mit der Kugeloberfläche. Die Gleichung der Tangentialebene lässt sich dann als Ebene formulieren, die durch diesen Berührungspunkt geht und normal (rechtwinklig) zur Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und dem Berührungspunkt steht. Die Normalenrichtung kann durch den Gradienten der Kugeloberfläche am Berührungspunkt ermittelt werden.
Was ist der Berührpunkt einer Tangentialebene und einer Kugel?
Der Berührpunkt einer Tangentialebene und einer Kugel ist der Punkt auf der Kugeloberfläche, an dem die Ebene die Kugel berührt und keine weitere Durchdringung stattfindet. Dieser Punkt ist einzigartig für jede Tangentialebene einer gegebenen Kugel. Er ist charakteristisch, da die Tangentialebene in allen anderen Punkten die Kugel nicht berührt und somit eine eindeutige Tangente an diesem Punkt existiert.
Wie berechnet man den Berührpunkt einer Tangentialebene und einer Kugel?
Um den Berührpunkt einer Tangentialebene und einer Kugel zu berechnen, verwendet man die Gleichung der Kugel und die Gleichung der Tangentialebene. Der Berührpunkt ist der Schnittpunkt der Normalen der Tangentialebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, mit der Kugeloberfläche. Diese Berechnung erfordert die Lösung eines Systems von Gleichungen, bestehend aus der Gleichung der Kugel und der Normalengleichung der Ebene.
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