Stelle Dir vor, Du hast 3 Freunde und möchtest jedem zwei Kekse geben. Wie viele Kekse benötigst Du insgesamt?
Diese Frage kann mithilfe der Multiplikation beantwortet werden. Was das ist, wie das funktioniert und vieles mehr zu dem Thema erfährst Du in diesem Artikel.
Multiplizieren – Einführung
Grundlage aller Rechnungen in der Mathematik sind die vier Grundrechenarten. Die Multiplikation ist eine davon und wird wegen ihres Rechenzeichens Mal (·) auch oft als "Malrechnung" bezeichnet. Vorstellen kannst Du Dir das Multiplizieren am besten unter dem Begriff "Vervielfachen" – denn eigentlich ist die Multiplikation auch eine mehrfache Addition.
Bei der Multiplikation zählt man etwas zusammen, die Zahl wird also vergrößert.
Bei der Multiplikation wird die gleiche Zahl mehrfach addiert. Das Ergebnis der Multiplikation von zwei oder mehr Faktoren wird als Produkt bezeichnet.
Das kannst Du Dir auf zwei Arten vorstellen:
1. Rechenschieber
Wenn Du wieder an das Beispiel aus der Einleitung zurückdenkst:
Du hast 3 Freunde und möchtest jedem Freund 2 Kekse geben. Du möchtest wissen, wie viele Kekse Du dafür brauchst.
Abbildung 1: Rechenschieber Multiplikation
Zur Berechnung wendest Du die Multiplikation an:
Insgesamt brauchst Du 3 mal 2 Kekse. Du möchtest ja insgesamt 2 Kekse für jeden Deiner 3 Freunde haben. Wenn Du 3 mal 2 addierst, dann erhältst Du 6.
Abbildung 2: Kekse Multiplikation
Insgesamt benötigst Du also 6 Kekse.
2. Zahlenstrahl
Ein Zahlenstrahl (auch Zahlengerade genannt) kann Dir ebenfalls helfen, die Multiplikation zu verstehen. Auf einem Zahlenstrahl sind die Zahlen nebeneinander auf einer Strecke angetragen.
Abbildung 3: Multiplikation mit Zahlenstrahl
Du beginnst bei der Zahl 0 und gehst dann, so oft wie der eine Faktor es angibt, so viele Schritte nach rechts, wie der zweite Faktor es angibt.
Demnach gehst Du gehst 3-mal, weil Du 3 Freunde hast, 2 Schritte, weil Du jedem 2 Kekse gibst, nach rechts. Die Zahl, auf der Du landest, ist das Produkt. Auch hier bist Du bei 6 Keksen.
Allgemeines zum Multiplizieren
Die Grundlagen der "Mal-Rechnung" haben Dir die obigen Beispiele näher gebracht. Im Folgenden werden Dir Fachbegriffe, Eigenschaften und Zeichen der Multiplikation vorgestellt.
Begriffe der Multiplikation
Es gibt bestimmte Begriffe, um eine Multiplikation und ihre Bestandteile zu beschreiben.
Abbildung 4: Begriffe der Multiplikation
Faktoren | Produkt |
Alle Zahlen, mit denen bei einer Multiplikation gerechnet wird, bezeichnet man als Faktoren. Dabei nummeriert man die Faktoren von links nach rechts. | Das Produkt bezeichnet die Rechnung vom 1. Faktor, multipliziert mit dem 2. Faktor. Der Wert des Produkts ist das Ergebnis dieser Rechnung. |
Somit entspricht die Multiplikation als Ganzes der Berechnung der beiden Faktoren mit dem Ergebnis des Produkts.
Merkhilfe für die Begriffe der Multiplikation: Ein Faktor steht allein, ein Zweiter stellt sich ein. Sie haben sich beide angeguckt und sind für immer ein Produkt.
Rechenregeln und Besonderheiten beim Multiplizieren
Für die Multiplikation gelten zwei allgemeine Rechengesetze:
- Das Kommutativgesetz:Du darfst also innerhalb eines Produkts die Faktoren einfach vertauschen, das Ergebnis bleibt gleich.
- Das Assoziativgesetz: Das bedeutet, Teilrechnungen innerhalb der Multiplikation dürfen in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden.
Außerdem gibt es noch ein paar Tricks, die Dir bei manchen Rechnungen sehr viel Zeit sparen können:
- Multiplizieren mit der Zahl 0: Das Produkt einer beliebigen Zahl a mit 0 multipliziert ergibt 0. Wenn Du das 0-fache einer Zahl a berechnest, so bleibt ja nichts außer 0 übrig.
- Multiplizieren mit der Zahl 1: Das Produkt einer beliebigen Zahl a mit eins multipliziert, entspricht dem Wert der Zahl a. Wenn Du das 1-Fache einer Zahl berechnest, bleibt die Zahl schließlich unverändert.
Multiplikation und Division
Die Division ist ebenfalls eine der Grundrechenarten und das genaue Gegenteil der Multiplikation.
Hier werden Zahlen durcheinander geteilt und damit verkleinert. Auch die Division mit ihren wichtigsten Grundbegriffen solltest Du kennen.
Bei diesem Schaubild kannst Du Dir vorstellen, dass Du 6 Kekse hast und sie auf 3 Freund*innen verteilen willst. Jeder dieser Freund*innen soll gleich viele Kekse bekommen. Die Antwort lautet dann, dass jede*r Deiner Freund*innen 2 Kekse bekommt.
Abbildung 5: Begriffe der Division
Sieh Dir dazu auch noch einmal den Artikel Division genauer an.
Multiplizieren – Übungsaufgaben
In den folgenden Aufgaben kannst Du die Multiplikation mit kleinen Zahlen üben.
Aufgabe 1
Ermittle das Produkt folgender Multiplikationen:
a)
b)
c)
d)
Lösung
a)
Als Erstes kannst Du Dir die Rechnung aufgrund des Kommutativgesetzes umschreiben. So musst Du nur 3-mal die 5 addieren und nicht 5-mal die 3. Das geht wesentlich schneller.
Danach kannst Du 3-mal die 5 addieren.
b)
Hier musst Du 2-mal die 4 addieren, um das Ergebnis zu erhalten.
c)
In diesem Fall kannst Du 7-mal die 8 addieren.
d)
Hier hast Du drei Komponenten. Um die Rechnung strukturiert zu rechnen, kannst Du Klammern setzen. Wo Du diese setzt, ist dabei egal, da das Assoziativgesetz gilt.
Jetzt kannst Du als Erstes die Multiplikation in den Klammern berechnen.
Zum Schluss kannst Du jetzt noch diese Multiplikation lösen.
Das Einmaleins
Je größer die Zahlen werden, desto länger dauert es, bis Du auf ein Ergebnis kommst. Sobald Du eine zweistellige Zahl multiplizierst, kannst Du dies schriftlich tun. Das Vorgehen dazu lernst Du unten im Text noch. Doch was kannst Du bei größeren einstelligen Zahlen tun?
In diesem Fall hilft alles nichts und Du musst das kleine Einmaleins auswendig lernen.
Das kleine Einmaleins
Das kleine Einmaleins, ist eine Liste von Ergebnissen, bei denen alle einstelligen Zahlen miteinander multipliziert wurden.
Wenn Du diese Liste einmal auswendig gelernt hast, dann hilft Dir das für den Rest Deiner Schulzeit. Das kleine Einmaleins beinhaltet alle Zahlen von 1 bis 10.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Wenn Du eine Zahl aus der waagrechten Zeile mit einer Zahl aus der senkrechten Zeile multiplizierst, so steht das Produkt dieser Zahlen in dem Kästchen, das sowohl in der Spalte, als auch in der Zeile zu finden ist.
Des Weiteren wurden die Quadratzahlen orange markiert.
Das große Einmaleins
Oft musst Du in der Schule auch noch das große Einmaleins auswendig lernen, da Du dann für etwas größere Zahlen nicht jedes Mal eine schriftliche Multiplikation durchführen musst. Jedoch würde eine Tabelle mit dem großen Einmaleins den Rahmen dieses Artikels sprengen, weshalb hier nur die Quadratzahlen festgehalten werden.
Das große Einmaleins beinhaltet alle Zahlen von 1 bis 20.
Da Du die Quadratzahlen von 1 bis 10 in der oberen Tabelle ablesen kannst, werden hier die Quadratzahlen erst ab 11 aufgeführt.
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
Schriftlich multiplizieren
Für eine Multiplikation mit höheren Zahlen kannst Du in Deinem Heft eine schriftliche Multiplikation durchführen.
Abbildung 6: schriftliche Multiplikation
Ganze Zahlen schriftlich multiplizieren
Beim schriftlichen Multiplizieren musst Du im Prinzip jede Stelle des zweiten Faktors nacheinander mit jeder Stelle des ersten Faktors multiplizieren und dann das Ergebnis addieren. Hier einmal Schritt für Schritt:
Aufgabe 2
Berechne die folgende Multiplikation schriftlich in Deinem Heft.
Lösung
1. Schritt
Schreibe die beiden Faktoren direkt nebeneinander auf und ziehe eine Linie darunter.
2. Schritt
Beginne dann mit den beiden Einern. Diese werden multipliziert und das Ergebnis unter den Strich geschrieben.
In diesem Fall multiplizierst Du also 2 mit 4. Das ergibt 8. Somit schreibst Du 8 ganz rechts unter den Strich.
3. Schritt
Danach behältst Du den gleichen Einer des 2. Faktors bei und multiplizierst ihn mit dem Zehner des ersten Faktors. Das Ergebnis dieser Zahl schreibst Du dann vor die gerade eben aufgeschriebenen Zahl.
So multiplizierst Du alle Stellen des ersten Faktors mit dem Einer des zweiten Faktors weiter.
4. Schritt
Wenn Du dann alle Stellen des ersten Faktors mit dem Einer des zweiten Faktors multipliziert hast und die Ergebnisse alle in einer Reihe unter den Strich geschrieben hast, beginnst Du eine neue Zeile. Dort schreibst Du direkt unter das Ergebnis, das Du als Erstes notiert hast, eine 0.
5. Schritt
Daraufhin multiplizierst Du den Zehner des zweiten Faktors mit dem Einer des ersten Faktors und schreibst das Ergebnis in die gleiche Zeile neben die 0. So machst Du weiter, bist Du mit dem Zehner des zweiten Faktors alle Stellen des ersten Faktors multipliziert und in die gleiche Zeile geschrieben hast.
In diesem Fall ist das Ergebnis der ersten Zahl 12. Du schreibst die 2 auf und merkst Dir die 1. Wenn Du dann die nächste Stelle ausrechnest, lautet das Ergebnis 6. Du addierst jetzt die gemerkte 1 zu der 6 und schreibst deshalb 7 auf.
Merke:
Wenn die Zahl, die Du bei einer der Multiplikationen der einzelnen Stellen erhältst, zweistellig ist, so schreibst Du den Einer dieser Zahl auf und merkst Dir den Zehner. Wenn Du dann die nächste Stelle berechnest, kannst Du den gemerkten Zehner dazu addieren.
6. Schritt
Wenn der zweite Faktor eine hunderter Stelle hat, dann schreibst Du in eine neue Zeile zwei Nullen und multiplizierst diesen Hunderter mit allen Stellen des ersten Faktors. Diesen Prozess wiederholst Du so lange, bis Du alle Stellen des zweiten Faktors mit jeweils allen Stellen des ersten Faktors multipliziert hast.
An diesem Punkt sollten unter dem Strich so viele Zeilen sein, wie der zweite Faktor Stellen hat.
7. Schritt
Anschließend ziehst Du eine Linie unter die letzte Zeile und addierst die dabei entstandenen Zahlen schriftlich.
Willst Du wiederholen, wie man Zahlen schriftlich addiert? Dann lies Dir den Artikel Addition durch.
Das Produkt aus 4 324 und 632 beträgt also 2 616 018.
Abbildung 7: schriftliche Multiplikation
Dezimalzahlen – schriftlich multiplizieren mit Komma
Wenn Du Dezimalzahlen addierst, ändert sich kaum etwas gegenüber dem Multiplizieren mit ganzen Zahlen. Wenn Du Dezimalzahlen multiplizierst, dann kannst Du beim Berechnen selbst die Kommas einfach ignorieren.
Bist Du mit der Addition der einzelnen Teilberechnungen fertig, dann kannst Du die Anzahl an Nachkommastellen zählen, die die zwei Dezimalzahlen hatten. Die Summe dieser Nachkommastellen entspricht der Anzahl an Nachkommastellen des Ergebnisses. Diese Anzahl musst Du nur abzählen und das Komma an der entsprechenden Stelle des Produkts einfügen.
An einem Beispiel sieht das so aus:
Aufgabe 3
Berechne folgende Multiplikation schriftlich:
Lösung
Du multiplizierst also als Erstes wieder alle Stellen des ersten Faktors mit der hinteren Stelle des zweiten Faktors und ignorierst dabei die Kommas.
Dann schreibst Du ganz rechts in die zweite Zeile eine 0 und wiederholst den Vorgang mit der zweiten Zahl des zweiten Faktors.
Jetzt kannst Du die beiden Zahlen addieren.
Anschließend kannst Du die Anzahl an Kommas der Faktoren zusammenzählen. Da jeder der Faktoren ein Komma hat, hat das Produkt der Zahlen zwei Kommas.
Das Ergebnis lautet demnach 56,55.
Halbschriftlich multiplizieren
Wenn Du etwas halbschriftlich multiplizierst, bedeutet das, dass Du einen Faktor in seinen Einer, Zehner, Hunderter und so weiter zerlegst. Diese multiplizierst Du dann einzeln mit dem anderen Faktor und addierst die Produkte dann.
In einem Beispiel sieht das so aus:
Aufgabe 4
Berechne das Produkt folgender Rechnung halbschriftlich:
Lösung
Als Erstes kannst Du die Tausenderstelle mit 6 multiplizieren.
Tipp: Wenn die Zahlen so groß sind, dann kannst Du die Nullen bei der Rechnung weglassen, in diesem Fall also 6 · 8 rechnen. Das kannst Du mit dem kleinen Einmaleins berechnen: Das Produkt ist 48. Daraufhin kannst Du dann die Nullen wieder hinzufügen. Du hast bei der Vereinfachung 3 Nullen weggenommen und musst also jetzt wieder 3 Nullen hinzufügen. Das Ergebnis von 8 000 · 6 lautet demnach 48 000.
Als Nächstes machts Du das Gleiche mit der Hunderterstelle.
Dann folgt die Zehnerstelle.
Anschließend kommt noch die Einerstelle.
Diese Produkte kannst Du jetzt addieren.
Das Ergebnis dieser Multiplikation beträgt demnach 49 440.
Spezielle Multiplikationen
Eine Multiplikation kann jedoch nicht nur mit ganzen Zahlen und Dezimalzahlen stattfinden, sondern beispielsweise auch mit Bruchzahlen, Wurzeln oder Vektoren.
Bruchzahlen multiplizieren
Um Brüche zu multiplizieren, müssen die Nenner und die Zähler einzeln multipliziert und anschließend wieder zu einem Bruch zusammengefügt werden.
Für die Multiplikation zweier Brüche gilt:
Wurzeln multiplizieren
Wenn Du zwei Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten miteinander multiplizieren willst, so werden dann beiden Zahlen unter einer Wurzel multipliziert.
Für die Multiplikation zweier Wurzeln gilt:
Wenn die Wurzeln einen unterschiedlichen Wurzelexponenten haben, dann müssen sie erst so umgestellt werden, dass beide den gleichen Wurzelexponenten haben.
Vektoren multiplizieren
Wenn Du zwei Vektoren miteinander multiplizierst, dann benötigst Du das Skalarprodukt.
Für die Multiplikation zweier Vektoren gilt:
Auch bei der Vervielfachung eines Vektors musst Du den Vektor mit einer Zahl c multiplizieren. In dem Fall ist das Produkt aber wieder ein Vektor und keine Zahl.
Willst Du mehr zum Thema Skalarprodukt wissen? Dann lies Dir gerne den Artikel dazu durch.
Multiplizieren – Das Wichtigste
- Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten.
- Das Ergebnis der Multiplikation von zwei oder mehr Faktoren bezeichnet man als Produkt.
- Bei der Multiplikation hast Du zwei oder mehr Faktoren, bei denen Du den einen Faktor so oft addierst, wie es der andere angibt.
- Begriffe der Multiplikation:
- Rechenregeln beim Multiplizieren:
- Kommutativgesetz
- Assoziativgesetz
- Vorgehen beim schriftlichen Multiplizieren:
- Jede Zahl des ersten Faktors muss mit dem Einer des zweiten Faktors multipliziert werden.
- In einer neuen Spalte muss jede Zahl des ersten Faktors mit dem Zehner des zweiten Faktors multipliziert werden usw.
- Die verschiedenen Spalten müssen addiert werden.
- Regel beim schriftlichen Multiplizieren: Pro Multiplikation wird nur der Einer aufgeschrieben. Der Zehner wird sich gemerkt und anschließend zum nächsten Produkt addiert.
- Sonderfälle:
- Brüche multiplizieren: Bei Brüchen müssen jeweils die Nenner und die Zähler multipliziert werden.
- Wurzeln multiplizieren: Die Wurzeln müssen den gleichen Wurzelexponenten haben.
- Vektoren multiplizieren: Du kannst Vektoren mit einer Zahl c vervielfachen oder zwei Vektoren mit dem Skalarprodukt multiplizieren.
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