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Kathetensatz

Neben dem Satz des Pythagoras gibt es noch zwei weitere Sätze, die hilfreiche Aussagen über Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken liefern. Diese sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Alle drei Sätze sind vom griechischen Mathematiker Euklid bereits im 3. Jahrhundert vor Christus erwähnt worden und seitdem auch für Alltagsaufgaben sehr hilfreich.

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Kathetensatz

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Neben dem Satz des Pythagoras gibt es noch zwei weitere Sätze, die hilfreiche Aussagen über Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken liefern. Diese sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Alle drei Sätze sind vom griechischen Mathematiker Euklid bereits im 3. Jahrhundert vor Christus erwähnt worden und seitdem auch für Alltagsaufgaben sehr hilfreich.

Für den Satz des Pythagoras und den Höhensatz findest du ebenfalls Artikel im Kapitel die Satzgruppe des Pythagoras.

Kathetensatz Einleitung StudySmarter

Der Kathetensatz – Definition

Der Kathetensatz setzt eine Kathete ins Verhältnis zum anliegenden Hypotenusen-Abschnitt. In anderen Worten ausgedrückt, besagt der Kathetensatz, dass das Quadrat über der Kathete genauso groß ist wie das Rechteck aus der Hypotenuse c und dem Hypotenusen-Abschnitt, der an der Kathete anliegt.

Um das besser verstehen zu können, benötigen wir die Höhe des Dreiecks. Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks ist dabei das Lot, das aus dem rechten Winkel auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Dabei teilt die Höhe die gegenüberliegende Seite, also die Hypotenuse, in zwei Abschnitte:

Kathetensatz Definition StudySmarter

Abbildung 1: Kathetensatz

Die Höhe h teilt die Hypotenuse c in die zwei Abschnitte q und p. Wenn wir die Höhe h jetzt verlängern, teilen wir das Hypotenusen-Quadrat , welches unterhalb der Hypotenuse liegt, in zwei Teile.

Die Flächen dieser Teile lassen sich mit q·c und p·c berechnen.

Die Flächeninhalte dieser neuen Rechtecke entsprechen nun nach dem Kathetensatz den Flächeninhalten der Quadrate der beiden Katheten:

Diese beiden Beziehungen werden Kathetensatz des Euklid genannt:

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Katheten a und b sowie Hypotenuse c. Die Höhe h auf die Seite c zerlegt diese in zwei Teile p und q, wobei p an der Kathete a und q an der Kathete b anliegt.

Dann gelten die Beziehungen:

Der Kathetensatz – Beweis

Um den Kathetensatz zu beweisen, benötigen wir ein wenig Vorwissen. Du musst dafür den Satz des Pythagoras und den Höhensatz des Euklid kennen.

Höhensatz des Euklid: h2=p·q

Satz des Pythagoras: a2+b2=c2

Da die Höhe h unser ursprüngliches rechtwinkliges Dreieck wiederum in zwei kleinere Dreiecke teilt, haben wir am Ende insgesamt drei rechtwinklige Dreiecke:

Kathetensatz Dreieck Beweis StudySmarter

Abbildung 2: Die drei Dreiecke

Das führt zu folgenden Beziehungen:

  • (1)
  • (2)
  • (3)

Außerdem gilt die Beziehung:

  • (4)

Beweis für

Aus unseren aufgestellten Beziehungen wissen wir, dass gilt:

lässt sich durch ersetzen (dies kommt aus dem Höhensatz):

Durch Ausklammern von p erhalten wir die folgende Gleichung:

Jetzt können wir durch ersetzen, da wir wissen, dass (4) gilt:

Damit erhalten wir den Kathetensatz.

Beweis für

Wie bei unserem vorherigen Beweis, gelten auch hier die Beziehungen, die wir aufgestellt haben. Die Rechenschritte stimmen überein:

Der Kathetensatz – Umkehrung

Der Kathetensatz lässt sich auch umkehren. Durch die Umkehrung des Kathetensatzes lässt sich also beweisen, dass ein beliebiges gegebenes Dreieck rechtwinklig ist.

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit Seiten a, b und c, wobei c die längste Seite sei. Die Höhe hc auf die Seite c teilt diese in zwei Abschnitte p und q, wobei der Abschnitt p an der Seite a, der Abschnitt q an der Seite b anliegt.

Gelten nun die Beziehungen a2=p·c und b2=q·c, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig mit rechtem Winkel am Punkt C.

Haben wir also ein beliebiges Dreieck gegeben, können wir mithilfe von Flächenberechnungen überprüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Stimmen diese Flächenbeziehungen nicht überein, ist das gegebene Dreieck nicht rechtwinklig.

Der Kathetensatz – Aufgaben

Um den Kathetensatz einzuüben, kannst du folgende Aufgaben lösen:

Aufgabe 1

Berechne die Länge der Kathete a in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Länge der Hypotenuse c beträgt 20 cm und die Länge des Hypotenusen-Abschnittes p beträgt 5 cm.

Lösung

Durch die Beziehung können wir den Flächeninhalt des Katheten-Quadrats an der Seite a berechnen:

Wenn wir jetzt wissen wollen, wie lang die Seite a ist, müssen wir nur noch die Wurzel ziehen:

Aufgabe 2

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse c mit 20 cm gegeben und die Länge der Kathete a mit 15 cm.

Wie lang ist die Kathete b?

Lösung

Durch Umstellen der Gleichung a2=p·c können wir ermitteln, wie lang der Hypotenusen-Abschnitt p ist:

p=a2 :cp=(15 cm)2 :20 cm=225 cm2 :20 cm=11,25 cm

Im nächsten Schritt berechnen wir, wie lang der Hypotenusen-Abschnitt q ist:

q=c-p=20 cm-11,25 cm=8,75 cm

Nun nutzen wir die Gleichung , um die Länge der Seite b zu berechnen:

b2=8,75 cm·20 cm=175 cm2b=175 cm213,23 cm

Jetzt hast du alles Wichtige zum Kathetensatz des Euklid gelernt.

Kathetensatz - Das Wichtigste

  • Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat über der Kathete genauso groß ist wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem Hypotenusen-Abschnitt, der an der Kathete anliegt.
  • Kathetensatz des Euklid: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Katheten a und b sowie Hypotenuse c. Die Höhe h auf die Seite c zerlegt diese in zwei Teile p und q, wobei p an der Kathete a und q an der Kathete b anliegt.
  • Dann gelten die Beziehungen:

    - Der Kathetensatz lässt sich nur in rechtwinkligen Dreiecken anwenden.

    - Der Kathetensatz gehört zu der Satzgruppe des Pythagoras.

    - Der Kathetensatz lässt sich umkehren.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kathetensatz

Der Kathetensatz setzt eine Kathete ins Verhältnis zum anliegenden Hypotenusenabschnitt. In Worten ausgedrückt besagt der Kathetensatz, dass das Quadrat über der Kathete genauso groß ist wie das Rechteck aus der Hypotenuse c mal dem Hypotenusenabschnitt, der an der Kathete anliegt.

Der Kathetensatz besagt, dass gilt:

  • a² = p ·  c
  • b² = q ·  c

Die Katheten sind die beiden Seiten, in einem rechtwinkligen Dreieck, die den rechten Winkel einschließen.

Den Kathetensatz verwendet man zur Berechnung in rechtwinkligen Dreiecken.

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