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Kreis

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Kreis

Der Kreis ist eine der wichtigsten Formen der Geometrie. In mathematischen Berechnungen wirst du des Öfteren ein paar Formeln bezüglich des Kreises wissen müssen. Aber keine Sorge, in diesem Artikel erklären wir dir alles zum Kreis und die verschiedenen Formeln, die du für Berechnungen des Kreises brauchst!

Eigenschaften eines Kreises

Ein Kreis ist eine Figur der ebenen Geometrie. Ein Kreis besteht aus einer Menge von Punkten, die alle denselben konstanten Abstand zu einem bestimmten Mittelpunkt haben. Der Abstand dieser Punkte zum Mittelpunkt nennt man Radius und ist immer eine positive reelle Zahl.

via mein-lernen.at

In der oberen Abbildung siehst du den Radius r. Der Durchmesser d ist immer das doppelte des Radius. M markiert den Mittelpunkt. Hat ein Kreis einen Durchmesser von 1, dann hat er auch einen Umfang von genau pi (π). Der Kreis besitzt eine sehr hohe Symmetrie. Deshalb bildet jede Gerade, die durch den Mittelpunkt geht, eine Symmetrieachse.

So berechnest du den Umfang eines Kreises

Die Formel für das Berechnen des Kreisumfangs lässt sich relativ einfach herleiten. Stell dir einen Kreis mit einem Durchmesser von 1 vor. Wenn du diesen ausrollst, wirst du sehen, dass der Umfang genau π beträgt, also ungefähr 3,14. Die Formel für die Berechnung des Umfangs lautet also U = d x π. So erhältst du bei einem Durchmesser von 1 den Umfang π, da π multipliziert mit 1 wieder π ergibt. Da du zur Berechnung des Kreisumfangs die Zahl π verwenden musst, ist es vorteilhaft diese Berechnungen mit dem Taschenrechner zu machen.

Beispielrechnungen zum Umfang eines Kreises

Berechne den Umfang von einem Kreis mit dem Durchmesser 4,2.

U = π x 4,2 = 13,19

Berechne den Umfang von einem Kreis mit dem Radius 3,5.

U = 2 x 3,5 x π = 21,99

So berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises

Die Herleitung für die Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises ist schon etwas komplizierter. Aber wir wissen, dass die Berechnung eines Rechtecks ziemlich simpel ist, man multipliziert nämlich nur Länge und Breite miteinander. Das versuchen wir nun auch beim Kreis zu erreichen, indem wir ihn in mindestens 16 gleich große Kreis-Sektoren zerteilen.

Die Kreis-Sektoren kannst du so anordnen, dass eine Figur entsteht die einem Rechteck ähnelt. Hierbei entspricht die Breite des “Rechtecks” dem Radius des Kreises und die Länge dem halben Umfang. Durch einfügen und wegkürzen entsteht so die Formel A = r² x π, die den Flächeninhalt A des Kreises beschreibt.

Beispielrechnungen zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 3,1.

A = π x 3,1² = 30,19

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Durchmesser 9.

A = π x 4,5² = 63,61

So berechnest du die Sektorfläche eines Kreises

Ein normaler Kreis hat immer einen 360 Grad Innenwinkel. Wird der Kreis aber in Sektoren aufgeteilt, hat dieser einen kleineren Winkel, und auch eine kleinere Fläche.

Willst du also die Sektorfläche eines bestimmten Sektors des Kreises berechnen, musst du erst das Verhältnis zwischen dem Winkel α des Sektors zu 360 Grad herausfinden. Dieses Verhältnis zeigt nämlich auch den Anteil des Flächeninhalts des Sektors vom Flächeninhalt des ganzen Kreis.

Erst muss also der Winkel α durch 360 Grad dividiert werden um das Verhältnis heraus zu finden. Dieses Verhältnis wird dann mit dem Flächeninhalt des gesamten Kreises multipliziert. Die Formel für die Berechnung der Sektorfläche lautet also:

A = (α / 360∘) x π x r²

Beispielrechnungen zur Sektorfläche eines Kreises

Bestimme die Sektorfläche eines 30 Grad Sektors in einem Kreis mit einem Durchmesser von 10.

A = (α / 360∘) x π x r² = (30/360) x π x 5² = 6,54

Bestimme die Sektorfläche eines 50 Grad Sektors in einem Kreis mit einem Radius von 7.

A = (α / 360∘) x π x r² = (50/360) x π x 7² = 21,38

So berechnest du die Kreisbogenlänge

Hast du einen Kreissektor, kannst du auch die Bogenlänge b des Sektors berechnen. Auch hier geht es wieder um das Verhältnis zwischen Gradzahl des Sektors und dem vollen Innenwinkel des Kreises von 360 Grad. Nur wird hierbei das Verhältnis auf den Umfang übertragen und nicht auf den Flächeninhalt.

Die Formel lautet also:

b = (α / 360∘) x 2 x r x π.

Beispielrechnung zur Kreisbogenlänge

Bestimme die Kreisbogenlänge eines 30 Grad Sektors in einem Kreis mit einem Durchmesser von 10.

b = (α / 360∘) x 2 x r x π = (30/360) x 2 x 5 x π = 2,62

Bestimme die Kreisbogenlänge eines 50 Grad Sektors in einem Kreis mit einem Radius von 7.

b = (α / 360∘) x 2 x r x π = (50/360) x 2 x 7 x π = 6,11

Das Wichtigste zum Kreis und den Berechnungsformeln auf einen Blick!

Der Kreis ist eine der wichtigsten geometrischen Formen der Ebene, weshalb du oft Berechnungen am Kreis machen musst. Deshalb haben wir dir im folgenden Absatz nochmal die wichtigsten Formeln in einer Tabelle zusammengefasst, damit du diese schnell und einfach lernen kannst:

Begriff

Formel

Umfang

U = d x π

Kreisfläche

A = r² x π

Kreisbogenlänge

b = (α / 360∘) x 2 x r x π

Sektorfläche

A(s) = (α / 360∘) x π x r²

Wenn du mehr über die Geometrie wissen willst, schau doch auf unserer StudySmarter-App vorbei, wo es viele tolle STARK-Inhalte zu dem Thema gibt.

Finales Kreis Quiz

Frage

Gib an, wie die mathematische Bezeichnung für den Kreisbogen lautet.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisbogen wird mit einem bezeichnet. 

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, worauf die Formel für den Kreisbogen b basiert.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel basiert auf der Formel für den Umfang U des Kreises

Frage anzeigen

Frage

Vergleiche den Kreisbogen b und die Kreissehne s

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Kreissehne und dem Kreisbogen handelt es sich um Kreisteile

Ein Kreisbogen entsteht, indem zwei Punkte, die auf einem Kreis k liegen, entlang des Verlaufs des Kreises miteinander verbunden werden. Der Kreisbogen liegt also auf der Kreislinie des Kreises. 

Die Kreissehne hingegen verbindet die beiden Punkte auf dem Kreis auf direktem Weg miteinander und liegt daher nicht auf der Kreislinie. 

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was ein Kreisbogen ist. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises k. Der Kreisbogen ist daher der Umfang eines Kreisausschnitts


Frage anzeigen

Frage

​Bewerte, ob die Länge eines Kreisbogens b größer sein kann als der Umfang U des Kreises.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, das ist nicht möglich, da es sich bei dem Kreisbogen b um einen Teil des Umfangs des Kreises handelt. Der Kreisbogen b kann daher höchstens so groß sein wie der Umfang U des Kreises. 

Frage anzeigen

Frage

​Nenne einen anderen Namen für den Kreisausschnitt eines Kreises. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisausschnitt kann auch Kreissektor genannt werden. 

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was ein Kreisausschnitt ist, indem du ihn mit einem Kuchenstück vergleichst.


Antwort anzeigen

Antwort

Angenommen, man hat einen runden Kuchen gebacken und ist gerade dabei das erste Stück des Kuchens anzuschneiden. 

Wenn man den Kuchen nun von oben betrachtet, entspricht der gesamte Kuchen einem Kreis und das geschnittene Kuchenstück dem Kreisausschnitt. 

Frage anzeigen

Frage

Vergleiche den Kreisausschnitt mit dem Kreisabschnitt

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisausschnitt ist die Fläche zwischen zwei Radien und dem Kreisbogen b des Kreises. 

Der Kreisabschnitt ist die Fläche zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s des Kreises. 

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wann ein Kreisausschnitt entsteht. 


Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Punkte A und B auf der Kreislinie eines Kreises liegen, dann ist der Kreisausschnitt bzw. Kreissektor genau die Fläche, die von den beiden Radien, die durch den Punkt A bzw. Punkt B und den Mittelpunkt M verlaufen, und dem Kreisbogen b zwischen den Punkten A und B begrenzt wird.

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob ein Kreisausschnitt größer sein kann als der Gesamtkreis

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, der Kreisausschnitt kann nicht größer sein als sein Ausgangskreis. 

Der Kreisausschnitt ist eine Teilfläche der Gesamtfläche des Kreises und damit höchstens so groß wie der Kreis selbst

Frage anzeigen

Frage

Bewerte, ob es sich bei der Fläche zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s des Kreises um den Kreisausschnitt des Kreises handelt. 


Antwort anzeigen

Antwort

Nein, es handelt sich um den Kreisabschnitt des Kreises. 

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Kreissegment.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Kreissegment ist eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einer Kreissehne und dem dazugehörigem Kreisbogen begrenzt wird.

Frage anzeigen

Frage

Nenne eine andere Bezeichnung für das Kreissegment.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Kreissegment wird auch Kreisabschnitt genannt.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, welche Flächeninhalte du kennen musst, um den Flächeninhalt eines Kreissegments berechnen zu können.

Antwort anzeigen

Antwort

Damit der Flächeninhalt eines Kreissegments berechnet werden kann, muss man den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks und des zugehörigen Kreisausschnitts kennen.

Frage anzeigen

Frage

Das Kreissegment entspricht bei einem Mittelpunktswinkel von 180° einer bestimmten Teilfläche des Kreises. Welche ist es?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Kreissegment entspricht bei einem Winkel von 180° einem Halbkreis.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wann der Flächeninhalt des Kreisausschnitts größer ist als der Flächeninhalt des Kreissegments.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts ist größer als der Flächeninhalt des Kreissegments, wenn der zugehörige Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist.


Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts und des Kreissegments sind gleich groß, wenn der zugehörige Mittelpunktswinkel gleich 180° ist.


Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts ist kleiner als der Flächeninhalt des Kreissegments, wenn der zugehörige Mittelpunktswinkel größer als 180° ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Umfang eines Kreises?

Antwort anzeigen

Antwort

Stell dir vor, du hast ein Seil vor dir, das einen Kreis bildet. Wenn du dieses Seil jetzt an einer Stelle aufschneidest und wie eine Linie vor dich hinlegst, dann ist das der Umfang eines Kreises.


Der Umfang eines Kreises ist also die Länge der Linie, die den Kreis bildet.


Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen einem Kreis und einer Kugel?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Kreis ist eine Figur im Zweidimensionalen. Im Dreidimensionalen wird diese Figur dann Kugel genannt.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang U eines Kreises mit dem Radius r = 5 cm.


Antwort anzeigen

Antwort

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius r = 5 cm beträgt 31,41 cm.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang U eines Kreises mit dem Durchmesser d = 2 cm.


Antwort anzeigen

Antwort

Der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d = 2 cm beträgt gerundet 6,28 cm.

Frage anzeigen

Frage

Was ist π?

Antwort anzeigen

Antwort

π (pi) ist die unendliche Kreiszahl, welche ungefähr 3,14 beträgt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Kreis?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Kreis ist eine runde, in sich geschlossene Linie, bei der alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Flächeninhalt?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe seiner Fläche. Er ist abhängig vom Radius r beziehungsweise dem Durchmesser d.

Frage anzeigen

Frage

In welcher Einheit wird der Flächeninhalt angegeben?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt wird in der Regel in mm2, cm2, m2 oder km2 angegeben.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Umfang eines Kreisrings?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umfang eines Kreisrings ist die Länge der Strecke um den Kreisring herum addiert mit der Länge der Strecke, die den Kreisring innen begrenzt. Er ist abhängig vom Radius r beziehungsweise dem Durchmesser d.

Frage anzeigen

Frage

In welcher Einheit wird der Umfang angegeben?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umfang wird normalerweise in mm (Millimeter), cm (Zentimeter), m (Meter) oder km (Kilometer) angegeben.

Frage anzeigen

Frage

Was braucht man für die Herleitung der Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreisrings?

Antwort anzeigen

Antwort

Man braucht:

  1. Die Formel für den Umfang eines Kreises
  2. Die Definition des Kreisrings
Frage anzeigen

Frage

Wie erhält man den Umfang eines Kreisrings? Erkläre!

Antwort anzeigen

Antwort

Du berechnest den Umfang des großen Kreises und addierst dann den Umfang des kleinen Kreises dazu. Und schon hast du die Summe der Umfänge des großen und des kleinen Kreises, also den Kreisring.

Frage anzeigen

Frage

In welcher Einheit wird die Ringbreite angegeben?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ringbreite wird normalerweise in mm (Millimeter), cm (Zentimeter), m (Meter) oder km (Kilometer) angegeben.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel.

Frage anzeigen

Frage

Wie werden die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, welche gleichzeitig die Seite gegenüber des rechten Winkels ist, wird Hypotenuse genannt. 

Die Seite, die am betrachteten Winkel anliegt, wird Ankathete genannt. 

Die Seite, die dem betrachteten Winkel gegenüberliegt, wird Gegenkathete genannt.

Frage anzeigen

Frage

Vervollständige den Satz:

Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des ____________.

Antwort anzeigen

Antwort

Kreiswinkelsatzes

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Satz des Thales?

Antwort anzeigen

Antwort

Wird ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises konstruiert, so entsteht immer ein rechtwinkliges Dreieck.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kreiswinkelsatz?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreiswinkelsatz besagt, dass der Mittelpunktwinkel eines Kreisbogens doppelt so groß ist, wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen dem allgemeinen Kreiswinkelsatz und dem Satz des Thales?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Unterschied zum Satz des Thales liegt darin, dass bei diesem die Punkte A und B genau den Abstand des Durchmessers eines Kreises haben und dadurch nur einen Winkel γ bilden. Der Mittelpunktswinkel liegt ja direkt auf der Verbindungsstrecke von A und B. Dieser Winkel γ beträgt, unabhängig vom Punkt C immer 90°.

Frage anzeigen

Frage

Wo findet der Satz des Thales Anwendung?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit der Hilfe der Umkehrung des Satz des Thales können Aussagen über Streckenlängen bei Dreiecken getroffen werden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Thaleskreis?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Halbkreis um das Dreieck herum wird als Thaleskreis bezeichnet. Er ist nichts anderes als ein Halbkreis, der durch den Durchmesser getrennt wird.

Frage anzeigen

Frage

Kann mit dem Satz des Thales ein Rechteck konstruiert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

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Frage

Wie ist ein Kreis definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r habenwird als Kreis bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Wie definiert sich eine Gerade?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gerade ist eine gerade Linie, welche beidseitig unendlich lang ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie definiert sich eine Strecke?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Strecke ist eine gerade Linie, welche durch einen Anfangspunkt und einen Endpunkt begrenzt wird. 

Frage anzeigen

Frage

Wie können Geraden an einem Kreis liegen?

Antwort anzeigen

Antwort

Geraden können den Kreis schneiden (Sekante), den Kreis berühren (Tangente) und den Kreis weder schneiden noch berühren, also einfach an ihm vorbei gehen. (Passante). 

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Sekante?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Sekante ist eine Gerade, welche den Kreis schneidet. Die Sekante hat zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Tangente?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Tangente ist eine Gerade, welche den Kreis in einem Punkt berührt. Dieser Punkt heißt Berührpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Passante?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Passante ist eine Gerade, welche den Kreis weder berührt noch schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Sehne?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Sehne ist eine Strecke innerhalb des Kreises. Die Sehne hat ihren Anfangspunkt und Endpunkt auf dem Kreis.

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt die besondere Sehne, welche durch den Mittelpunkt des Kreises geht?

Antwort anzeigen

Antwort

Durchmesser

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt die besondere Sekante, welche durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Zentrale

Frage anzeigen

Frage

Wie ist der Radius definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Radius eines Kreises ist die Entfernung zwischen Kreismittelpunkt und einem beliebigem Punkt auf der Kreislinie. 

Frage anzeigen

Frage

Wie ist der Durchmesser definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Durchmesser ist eine Strecke innerhalb des Kreises, welche durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft und zwei sich gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis verbindet. 

Frage anzeigen
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