Kreis
Der Kreis ist eine der wichtigsten Formen der Geometrie. In mathematischen Berechnungen wirst du des Öfteren ein paar Formeln bezüglich des Kreises wissen müssen. Aber keine Sorge, in diesem Artikel erklären wir dir alles zum Kreis und die verschiedenen Formeln, die du für Berechnungen des Kreises brauchst!
Eigenschaften eines Kreises
Ein Kreis ist eine Figur der ebenen Geometrie. Ein Kreis besteht aus einer Menge von Punkten, die alle denselben konstanten Abstand zu einem bestimmten Mittelpunkt haben. Der Abstand dieser Punkte zum Mittelpunkt nennt man Radius und ist immer eine positive reelle Zahl.
via mein-lernen.at
In der oberen Abbildung siehst du den Radius r. Der Durchmesser d ist immer das doppelte des Radius. M markiert den Mittelpunkt. Hat ein Kreis einen Durchmesser von 1, dann hat er auch einen Umfang von genau pi (π). Der Kreis besitzt eine sehr hohe Symmetrie. Deshalb bildet jede Gerade, die durch den Mittelpunkt geht, eine Symmetrieachse.
So berechnest du den Umfang eines Kreises
Die Formel für das Berechnen des Kreisumfangs lässt sich relativ einfach herleiten. Stell dir einen Kreis mit einem Durchmesser von 1 vor. Wenn du diesen ausrollst, wirst du sehen, dass der Umfang genau π beträgt, also ungefähr 3,14. Die Formel für die Berechnung des Umfangs lautet also U = d x π. So erhältst du bei einem Durchmesser von 1 den Umfang π, da π multipliziert mit 1 wieder π ergibt. Da du zur Berechnung des Kreisumfangs die Zahl π verwenden musst, ist es vorteilhaft diese Berechnungen mit dem Taschenrechner zu machen.
Beispielrechnungen zum Umfang eines Kreises
Berechne den Umfang von einem Kreis mit dem Durchmesser 4,2.
U = π x 4,2 = 13,19
Berechne den Umfang von einem Kreis mit dem Radius 3,5.
U = 2 x 3,5 x π = 21,99
So berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises
Die Herleitung für die Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises ist schon etwas komplizierter. Aber wir wissen, dass die Berechnung eines Rechtecks ziemlich simpel ist, man multipliziert nämlich nur Länge und Breite miteinander. Das versuchen wir nun auch beim Kreis zu erreichen, indem wir ihn in mindestens 16 gleich große Kreis-Sektoren zerteilen.
Die Kreis-Sektoren kannst du so anordnen, dass eine Figur entsteht die einem Rechteck ähnelt. Hierbei entspricht die Breite des “Rechtecks” dem Radius des Kreises und die Länge dem halben Umfang. Durch einfügen und wegkürzen entsteht so die Formel A = r² x π, die den Flächeninhalt A des Kreises beschreibt.
Beispielrechnungen zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises
Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 3,1.
A = π x 3,1² = 30,19
Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Durchmesser 9.
A = π x 4,5² = 63,61
So berechnest du die Sektorfläche eines Kreises
Ein normaler Kreis hat immer einen 360 Grad Innenwinkel. Wird der Kreis aber in Sektoren aufgeteilt, hat dieser einen kleineren Winkel, und auch eine kleinere Fläche.
Willst du also die Sektorfläche eines bestimmten Sektors des Kreises berechnen, musst du erst das Verhältnis zwischen dem Winkel α des Sektors zu 360 Grad herausfinden. Dieses Verhältnis zeigt nämlich auch den Anteil des Flächeninhalts des Sektors vom Flächeninhalt des ganzen Kreis.
Erst muss also der Winkel α durch 360 Grad dividiert werden um das Verhältnis heraus zu finden. Dieses Verhältnis wird dann mit dem Flächeninhalt des gesamten Kreises multipliziert. Die Formel für die Berechnung der Sektorfläche lautet also:
A = (α / 360∘) x π x r²
Beispielrechnungen zur Sektorfläche eines Kreises
Bestimme die Sektorfläche eines 30 Grad Sektors in einem Kreis mit einem Durchmesser von 10.
A = (α / 360∘) x π x r² = (30/360) x π x 5² = 6,54
Bestimme die Sektorfläche eines 50 Grad Sektors in einem Kreis mit einem Radius von 7.
A = (α / 360∘) x π x r² = (50/360) x π x 7² = 21,38
So berechnest du die Kreisbogenlänge
Hast du einen Kreissektor, kannst du auch die Bogenlänge b des Sektors berechnen. Auch hier geht es wieder um das Verhältnis zwischen Gradzahl des Sektors und dem vollen Innenwinkel des Kreises von 360 Grad. Nur wird hierbei das Verhältnis auf den Umfang übertragen und nicht auf den Flächeninhalt.
Die Formel lautet also:
b = (α / 360∘) x 2 x r x π.
Beispielrechnung zur Kreisbogenlänge
Bestimme die Kreisbogenlänge eines 30 Grad Sektors in einem Kreis mit einem Durchmesser von 10.
b = (α / 360∘) x 2 x r x π = (30/360) x 2 x 5 x π = 2,62
Bestimme die Kreisbogenlänge eines 50 Grad Sektors in einem Kreis mit einem Radius von 7.
b = (α / 360∘) x 2 x r x π = (50/360) x 2 x 7 x π = 6,11
Das Wichtigste zum Kreis und den Berechnungsformeln auf einen Blick!
Der Kreis ist eine der wichtigsten geometrischen Formen der Ebene, weshalb du oft Berechnungen am Kreis machen musst. Deshalb haben wir dir im folgenden Absatz nochmal die wichtigsten Formeln in einer Tabelle zusammengefasst, damit du diese schnell und einfach lernen kannst:
Begriff | Formel |
Umfang | U = d x π |
Kreisfläche | A = r² x π |
Kreisbogenlänge | b = (α / 360∘) x 2 x r x π |
Sektorfläche | A(s) = (α / 360∘) x π x r² |
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