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Kreis

Was haben ein Riesenrad, eine Uhr und die Reifen eines Autos gemeinsam? Richtig – sie haben die Form eines Kreises.

Der Kreis ist eine der wichtigsten Formen der Geometrie. In der Mathematik wird der Kreis des Öfteren auftauchen. Aber keine Sorge, in diesem Lernset wird Dir alles zum Thema Kreis und den verschiedenen Formeln, die Du für Berechnungen am Kreis benötigst, erklärt!

Kreis – Definition & Eigenschaften

Ein Kreis ist eine Figur der ebenen Geometrie.

Ein Kreis besteht aus einer Menge von Punkten, die alle denselben konstanten Abstand zum Mittelpunkt M haben. Der Abstand dieser Punkte zum Mittelpunkt wird auch Radius r genannt und ist immer eine positive reelle Zahl.

Kreis Radius und Durchmesser StudySmarterAbbildung 1 – Kreis mit Durchmesser d und Radius r

In der oberen Abbildung siehst Du den Radius r. Der Durchmesser d ist immer das Doppelte des Radius r. Der Punkt M markiert den Mittelpunkt. Hat ein Kreis einen Durchmesser \(d=1\), so besitzt er einen Umfang von pi (\(\pi\)). Ein Kreis ist sowohl punktsymmetrisch als auch achsensymmetrisch. Er hat unendlich viele Symmetrieachsen. Das sind diejenigen Geraden, die durch den Mittelpunkt M verlaufen.

Kreiszahl \(\pi\) – Definition

Die sogenannte Kreiszahl \(\pi\), ausgesprochen "Pi", beschreibt ein bestimmtes Verhältnis im Kreis.

Die Kreiszahl \(\pi\) ist das Verhältnis zwischen dem Umfang U eines Kreises und dessen Durchmesser d:\[\pi=\frac{U}{d}\]

Das Verhältnis ist unabhängig von der Größe für alle Kreise gleich. Näherungsweise lautet die Zahl:

\[\pi=\text{3,14159}\]

Kreis berechnen

Am Kreis kannst Du verschiedene Größen berechnen, wie z. B. den Umfang oder Flächeninhalt.

Umfang Kreis

Was ist der Umfang eines Kreises überhaupt?

Stell Dir vor, Du legst mit einer Schnur einen Kreis. Die Länge der Schnur ist dann der Umfang des entsprechenden Kreises.

Der Umfang eines Kreises ist also die Länge der Linie, die den Kreis bildet. Er wird mit dem Buchstaben U abgekürzt.

Kreis Umfang StudySmarterAbbildung 2 Umfang U eines Kreises

Die Formel für das Berechnen des Kreisumfangs lässt sich mit wenigen Schritten herleiten.

Stell Dir vor, Du legst mit der Schnur einen Kreis mit einem Durchmesser \(d=1\). Wenn Du diese ausrollst, wirst Du sehen, dass der Umfang genau \(\pi\) beträgt.

Die Formel für die Berechnung des Umfangs U eines Kreises mit Durchmesser \(d\) lautet \[U=d \cdot \pi\]

Anstelle des Durchmessers d kannst Du für die Berechnung auch den doppelten Radius verwenden, also\[U=2r \cdot \pi\]

Mehr zum Kreisumfang erfährst Du in der Erklärung Umfang Kreis.

Flächeninhalt Kreis

Der Flächeninhalt eines Kreises ist die Fläche, die mit dem Umfang des Kreises eingeschlossen wird.

Der Flächeninhalt eines Kreises ist das Maß für die Größe der Kreisfläche. Er ist abhängig vom Radius r beziehungsweise dem Durchmesser d.

Der Flächeninhalt von Figuren wird mit dem Buchstaben A abgekürzt.

Kreis Flächeninhalt StudySmarterAbbildung 3 Flächeninhalt A eines Kreises

Für die Berechnung des Flächeninhalts A eines Kreises gibt es ebenfalls eine Formel.

Der Flächeninhalt A eines Kreises mit Radius \(r\) wird mit der Formel \[A=r^2 \cdot \pi\] berechnet.

Hier kannst Du anstelle des Radius den halben Durchmesser nutzen, also \[A=\left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot \pi\].

Wenn Du mehr über den Flächeninhalt eines Kreises erfahren willst, schau am besten in der Erklärung Flächeninhalt Kreis.

Kreisteile

Ein Kreis kann in verschiedene Kreisteile aufgeteilt werden. Dazu gehören der Kreisbogen, der Kreissektor bzw. Kreisausschnitt und das Kreissegment.

Kreisteile sind Teilmengen eines Kreises. Sie können unterschiedlich aussehen.

Die einzelnen Kreisteile sind in folgender Tabelle genauer beschrieben.

Kreissektor

Der Kreisbogen ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises.

Der Kreissektor, auch Kreisausschnitt genannt, ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, der zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen liegt.

Das Kreissegment wird auch Kreisabschnitt genannt und ist in der Geometrie eine Teilfläche der Kreisfläche, die von einer Sehne und dem dazugehörigen Kreisbogen umschlossen wird.

Ein Kreisring ist die Fläche, welche zwischen zwei unterschiedlich großen Kreisen mit demselben Mittelpunkt liegt. Aufgrund dessen hat ein Kreisring zwei verschiedene Radien: der Radius \(r_k\) des kleinen Innenkreises und der Radius \(r_g\) des größeren Außenkreises. Beide dieser Radien – und damit beide Kreise – haben den gleichen Mittelpunkt M.

Abb. 4 Kreisteile

Kreis Kreisteile StudySmarter

Abb. 5 Kreisring

Kreis Kreisring StudySmarter

Die Länge \(b\) des Kreisbogens kannst Du mit folgender Formel berechnen: \[ b= 2\cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\mu}{360^\circ}\]Den Flächeninhalt \(A_s\) eines Kreissektors berechnest du mit der Formel \[ A_s= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ}.\]Den Flächeninhalt Den Flächeninhalt \(A_a\) eines Kreissektors kannst Du mit folgender Formel berechnen:\[ A_a= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ}-\frac{1}{2} \cdot s \cdot (r-h).\]Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit dem Außenradius \(r_g\) und dem Innenradius \(r_k\) gilt: \[ A_k= \pi \cdot {r_g}^2-\pi \cdot {r_k}^2 .\]

Wenn Du mehr über die bestimmten Kreisteile erfahren möchtest, kannst Du Dir die Erklärung Kreisteile oder die einzelnen Erklärungen wie z.B. die Erklärung zu Kreisausschnitt oder Kreisbogen ansehen.

Satz des Thales – Definition

Der Satz des Thales ist ein wichtiger Satz in der Mathematik und bezieht sich auf den Halbkreisbogen, also einen halbierten Kreis.

Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Zentriwinkelsatzes, der besagt, dass alle Dreiecke an einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Wird ein Dreieck aus den beiden Endpunkten A und B des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt P dieses Halbkreises konstruiert, so entsteht immer ein rechtwinkliges Dreieck.

Kreis Satz des Thales StudySmarterAbbildung 6 Satz des Thales

Mehr zum Satz des Thales erfährst Du in der gleichnamigen Erklärung!

Kreis – Gradmaß & Bogenmaß

Das Gradmaß und das Bogenmaß lassen sich ebenfalls am Kreis verdeutlichen.

Um einen Winkel zu beschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten: das Gradmaß und das Bogenmaß. Beides sind Winkelmaße, mit denen die Größe eines Winkels dargestellt wird. Jeder Winkel besitzt einen Wert im Gradmaß und einen Wert im Bogenmaß.

Der genaue Zusammenhang erklärt sich am Einheitskreis:

Kreis Gradmaß Bogenmaß StudySmarterAbbildung 7 – Gradmaß und Bogenmaß

Dargestellt ist ein Winkel im Einheitskreis. Das Gradmaß beschreibt hier den Winkel \(\alpha\) in Grad, das Bogenmaß \(x\) ist die entsprechende Länge des Bogens, die der Teil des Kreises hat, der zum entsprechenden Winkel gehört. Wie Du schon weißt, hat der Umfang bzw. die Bogenlänge oft mit der Kreiszahl \(\pi\) zu tun, weshalb das Bogenmaß oft mit \(\pi\) dargestellt wird.

Du kannst das Gradmaß und das Bogenmaß ineinander umrechnen. Die entsprechenden Formeln dafür findest Du hier:

Gradmaß in Bogenmaß umrechnenBogenmaß in Gradmaß umrechnen

\[x=\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi\]

\[\alpha=\frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ\]

Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung Gradmaß in Bogenmaß.

Kreis – Tangente, Sekante & Passante

Tangenten, Passanten und Sekanten am Kreis sind Geraden mit besonderer Lage zum Kreis. Ihre Lage ist dabei entscheidend für ihre Bezeichnung. Wie genau diese Geraden aussehen können, siehst Du in der folgenden Tabelle.

Tangente
Sekante
Passante

Eine Tangente t ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt P berührt.

Eine Gerade wird Sekante s genannt, wenn sie eine Figur in mindestens zwei Punkten schneidet. In einem Kreis hat eine Sekante genau zwei Schnittpunkte P und Q.

Eine Passante p ist eine Gerade, welche den Kreis weder schneidet noch berührt. Sie „passiert“ den Kreis sozusagen. Die Passante hat mit dem Kreis keine gemeinsamen Punkte.

Abb. 8 Tangente

Kreis Tangente StudySmarter

Abb. 9 Sekante

Kreis Sekante StudySmarter

Abb. 10 Passante

Kreis Passante StudySmarter

Mehr zu diesen Geraden erfährst Du in der Erklärung Geraden am Kreis.

Winkel am Kreis

Winkel am Kreis – die gibt es wirklich. Sie entstehen zum Beispiel durch die Unterteilung eines Kreises in Kreissektoren oder Kreisbögen.

Welche Winkel es gibt und wo sie liegen kannst Du der folgenden Tabelle und der Abbildung entnehmen.

PeripheriewinkelMittelpunktswinkelSehnentangentenwinkel
Der Peripheriewinkel \(\phi\), auch Umfangswinkel oder Randwinkel genannt, liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen. Das bedeutet, dass es mehrere Peripheriewinkel gibt.Der Scheitel des Mittelpunktswinkels \(\mu\), auch Zentriwinkel genannt, liegt im Mittelpunkt des Kreises. Seine Schenkel schneiden genau die Punkte, die den Kreisbogen begrenzen.Ein Sehnentangentenwinkel \(\tau\) zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne \(\overline{AB}\) und der Tangente t am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B.

Abb. 11 Winkel am Kreis

Kreis Winkel am Kreis StudySmarter

Genaueres zu den einzelnen Winkeln erfährst Du in den Erklärungen Peripheriewinkelsatz, Mittelpunktswinkel und Sehnentangentenwinkel.

Kreis Formeln

Der Kreis ist eine der wichtigsten geometrischen Formen der Ebene, weshalb Du oft Berechnungen am Kreis machen musst. Dafür hast Du im folgenden Absatz noch mal die wichtigsten Formeln in einer Tabelle zusammengefasst.

Begriff

Formel

Umfang

\[U=d \cdot \pi\]

Kreisfläche

\[A=r^2 \cdot \pi\]

Kreisbogenlänge

\[b=d \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\]

Sektorfläche

\[A_s=r^2 \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\]

Kreisringfläche

\[ A_k= \pi \cdot {r_g}^2-\pi \cdot {r_k}^2 \]

Gradmaß in Bogenmaß

\[x=\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi\]

Bogenmaß in Gradmaß

\[\alpha=\frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ\]

Kreis – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Kreis ist eine runde, in sich geschlossene Linie, bei der alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben.
  • Die Kreiszahl \(\pi\) ist das Verhältnis zwischen dem Umfang U eines Kreises und dessen Durchmesser d:\[\pi=\frac{U}{d}\]
  • Der Umfang eines Kreises ist also die Länge der Linie, die den Kreis bildet.
  • Der Flächeninhalt eines Kreises ist das Maß für die Größe der Kreisfläche.
  • Kreisteile sind Teilmengen eines Kreises. Dazu gehören der Kreisbogen, der Kreissektor, das Kreissegment und der Kreisring.
  • Der Satz des Thales besagt, dass alle Dreiecke an einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Wird ein Dreieck aus den beiden Endpunkten A und B des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt P dieses Halbkreises konstruiert, so entsteht immer ein rechtwinkliges Dreieck.
  • Um einen Winkel zu beschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten: das Gradmaß und das Bogenmaß. Beides sind Winkelmaße, mit denen die Größe eines Winkels dargestellt wird. Jeder Winkel besitzt einen Wert im Gradmaß und einen Wert im Bogenmaß.
  • Tangenten, Passanten und Sekanten am Kreis sind Geraden mit besonderer Lage zum Kreis.
    • Eine Tangente t ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt P berührt.
    • Eine Gerade wird Sekante s genannt, wenn sie den Kreis in zwei Punkten P und Q schneidet.
    • Eine Passante p ist eine Gerade, welche den Kreis weder schneidet noch berührt.
  • Am Kreis lassen sich verschiedene Winkel finden.
    • Der Peripheriewinkel \(\phi\) , auch Umfangswinkel oder Randwinkel genannt, liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen.
    • Der Scheitel des Mittelpunktswinkels \(\mu\), auch Zentriwinkel genannt, liegt im Mittelpunkt des Kreises.
    • Ein Sehnentangentenwinkel \(\tau\) zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne \(\overline{AB}\) und der Tangente t am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B.

Nachweise

  1. Aumann (2015). Kreisgeometrie. Eine elementare Einführung. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
  2. Seiler (1978). Der Kreis. Umfang und Fläche. SHG-Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreis

Die Formel für die Berechnung des Kreisumfangs lautet U = d x pi, wobei d der Kreisdurchmesser ist.

Ein Kreis besteht aus einer Menge von Punkten, die alle denselben konstanten Abstand zu einem bestimmten Mittelpunkt haben. Der Abstand dieser Punkte zum Mittelpunkt wird Radius genannt. Er ist immer eine positive reelle Zahl.

Am Kreis können über verschiedene Formeln der Umfang und der Flächeninhalt sowie die Fläche und Bogenlänge von Kreissektoren berechnet werden.

Eine Tangente am Kreis ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt P berührt.

Finales Kreis Quiz

Frage

Gib an, wie die mathematische Bezeichnung für den Kreisbogen lautet.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisbogen wird mit einem bezeichnet. 

Frage anzeigen

Frage

Ein Kreis besteht aus einer Menge von Punkten, die alle denselben konstanten Abstand zu einem bestimmten Mittelpunkt haben. 


Nenne den Namen des Abstandes dieser Punkte zum Mittelpunkt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Abstand der Punkte zum Mittelpunkt heißt man Radius r.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Der Radius ist immer das Doppelte des Durchmessers.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Der Durchmesser ist immer das Doppelte des Radius.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welchen Umfang ein Kreis mit Durchmesser \(d=1\) besitzt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Kreis mit Durchmesser \(d=1\) besitzt einen Umfang von \(\pi\).

Frage anzeigen

Frage

Zeichne einen beliebigen Kreis mit einer zugehörigen Symmetrieachse.

Antwort anzeigen

Antwort

Jede Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises ist eine Symmetrieachse. So kann Deine Zeichnung zum Beispiel so aussehen:



Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet \[U=d \cdot \pi.\] 

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel, mit der die Fläche eines Kreises berechnet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Fläche eines Kreises wird mit der Formel \[A=r^2 \cdot \pi\] berechnet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissektors.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Berechnung der Fläche eines Kreissektors mit gegebenem Mittelpunktswinkel \(\alpha\) erfolgt über die Formel \[A_s=r^2 \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel zur Berechnung der Bogenlänge eines Kreissektors.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel zur Berechnung der Bogenlänge eines Kreissektors lautet \[b=2\cdot r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo eine Tangente am Kreis liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Tangente t ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt P berührt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo eine Sekante am Kreis liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Sekante s ist eine Gerade, die den Kreis in genau zwei Punkten P und Q berührt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo eine Passante am Kreis liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Passante ist eine Gerade, welche den Kreis weder schneidet noch berührt. Sie geht am Kreis vorbei.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang eines Kreises mit Durchmesser \(d=7\, m\).

Antwort anzeigen

Antwort

Setze den gegebenen Durchmesser in die Umfangsformel ein. Die Rechnung lautet:

\[ U=\pi \cdot 7\, cm \approx 21,99\, m.\] 

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Flächeninhalt des Kreises mit dem Radius \(r=5\, mm\).

Antwort anzeigen

Antwort

Setze den gegebene Radius in die Flächeninhaltsformel des Kreises ein. Du erhältst:

\[A=(5\, mm)^2 \cdot \pi \approx 78,54\, mm^2.\] 

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des Kreissektors in einem Kreis mit Radius \(r=10 \,cm\)  bei gegebenem Mittelpunktswinkel \(\alpha=45^\circ\).

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} A_s&=(10\, cm)^2 \cdot \pi \cdot \frac{45^\circ}{360^\circ} \\ &=100\,cm^2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{8} \\ &\approx 39,27\, cm^2. \end{align}

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Kreisbogenlänge eines Kreissektors mit Durchmesser \(d=7 \,cm\) und Mittelpunktswinkel \(\alpha=45^\circ\).

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} b &=7\, cm \cdot \pi \cdot \frac{45^\circ}{360^\circ} \\ &= 7\,cm \cdot \pi \cdot \frac{1}{8} \\ &\approx 2,75\, cm.\end{align}

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