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Du siehst auf dem Nachhauseweg von der Schule ein Verkehrsschild mit der Form einer Raute. Nun wettest Du mit Deinen Freunden, dass Du es schaffst, die Höhe und die Breite des Schildes zu berechnen, wenn diese Dir sagen, wie lang die Seiten des Schildes sind.Genau mit dieser Frage, nämlich wie die Diagonale einer Raute berechnet wird und was diese überhaupt…
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Jetzt kostenlos anmeldenDu siehst auf dem Nachhauseweg von der Schule ein Verkehrsschild mit der Form einer Raute. Nun wettest Du mit Deinen Freunden, dass Du es schaffst, die Höhe und die Breite des Schildes zu berechnen, wenn diese Dir sagen, wie lang die Seiten des Schildes sind.
Genau mit dieser Frage, nämlich wie die Diagonale einer Raute berechnet wird und was diese überhaupt ist, wird sich dieser Beitrag beschäftigen.
Folgende Definition der Raute wird Dir einen klaren Überblick geben, welche individuellen Eigenschaften diese aufweist.
Die Raute gehört der Gruppe der Vierecke an und weist insgesamt vier Seiten auf, wobei die gegenüberliegenden Seiten parallel und die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind. Das wichtigste Merkmal der Raute ist, dass alle vier Seiten immer gleich lang sind und diese genau zwei Symmetrieachsen aufweist, nämlich die beiden Diagonalen. Die Figur ist am Diagonalenschnittpunkt sowohl achsen-, als auch punktsymmetrisch.
Eine Raute sieht demnach wie folgt aus:
Abbildung 2: Die Raute
Wird nun die Raute aus Abbildung 2 bzw. dessen Eigenschaften mit jenen eines Quadrats verglichen, haben diese sehr viele Gemeinsamkeiten, jedoch gibt es einen konkreten Unterschied. Nämlich dass beim Quadrat im Gegensatz zur Raute alle Winkel immer zwingend 90° groß sind.
Du musst in einer Hausaufgabe die Diagonale einer Raute berechnen, jedoch kannst Dich nicht erinnern, wie genau? Keine Sorge, nach dem Lesen des folgenden Abschnitts wirst Du zukünftige Hausaufgaben zur Berechnung der Diagonalen der Raute meistern.
Unter den Diagonalen der Raute wird in der Mathematik die Länge der vertikalen und horizontalen Strecke verstanden, welche zwei gegenüberliegende Eckpunkte dieser geometrischen Figur miteinander verbindet.
Die Raute hat zwei Diagonalen. Die horizontale Diagonale, welche die Eckpunkte D und B miteinander verbindet, wird als Strecke e bezeichnet. Die vertikale Diagonale, welche von A nach C reicht wird als Strecke f bezeichnet. Die Diagonalen stehen in der Raute immer normal zueinander, folglich bildet ihr Schnittpunkt 90° Winkel.
Um genau verstehen zu können, welche Linien der Raute die Diagonalen darstellen, werden folgende drei Ausprägungsformen der Raute zum Vergleich gezogen.
Abbildung 3: Ausprägungsformen - Raute
Wie Du in der Abbildung siehst, stehen die Diagonalen der Raute immer senkrecht zueinander, unabhängig von der Ausprägungsform der Figur. Die Diagonalen der Raute müssen zwingend senkrecht zueinander stehen, denn ansonsten wären nicht alle Seiten gleich lang, was bedeutet es würde sich nicht um eine Raute handeln, sondern um ein unregelmäßiges Viereck wie folgende Abbildung aufzeigt:
Abbildung 4: Beweis Diagonalen senkrecht
Der folgende Abschnitt zeigt, wie mithilfe der Diagonalen eine Raute gezeichnet werden kann.
Um Eine Raute bei gegebenen Diagonalen zeichnen zu können, verwendest Du am besten ein kariertes Rechenblatt und zeichnest die Diagonale e mit dem jeweiligen Wert auf die vorgegeben Linien des Rechenblattes. Im Anschluss daran zeichnest Du von der Mitte der Diagonale e einen vertikale Linie mit der Länge der Diagonale f. Nun Können die nebeneinander anliegenden Eckpunkte miteinander verbunden werden.
Zur besseren Veranschaulichung folgendes Beispiel:
Aufgabe 1
Zeichne eine Raute, dessen Diagonalen folgende Werte aufweisen, wobei zwei Kästchen im Rechenheft einen cm darstellen.
Lösung
Als ersten Schritt wird eine 3 cm lange horizontale Strecke in das Rechenheft eingezeichnet. Im Anschluss daran wird eine 2 cm lange vertikale Linie, welche vom Mittelpunkt der Strecke e ausgeht, eingezeichnet und die Eckpunkte miteinander verbunden.
Beachte, dass die Diagonale e gleichzeitig eine Symmetrieachse darstellt, folglich werden für die Diagonale f vom Mittelpunkt aus nicht 2 cm nach oben gezeichnet, sondern jeweils einen cm nach oben und einen cm nach unten.
Abbildung 5: Raute zeichnenSchritt 1
Abbildung 6: Raute zeichnenSchritt 2
Abbildung 7: Raute zeichnenSchritt 3
Merke, dass der Schnittpunkt der beiden Diagonalen einen rechten Winkel darstellen muss. Dies bedeutet, falls ein weißes Blatt verwendet wird, der rechte Winkel mithilfe des Geodreiecks festgestellt werden muss.
Nun wird geklärt, wie genau zum einen die Seitenlängen der Raute abgelesen werden kann und im Anschluss daran, wie diese auf verschiedene Arten und Weisen berechnet wird.
Wie genau eine Diagonale bei einer Raute abgelesen werden kann, soll folgendes Beispiel klären.
Aufgabe 2
Du möchtest wissen wie lang die Diagonalen folgender Raute sind, wobei ein Kästchen eine Länge von aufweist.
Abbildung 8: Diagonalen - Raute
Lösung
Hierfür kannst Du entweder die Kästchen zählen und danach das Ergebnis mit 0,5 multiplizieren oder die Länge der Diagonalen direkt mit Deinem Geodreieck abmessen. In diesem Beispiel wird Ersteres herangezogen. Folgende Abbildung zeigt die Anzahl der Kästchen auf:
Abbildung 9: Händisches Zählen der Kästchen
Um nun die Länge der Strecke auszurechnen wird wie folgt vorgegangen:
Die Seite e ist demnach und die Diagonale f lang.
Natürlich können die Diagonalen auch berechnet werden, da zum einen das Abmessen nicht immer genau ist und zum anderen dies bei größeren Werten sehr schwierig werden kann.
Sind beide Diagonalen einer Raute gleich lang, so können diese entweder aus der Fläche heraus oder mithilfe der Seite a unter Anwendung des Lehrsatzes nach Pythagoras ermittelt werden.
Da bei dieser speziellen Ausprägungsform der Raute beide Diagonalen gleich lang sind, können diese auch mit demselben Buchstaben bezeichnet werden. Um nun die Vorgehensweise dieser Berechnungsmethode sich besser vorstellen zu können, wird folgende Skizze verwendet.
Abbildung 10: Beschriftung Diagonalen - Raute
Als Basis Wissen für diese Berechnungsmethode muss verstanden werden, wie die Fläche einer Raute berechnet werden kann.
Der Flächeninhalt einer Raute wird mithilfe folgender Formel berechnet:
Als Nächstes wird diese Formel nach unserer angefertigten Skizze angepasst, indem anstelle von f ebenfalls e eingesetzt wird, da beide Diagonalen gleich lang sind und somit denselben Wert aufweisen.
Möchtest Du mehr zum Thema Flächeninhalt Raute erfahren, dann sieh Dir den passenden Beitrag dazu auf StudySmarter an!
Wird nun die angepasste Formel nach der Seite e freigestellt, sieht die Berechnungsformel der Diagonalen wie folgt aus:
Die Diagonalen einer Raute, welche gleich lang sind, werden mit folgender Formel aus der Fläche heraus berechnet:
Anhand folgendem Beispiel wird diese Formel verdeutlicht.
Aufgabe 3
Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:
Lösung
Da die Diagonalen einer Raute aus der Fläche berechnet werden sollen, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden. Um dieses Beispiel zu lösen, gehen wir wie folgt vor:
Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils .
Folgende Abbildung einer Raute mit gleich langen Diagonalen zeigt auf, dass die beiden Diagonalen die Raute in vier gleich große rechtwinklige Dreiecke unterteilen.
Abbildung 11: Rechtwinklige Dreiecke
Jedes der Dreiecke hat dabei zwei Seiten mit der Länge und eine dritte Seite mit der Länge a.
Abbildung 12: Satz des Pythagoras
Nun kann mithilfe des Satzes nach Pythagoras die Berechnungsformel für die Diagonale e aufgestellt werden. Dies sieht wie folgt aus:
Die am rechten Winkel angrenzenden Seiten werden als K1 und K2 bezeichnet. Die gegenüberliegende Seite hingegen als H.
Die Diagonalen einer Raute, welche gleich lang sind, werden mit folgender Formel mithilfe der Seite a berechnet:
Anhand des praktischen Beispiels soll verdeutlicht werden, wie mithilfe der Seite a, die Diagonalen in der Raute berechnet werden können, falls die Diagonalen gleich lang sind.
Aufgabe 4
Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgenden Wert auf:
Lösung
Da die Diagonalen aus der Seite a berechnet werden soll, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden.
Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils cm.
Wenn die Diagonalen der Raute unterschiedlich lang sind, kann jeweils eine der Diagonalen entweder bei gegebenem Flächeninhalt und einer Diagonale oder einer Diagonalen und der Seite a berechnet werden. Wie dabei vorgegangen wird soll der nächste Abschnitt klären.
Für diese Berechnungsmethode wird lediglich die Flächenformel der Raute hingeschrieben, hierbei die Gleichung nach der fehlenden Variable freigestellt, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst. Auf ein Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:
Aufgabe 5
Eine Raute weist folgende Werte auf:
Berechne die Diagonale f.
Lösung
Nun wird, wie beschrieben, die allgemeine Flächenformel der Raute aufgeschrieben, diese nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von A und f eingesetzt und die Gleichung gelöst.
Somit beträgt die Diagonale f der Raute .
Dieses Beispiel hat nun bewiesen und aufgezeigt, wie die Diagonalen einer Raute mithilfe der Fläche und der anderen Diagonale berechnet werden können.
Die Diagonalen einer Raute, welche unterschiedlich lang sind, werden mit folgender Formel mithilfe der Fläche und der anderen Diagonale berechnet:
Für diese Berechnungsmethode kommt der Satz des Pythagoras zur Anwendung, wobei die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks nun a, und lauten. Hierbei wird der allgemeine Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der gesuchten Variable freigestellt und im Anschluss daran die Gleichung gelöst. Nun folgt ein Beispiel hierzu zur besseren Veranschaulichung.
Aufgabe 6
Eine Raute weist folgende Werte auf:
Berechne die Diagonale f.
Lösung
Nun wird, wie beschrieben, der Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von a und f eingesetzt und die Gleichung gelöst. Verwende bei Aufgabenstellungen zum Themengebiet Satz des Pythagoras eine Skizze, welche den Sachverhalt visuell verdeutlicht.
Abbildung 13: Der Satz des Pythagoras
Wenn nun in den Satz nach Pythagoras die Werte und anstelle von K1 und K2 und die Seite a für H eingesetzt und nach der gesuchten Variable f freigestellt werden, sieht dies wie folgt aus:
Als nächstes werden die Werte für a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.
Somit beträgt die Diagonale f der Raute m.
Dieses Beispiel hat nun bewiesen und aufgezeigt, wie die Diagonalen einer Raute mithilfe der Seite a und der anderen Diagonale berechnet werden können.
Die Diagonalen einer Raute, welche unterschiedlich lang sind, werden mit folgender Formel mithilfe der Seite a und der anderen Diagonale berechnet:
Nun auf zu Übungsaufgaben zum Thema Diagonale der Raute!
Los geht's mit einer Aufgabe zum Thema Diagonale der Raute berechnen.
Aufgabe 7
Eine Raute weist folgende Werte auf:
Berechne die Diagonale f.
Lösung
Nun wird die allgemeine Flächenformel der Raute aufgeschrieben, diese nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von A und f eingesetzt und die Gleichung gelöst.
Somit beträgt die Diagonale f der Raute .
Als nächstes ein kurzes Beispiel zur Berechnung der Diagonale f der Raute bei gegebener Diagonale f und Seite a.
Aufgabe 8
Eine Raute weist folgende Werte auf:
Berechne die Diagonale f.
Lösung
Nun wird der Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.
Abbildung 14: Der Satz des Pythagoras
Wenn nun in den Satz nach Pythagoras die Werte und anstelle von K1 und K2 und die Seite a für H eingesetzt und nach der gesuchten Variable f freigestellt werden, sieht dies wie folgt aus:
Als nächstes werden die Werte für a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.
Somit beträgt die Diagonale f der Raute m.
Auf zur nächsten Aufgabe!
Aufgabe 9
Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:
a =
Lösung
Da die Diagonalen aus der Seite a berechnet werden soll, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden.
Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils cm.
Die abschließende Aufgabe lautet wie folgt:
Aufgabe 10
Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:
A =
Lösung
Da die Diagonalen einer Raute aus der Fläche berechnet werden sollen, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden. Um dieses Beispiel zu lösen, gehen wir wie folgt vor:
Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils cm.
Dies hängt davon ab, ob die Diagonalen gleich lang sind oder nicht. Allgemein gilt die Formel e = (A ⋅ 2) / f
Eine Raute hat immer zwei Diagonalen, welche mit e und f beschrieben werden.
Die Seitenlänge einer Raute ist die Strecke der äußeren Seite, welche die Figur begrenzt.
Diese nennt man auch als gedrehtes Quadrat
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