Raute Diagonale

Du siehst auf dem Nachhauseweg von der Schule ein Verkehrsschild mit der Form einer Raute. Nun wettest Du mit Deinen Freunden, dass Du  es schaffst, die Höhe und die Breite des Schildes zu berechnen, wenn diese Dir sagen, wie lang die Seiten des Schildes sind.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Genau mit dieser Frage, nämlich wie die Diagonale einer Raute berechnet wird und was diese überhaupt ist, wird sich dieser Beitrag beschäftigen.

    Raute Diagonale – Symmetrieachsen, Winkel & Diagonalenschnittpunkt

    Folgende Definition der Raute wird Dir einen klaren Überblick geben, welche individuellen Eigenschaften diese aufweist.

    Die Raute gehört der Gruppe der Vierecke an und weist insgesamt vier Seiten auf, wobei die gegenüberliegenden Seiten parallel und die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind. Das wichtigste Merkmal der Raute ist, dass alle vier Seiten immer gleich lang sind und diese genau zwei Symmetrieachsen aufweist, nämlich die beiden Diagonalen. Die Figur ist am Diagonalenschnittpunkt sowohl achsen-, als auch punktsymmetrisch.

    Eine Raute sieht demnach wie folgt aus:

    Raute Diagonale Raute Symmetrieachsen StudySmarterAbbildung 2: Die Raute

    Wird nun die Raute aus Abbildung 2 bzw. dessen Eigenschaften mit jenen eines Quadrats verglichen, haben diese sehr viele Gemeinsamkeiten, jedoch gibt es einen konkreten Unterschied. Nämlich dass beim Quadrat im Gegensatz zur Raute alle Winkel immer zwingend 90° groß sind.

    Raute Diagonale – Eigenschaften & Definition

    Du musst in einer Hausaufgabe die Diagonale einer Raute berechnen, jedoch kannst Dich nicht erinnern, wie genau? Keine Sorge, nach dem Lesen des folgenden Abschnitts wirst Du zukünftige Hausaufgaben zur Berechnung der Diagonalen der Raute meistern.

    Unter den Diagonalen der Raute wird in der Mathematik die Länge der vertikalen und horizontalen Strecke verstanden, welche zwei gegenüberliegende Eckpunkte dieser geometrischen Figur miteinander verbindet.

    Die Raute hat zwei Diagonalen. Die horizontale Diagonale, welche die Eckpunkte D und B miteinander verbindet, wird als Strecke e bezeichnet. Die vertikale Diagonale, welche von A nach C reicht wird als Strecke f bezeichnet. Die Diagonalen stehen in der Raute immer normal zueinander, folglich bildet ihr Schnittpunkt 90° Winkel.

    Um genau verstehen zu können, welche Linien der Raute die Diagonalen darstellen, werden folgende drei Ausprägungsformen der Raute zum Vergleich gezogen.

    Raute Diagonale Ausprägungsformen Raute StudySmarterAbbildung 3: Ausprägungsformen - Raute

    Wie Du in der Abbildung siehst, stehen die Diagonalen der Raute immer senkrecht zueinander, unabhängig von der Ausprägungsform der Figur. Die Diagonalen der Raute müssen zwingend senkrecht zueinander stehen, denn ansonsten wären nicht alle Seiten gleich lang, was bedeutet es würde sich nicht um eine Raute handeln, sondern um ein unregelmäßiges Viereck wie folgende Abbildung aufzeigt:

    Raute Diagonale Diagonalen Senkrecht StudySmarterAbbildung 4: Beweis Diagonalen senkrecht

    Der folgende Abschnitt zeigt, wie mithilfe der Diagonalen eine Raute gezeichnet werden kann.

    Raute zeichnen mit Diagonale

    Um Eine Raute bei gegebenen Diagonalen zeichnen zu können, verwendest Du am besten ein kariertes Rechenblatt und zeichnest die Diagonale e mit dem jeweiligen Wert auf die vorgegeben Linien des Rechenblattes. Im Anschluss daran zeichnest Du von der Mitte der Diagonale e einen vertikale Linie mit der Länge der Diagonale f. Nun Können die nebeneinander anliegenden Eckpunkte miteinander verbunden werden.

    Zur besseren Veranschaulichung folgendes Beispiel:

    Aufgabe 1

    Zeichne eine Raute, dessen Diagonalen folgende Werte aufweisen, wobei zwei Kästchen im Rechenheft einen cm darstellen.

    e =3 cmf =2 cm

    Lösung

    Als ersten Schritt wird eine 3 cm lange horizontale Strecke in das Rechenheft eingezeichnet. Im Anschluss daran wird eine 2 cm lange vertikale Linie, welche vom Mittelpunkt der Strecke e ausgeht, eingezeichnet und die Eckpunkte miteinander verbunden.

    Beachte, dass die Diagonale e gleichzeitig eine Symmetrieachse darstellt, folglich werden für die Diagonale f vom Mittelpunkt aus nicht 2 cm nach oben gezeichnet, sondern jeweils einen cm nach oben und einen cm nach unten.

    Raute Diagonale Raute zeichnen Schritt 1 StudySmarterAbbildung 5: Raute zeichnenSchritt 1Raute Diagonale Raute zeichnen Schritt 2 StudySmarterAbbildung 6: Raute zeichnenSchritt 2Raute Diagonale Raute zeichnen Schritt 3 StudySmarterAbbildung 7: Raute zeichnenSchritt 3

    Merke, dass der Schnittpunkt der beiden Diagonalen einen rechten Winkel darstellen muss. Dies bedeutet, falls ein weißes Blatt verwendet wird, der rechte Winkel mithilfe des Geodreiecks festgestellt werden muss.

    Raute Diagonale – Länge ablesen

    Nun wird geklärt, wie genau zum einen die Seitenlängen der Raute abgelesen werden kann und im Anschluss daran, wie diese auf verschiedene Arten und Weisen berechnet wird.

    Wie genau eine Diagonale bei einer Raute abgelesen werden kann, soll folgendes Beispiel klären.

    Aufgabe 2

    Du möchtest wissen wie lang die Diagonalen folgender Raute sind, wobei ein Kästchen eine Länge von 0,5 cm aufweist.

    Raute Diagonale Diagonalen der RauteStudySmarterAbbildung 8: Diagonalen - Raute

    Lösung

    Hierfür kannst Du entweder die Kästchen zählen und danach das Ergebnis mit 0,5 multiplizieren oder die Länge der Diagonalen direkt mit Deinem Geodreieck abmessen. In diesem Beispiel wird Ersteres herangezogen. Folgende Abbildung zeigt die Anzahl der Kästchen auf:

    Raute Diagonale Händisches Zählen StudySmarterAbbildung 9: Händisches Zählen der Kästchen

    Um nun die Länge der Strecke auszurechnen wird wie folgt vorgegangen:

    e =6 Kästchen f = 4 Kästchene =6 · 0,5 cm f =4 · 0,5 cm e = 3 cm f =2 cm

    Die Seite e ist demnach 3 cmund die Diagonale f 2 cm lang.

    Natürlich können die Diagonalen auch berechnet werden, da zum einen das Abmessen nicht immer genau ist und zum anderen dies bei größeren Werten sehr schwierig werden kann.

    Raute Diagonalen gleich lang

    Sind beide Diagonalen einer Raute gleich lang, so können diese entweder aus der Fläche heraus oder mithilfe der Seite a unter Anwendung des Lehrsatzes nach Pythagoras ermittelt werden.

    Raute Diagonalen berechnen mit Flächeninhalt

    Da bei dieser speziellen Ausprägungsform der Raute beide Diagonalen gleich lang sind, können diese auch mit demselben Buchstaben bezeichnet werden. Um nun die Vorgehensweise dieser Berechnungsmethode sich besser vorstellen zu können, wird folgende Skizze verwendet.

    Raute Diagonale gleich lange Diagonalen Raute  StudySmarterAbbildung 10: Beschriftung Diagonalen - Raute

    Als Basis Wissen für diese Berechnungsmethode muss verstanden werden, wie die Fläche einer Raute berechnet werden kann.

    Der Flächeninhalt einer Raute wird mithilfe folgender Formel berechnet:

    A = e · f 2

    Als Nächstes wird diese Formel nach unserer angefertigten Skizze angepasst, indem anstelle von f ebenfalls e eingesetzt wird, da beide Diagonalen gleich lang sind und somit denselben Wert aufweisen.

    A =e · f 2 A = e · e2 =e22

    Möchtest Du mehr zum Thema Flächeninhalt Raute erfahren, dann sieh Dir den passenden Beitrag dazu auf StudySmarter an!

    Wird nun die angepasste Formel nach der Seite e freigestellt, sieht die Berechnungsformel der Diagonalen wie folgt aus:

    A = e22 | Multipliziere mit Zwei2 A = e2 | Ziehe die Wurzel 2 A =e

    Die Diagonalen einer Raute, welche gleich lang sind, werden mit folgender Formel aus der Fläche heraus berechnet:

    e =2 A

    Anhand folgendem Beispiel wird diese Formel verdeutlicht.

    Aufgabe 3

    Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:

    A= 100 cm2

    Lösung

    Da die Diagonalen einer Raute aus der Fläche berechnet werden sollen, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden. Um dieses Beispiel zu lösen, gehen wir wie folgt vor:

    e =2 A | setze den Wert für die Fläche A ein und multipliziere mit 2e = 200 |Berechne die Wurzel aus 100e =14,14

    Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils 14,14 cm.

    Raute Diagonale berechnen mit Satz des Pythagoras

    Folgende Abbildung einer Raute mit gleich langen Diagonalen zeigt auf, dass die beiden Diagonalen die Raute in vier gleich große rechtwinklige Dreiecke unterteilen.

    Raute Diagonale Rechtwinklige Dreiecke StudySmarterAbbildung 11: Rechtwinklige Dreiecke

    Jedes der Dreiecke hat dabei zwei Seiten mit der Länge e2 und eine dritte Seite mit der Länge a.

    Raute Diagonale Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 12: Satz des Pythagoras

    Nun kann mithilfe des Satzes nach Pythagoras die Berechnungsformel für die Diagonale e aufgestellt werden. Dies sieht wie folgt aus:

    Die am rechten Winkel angrenzenden Seiten werden als K1 und K2 bezeichnet. Die gegenüberliegende Seite hingegen als H.

    K12 + K22 =H2 | setze die Buchstaben anstelle von K1, K2 und H eine22 + e22 =a2 | da e22 zwei Mal vorkommt, kann dies vereinfacht werden 2 · e22 = a2 | dividiere die Gleichung durch 2 e22 = a22 | ziehe die Wurzel aus a2e2 = a22 | multipliziere das Ergebnis der Wurzel mit 2e = a22 · 2

    Die Diagonalen einer Raute, welche gleich lang sind, werden mit folgender Formel mithilfe der Seite a berechnet:

    e =a22 · 2

    Anhand des praktischen Beispiels soll verdeutlicht werden, wie mithilfe der Seite a, die Diagonalen in der Raute berechnet werden können, falls die Diagonalen gleich lang sind.

    Aufgabe 4

    Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgenden Wert auf:

    a = 8 cm

    Lösung

    Da die Diagonalen aus der Seite a berechnet werden soll, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden.

    e = a22 · 2 | setze den Wert für a eine =822 · 2 | Berechne acht hoch 2e =642 · 2 | Löse den Bruch aufe =32 · 2 | Ziehe die Wurzel aus 32e = 5,66 · 2 | Multipliziere 5,66 mit 2e =11,32

    Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils 11,32 cm.

    Raute Diagonale berechnen – unterschiedliche Längen

    Wenn die Diagonalen der Raute unterschiedlich lang sind, kann jeweils eine der Diagonalen entweder bei gegebenem Flächeninhalt und einer Diagonale oder einer Diagonalen und der Seite a berechnet werden. Wie dabei vorgegangen wird soll der nächste Abschnitt klären.

    Berechnung mit dem Flächeninhalt

    Für diese Berechnungsmethode wird lediglich die Flächenformel der Raute hingeschrieben, hierbei die Gleichung nach der fehlenden Variable freigestellt, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst. Auf ein Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:

    Aufgabe 5

    Eine Raute weist folgende Werte auf:

    A = 126 m2

    e = 7 m

    Berechne die Diagonale f.

    Lösung

    Nun wird, wie beschrieben, die allgemeine Flächenformel der Raute aufgeschrieben, diese nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von A und f eingesetzt und die Gleichung gelöst.

    A=e f2 | Multipliziere die Gleichung mit zweiA 2 =e f | Dividiere die Gleichung durch eA 2e =f | Setze die Werte für A und e ein126 27 =f | Multipliziere 126 mit zwei2527 = f | Löse den Bruch auf36 =f

    Somit beträgt die Diagonale f der Raute 36 m.

    Dieses Beispiel hat nun bewiesen und aufgezeigt, wie die Diagonalen einer Raute mithilfe der Fläche und der anderen Diagonale berechnet werden können.

    Die Diagonalen einer Raute, welche unterschiedlich lang sind, werden mit folgender Formel mithilfe der Fläche und der anderen Diagonale berechnet:

    f = A · 2e e =A · 2f

    Berechnung mit dem Satz des Pythagoras

    Für diese Berechnungsmethode kommt der Satz des Pythagoras zur Anwendung, wobei die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks nun a, f2 und e2 lauten. Hierbei wird der allgemeine Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der gesuchten Variable freigestellt und im Anschluss daran die Gleichung gelöst. Nun folgt ein Beispiel hierzu zur besseren Veranschaulichung.

    Aufgabe 6

    Eine Raute weist folgende Werte auf:

    a = 5 m

    e = 7 m

    Berechne die Diagonale f.

    Lösung

    Nun wird, wie beschrieben, der Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von a und f eingesetzt und die Gleichung gelöst. Verwende bei Aufgabenstellungen zum Themengebiet Satz des Pythagoras eine Skizze, welche den Sachverhalt visuell verdeutlicht.

    Raute Diagonale Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 13: Der Satz des Pythagoras

    Wenn nun in den Satz nach Pythagoras die Werte e2 und f2 anstelle von K1 und K2 und die Seite a für H eingesetzt und nach der gesuchten Variable f freigestellt werden, sieht dies wie folgt aus:

    K12 + K22 =H2 | Setze die Variablen anstelle von K1, K2 und H eine22 + f22 = a2 | Subtrahiere e22 f22 = a2 - e22 | Ziehe die Wurzel der Gleichungf2 = a2 - e22 | Multipliziere die Gleichung mit zweif = a2 - e22 2

    Als nächstes werden die Werte für a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.

    f = 52 - 722 2 | Löse den Bruch auff = 52 - 3,52 2 | Berechne die Potenz von 5 und 3,5f = 25 - 12,25 2 | Subtrahiere 12,25 von 25f = 12,75 2 | Ziehe die Wurzel von 12,75f = 3,57 2 | Multipliziere 3,57 mit zweif =7,14

    Somit beträgt die Diagonale f der Raute 7,14 m.

    Dieses Beispiel hat nun bewiesen und aufgezeigt, wie die Diagonalen einer Raute mithilfe der Seite a und der anderen Diagonale berechnet werden können.

    Die Diagonalen einer Raute, welche unterschiedlich lang sind, werden mit folgender Formel mithilfe der Seite a und der anderen Diagonale berechnet:

    f = a2 - e22 2 e = a2 - f22 2

    Nun auf zu Übungsaufgaben zum Thema Diagonale der Raute!

    Raute Diagonale berechnen – Übungsaufgaben

    Los geht's mit einer Aufgabe zum Thema Diagonale der Raute berechnen.

    Aufgabe 7

    Eine Raute weist folgende Werte auf:

    A = 240 m2e =18 m

    Berechne die Diagonale f.

    Lösung

    Nun wird die allgemeine Flächenformel der Raute aufgeschrieben, diese nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von A und f eingesetzt und die Gleichung gelöst.

    A=e f2 | Multipliziere die Gleichung mit zweiA 2 =e f | Dividiere die Gleichung durch eA 2e =f | Setze die Werte für A und e ein240 218 =f | Multipliziere 240 mit zwei48018 = f | Löse den Bruch auf26,67 =f

    Somit beträgt die Diagonale f der Raute 26,67 m.

    Als nächstes ein kurzes Beispiel zur Berechnung der Diagonale f der Raute bei gegebener Diagonale f und Seite a.

    Aufgabe 8

    Eine Raute weist folgende Werte auf:

    a = 9 me = 15 m

    Berechne die Diagonale f.

    Lösung

    Nun wird der Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.

    Raute Diagonale Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 14: Der Satz des Pythagoras

    Wenn nun in den Satz nach Pythagoras die Werte e2 und f2 anstelle von K1 und K2 und die Seite a für H eingesetzt und nach der gesuchten Variable f freigestellt werden, sieht dies wie folgt aus:

    K12 + K22 =H2 | Setze die Variablen anstelle von K1, K2 und H eine22 + f22 = a2 | Subtrahiere e22 f22 = a2 - e22 | Ziehe die Wurzel der Gleichungf2 = a2 - e22 | Multipliziere die Gleichung mit zweif = a2 - e22 2

    Als nächstes werden die Werte für a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.

    f = 92 - 1522 2 | Löse den Bruch auff = 92 - 7,52 2 | Berechne die Potenz von 9 und 7,5f = 81 - 56,25 2 | Subtrahiere 56,25 von 81f = 24,75 2 | Ziehe die Wurzel von 24,75f = 4,97 2 | Multipliziere 4,97 mit zweif =9,94

    Somit beträgt die Diagonale f der Raute 9,94 m.

    Auf zur nächsten Aufgabe!

    Aufgabe 9

    Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:

    a = 14 cm

    Lösung

    Da die Diagonalen aus der Seite a berechnet werden soll, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden.

    e = a22 · 2 | setze den Wert für a eine =1422 · 2 | Berechne 14 hoch 2e =1962 · 2 | Löse den Bruch aufe =98 · 2 | Ziehe die Wurzel aus 98e = 9,9 · 2 | Multipliziere 9,9 mit 2e =19,8

    Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils 19,8 cm.

    Die abschließende Aufgabe lautet wie folgt:

    Aufgabe 10

    Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:

    A = 4050 cm2

    Lösung

    Da die Diagonalen einer Raute aus der Fläche berechnet werden sollen, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden. Um dieses Beispiel zu lösen, gehen wir wie folgt vor:

    e =2 A | setze den Wert für die Fläche A ein und multipliziere mit 2e = 8100 |Berechne die Wurzel aus 8100e =90

    Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils 90cm.

    Raute Diagonale – Das Wichtigste auf einen Blick

      • Eine Raute erkennst Du daran, dass sie vier Winkel, vier Ecken und vier Seiten aufweist.
      • Unter einer Diagonale versteht man die Strecke, welche zwei gegenüberliegende Eckpunkte einer geometrischen Figur verbindet.
      • Die Diagonalen der Raute können unterschiedlich lang sein.
      • Sind beide Diagonalen gleich lang, können diese auf folgende Art und Weise berechnet werden:
        • Gegeben: A e = f =2 A
        • Gegeben: a e =f =a22 · 2
      • Sind die Diagonalen unterschiedlich lang. können diese auf folgende Art und Weise berechnet werden:
        • gegeben: A, eine Diagonale f =A 2e oder e =A 2f
        • gegeben: a, eine Diagonale f =a2 - e22 2 oder e =a2 - f22 2
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Raute Diagonale

    Wie berechnet man die Diagonale e einer Raute? 

    Dies hängt davon ab, ob die Diagonalen gleich lang sind oder nicht. Allgemein gilt die Formel    e = (A ⋅ 2) / f

    Wie viele Diagonalen hat eine Raute? 

    Eine Raute hat immer zwei Diagonalen, welche mit e und f beschrieben werden.

    Was ist die Seitenlänge bei einer Raute? 

    Die Seitenlänge einer Raute ist die Strecke der äußeren Seite, welche die Figur begrenzt. 

    Wie nennt man eine Raute deren Diagonalen gleich lang sind? 

    Diese nennt man auch als gedrehtes Quadrat

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    Mit welchem Buchstaben wird die horizontale Diagonale bezeichnet?

    Welche Eigenschaften lassen sich der Raute zuordnen?

    Mithilfe welcher Formel kann die fehlende Diagonale der Raute bei gegebenem Umfang und der anderen Diagonale berechnet werden?

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