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Diagonale Raute

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Diagonale Raute

Du siehst auf dem Nachhauseweg von der Schule ein Verkehrsschild mit der Form einer Raute. Nun wettest Du mit Deinen Freunden, dass Du es schaffst, die Höhe und die Breite des Schildes zu berechnen, wenn diese Dir sagen, wie lang die Seiten des Schildes sind.

Genau mit dieser Frage, nämlich wie die Diagonale einer Raute berechnet wird und was diese überhaupt ist, wird sich dieser Beitrag beschäftigen.

Raute Diagonale Grundlagenwissen

Folgende Definition der Raute wird Dir einen klaren Überblick geben, welche individuellen Eigenschaften diese aufweist.

Die Raute gehört der Gruppe der Vierecke an und weist insgesamt vier Seiten auf, wobei die gegenüberliegenden Seiten parallel und die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind. Das wichtigste Merkmal der Raute ist, dass alle vier Seiten immer gleich lang sind und diese genau zwei Symmetrieachsen aufweist, nämlich die beiden Diagonalen. Die Figur ist am Diagonalenschnittpunkt sowohl achsen-, als auch punktsymmetrisch.

Eine Raute sieht demnach wie folgt aus:

Diagonale Raute Raute StudySmarterAbbildung 2: Die Raute

Wird nun die Raute aus Abbildung 2 bzw. dessen Eigenschaften mit jenen eines Quadrats verglichen, haben diese sehr viele Gemeinsamkeiten, jedoch gibt es einen konkreten Unterschied. Nämlich dass beim Quadrat im Gegensatz zur Raute alle Winkel immer zwingend 90° groß sind.

Raute Diagonale Definition

Du musst in einer Hausaufgabe die Diagonale einer Raute berechnen, jedoch kannst Dich nicht erinnern, wie genau? Keine Sorge, nach dem Lesen des folgenden Abschnitts wirst Du zukünftige Hausaufgaben zur Berechnung der Diagonalen der Raute meistern.

Unter den Diagonalen der Raute wird in der Mathematik die Länge der vertikalen und horizontalen Strecke verstanden, welche zwei gegenüberliegende Eckpunkte dieser geometrischen Figur miteinander verbindet.

Die Raute hat zwei Diagonalen. Die horizontale Diagonale, welche die Eckpunkte D und B miteinander verbindet, wird als Strecke e bezeichnet. Die vertikale Diagonale, welche von A nach C reicht wird als Strecke f bezeichnet. Die Diagonalen stehen in der Raute immer normal zueinander, folglich bildet ihr Schnittpunkt 90° Winkel.

Um genau verstehen zu können, welche Linien der Raute die Diagonalen darstellen, werden folgende drei Ausprägungsformen der Raute zum Vergleich gezogen.

Diagonale Raute Ausprägungsformen Raute StudySmarterAbbildung 3: Ausprägungsformen - Raute

Wie Du in der Abbildung siehst, stehen die Diagonalen der Raute immer senkrecht zueinander, unabhängig von der Ausprägungsform der Figur. Die Diagonalen der Raute müssen zwingend senkrecht zueinander stehen, denn ansonsten wären nicht alle Seiten gleich lang, was bedeutet es würde sich nicht um eine Raute handeln, sondern um ein unregelmäßiges Viereck wie folgende Abbildung aufzeigt:

Diagonale Raute Diagonalen Senkrecht StudySmarterAbbildung 4: Beweis Diagonalen senkrecht

Der folgende Abschnitt zeigt, wie mithilfe der Diagonalen eine Raute gezeichnet werden kann.

Zeichnen einer Raute - Mithilfe der Diagonalen

Um Eine Raute bei gegebenen Diagonalen zeichnen zu können, verwendest Du am besten ein kariertes Rechenblatt und zeichnest die Diagonale e mit dem jeweiligen Wert auf die vorgegeben Linien des Rechenblattes. Im Anschluss daran zeichnest Du von der Mitte der Diagonale e einen vertikale Linie mit der Länge der Diagonale f. Nun Können die nebeneinander anliegenden Eckpunkte miteinander verbunden werden.

Zur besseren Veranschaulichung folgendes Beispiel:

Aufgabe 1

Zeichne eine Raute, dessen Diagonalen folgende Werte aufweisen, wobei zwei Kästchen im Rechenheft einen cm darstellen.

Lösung

Als ersten Schritt wird eine 3 cm lange horizontale Strecke in das Rechenheft eingezeichnet. Im Anschluss daran wird eine 2 cm lange vertikale Linie, welche vom Mittelpunkt der Strecke e ausgeht, eingezeichnet und die Eckpunkte miteinander verbunden.

Beachte, dass die Diagonale e gleichzeitig eine Symmetrieachse darstellt, folglich werden für die Diagonale f vom Mittelpunkt aus nicht 2 cm nach oben gezeichnet, sondern jeweils einen cm nach oben und einen cm nach unten.

Diagonale Raute Raute zeichnen StudySmarterAbbildung 5: Raute zeichnenSchritt 1Diagonale Raute Raute zeichnen StudySmarterAbbildung 6: Raute zeichnenSchritt 2Diagonale Raute Raute zeichnen StudySmarterAbbildung 7: Raute zeichnenSchritt 3

Merke, dass der Schnittpunkt der beiden Diagonalen einen rechten Winkel darstellen muss. Dies bedeutet, falls ein weißes Blatt verwendet wird, der rechte Winkel mithilfe des Geodreiecks festgestellt werden muss.

Ablesen der Länge der Diagonalen einer Raute

Nun wird geklärt, wie genau zum einen die Seitenlängen der Raute abgelesen werden kann und im Anschluss daran, wie diese auf verschiedene Arten und Weisen berechnet wird.

Wie genau eine Diagonale bei einer Raute abgelesen werden kann, soll folgendes Beispiel klären.

Aufgabe 2

Du möchtest wissen wie lang die Diagonalen folgender Raute sind, wobei ein Kästchen eine Länge von aufweist.

Diagonale Raute Diagonalen StudySmarterAbbildung 8: Diagonalen - Raute

Lösung

Hierfür kannst Du entweder die Kästchen zählen und danach das Ergebnis mit 0,5 multiplizieren oder die Länge der Diagonalen direkt mit Deinem Geodreieck abmessen. In diesem Beispiel wird Ersteres herangezogen. Folgende Abbildung zeigt die Anzahl der Kästchen auf:

Diagonale Raute Händisches Zählen StudySmarterAbbildung 9: Händisches Zählen der Kästchen

Um nun die Länge der Strecke auszurechnen wird wie folgt vorgegangen:

Die Seite e ist demnach und die Diagonale f lang.

Natürlich können die Diagonalen auch berechnet werden, da zum einen das Abmessen nicht immer genau ist und zum anderen dies bei größeren Werten sehr schwierig werden kann.

Berechnung der Diagonalen einer Rauten bei gleicher Länge

Sind beide Diagonalen einer Raute gleich lang, so können diese entweder aus der Fläche heraus oder mithilfe der Seite a unter Anwendung des Lehrsatzes nach Pythagoras ermittelt werden.

Berechnung mit dem Flächeninhalt

Da bei dieser speziellen Ausprägungsform der Raute beide Diagonalen gleich lang sind, können diese auch mit demselben Buchstaben bezeichnet werden. Um nun die Vorgehensweise dieser Berechnungsmethode sich besser vorstellen zu können, wird folgende Skizze verwendet.

Diagonale Raute gleich lange Diagonalen Raute  StudySmarterAbbildung 10: Beschriftung Diagonalen - Raute

Als Basis Wissen für diese Berechnungsmethode muss verstanden werden, wie die Fläche einer Raute berechnet werden kann.

Der Flächeninhalt einer Raute wird mithilfe folgender Formel berechnet:

Diagonale Raute Flächenformel Raute StudySmarter

Als Nächstes wird diese Formel nach unserer angefertigten Skizze angepasst, indem anstelle von f ebenfalls e eingesetzt wird, da beide Diagonalen gleich lang sind und somit denselben Wert aufweisen.

Diagonale Raute Flächenformel StudySmarter

Möchtest Du mehr zum Thema Flächeninhalt Raute erfahren, dann sieh Dir den passenden Beitrag dazu auf StudySmarter an!

Wird nun die angepasste Formel nach der Seite e freigestellt, sieht die Berechnungsformel der Diagonalen wie folgt aus:

Die Diagonalen einer Raute, welche gleich lang sind, werden mit folgender Formel aus der Fläche heraus berechnet:

Diagonale Raute Berechnungsformel Diagonale StudySmarter

Anhand folgendem Beispiel wird diese Formel verdeutlicht.

Aufgabe 3

Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:

Lösung

Da die Diagonalen einer Raute aus der Fläche berechnet werden sollen, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden. Um dieses Beispiel zu lösen, gehen wir wie folgt vor:

Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils .

Berechnung mit dem Satz des Pythagoras

Folgende Abbildung einer Raute mit gleich langen Diagonalen zeigt auf, dass die beiden Diagonalen die Raute in vier gleich große rechtwinklige Dreiecke unterteilen.

Diagonale Raute Rechtwinklige Dreiecke StudySmarterAbbildung 11: Rechtwinklige Dreiecke

Jedes der Dreiecke hat dabei zwei Seiten mit der Länge und eine dritte Seite mit der Länge a.

Diagonale Raute Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 12: Satz des Pythagoras

Nun kann mithilfe des Satzes nach Pythagoras die Berechnungsformel für die Diagonale e aufgestellt werden. Dies sieht wie folgt aus:

Die am rechten Winkel angrenzenden Seiten werden als K1 und K2 bezeichnet. Die gegenüberliegende Seite hingegen als H.

Diagonale Raute Beispiel StudySmarter

Die Diagonalen einer Raute, welche gleich lang sind, werden mit folgender Formel mithilfe der Seite a berechnet:

Diagonale Raute Berechnungsformel StudySmarter

Anhand des praktischen Beispiels soll verdeutlicht werden, wie mithilfe der Seite a, die Diagonalen in der Raute berechnet werden können, falls die Diagonalen gleich lang sind.

Aufgabe 4

Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgenden Wert auf:

Lösung

Da die Diagonalen aus der Seite a berechnet werden soll, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden.

Diagonale Raute Beispiel StudySmarter

Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils cm.

Berechnung der Diagonalen einer Raute bei unterschiedlicher Länge

Wenn die Diagonalen der Raute unterschiedlich lang sind, kann jeweils eine der Diagonalen entweder bei gegebenem Flächeninhalt und einer Diagonale oder einer Diagonalen und der Seite a berechnet werden. Wie dabei vorgegangen wird soll der nächste Abschnitt klären.

Berechnung mit dem Flächeninhalt

Für diese Berechnungsmethode wird lediglich die Flächenformel der Raute hingeschrieben, hierbei die Gleichung nach der fehlenden Variable freigestellt, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst. Auf ein Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:

Aufgabe 5

Eine Raute weist folgende Werte auf:

Berechne die Diagonale f.

Lösung

Nun wird, wie beschrieben, die allgemeine Flächenformel der Raute aufgeschrieben, diese nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von A und f eingesetzt und die Gleichung gelöst.

Diagonale Raute Beispiel StudySmarter

Somit beträgt die Diagonale f der Raute .

Dieses Beispiel hat nun bewiesen und aufgezeigt, wie die Diagonalen einer Raute mithilfe der Fläche und der anderen Diagonale berechnet werden können.

Die Diagonalen einer Raute, welche unterschiedlich lang sind, werden mit folgender Formel mithilfe der Fläche und der anderen Diagonale berechnet:

Diagonale Raute Berechnungsformel StudySmarter

Berechnung mit dem Satz des Pythagoras

Für diese Berechnungsmethode kommt der Satz des Pythagoras zur Anwendung, wobei die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks nun a, und lauten. Hierbei wird der allgemeine Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der gesuchten Variable freigestellt und im Anschluss daran die Gleichung gelöst. Nun folgt ein Beispiel hierzu zur besseren Veranschaulichung.

Aufgabe 6

Eine Raute weist folgende Werte auf:

Berechne die Diagonale f.

Lösung

Nun wird, wie beschrieben, der Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von a und f eingesetzt und die Gleichung gelöst. Verwende bei Aufgabenstellungen zum Themengebiet Satz des Pythagoras eine Skizze, welche den Sachverhalt visuell verdeutlicht.

Diagonale Raute Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 13: Der Satz des Pythagoras

Wenn nun in den Satz nach Pythagoras die Werte und anstelle von K1 und K2 und die Seite a für H eingesetzt und nach der gesuchten Variable f freigestellt werden, sieht dies wie folgt aus:

Diagonale Raute Beispiel StudySmarter

Als nächstes werden die Werte für a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.

Diagonale Raute Beispiel StudySmarter

Somit beträgt die Diagonale f der Raute m.

Dieses Beispiel hat nun bewiesen und aufgezeigt, wie die Diagonalen einer Raute mithilfe der Seite a und der anderen Diagonale berechnet werden können.

Die Diagonalen einer Raute, welche unterschiedlich lang sind, werden mit folgender Formel mithilfe der Seite a und der anderen Diagonale berechnet:

Diagonale Raute Flächenformel StudySmarter

Nun auf zu Übungsaufgaben zum Thema Diagonale der Raute!

Diagonale einer Raute - Übungsaufgaben

Los geht's mit einer Aufgabe zum Thema Diagonale der Raute berechnen.

Aufgabe 7

Eine Raute weist folgende Werte auf:

Berechne die Diagonale f.

Lösung

Nun wird die allgemeine Flächenformel der Raute aufgeschrieben, diese nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von A und f eingesetzt und die Gleichung gelöst.

Diagonale Raute Beispiel StudySmarter

Somit beträgt die Diagonale f der Raute .

Als nächstes ein kurzes Beispiel zur Berechnung der Diagonale f der Raute bei gegebener Diagonale f und Seite a.

Aufgabe 8

Eine Raute weist folgende Werte auf:

Berechne die Diagonale f.

Lösung

Nun wird der Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.

Diagonale Raute Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 14: Der Satz des Pythagoras

Wenn nun in den Satz nach Pythagoras die Werte und anstelle von K1 und K2 und die Seite a für H eingesetzt und nach der gesuchten Variable f freigestellt werden, sieht dies wie folgt aus:

Diagonale Raute Beispiel StudySmarter

Als nächstes werden die Werte für a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.

Diagonale Raute Beispiel StudySmarter

Somit beträgt die Diagonale f der Raute m.

Auf zur nächsten Aufgabe!

Aufgabe 9

Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:

a =

Lösung

Da die Diagonalen aus der Seite a berechnet werden soll, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden.

Diagonale Raute Beispiel StudySmarter

Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils cm.

Die abschließende Aufgabe lautet wie folgt:

Aufgabe 10

Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:

A =

Lösung

Da die Diagonalen einer Raute aus der Fläche berechnet werden sollen, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden. Um dieses Beispiel zu lösen, gehen wir wie folgt vor:

Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils cm.

Diagonale Raute – Das Wichtigste auf einen Blick

    • Eine Raute erkennst Du daran, dass sie vier Winkel, vier Ecken und vier Seiten aufweist.
    • Unter einer Diagonale versteht man die Strecke, welche zwei gegenüberliegende Eckpunkte einer geometrischen Figur verbindet.
    • Die Diagonalen der Raute können unterschiedlich lang sein.
    • Sind beide Diagonalen gleich lang, können diese auf folgende Art und Weise berechnet werden:
      • Gegeben: A Diagonale Raute Berechnungsformel für Diagonale StudySmarter
      • Gegeben: a Diagonale Raute Berechnungsformel für Diagonale StudySmarter
    • Sind die Diagonalen unterschiedlich lang. können diese auf folgende Art und Weise berechnet werden:
      • gegeben: A, eine Diagonale Diagonale Raute Berechnungsformel für Diagonale StudySmarter
      • gegeben: a, eine Diagonale Diagonale Raute Berechnungsformel für Diagonale StudySmarter

Häufig gestellte Fragen zum Thema Diagonale Raute

Dies hängt davon ab, ob die Diagonalen gleich lang sind oder nicht. Allgemein gilt die Formel    e = (A ⋅ 2) / f

Eine Raute hat immer zwei Diagonalen, welche mit e und f beschrieben werden.

Die Seitenlänge einer Raute ist die Strecke der äußeren Seite, welche die Figur begrenzt. 

Diese nennt man auch als gedrehtes Quadrat

Finales Diagonale Raute Quiz

Frage

Was wird unter den Diagonalen einer Raute verstanden?


Antwort anzeigen

Antwort

Unter den diagonalen einer Raute werden die zwei Strecken, welche die gegenüberliegenden Eckpunkte der Raute miteinander verbinden, verstanden.

Frage anzeigen

Frage

In welcher Einheit werden die Diagonalen angegeben?




Antwort anzeigen

Antwort

Die Diagonalen werden in den Längeneinheiten mm (Millimeter), cm (Centimeter) , dm (Dezimeter) , m (Meter) oder km (Kilometer)  angegeben

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen einem Quadrat und einer Raute?


Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Quadrat sind im Gegensatz zur Raute alle Winkel immer genau 90°. 


Frage anzeigen

Frage

Wie viele Symmetrieachsen hat eine Raute?


Antwort anzeigen

Antwort

Eine Raute hat genau zwei Symmetrieachsen, nämlich die beiden Diagonalen!


Frage anzeigen

Frage

Mit welchem Buchstaben wird die horizontale Diagonale bezeichnet?


Antwort anzeigen

Antwort

Dem Buchstaben f

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften lassen sich der Raute zuordnen?



Antwort anzeigen

Antwort

Sie zählt zu der Kategorie der Vierecke 

Frage anzeigen

Frage

Mithilfe welcher Formel kann die fehlende Diagonale der Raute bei gegebenem Umfang und der anderen Diagonale berechnet werden?


Antwort anzeigen

Antwort

e =  √ ((e/2)² - a²) 

Frage anzeigen

Frage

Was unterscheidet eine Raute von einem Drachenviereck?


Antwort anzeigen

Antwort

Beim Drachenviereck wird die Fläche mit einer anderen Formel berechnet 

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussagen zur Raute!



Antwort anzeigen

Antwort

Alle Seiten müssen immer gleich lang sein 

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:
"Eine Raute ist punkt-, und achsensymmetrisch"

Antwort anzeigen

Antwort

Wahr

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:
"Eine Raute kann bei gegebenen Diagonalen gezeichnet werden"

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig

Frage anzeigen
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