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Skalarprodukt

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Skalarprodukt

Stell Dir vor, zwei Hunde laufen voneinander weg. Man könnte sich nun die Frage stellen, in welchem Winkel sie voneinander weglaufen. Wie man diesen Winkel berechnet und warum man dafür das Skalarprodukt braucht, erfährst Du hier.

Skalarprodukt Hund StudySmarter

Wiederholung Vektoren

Vorerst eine kurze Wiederholung zum Thema Vektoren.

Ein Vektor ist ein Objekt, welches in einem Koordinatensystem eine Richtung zu einem Punkt zeigt. Das Koordinatensystem kann zwei- und dreidimensional sein.

Ein Vektor kann aus zwei oder drei Zahlen bestehen. Aus zwei Zahlen besteht er, wenn er im zweidimensionalen Koordinatensystem liegt, drei, wenn er im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt. Hier siehst du den Aufbau der Vektoren und .

Das nächste zweidimensionale Koordinatensystem zeigt Dir den Vektor , der Dich zum Punkt führt.

Skalarprodukt Vektor b im zweidimensionalen Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 1: Vektor im zweidimensionalen Koordinatensystem

Jetzt folgt Vektor im dreidimensionalen Koordinatensystem.

Der Vektor führt Dich im dreidimensionalen Koordinatensystem zu dem Punkt . Das siehst Du in folgender Abbildung:

Skalarprodukt Vektor a im dreidimensionalen Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 2: Vektor a im dreidimensionalen Koordinatensystem

Ein Vektor kann in einem drei- oder zweidimensionalen Koordinatensystem liegen.

In einem zweidimensionalen Koordinatensystem hat der Vektor zwei Bewegungsrichtungen. Einmal X1, nämlich die Bewegung in Richtung x-Achse und danach x2 in Richtung y-Achse. Im dreidimensionalen Koordinatensystem kommt noch x3 dazu, der Verlauf in Richtung der z-Achse.

Skalarprodukt Erklärung und Bedeutung

Im Folgenden wird Dir erläutert, was das Skalarprodukt ist und wie Du es anwendest.

Ein Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Multiplikation zweier Vektoren miteinander. Dafür wird die jeweils gegenüberstehende Zahl der Vektoren multipliziert und danach werden die Produkte addiert.

Ein Skalarprodukt nennt sich so, weil Skalare (reelle Zahlen) addiert werden, welche aufgrund der vorherigen Multiplikation Produkte sind.

Ein Skalarprodukt brauchst Du für verschiedene Rechenvorgänge.

  1. Zur Berechnung der Länge eines Vektors.
  2. Zur Berechnung eines Winkels zweier Vektoren.
  3. Um zu prüfen, ob zwei Winkel orthogonal zueinander sind.

Orthogonal = senkrecht aufeinander stehend = 90°.

Diese drei Vorgänge werden Dir in diesem Artikel erklärt.

Skalarprodukt berechnen Formel

Ein Skalarprodukt wird berechnet, indem die jeweiligen Zahlen zweier Vektoren multipliziert werden. Nämlich und , etc. und diese werden addiert, um das Skalarprodukt zu erhalten.

Das Skalarprodukt erhältst Du, indem Du die Zeilen jeweils miteinander multiplizierst und danach addierst.

Skalarprodukt Formel StudySmarter

Wichtig ist in dem Fall, dass nicht das normale Multiplikationszeichen verwendet wird, sondern dieses hier .

Im Folgenden wird Dir ein Beispiel für die Berechnung eines Skalarprodukts gezeigt.

Zuerst ein Vektor im zweidimensionalen Koordinatensystem.

Aufgabe 1

Berechne das Skalarprodukt vom Vektor und Vektor .

Lösung

Um das Skalarprodukt zu erhalten, multiplizierst Du die Zahlen jeder Zeile untereinander und addierst sie zu den Produkten der anderen Zeilen.

Das Skalarprodukt ist in diesem Fall 13.

Nun folgt ein Vektor im dreidimensionalen Koordinatensystem.

Aufgabe 2

Berechne das Skalarprodukt vom Vektor und Vektor .

Lösung

Bei dieser Aufgabe wird ebenfalls das gleiche Prinzip angewandt, wie bei dem ersten Beispiel. In diesem Fall kommen nur mehr Zahlen dazu, weil die Vektoren drei Zahlen haben.

Das Skalarprodukt in dieser Aufgabe ist 12.

Rechengesetze Skalarprodukt

Zum Berechnen eines Skalarprodukts gibt es verschiedene Rechengesetze für verschiedene Fälle.

Du brauchst folgende Gesetze:

Distributivgesetz:

Assoziativgesetz:

Eigenschaften eines Skalarprodukts

Je nachdem, welchen Wert das Skalarprodukt hat, haben die Winkel bestimmte Eigenschaften.

  • Wenn , dann ist der Winkel ein Spitzer Winkel ().
  • Wenn , dann ist der Winkel ein stumpfer Winkel ().
  • Wenn , dann ist der Winkel ein rechter Winkel, also 90° groß und die Vektoren stehen orthogonal zueinander.

Wenn ein Skalarprodukt zweier Vektoren gleich 0 ist, dann liegen diese Vektoren orthogonal zueinander.

Aufgabe 3

Berechne das Skalarprodukt des Vektors und .

Lösung

Auch hier gehst Du nach dem gleich Prinzip vor, wie bisher. In diesem Fall kommst Du zum Skalarprodukt 0. Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist, dann sind sie orthogonal zueinander.

Hier siehst Du, wie zwei orthogonal zueinander stehende Vektoren aussehen.

Skalarprodukt Vektor a und b orthogonal zueinander StudySmarterAbbildung 3: Vektor a und b orthogonal zueinander.

Skalarprodukt zur Winkelberechnung

Beim Berechnen eines Winkels wird ebenfalls das Skalarprodukt verwendet.

Die Formel zum Berechnen eines Winkels zwischen zwei Vektoren sieht folgendermaßen aus:

Skalarprodukt Winkelberechnung Vektoren StudySmarter

Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnet. Danach wird die Vektorlänge der beiden Vektoren berechnet und diese beiden Vektorlängen werden miteinander multipliziert. Zuletzt wird das Skalarprodukt durch das Produkt beider Vektorlängen geteilt. All das muss im berechnet werden.

Zum Berechnen eines Winkels ist die Berechnung der Vektorlänge sehr wichtig.

Um die Länge eines Vektors zu berechnen, werden die Zahlen des Vektors quadriert und dann unterhalb einer Wurzel addiert. Daraus wird die Wurzel gezogen und das Ergebnis ist die Länge des Vektors.

Die Vektorlänge berechnet man anhand einer Formel:

Skalarprodukt Vektorlänge StudySmarter

Im nächsten Abschnitt siehst Du ein Beispiel zum Berechnen einer Vektorlänge.

Aufgabe 4

Berechne die Vektorlänge von

Lösung

Zuerst quadrierst Du die Zahlen des Vektors und addierst sie unterhalb einer Wurzel. Dann ziehst Du die Wurzel und erhältst die Länge des Vektors.

Die Vektorlänge beträgt 4,89.

Als Nächstes erhältst Du ein Beispiel zur Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren.

Aufgabe 5

Berechne den Winkel zwischen den beiden weglaufenden Hunden und . Die Strecken der beiden Hunde sind definiert durch die Vektoren und .

Lösung

Zum Winkelberechnen zwischen den Strecken der beiden Hunde setzt du die beiden Vektoren und in die oben genannte Formel ein.

Zuerst berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Strecken:

Gleich darauf berechnest Du die Vektorlänge beider Vektoren und und multiplizierst diese, um das Skalarprodukt damit teilen zu können:

Nun hast Du das Skalarprodukt 13 und die multiplizierten Vektorlängen 20,5. Setz diese jetzt wieder in die Formel ein und rechne es aus. In diesem Fall brauchst Du einen Taschenrechner und benutze den Operator .

Der Winkel zwischen den beiden Strecken der Hunde und beträgt .

Hier siehst Du nochmal ein Bild zur Veranschaulichung:

Skalarprodukt Winkel zwischen den Vektoren a und b StudySmarterAbbildung 4: Winkel zwischen den Vektoren a und b.

Aufgaben zum Berechnen des Skalarprodukts

Nun bekommst Du noch ein paar Übungsaufgaben. Viel Spaß beim Rechnen!

Aufgabe 6

Berechne das Skalarprodukt von den Vektoren .

Lösung

Zuerst multiplizierst Du die einzelnen Zahlen des Vektors miteinander und dann addierst Du diese.

Das Skalarprodukt von Vektor ist 7,5.

Aufgabe 7

Berechne die Vektorlänge des Vektors

Lösung

Zuerst quadrierst Du die Zahlen des Vektors und addierst sie unterhalb einer Wurzel. Dann ziehst Du die Wurzel und erhältst die Länge des Vektors.

Die Vektorlänge beträgt 3.

Aufgabe 8

Berechne den Winkel der Vektoren .

Lösung

Zuerst werden die beiden Vektoren und in die Formel eingesetzt.

Danach wurde das Skalarprodukt der beiden Vektoren und berechnet.

Danach wurden die Vektorlängen der beiden Vektoren und berechnet und miteinander multipliziert.

Nun werden die Werte in die Formel eingesetzt.

Beim Einsetzen der Werte in den Taschenrechner in erhält man den Winkel .

Skalarprodukt Das Wichtigste

  • Zum Berechnen eines Skalarprodukts zweier Vektoren nimmt man die jeweils gegenüberstehende Zahl, multipliziert sie und danach addiert man die Produkte zu einem Skalar.
  • Ein Skalarprodukt nennt sich so, weil man Skalare (reelle Zahlen) addiert, welche ein Produkt sind.
  • Ein Vektor ist ein Objekt, welches in einem Koordinatensystem eine Richtung zu einem Punkt zeigt. Das Koordinatensystem kann zwei- und dreidimensional sein.
  • Vorgehen beim Berechnen eines Skalarprodukts:
  • Wenn ein Skalarprodukt zweier Vektoren gleich 0 ist, dann liegen diese Vektoren orthogonal zueinander.
  • Orthogonal = Senkrecht aufeinander stehend = 90°.

  • Formel zur Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren:

Häufig gestellte Fragen zum Thema Skalarprodukt

Ein Skalarprodukt ist ein Produkt aus zwei Vektoren. Ein Skalarprodukt nennt sich so, weil Skalare (reelle Zahlen) addiert werden, welche aufgrund der vorherigen Multiplikation Produkte sind.

Wenn ein Salarprodukt gleich 0 ist, dann sind die Vektoren orthogonal zueinander. Sie stehen also senkrecht aufeinander und haben damit einen Winkel von 90°.

Wenn das Skalarprodukt

  • größer als 0 ist, dann ist der Winkel spitz.
  • kleiner als 0 ist, dann ist der Winkel stumpf.
  • gleich 0 ist, dann ist der Winkel rechtwinklig.

Das Skalarprodukt berechnest Du, indem Du zwei Vektoren miteinander multiplizierst und die resultierenden Werte miteinander addierst. Das Ergebnis ist dann das Skalar.

Finales Skalarprodukt Quiz

Frage

Bestimmen x jeweils so, dass die Vektoren v und w einen rechten Winkel einschließen!


Antwort anzeigen

Antwort

  1. -11
  2. 1,4
  3. 0
  4. 2
Frage anzeigen

Frage

Berechne jeweils das Skalarprodukt!



Antwort anzeigen

Antwort

  1. 3
  2. 3
  3. -8
  4. 24
Frage anzeigen

Frage

Berechne jeweils das Skalarprodukt!


Antwort anzeigen

Antwort

  1. 10
  2. -1
  3. 0
  4. 0


Frage anzeigen

Frage

Bilde das Skalarprodukt der Vektoren a und b:



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren: 




Antwort anzeigen

Antwort

  1. 5
  2. 16
  3. -16
  4. 13
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren!



Antwort anzeigen

Antwort

  1. -1
  2. -4
  3. -7
  4. 6
Frage anzeigen

Frage

Beantworte die folgenden Fragen!




Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie lässt sich das Skalarprodukt noch alternativ definieren? (mit Winkel)

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.    u(1, 3, 2)    v(-2, 4 ,-2)

b.   u(2, -3, 1)   v(3, 3, 3)


Antwort anzeigen

Antwort

a. 6

b. 0

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(3, 0, -2)   v(1, 7, -2)

b.   u(1, 0, 1)    v(-2, 7, 10)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 7

b. 8

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.    u(1, 7, 27)    v(1, 10, -3)

b.   u(-2, -3, -4)   v(4, -3, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -10

b. -7

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(9, 3, -1)   v(-4, 12, 3)

b.   u(8, 4, -2)   v(4, 8, 16)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3

b. 32

Frage anzeigen

Frage

Bestimme jeweils das Skalarprodukt!




Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 3, 0)    v(2, 4, 7)

b.   u(2, -2, 3)   v(-1, 2, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 14

b. 0

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 2, -3)    v(-1, 2, 1)

b.   u(2, -2, -2)   v(3, 2, -1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 0

b. 4

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(2, 4, 0)    v(0, 2, 0)

b.   u(4, 2, -1)   v(1, 4, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 8

b. 10

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 2, 0)    v(2, -2, 2)

b.   u(2, 1, 2)    v(1, -2, 1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -2

b. 2

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(4, 3, 7)    v(8, -7, 2)

b.   u(1, -3, 1)   v(5, -7, -5)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 25

b. 21

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(2, -8, 12)   v(4, 6, -3)

b.   u(3, 7, -11)   v(6, 6, 6)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -76

b. -6

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(4, 7, -2)    v(-13, 14, -9)

b.   u(8, 11, -2)  v(-4, -13, -3)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 64

b. -169

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(3, 4, -7)    v(3, -12, 7)

b.   u(6, 8, 1)     v(12, -4, 11)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -88

b. 51

Frage anzeigen

Frage

Bearbeite die folgenden Aufgaben zum Thema Skalarprodukt:


  1. Gib die geometrische "Berechnung" des Skalarprodukt an. D.h wie wird das Skalarprodukt mit Hilfe des eingeschlossenen Winkels berechnet?
  2. Welche Bedeutung hat es, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren Null ist?
  3. Berechne

  4. Berechne


Antwort anzeigen

Antwort

  1. Das Skalarprodukt ist geometrisch definiert als
  2. Ist , so gilt. a und b stehen also senkrecht zueinander.




Frage anzeigen

Frage

Das Skalarprodukt von Vektoren ist...

Antwort anzeigen

Antwort

...eine Zahl

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:


Antwort anzeigen

Antwort

32

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren. Was kannst du schlussfolgern?


Antwort anzeigen

Antwort

0 (das bedeutet, die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander)

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:


Antwort anzeigen

Antwort

48

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:

Antwort anzeigen

Antwort

11

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Vektor v so, dass er orthogonal zu u ist.



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Vektor v so, dass er orthogonal zu u ist.



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Durch welche Formel wird die Berechnung des Skalarproduktes von zwei dreidimensionalen Vektoren definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Beweise, dass für das Skalarprodukt zweier Vektoren gilt:


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob die folgenden Vektoren orthogonal sind.


Antwort anzeigen

Antwort

Da das Skalarprodukt Null ergibt, sind die Vektoren orthogonal.

Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob die folgenden Vektoren orthogonal sind.


Antwort anzeigen

Antwort

Die Vektoren sind nicht orthogonal, da das Skalarprodukt ungleich Null ist.

Frage anzeigen

Frage

Durch die Berechnung des Skalarproduktes zweier Vektoren lässt sich feststellen...

Antwort anzeigen

Antwort

ob die Vektoren orthogonal sind oder nicht

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die beiden Vektoren, die orthogonal sind.


Antwort anzeigen

Antwort

u und v sind orthogonal

u und w sind orthogonal

v und w sind nicht orthogonal

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die beiden Vektoren, die orthogonal sind. 


Antwort anzeigen

Antwort

u und v sind orthogonal

v und w sind orthogonal

u und w sind nicht orthogonal 

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Vektoren v gibt es, die orthogonal zu u sind?


Antwort anzeigen

Antwort

unendlich viele. Hauptsache, die Bedingung für das Skalarprodukt ist erfüllt (muss Null ergeben).

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Skalarprodukt der folgenden Vektoren. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Vektoren senkrecht zueinander stehen?


Antwort anzeigen

Antwort

Das Skalarprodukt muss null ergeben, damit die Vektoren senkrecht zueinander stehen.




Frage anzeigen

Frage

Zeige mit Hilfe des Skalarproduktes, dass die x- und die y-Achsen eines dreidimensionalen Koordinatensystems im rechten Winkel zueinander stehen.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeige, dass die z-Achse eines Koordinatensystems senkrecht auf der x- sowie auf der y-Achse steht.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Die Definition des Skalarproduktes ist

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechnen Sie das Spatprodukt aus den 3 Vektoren x, y und z


a. x(2, 3, 5); y(-2, 4, 0); z(1, 3, -1)

b. x(2, 4, 2); y(-4, 2, 0); z(2, 4, -1)

c. x(2, 1, 2); y(-1, 4, 1); z(0, 4, -2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -46

b. -60

c. -34

Frage anzeigen

Frage

Berechnen Sie das Spatprodukt aus den 3 Vektoren x, y und z


a. x(2, 3, 1); y(-2, 1, 0); z(1, 3, -1)

b. x(2, 1, 2); y(-4, 1, 0); z(2, 1, -1)

c. x(1, 1, 2); y(-1, 4, 1); z(0, 1, -2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -15

b. -18

c. -13

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren a, b und c mit 



Berechne das Spatprodukt von  .



Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 35.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit 


Berechne das Spatprodukt von

Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 71.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit


Berechne das Spatprodukt von  

Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 88.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit


Berechne das Spatprodukt von


Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 46.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit

Berechne das Spatprodukt von 


Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 5.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit 


Berechne das Spatprodukt von



Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 56.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Volumen des Parallelepipeds, das durch die folgenden vier Punkte definiert ist

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Volumen des Parallelepipeds, das durch die folgenden vier Punkte definiert ist


Antwort anzeigen

Antwort

Die vier Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene, womit kein Volumen aufgespannt wird!

Frage anzeigen

Frage

Zeige mit Hilfe des Spatproduktes, dass die beiden folgenden Geraden

windschief zueinander sind.

Antwort anzeigen

Antwort

nicht parallel/identisch


drei linear unabhängige Vektoren


Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren.


Antwort anzeigen

Antwort

-2

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren. 


Antwort anzeigen

Antwort

-69

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren. 


Antwort anzeigen

Antwort

-450

Frage anzeigen

Frage

Das Spatprodukt ist...

Antwort anzeigen

Antwort

...eine Zahl, die ein Volumen widerspiegelt

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren. 


Antwort anzeigen

Antwort

384

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren und interpretiere das Ergebnis.


Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist Null. Das liegt daran, dass Vektor a die Länge Null hat, und somit kein Spat im Raum aufgespannt werden kann. 

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren und interpretiere das Ergebnis.


Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist Null, da die Vektoren a und b linear abhängig sind. Sie zeigen vom Ursprung aus in die gleiche Richtung. So kann kein Spat im Raum aufgespannt werden.

Frage anzeigen
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