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Laura zeichnet eine kleine Stadt. Ziemlich gerade durch diese Stadt verläuft eine Straße. Nun möchte Laura mit einem Abstand von einem Meter parallel zu dieser Straße gerne einen Fußweg einzeichnen. Sie überlegt, wie sie diesen Weg am besten konstruieren kann, sodass er wirklich parallel zur Straße verläuft und einen Meter Abstand hat.
Zum Glück erinnert sich Laura an den Matheunterricht und dass es ein Verfahren gibt, um Parallelen mit gegebenem Abstand zu konstruieren.
Abbildung 1: Lauras Stadt ohne Fußweg
Konstruiert wird in den meisten Fällen mit Zirkel und Lineal. In den folgenden Konstruktionsbeschreibungen wird zunächst auf das Geodreieck verzichtet und der Zirkel verwendet. Dadurch ist die Konstruktion genauer. Weiter unten findest Du aber auch eine Erklärung, wie Du eine Parallele mit gegebenem Abstand mit dem Geodreieck zeichnen kannst.
In den meisten umfangreicheren Konstruktionen kommen einige grundlegende Konstruktionen immer wieder vor. Sie werden auch Grundkonstruktionen genannt. Deswegen ist es sinnvoll, diese Grundkonstruktionen zuerst separat zu betrachten, damit Du sie in der späteren Konstruktion der Parallelen anwenden kannst.
Für das Konstruieren einer Parallelen mit gegebenem Abstand benötigst Du ein Lot. Das Lot gehört zu den Grundkonstruktionen.
Bevor Du ein Lot konstruierst, stellt sich die Frage, was ein Lot überhaupt genau ist.
Ein Lot in Mathe ist eine Gerade oder Strecke l, die senkrecht zu einer anderen Geraden oder Strecke g verläuft.
Mit anderen Worten: Wenn l orthogonal zu g liegt, ist l das Lot von g.
Diese Annahme wird mathematisch folgendermaßen ausgedrückt:
Die Wörter orthogonal und senkrecht bedeuten dasselbe.
Mit den folgenden Schritten kannst Du ein Lot konstruieren. Wenn Du die Schritte nacheinander notierst, hast Du eine Konstruktionsbeschreibung.
1. Gegeben ist eine Gerade g. Wähle einen Punkt P auf dieser Geraden, durch den das Lot verlaufen soll. Zeichne mit Deinem Zirkel einen Kreis um den Punkt P mit beliebigem Radius wie in Abbildung 2.
Abbildung 2: Kreis um den Punkt P
2. Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Punkten . Zeichne mit Deinem Zirkel um diese Schnittpunkte je einen Kreis mit einem Radius größer als die Hälfte der Strecke wie in Abbildung 3. Der Radius muss bei beiden Kreisen gleich groß sein.
Die Punkte S1 und S2 haben den gleichen Abstand zum Punkt P, da sie beide auf demselben Kreis mit dem Punkt P als Mittelpunkt liegen.
Abbildung 3: Kreise mit demselben Radius um die Schnittpunkte
3. Die Kreise und schneiden sich in den Punkten und . Zeichne eine Gerade durch diese Schnittpunkte wie in Abbildung 4. Die Gerade steht im rechten Winkel zur Geraden und verläuft durch den Punkt P. Also ist die Gerade ein Lot zur Geraden durch den Punkt P.
Abbildung 4: Lot durch die Schnittpunkte zeichnen
Lass Dich nicht verwirren, falls Du eher die Konstruktion von Mittelsenkrechten kennst. Die Konstruktion von Lot und Mittelsenkrechten ist sehr ähnlich. Der Unterschied ist nur, dass bei der Mittelsenkrechten bereits zwei Punkte gegeben sind, in deren Mitte die senkrechte stehen soll. Das Lot ist in Abbildung 3 also auch die Mittelsenkrechte der Punkte
Mit dieser Grundkonstruktion kannst Du nun auch eine Parallele konstruieren.
Es gibt auch noch weitere Grundkonstruktionen, die in vielen komplexen Konstruktionen vorkommen.
Diese sind unter anderem:
Konstruieren einer Mittelsenkrechte (halbieren einer Strecke)
Konstruieren einer Winkelhalbierenden (halbieren eines Winkels)
Strecke abtragen
Wenn Du eine dieser Grundkonstruktionen genauer anschauen möchtest, sieh Dir gerne die Erklärung dazu an.
Laura wollte im Einstiegsbeispiel einen Fußweg in einem Meter Entfernung parallel zu einer Straße zeichnen. Wenn Du dies in die Mathematik, genauer gesagt in die Geometrie, überträgst, entsprichst dies der Konstruktion einer Parallelen mit bestimmen Abstand. Für diese Konstruktion sind die folgenden Schritte in der Konstruktionsbeschreibung hilfreich.
Gegeben ist eine Gerade g (in Lauras Beispiel die Straße). Zu dieser Geraden konstruiert Du zuerst ein Lot wie eben.
Abbildung 5: Lot l zur Geraden g konstruieren
Auf dem eben gezeichnetem Lot trägst Du den gegebenen Abstand ab. Dazu stellst Du Deinen Zirkel auf diesen Abstand ein und schlägst einen Kreis k um den Punkt P mit diesem gegebenen Radius.
Du kannst auch nur einen Teil des Kreises zeichnen, sodass Du weißt, wo der Kreis das Lot schneidet.
Der Schnittpunkt S des Lots l mit dem Kreis k hat genau den gegebenen Abstand zur Geraden g.
Es gibt zwei Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden l. Beide Punkte haben den gleichen Abstand zum Punkt P. Für die weitere Konstruktion langt es aber, wenn Du einen dieser Punkte, wie in Abbildung 6, verwendest.
Abbildung 6: gegebenen Abstand auf dem Lot mit dem Zirkel abtragen
Im nächsten Schritt konstruierst Du nun wieder ein Lot. Dieses soll senkrecht zur Geraden l sein und durch den Punkt S verlaufen. Dazu zeichnest Du zuerst einen Kreis um S.
Abbildung 7: Kreis um S zeichnen
Der Kreis schneidet die Gerade l in den Punkten . Um diese Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden zeichnest Du mit Deinem Zirkel je einen Kreis mit dem Radius größer als die Hälfte der Strecke wie in Abbildung 8.
Der Radius muss größer als die Hälfte der Strecke zwischen den Mittelpunkten sein, damit sich die beiden Kreise schneiden.
Abbildung 8: Kreise um die Schnittpunkte zeichnen
Die Kreise schneiden sich in den Punkten . Durch diese Schnittpunkte zeichnest Du die Gerade p wie in Abbildung 9. Diese Gerade p ist das Lot zur Geraden l.
Abbildung 9: Lot p zeichnen
Außerdem ist diese Gerade p parallel zur Geraden g und hat den vorgegebenen Abstand zu ihr.
Abbildung 10: Gerade g und Parallele p mit gegebenem Abstand
Wenn eine Gerade g und ein Abstand für eine Parallele vorgegeben sind, kannst Du die folgenden Schritte und Abbildung 10 als Vorlage zur Konstruktion verwenden:
Lot konstruieren
gegebenen Abstand abtragen
Lot konstruieren
Abbildung 11: Parallele mit gegebenem Abstand konstruieren: Vorlage
Die folgende Aufgabe kannst Du nutzen, um das Konstruieren einer Parallelen mit einem bestimmten Abstand zu üben.
Aufgabe 1
Gegeben ist die folgende Straße, die als Gerade g wie in Abbildung 12 dargestellt wird. In einem Abstand von einem Meter, das entspricht hier 10 Kästchen, soll parallel zur Straße ein Fußweg als Gerade eingezeichnet werden.
Abbildung 12: Gerade g
Konstruiere eine Parallele p zu g im Abstand von 10 Kästchen (5 cm).
Lösung
Zuerst konstruierst Du ein Lot zur Geraden g wie in Abbildung 13.
Abbildung 13: Lot zur Geraden g
Im nächsten Schritt trägst Du den Abstand von 10 Kästchen vom Schnittpunkt der Geraden g mit dem Lot auf dem Lot ab. Dazu zeichnest Du mit Deinem Zirkel einen Kreis mit 5 cm Radius um den Schnittpunkt von Gerade und Lot. Du brauchst den Kreis dabei nicht unbedingt vollständig zu zeichnen. Der Schnittpunkt des Kreises mit dem Lot hat genau einen Abstand von 10 Kästchen zur Geraden g.
10 Kästchen auf einem karierten Papier entsprechen in den allermeisten Fällen genau 5 cm.
Abbildung 14: Kreis mit Radius 10 Kästchen = 5 cm
Durch den Schnittpunkt des Kreises mit dem Lot konstruierst Du nun wieder ein Lot wie in Abbildung 15.
Abbildung 15: Lot konstruieren
Diese so konstruierte Gerade p ist parallel zur Geraden g und hat einen Abstand von 10 Kästchen (5 cm) zur Geraden g.
Wenn Du ein Lot zur gegebenen Geraden konstruierst und auf diesem Lot den bestimmten Abstand abgetragen hast, gibt es noch weitere Möglichkeiten, um die Parallele zu konstruieren.
Du wiederholst die Konstruktion eines Lots zur gegebenen Geraden. Auch auf dem zweiten Lot trägst Du den bestimmten Abstand ab. Dadurch erhältst Du den Punkt O wie in Abbildung 16.
Abbildung 16: zweites Lot konstruieren
Im nächsten Schritt zeichnest Du eine Gerade p durch die Punkte S und O. Diese Gerade p ist parallel zur Geraden g und hat den gegebenen Abstand zu ihr.
Abbildung 17: Parallele mit gegebenem Abstand
Du kannst eine Parallele in einem bestimmten Abstand zu einer gegebenen Geraden g auch mit einem Geodreieck zeichnen.
Dazu zeichnest Du zuerst eine Senkrechte s zu der gegebenen Geraden. Hierfür legst Du das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade wie in Abbildung 18.
Abbildung 18: Senkrechte mit dem Geodreieck zeichnen
Auf der Senkrechten s zeichnest Du nun einen Punkt P ein, der den gegebenen Abstand zur Geraden g hat. In Abbildung 19 sind es 5 cm.
Abbildung 19: Punkt im gegebenen Abstand einzeichnen
Im letzten Schritt zeichnest Du eine Senkrechte p zur Geraden s durch den Punkt P wie in Abbildung 20.
Abbildung 20: Parallele zeichnen
Die Geraden p ist parallel zur Geraden g und hat den gegebenen Abstand zu ihr.
Zuerst zeichnest Du eine Gerade. Konstruiere zu dieser Geraden ein Lot mithilfe Deines Zirkels. Zu diesem Lot konstruierst Du nun wieder ein Lot. Das Lot zu Lot (also das zweite Lot) ist dann parallel zur gegebenen Geraden.
Gegeben ist eine Gerade. Konstruiere zu dieser Geraden ein Lot mithilfe Deines Zirkels. Zu diesem Lot konstruierst Du nun ein weiteres Lot. Dieses Lot ist parallel zur gegebenen Geraden.
Gegeben ist ein Punkt und eine Gerade. Der Punkt liegt nicht auf der Geraden. Zuerst zeichnest Du einen Kreis um den gegebenen Punkt, sodass dieser Kreis die Gerade schneidet. Zu den beiden Schnittpunkten des Kreises mit der Geraden konstruierst Du die Mittelsenkrechte. Diese verläuft auch durch den gegebenen Punkt. Jetzt konstruierst Du noch ein Lot zu dieser Mittelsenkrechten und durch den gegebenen Punkt. Dieses Lot ist parallel zur gegebenen Geraden und verläuft durch den gegebenen Punkt.
Parallelen findest Du zum Beispiel in geometrischen Formen wie dem Rechteck, dem Quadrat oder Raute. Auch Würfel haben Parallelen. Und in Deinem Alltag kannst Du auch Parallelen finden: Der Fußweg verläuft häufig parallel zur Straße. Die beiden Pfosten eines Tores sind parallel.
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