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Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren

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Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren

Laura zeichnet eine kleine Stadt. Ziemlich gerade durch diese Stadt verläuft eine Straße. Nun möchte Laura mit einem Abstand von einem Meter parallel zu dieser Straße gerne einen Fußweg einzeichnen. Sie überlegt, wie sie diesen Weg am besten konstruieren kann, sodass er wirklich parallel zur Straße verläuft und einen Meter Abstand hat.

Zum Glück erinnert sich Laura an den Matheunterricht und dass es ein Verfahren gibt, um Parallelen mit gegebenem Abstand zu konstruieren.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Skizze StudySmarterAbbildung 1: Lauras Stadt ohne Fußweg

Parallele Konstruieren – Grundkonstruktionen

Konstruiert wird in den meisten Fällen mit Zirkel und Lineal. In den folgenden Konstruktionsbeschreibungen wird zunächst auf das Geodreieck verzichtet und der Zirkel verwendet. Dadurch ist die Konstruktion genauer. Weiter unten findest Du aber auch eine Erklärung, wie Du eine Parallele mit gegebenem Abstand mit dem Geodreieck zeichnen kannst.

In den meisten umfangreicheren Konstruktionen kommen einige grundlegende Konstruktionen immer wieder vor. Sie werden auch Grundkonstruktionen genannt. Deswegen ist es sinnvoll, diese Grundkonstruktionen zuerst separat zu betrachten, damit Du sie in der späteren Konstruktion der Parallelen anwenden kannst.

Für das Konstruieren einer Parallelen mit gegebenem Abstand benötigst Du ein Lot. Das Lot gehört zu den Grundkonstruktionen.

Konstruktion eines Lots

Bevor Du ein Lot konstruierst, stellt sich die Frage, was ein Lot überhaupt genau ist.

Ein Lot in Mathe ist eine Gerade oder Strecke l, die senkrecht zu einer anderen Geraden oder Strecke g verläuft.

Mit anderen Worten: Wenn l orthogonal zu g liegt, ist l das Lot von g.

Diese Annahme wird mathematisch folgendermaßen ausgedrückt:

g l

Die Wörter orthogonal und senkrecht bedeuten dasselbe.

Mit den folgenden Schritten kannst Du ein Lot konstruieren. Wenn Du die Schritte nacheinander notierst, hast Du eine Konstruktionsbeschreibung.

1. Gegeben ist eine Gerade g. Wähle einen Punkt P auf dieser Geraden, durch den das Lot verlaufen soll. Zeichne mit Deinem Zirkel einen Kreis k1 um den Punkt P mit beliebigem Radius wie in Abbildung 2.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Kreis um Punkt StudySmarterAbbildung 2: Kreis um den Punkt P

2. Der Kreis k1 schneidet die Gerade g in zwei Punkten (S1, S2). Zeichne mit Deinem Zirkel um diese Schnittpunkte je einen Kreis (k2, k3) mit einem Radius größer als die Hälfte der Strecke S1S2¯ wie in Abbildung 3. Der Radius muss bei beiden Kreisen gleich groß sein.

Die Punkte S1 und S2 haben den gleichen Abstand zum Punkt P, da sie beide auf demselben Kreis mit dem Punkt P als Mittelpunkt liegen.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Lot konstruieren StudySmarterAbbildung 3: Kreise mit demselben Radius um die Schnittpunkte

3. Die Kreise k2 und k3 schneiden sich in den Punkten S3 und S4. Zeichne eine Gerade l durch diese Schnittpunkte wie in Abbildung 4. Die Gerade l steht im rechten Winkel zur Geraden g und verläuft durch den Punkt P. Also ist die Geradel ein Lot zur Geraden g durch den Punkt P.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Lot zeichnen StudySmarterAbbildung 4: Lot durch die Schnittpunkte zeichnen

Lass Dich nicht verwirren, falls Du eher die Konstruktion von Mittelsenkrechten kennst. Die Konstruktion von Lot und Mittelsenkrechten ist sehr ähnlich. Der Unterschied ist nur, dass bei der Mittelsenkrechten bereits zwei Punkte gegeben sind, in deren Mitte die senkrechte stehen soll. Das Lot ist in Abbildung 3 also auch die Mittelsenkrechte der Punkte

Mit dieser Grundkonstruktion kannst Du nun auch eine Parallele konstruieren.

Es gibt auch noch weitere Grundkonstruktionen, die in vielen komplexen Konstruktionen vorkommen.

Diese sind unter anderem:

  • Winkel abtragen

  • Konstruieren einer Mittelsenkrechte (halbieren einer Strecke)

  • Konstruieren einer Winkelhalbierenden (halbieren eines Winkels)

  • Strecke abtragen

Wenn Du eine dieser Grundkonstruktionen genauer anschauen möchtest, sieh Dir gerne die Erklärung dazu an.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren – Erklärung

Laura wollte im Einstiegsbeispiel einen Fußweg in einem Meter Entfernung parallel zu einer Straße zeichnen. Wenn Du dies in die Mathematik, genauer gesagt in die Geometrie, überträgst, entsprichst dies der Konstruktion einer Parallelen mit bestimmen Abstand. Für diese Konstruktion sind die folgenden Schritte in der Konstruktionsbeschreibung hilfreich.

Parallele konstruieren – Lot zur Geraden zeichnen

Gegeben ist eine Gerade g (in Lauras Beispiel die Straße). Zu dieser Geraden konstruiert Du zuerst ein Lot l wie eben.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Lot zur Gerade konstruieren StudySmarterAbbildung 5: Lot l zur Geraden g konstruieren

Parallele konstruieren – gegebenen Abstand abtragen

Auf dem eben gezeichnetem Lot trägst Du den gegebenen Abstand ab. Dazu stellst Du Deinen Zirkel auf diesen Abstand ein und schlägst einen Kreis k um den Punkt P mit diesem gegebenen Radius.

Du kannst auch nur einen Teil des Kreises zeichnen, sodass Du weißt, wo der Kreis das Lot schneidet.

Der Schnittpunkt S des Lots l mit dem Kreis k hat genau den gegebenen Abstand zur Geraden g.

Es gibt zwei Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden l. Beide Punkte haben den gleichen Abstand zum Punkt P. Für die weitere Konstruktion langt es aber, wenn Du einen dieser Punkte, wie in Abbildung 6, verwendest.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Abstand abtragen StudySmarterAbbildung 6: gegebenen Abstand auf dem Lot mit dem Zirkel abtragen

Parallele konstruieren – Lot zur Geraden l durch S zeichnen

Im nächsten Schritt konstruierst Du nun wieder ein Lot. Dieses soll senkrecht zur Geraden l sein und durch den Punkt S verlaufen. Dazu zeichnest Du zuerst einen Kreis k1 um S.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Kreis zeichnen StudySmarterAbbildung 7: Kreis um S zeichnen

Der Kreis k1 schneidet die Gerade l in den Punkten S1,S2. Um diese Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden zeichnest Du mit Deinem Zirkel je einen Kreis (k2,k3) mit dem Radius größer als die Hälfte der Strecke S1S2¯ wie in Abbildung 8.

Der Radius muss größer als die Hälfte der Strecke zwischen den Mittelpunkten sein, damit sich die beiden Kreise schneiden.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Kreise um Schnittpunkte StudySmarterAbbildung 8: Kreise um die Schnittpunkte zeichnen

Die Kreise k2, k3 schneiden sich in den Punkten S3, S4. Durch diese Schnittpunkte zeichnest Du die Gerade p wie in Abbildung 9. Diese Gerade p ist das Lot zur Geraden l.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Lot zeichnen StudySmarterAbbildung 9: Lot p zeichnen

Außerdem ist diese Gerade p parallel zur Geraden g und hat den vorgegebenen Abstand zu ihr.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Gerade Parallele Ergebnis StudySmarterAbbildung 10: Gerade g und Parallele p mit gegebenem Abstand

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren – Vorlage

Wenn eine Gerade g und ein Abstand für eine Parallele vorgegeben sind, kannst Du die folgenden Schritte und Abbildung 10 als Vorlage zur Konstruktion verwenden:

  1. Lot konstruieren

  2. gegebenen Abstand abtragen

  3. Lot konstruieren

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Vorlage StudySmarterAbbildung 11: Parallele mit gegebenem Abstand konstruieren: Vorlage

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren – Aufgaben lösen

Die folgende Aufgabe kannst Du nutzen, um das Konstruieren einer Parallelen mit einem bestimmten Abstand zu üben.

Aufgabe 1

Gegeben ist die folgende Straße, die als Gerade g wie in Abbildung 12 dargestellt wird. In einem Abstand von einem Meter, das entspricht hier 10 Kästchen, soll parallel zur Straße ein Fußweg als Gerade eingezeichnet werden.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Gerade StudySmarterAbbildung 12: Gerade g

Konstruiere eine Parallele p zu g im Abstand von 10 Kästchen (5 cm).

Lösung

Zuerst konstruierst Du ein Lot zur Geraden g wie in Abbildung 13.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Lot konstruieren StudySmarterAbbildung 13: Lot zur Geraden g

Im nächsten Schritt trägst Du den Abstand von 10 Kästchen vom Schnittpunkt der Geraden g mit dem Lot auf dem Lot ab. Dazu zeichnest Du mit Deinem Zirkel einen Kreis mit 5 cm Radius um den Schnittpunkt von Gerade und Lot. Du brauchst den Kreis dabei nicht unbedingt vollständig zu zeichnen. Der Schnittpunkt des Kreises mit dem Lot hat genau einen Abstand von 10 Kästchen zur Geraden g.

10 Kästchen auf einem karierten Papier entsprechen in den allermeisten Fällen genau 5 cm.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Abstand abtragen StudySmarterAbbildung 14: Kreis mit Radius 10 Kästchen = 5 cm

Durch den Schnittpunkt des Kreises mit dem Lot konstruierst Du nun wieder ein Lot wie in Abbildung 15.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Lot Gerade StudySmarterAbbildung 15: Lot konstruieren

Diese so konstruierte Gerade p ist parallel zur Geraden g und hat einen Abstand von 10 Kästchen (5 cm) zur Geraden g.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren – weitere Möglichkeiten

Wenn Du ein Lot zur gegebenen Geraden konstruierst und auf diesem Lot den bestimmten Abstand abgetragen hast, gibt es noch weitere Möglichkeiten, um die Parallele zu konstruieren.

Du wiederholst die Konstruktion eines Lots zur gegebenen Geraden. Auch auf dem zweiten Lot trägst Du den bestimmten Abstand ab. Dadurch erhältst Du den Punkt O wie in Abbildung 16.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren zweites Lot konstruieren StudySmarterAbbildung 16: zweites Lot konstruieren

Im nächsten Schritt zeichnest Du eine Gerade p durch die Punkte S und O. Diese Gerade p ist parallel zur Geraden g und hat den gegebenen Abstand zu ihr.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Parallele zeichnen StudySmarterAbbildung 17: Parallele mit gegebenem Abstand

Parallele mit dem Geodreieck zeichnen

Du kannst eine Parallele in einem bestimmten Abstand zu einer gegebenen Geraden g auch mit einem Geodreieck zeichnen.

Dazu zeichnest Du zuerst eine Senkrechte s zu der gegebenen Geraden. Hierfür legst Du das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade wie in Abbildung 18.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Senkrechte zeichnen StudySmarterAbbildung 18: Senkrechte mit dem Geodreieck zeichnen

Auf der Senkrechten s zeichnest Du nun einen Punkt P ein, der den gegebenen Abstand zur Geraden g hat. In Abbildung 19 sind es 5 cm.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Punkt einzeichnen StudySmarterAbbildung 19: Punkt im gegebenen Abstand einzeichnen

Im letzten Schritt zeichnest Du eine Senkrechte p zur Geraden s durch den Punkt P wie in Abbildung 20.

Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren zeichnen StudySmarterAbbildung 20: Parallele zeichnen

Die Geraden p ist parallel zur Geraden g und hat den gegebenen Abstand zu ihr.

Parallele mit gegebenem Abstand konstruieren - Das Wichtigste

  • Eine Parallele zu einer Geraden mit vorgegebenem Abstand konstruierst Du mit Zirkel und Lineal.
  • Um die Parallele zu konstruieren, wendest Du die folgenden Schritte an:
    • Lot zur Geraden konstruieren
    • gegebenen Abstand auf dem Lot abtragen, Punkt in diesem Abstand einzeichnen
    • weiteres Lot durch diesen Punkt konstruieren
    • dieses Lot entspricht der gesuchten Parallelen

Nachweise

  1. Kliemann et al. (2006). mathe live 5, Mathematik für Sekundarstufe 1. Ernst Klett Verlag GmbH.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren

Zuerst zeichnest Du eine Gerade. Konstruiere zu dieser Geraden ein Lot mithilfe Deines Zirkels. Zu diesem Lot konstruierst Du nun wieder ein Lot. Das Lot zu Lot (also das zweite Lot) ist dann parallel zur gegebenen Geraden.

Gegeben ist eine Gerade. Konstruiere zu dieser Geraden ein Lot mithilfe Deines Zirkels. Zu diesem Lot konstruierst Du nun ein weiteres Lot. Dieses Lot ist parallel zur gegebenen Geraden. 

Gegeben ist ein Punkt und eine Gerade. Der Punkt liegt nicht auf der Geraden. Zuerst zeichnest Du einen Kreis um den gegebenen Punkt, sodass dieser Kreis die Gerade schneidet. Zu den beiden Schnittpunkten des Kreises mit der Geraden konstruierst Du die Mittelsenkrechte. Diese verläuft auch durch den gegebenen Punkt. Jetzt konstruierst Du noch ein Lot zu dieser Mittelsenkrechten und durch den gegebenen Punkt. Dieses Lot ist parallel zur gegebenen Geraden und verläuft durch den gegebenen Punkt.

Parallelen findest Du zum Beispiel in geometrischen Formen wie dem Rechteck, dem Quadrat oder Raute. Auch Würfel haben Parallelen. Und in Deinem Alltag kannst Du auch Parallelen finden: Der Fußweg verläuft häufig parallel zur Straße. Die beiden Pfosten eines Tores sind parallel.

Finales Parallele mit bestimmten Abstand konstruieren Quiz

Frage

Welche Grundkonstruktion benötigst Du, um eine Parallele zu konstruieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Um eine Parallel zu konstruieren, benötigst Du die Konstruktion eines Lots. 

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du einen bestimmten Abstand von einem Punkt aus auf einer Geraden mit dem Zirkel abtragen?

Antwort anzeigen

Antwort

Um einen bestimmten Abstand von einem Punkt aus abzutragen, stellst Du den Zirkel auf diesen Abstand ein. Dann ziehst Du einen Kreis mit diesem Radius um den Punkt. Der Schnittpunkt vom Kreis mit der Geraden hat den gegebenen Abstand zum ursprünglichen Punkt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Lot von einer Geraden? Erkläre.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Lot von einer Geraden ist wieder eine Gerade. Diese steht senkrecht zur ersten Geraden.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du ein Lot zu einer gegebenen Geraden konstruieren kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um ein Lot zu konstruieren, stichst Du an einer beliebigen Stelle auf der Geraden mit dem Zirkel ein und zeichnest einen Kreis. Jetzt zeichnest Du einen weiteren Kreis mit demselben Radius. Der Mittelpunkt des Kreises liegt auch auf der Geraden und der Abstand muss so gewählt sein, dass sich die beiden Kreise schneiden. Zum Schluss ziehst Du eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreise. Diese Gerade ist das Lot.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Lot? Wähle die richtige Definition aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Lot ist eine senkrechte Gerade zu einer gegebenen Geraden.

Frage anzeigen

Frage

Stell Dir vor, Du konstruierst auf einer Geraden zwei Kreise mit demselben Radius und ziehst eine Gerade durch die Schnittpunkte dieser Kreise. In welchem Winkel steht die konstruierte Gerade zur gegebenen Geraden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die konstruierte Gerade steht im 90°-Winkel zur gegebenen Gerade. Sie ist ein Lot.

Frage anzeigen

Frage

Wähle den ersten Schritt aus, den Du machst, wenn Du eine Parallele mit vorgegebenem Abstand zu einer Geraden konstruieren sollst.

Antwort anzeigen

Antwort

Lot zur Geraden konstruieren

Frage anzeigen

Frage

Wähle den zweiten Schritt aus, den Du machst, wenn Du eine Parallele mit vorgegebenem Abstand zu einer Geraden konstruieren sollst. 


Im ersten Schritt wurde bereits ein Lot zur Geraden konstruiert.

Antwort anzeigen

Antwort

Abstand auf dem Lot abtragen

Frage anzeigen

Frage

Wähle den dritten Schritt aus, den Du machst, wenn Du eine Parallele mit vorgegebenem Abstand zu einer Geraden konstruieren sollst. 


Im ersten und zweiten Schritt wurde bereits ein Lot zur Geraden konstruiert und der gegebene Abstand auf dem Lot abgetragen.

Antwort anzeigen

Antwort

Lot zum Lot durch den abgetragenen Punkt konstruieren 

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Parallele zu einer Geraden?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Parallele zu einer Geraden ist eine weitere Gerade. Jeder Punkt auf der zweiten Gerade hat denselben Abstand zur ersten Geraden. Die beiden Geraden schneiden sich nie.

Frage anzeigen

Frage

Stell Dir vor, Du konstruierst zu einer gegebenen Geraden ein Lot und zu diesem Lot wieder ein Lot. In welchem Verhältnis steht das zweite Lot dann zur gegebenen Geraden?

Antwort anzeigen

Antwort

Das zweite Lot ist eine Parallele zur gegebenen Geraden.

Frage anzeigen
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