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Ähnlichkeit

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Ähnlichkeit

Du hast Dich bestimmt schon mal mit Deinen Geschwistern oder Eltern verglichen und Dir ist die eine oder andere Ähnlichkeit aufgefallen: Eine ähnliche Nase, ähnliche Haare und vieles mehr.

Ähnlichkeit Geschwister StudySmarter

Nicht nur bei Menschen findest Du Ähnlichkeiten, sondern auch in der Mathematik, genauer gesagt in der Geometrie. Was genau die Ähnlichkeit in Mathe bedeutet und wie Du herausfindest, ob etwas ähnlich ist, erfährst Du hier.

Ähnlichkeit Geometrie – Einstieg und Wiederholung

Die Ähnlichkeit ist etwa vergleichbar mit der Ähnlichkeit unter Geschwistern. Geschwister besitzen meist gewisse Gemeinsamkeiten, aber auch Unterschiede in ihrem Aussehen. Die sogenannte „Kongruenz“ dagegen ist eher vergleichbar mit dem Aussehen eineiiger Zwillinge – auf den ersten Blick sehen sie gleich aus.

In der Mathematik geht es bei der Ähnlichkeit auch um das Aussehen, allerdings nicht das von Menschen. Hier sind es Figuren, die zueinander ähnlich oder auch kongruent sein können.

Kongruenz – Definition

Die Ähnlichkeit und die Kongruenz sind eng miteinander verbunden. Die Kongruenz ist sogar ein Spezialfall der Ähnlichkeit. Mehr dazu erfährst Du etwas weiter unten.

Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung (Spiegelung, Verschiebung, Drehung oder deren Verkettung) ineinander übergehen.

Anders gesagt bedeutet Kongruenz, dass zwei Figuren genau gleich sind. Sie besitzen gleiche Seitenlängen und gleiche Winkel, sind aber zum Beispiel gedreht, gespiegelt oder verschoben. So ist die Kongruenz meist nicht auf den ersten Blick erkennbar und muss überprüft werden.

Die beiden Figuren in der Abbildung sind kongruent zueinander.

Ähnlichkeit kongruente Figuren StudySmarterAbbildung 1: Kongruente Figuren

Mehr zur Kongruenz erfährst Du in der Erklärung Kongruenzabbildungen.

Zentrische Streckung

Wichtig für die Ähnlichkeit von Figuren ist die sogenannte „zentrische Streckung“.

Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Figur. Dabei bleiben die Streckenverhältnisse und die Winkel unverändert. Der Ausgangspunkt zentrischer Streckungen ist das Streckungszentrum Z.

Im Gegensatz zu einer Kongruenzabbildung, z. B. einer Drehung oder Verschiebung, verändert eine zentrische Streckung also auch die Größe einer Figur.

Ähnlichkeit zentrische Streckung StudySmarterAbbildung 2: Zentrische Streckung

In dieser Abbildung ist die Figur \(f_1\) um den Faktor \(k=2\) am Streckzentrum \(Z\) gestreckt, ihre Seitenlängen haben sich also verdoppelt.

Wenn Du mehr darüber erfahren möchtest, sieh Dir die Erklärung Zentrische Streckung an.

Ähnlichkeit in Mathe – Erklärung

Die Ähnlichkeit von Figuren spielt in der Geometrie eine große Rolle. Was genau sie ist und wie Du Figuren auf Ähnlichkei überprüfen kannst, erfährst Du jetzt.

Ähnlichkeit – Definition

Da Du nun die zentrische Streckung kennst, kann die Ähnlichkeit wie folgt definiert werden:

Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.

Hier siehst Du zwei ähnliche Vierecke:

Ähnlichkeit ähnliche Figuren StudySmarterAbbildung 3: Ähnliche Figuren

Sie gehen mit einer zentrischen Streckung ineinander über. Auch hier ist der Streckfaktor, auch Ähnlichkeitsfaktor genannt, \(k=2\).

Ähnlichkeit und zentrische Streckung StudySmarterAbbildung 4: Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

Ähnlichkeit in Mathe berechnen

Ähnliche Figuren besitzen sowohl Übereinstimmungen als auch Unterschiede.

Gegeben seien zwei beliebige ähnliche Figuren \( f_1\) und \( f_2\).

  1. Dann stimmen die Winkel beider Figuren \( f_1\) und \( f_2\) überein. Die Seitenlängen der Figuren \( f_1\) und \( f_2\) sind allerdings unterschiedlich lang, aber ihre Seitenverhältnisse stimmen überein. Wären die Seitenlängen sogar gleich lang, wären die Figuren \( f_1\) und \( f_2\) nicht nur ähnlich, sondern kongruent.

    Um also zu überprüfen, ob zwei Figuren ähnlich sind, solltest Du überprüfen, ob

    1. die einander entsprechenden Winkel der Figuren übereinstimmen. \[\alpha=\beta=\gamma=...\]
    2. die Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten übereinstimmen.\[\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=...\]

Wie genau du Figuren auf Ähnlichkeit überprüfst, lernst Du anhand des folgenden Beispiels. Insbesondere die Längenverhältnisse solltest Du Dir dabei ansehen.

Gegeben sind zwei Figuren \( f_1\) und \( f_2\) mit gegebenen Seitenlängen und Winkeln.

Ähnlichkeit Überprüfung StudySmarterAbbildung 5: Überprüfung auf Ähnlichkeit

Um die Dreiecke auf Ähnlichkeit zu überprüfen, müssen nun also die Seitenverhältnisse sowie die Winkel verglichen werden. Auf den ersten Blick ist schon erkennbar, dass das grüne Dreieck anders gedreht ist, als das blaue. Daher musst Du aufpassen, welche Seiten und Winkel Du vergleichst.

Schritt 1

Da Dreiecke immer eine Innenwinkelsumme von \(180^\circ\) besitzen, lassen sich \(\gamma\) und \(\alpha'\) ausrechnen:

\[ \gamma=180^\circ-68^\circ-59^\circ=53^\circ\]

und

\[\alpha'=180^\circ-59^\circ-53^\circ=68^\circ.\]

Damit stimmen dann tatsächlich alle Winkel überein, denn es gilt

\[ \alpha=\alpha'=68^\circ\]

\[\beta=\beta'=59^\circ\]

\[\gamma=\gamma'=53^\circ.\]

Schritt 2

Wenn Du die Seitenverhältnisse überprüfen willst, stellst Du die entsprechenden Seiten im Bruch dar. Ergibt jeder Bruch das gleiche, so ist das Ergebnis der Ähnlichkeitsfaktor und die Figuren sind ähnlich zueinander.

Du prüfst also, ob

\[ \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\]

gilt. Setzt Du die gegebenen Seitenlängen ein, so gilt

\[\begin{align} \frac{a}{a'} &=\frac{58,3cm}{116,6cm}=2 \\ \frac{b}{b'} &=\frac{53,8cm}{107,2cm}=2 \\ \frac{c}{c'} &=\frac{58,3cm}{116,6cm}=2. \\ \end{align}\]

Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich und der Ähnlichkeitsfaktor ist \(k=2\).

Tatsächlich reicht es bei Dreiecken sogar aus, weniger zu überprüfen, z. B. nur die Winkel oder nur die Seitenlängen. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung Ähnlichkeit Dreiecke.

Ähnlichkeit – Vergrößern und verkleinern von Figuren

Wie Du nun vielleicht schon weißt, kannst Du Figuren vergrößern oder verkleinern, indem Du eine zentrische Streckung durchführst. Dabei erhältst Du zwei ähnliche Figuren. Wie das geht, erfährst Du in diesem kleinen „Ausflug“ in das Thema zentrischer Streckungen.

Hier findest Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung für das Verkleinern oder Vergrößern mithilfe einer zentrischen Streckung!

Konstruktionsbeschreibung
Konstruktionsbild
1. Geben ist die Originalfigur (hier ein Viereck), das Streckzentrum Z und ein Streckfaktor, z. B. \(k=1,5\).

Ähnlichkeit zentrische Streckung StudySmarterAbbildung 6: Zentrische Streckung

2. Du beginnst mit einem Punkt (hier Punkt A) und zeichnest einen Strahl beginnend in Z durch diesen Punkt.

Ähnlichkeit zentrische Streckung StudySmarterAbbildung 7: Zentrische Streckung

3. Jetzt misst Du die Länge der Strecke von Punkt Z zu Punkt A, zum Beispiel mit einem Lineal. Hier ist es \(\overline{AZ}=6cm\). Diese Länge multiplizierst Du mit dem Streckfaktor, hier also \( 6cm \cdot 1,5=9cm \).

Ähnlichkeit zentrische Streckung StudySmarterAbbildung 8: Zentrische Streckung

4. Das ist die Länge der Strecke vom Punkt Z zum neuen Punkt A' auf dem Strahl. Trag diese Strecke auf dem Strahl ab und zeichne den Punkt A' ein.

Ähnlichkeit zentrische Streckung StudySmarterAbbildung 9: Zentrische Streckung

5. Genauso gehst Du für alle weiteren Punkte vor, hier also für die Punkte B, C und D.

Ähnlichkeit zentrische Streckung StudySmarterAbbildung 10: Zentrische Streckung

6. Im letzten Schritt verbindest Du die neuen Punkte (A', B', C' und D') zur Bildfigur. Nun hast Du zwei ähnliche Figuren.

Ähnlichkeit zentrische Streckung StudySmarterAbbildung 11: Zentrische Streckung

Wenn Du eine Figur zentrisch streckst, liegen das Streckzentrum, der Originalpunkt und der zugehörige Bildpunkt stets auf einer Geraden.Möchtest Du eine Figur verkleinern, wählst Du einen Streckfaktor, der zwischen 0 und 1 liegt.Möchtest Du eine Figur vergrößern, wählst Du einen Streckfaktor, der größer als 1 ist.

Ähnlichkeit – Übungen und Aufgaben

Damit Du direkt mit dem Üben loslegen kannst, findest Du hier ein paar Übungen zum Thema Ähnlichkeit.

Aufgabe 1

Überprüfe beide Figuren auf Ähnlichkeit.

Hinweis: Da Du keine Seitenlängen gegeben hast, kannst Du die Kästchen als Orientierung nutzen. Ein Kästchen entspricht einer Längeneinheit (kurz: LE).

Ähnlichkeit Aufgabe 1 StudySmarterAbbildung 12: Aufgabe 1

Lösung

Es kann schnell erkannt werden, dass beide Figuren die gleichen Winkel besitzen. Es sind überall rechte Winkel, außer im Punkt F und F'. Dort sind es außerhalb des Vielecks \(90^\circ\), innerhalb also \(360^\circ-90^\circ=270^\circ\).

Nun müssen also noch die Seitenlängen verglichen werden. Hierbei schaust Du Dir die Verhältnisse der einzelnen Strecken an. Die Strecke von A bis B besteht aus 2 Kästchen, also 2 LE, während die Strecke von A' bis B' aus 3 Kästchen, also 3 LE, besteht. So gehst Du für alle Strecken vor.

\begin{align} \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} &=\frac{2 LE}{3 LE}=\frac{2}{3} \\ \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} &=\frac{2 LE}{3 LE}=\frac{2}{3} \\ \frac{\overline{CD}}{\overline{C'D'}} &=\frac{3 LE}{5 LE}=\frac{3}{5} \\ \frac{\overline{DE}}{\overline{D'E'}} &=\frac{1 LE}{2 LE}=\frac{1}{2} \\ \frac{\overline{EF}}{\overline{E'F'}} &=\frac{1 LE}{2 LE}=\frac{1}{2} \\ \frac{\overline{AF}}{\overline{A'F'}} &=\frac{1 LE}{1 LE}=1 \\ \end{align}

Wie Du siehst, stimmt schon das Verhältnis der Strecken \(\overline{CD}\) und \(\overline{C'D'}\) nicht mehr mit dem Verhältnis der Strecken (\overline{AB}\) und \(\overline{A'B'}\) überein. Theoretisch reicht dies als Beweis dafür, dass die Figuren nicht ähnlich zueinander sind.

Aufgabe 2

Zeichne das Trapez und den Punkt Z in dein Heft und zeichne ein ähnliches Trapez daneben, indem Du es mit dem Streckfaktor \(k=2\) vergrößerst. Z ist dabei das Streckzentrum.

Ähnlichkeit Aufgabe 2 StudySmarterAbbildung 13: Aufgabe 2

Lösung

Deine Zeichnung sollte in etwa so aussehen:

Ähnlichkeit Lösung Aufgabe 2 StudySmarterAbbildung 14: Lösung Aufgabe 2

Aufgabe 3

Überprüfe die Vierecke auf Ähnlichkeit.

Ähnlichkeit Aufgabe 3 StudySmarterAbbildung 15: Aufgabe 3

Lösung

a)

Die Figuren sind ähnlich zueinander, da sie die gleichen Winkel besitzen (alle \(90^\circ\)) und ihre Seiten alle im gleichen Verhältnis stehen. Die langen Seiten sind in der blauen Figur 3 LE lang, in der grünen Figur 6 LE. Das macht einen Streckfaktor/Ähnlichkeitsfaktor von \(\frac{6}{3}=2\). Die kurzen Seiten der blauen Figur sind 1 LE und die der grünen Figur 2 LE, was ebenfalls einen Ähnlichkeitsfaktor von \(\frac{2}{1}=2\) ergibt.

b)

Die Figuren sind nicht ähnlich zueinander. Alle Seiten sind um den Faktor 2 gestreckt, außer die linke Seite. Sie ist lediglich um den Faktor 1,5 gestreckt. Somit stimmen außerdem nicht mehr alle Winkel überein.

c)

Die Figuren sind nicht nur ähnlich zueinander, sie sind sogar kongruent. Du kannst sie also theoretisch genau aufeinanderlegen. Die grüne Figur ist lediglich gedreht.

Ähnlichkeit – Das Wichtigste

  • Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.
  • Um zu überprüfen, ob zwei Figuren ähnlich sind, solltest Du überprüfen, ob
    • die einander entsprechenden Winkel der Figuren übereinstimmen.

      \[\alpha=\beta=\gamma=...\]

    • die Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten übereinstimmen.

      \[\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=...\]

  • Du kannst ähnliche Figuren mithilfe einer zentrischen Streckung konstruieren, indem Du die Ursprungsfigur vergrößerst (Streckfaktor > 1) oder verkleinerst (0 < Streckfaktor < 1).


Nachweise

  1. Walz (2016). Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif. Springer-Verlag.
  2. Scheid, Schwarz (2007). Elemente der Geometrie. Spektrum Akademischer Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ähnlichkeit

Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.

Figuren, die die gleichen Winkel und Längenverhältnisse der Seiten besitzen, sind ähnlich zueinander.

Ähnlichkeit wird überprüft, indem alle entsprechenden Winkel und Verhältnisse der Seiten miteinander verglichen werden. 

Zwei Dreiecke sind z. B. ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen oder wenn ihre Seitenlängen im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Es gibt noch weitere Ähnlichkeitssätze für Dreiecke.

Finales Ähnlichkeit Quiz

Frage

Beschreibe, wann zwei Figuren laut Definition ähnlich zueinander sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Unterschied zwischen Ähnlichkeit und Kongruenz.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei kongruente Figuren sind exakt gleich groß und besitzen die gleichr Form, sie sind lediglich gedreht, verschoben und/oder gespiegelt. 

Ähnliche Figuren sind zusätzlich durch zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert. 

Kongruenz ist also ein Spezialfall von Ähnlichkeit.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie Du die Ähnlichkeit zweier Figuren berechnen/überprüfen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um zu überprüfen, ob zwei Figuren ähnlich sind, solltest Du überprüfen, ob die einander entsprechenden Winkel der Figuren sowie die Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Ähnlichkeitsfaktor berechnet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Ähnlichkeitsfaktor wird mithilfe der Seitenverhältnisse berechnet. Du schreibst dafür die Längen einander entsprechender Seiten in einen Bruch. Das Ergebnis dieses Bruchs ist dann der Ähnlichkeitsfaktor. 


Hast Du etwa zwei Quadrate mit Seitenlänge 2 und 4 gegeben, so ist der Ähnlichkeitsfaktor \(\frac{4}{2}=2\). Das kleinere Quadrat wurde also um den Faktor 2 gestreckt, damit es das größere Quadrat ergibt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, wie der Ähnlichkeitsfaktor auch genannt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Ähnlichkeitsfaktor wird auch Streckfaktor genannt.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was ähnliche Figuren gemeinsam haben. 

Antwort anzeigen

Antwort

Ähnliche Figuren haben die gleichen Winkel und Längenverhältnisse der Seiten.

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Unterschied, den zwei ähnliche Figuren besitzen.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei ähnliche Figuren sind unterschiedlich groß. Wenn sie gleich groß wären, wären sie kongruent.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Zwei Quadrate sind immer ähnlich zueinander.

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist wahr, denn Quadrate haben immer das gleiche Längenverhältnis der Seiten und ihre Innenwinkel betragen alle immer \(90^\circ\). 

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist ein Rechteck mit Seitenlängen 2 cm und 4 cm und ein weiteres Rechteck mit Seitenlängen 3 cm und 6 cm. 


Überprüfe, ob beide Rechtecke ähnlich sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkel in einem Rechteck betragen immer alle \(90^\circ\). Die Längenverhältnisse der Seiten sind:


\[\frac{3}{2}=1,5\, \text{und} \, \frac{6}{4}=1,5.\]


Demnach stimmen die Seitenverhältnisse überein und beide Rechtecke sind ähnlich zueinander.

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Bereich der Zahlen, in dem der Streckfaktor bei einer zentrischen Streckung liegen darf, wenn die Figur verkleinert werden soll.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Verkleinerung liegt der Streckfaktor zwischen 0 und 1, also z. B. bei 0,7.

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Bereich der Zahlen, in dem der Streckfaktor bei einer zentrischen Streckung liegen darf, wenn die Figur vergrößert werden soll.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Vergrößerung ist der Streckfaktor größer als 1. Er kann z.B. \(k=3\) sein.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Eine Kongruenzabbildung verändert die Größe einer Figur.

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist falsch. Eine zentrische Streckung verändert die Größe einer Figur. 

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Wenn Du eine Figur zentrisch streckst, liegen das Streckzentrum, der Originalpunkt und der zugehörige Bildpunkt stets auf einer Geraden.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist wahr.

Frage anzeigen

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