Du hast Dich bestimmt schon mal mit Deinen Geschwistern oder Eltern verglichen und Dir ist die eine oder andere Ähnlichkeit aufgefallen: Eine ähnliche Nase, ähnliche Haare und vieles mehr.
Nicht nur bei Menschen findest Du Ähnlichkeiten, sondern auch in der Mathematik, genauer gesagt in der Geometrie. Was genau die Ähnlichkeit in Mathe bedeutet und wie Du herausfindest, ob etwas ähnlich ist, erfährst Du hier.
Ähnlichkeit Geometrie – Einstieg & Wiederholung
Die Ähnlichkeit ist etwa vergleichbar mit der Ähnlichkeit unter Geschwistern. Geschwister besitzen meist gewisse Gemeinsamkeiten, aber auch Unterschiede in ihrem Aussehen. Die sogenannte „Kongruenz“ dagegen ist eher vergleichbar mit dem Aussehen eineiiger Zwillinge – auf den ersten Blick sehen sie gleich aus.
In der Mathematik geht es bei der Ähnlichkeit auch um das Aussehen, allerdings nicht das von Menschen. Hier sind es Figuren, die zueinander ähnlich oder auch kongruent sein können.
Ähnlichkeit – Kongruenz Definition
Die Ähnlichkeit und die Kongruenz sind eng miteinander verbunden. Die Kongruenz ist sogar ein Spezialfall der Ähnlichkeit. Mehr dazu erfährst Du etwas weiter unten.
Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung (Spiegelung, Verschiebung, Drehung oder deren Verkettung) ineinander übergehen.
Anders gesagt bedeutet Kongruenz, dass zwei Figuren genau gleich sind. Sie besitzen gleiche Seitenlängen und gleiche Winkel, sind aber zum Beispiel gedreht, gespiegelt oder verschoben. So ist die Kongruenz meist nicht auf den ersten Blick erkennbar und muss überprüft werden.
Die beiden Figuren in der Abbildung sind kongruent zueinander.
Abbildung 1: Kongruente Figuren
Mehr zur Kongruenz erfährst Du in der Erklärung Kongruenzabbildungen.
Ähnlichkeit – Zentrische Streckung
Wichtig für die Ähnlichkeit von Figuren ist die sogenannte „zentrische Streckung“.
Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Figur. Dabei bleiben die Streckenverhältnisse und die Winkel unverändert. Der Ausgangspunkt zentrischer Streckungen ist das Streckungszentrum Z.
Im Gegensatz zu einer Kongruenzabbildung, z. B. einer Drehung oder Verschiebung, verändert eine zentrische Streckung also auch die Größe einer Figur.
Abbildung 2: Zentrische Streckung
In dieser Abbildung ist die Figur \(f_1\) um den Faktor \(k=2\) am Streckzentrum \(Z\) gestreckt, ihre Seitenlängen haben sich also verdoppelt.
Wenn Du mehr darüber erfahren möchtest, sieh Dir die Erklärung Zentrische Streckung an.
Ähnlichkeit Mathe – Erklärung
Die Ähnlichkeit von Figuren spielt in der Geometrie eine große Rolle. Was genau sie ist und wie Du Figuren auf Ähnlichkei überprüfen kannst, erfährst Du jetzt.
Ähnlichkeit – Definition
Da Du nun die zentrische Streckung kennst, kann die Ähnlichkeit wie folgt definiert werden:
Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.
Hier siehst Du zwei ähnliche Vierecke:
Abbildung 3: Ähnliche Figuren
Sie gehen mit einer zentrischen Streckung ineinander über. Auch hier ist der Streckfaktor, auch Ähnlichkeitsfaktor genannt, \(k=2\).
Abbildung 4: Zentrische Streckung und Ähnlichkeit
Ähnlichkeit berechnen
Ähnliche Figuren besitzen sowohl Übereinstimmungen als auch Unterschiede.
Gegeben seien zwei beliebige ähnliche Figuren \( f_1\) und \( f_2\).
Dann stimmen die Winkel beider Figuren \( f_1\) und \( f_2\) überein. Die Seitenlängen der Figuren \( f_1\) und \( f_2\) sind allerdings unterschiedlich lang, aber ihre Seitenverhältnisse stimmen überein. Wären die Seitenlängen sogar gleich lang, wären die Figuren \( f_1\) und \( f_2\) nicht nur ähnlich, sondern kongruent.
Um also zu überprüfen, ob zwei Figuren ähnlich sind, solltest Du überprüfen, ob
- die einander entsprechenden Winkel der Figuren übereinstimmen.\[\alpha=\beta=\gamma=...\]
- die Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten übereinstimmen.\[\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=...\]
Wie genau du Figuren auf Ähnlichkeit überprüfst, lernst Du anhand des folgenden Beispiels. Insbesondere die Längenverhältnisse solltest Du Dir dabei ansehen.
Gegeben sind zwei Figuren \( f_1\) und \( f_2\) mit gegebenen Seitenlängen und Winkeln.
Abbildung 5: Überprüfung auf Ähnlichkeit
Um die Dreiecke auf Ähnlichkeit zu überprüfen, müssen nun also die Seitenverhältnisse sowie die Winkel verglichen werden. Auf den ersten Blick ist schon erkennbar, dass das grüne Dreieck anders gedreht ist, als das blaue. Daher musst Du aufpassen, welche Seiten und Winkel Du vergleichst.
Schritt 1
Da Dreiecke immer eine Innenwinkelsumme von \(180^\circ\) besitzen, lassen sich \(\gamma\) und \(\alpha'\) ausrechnen:
\[\gamma=180^\circ-68^\circ-59^\circ=53^\circ\]
und
\[\alpha'=180^\circ-59^\circ-53^\circ=68^\circ.\]
Damit stimmen dann tatsächlich alle Winkel überein, denn es gilt
\[ \alpha=\alpha'=68^\circ\]
\[\beta=\beta'=59^\circ\]
\[\gamma=\gamma'=53^\circ.\]
Schritt 2
Wenn Du die Seitenverhältnisse überprüfen willst, stellst Du die entsprechenden Seiten im Bruch dar. Ergibt jeder Bruch das gleiche, so ist das Ergebnis der Ähnlichkeitsfaktor und die Figuren sind ähnlich zueinander.
Du prüfst also, ob
\[\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\]
gilt. Setzt Du die gegebenen Seitenlängen ein, so gilt
\[\begin{align} \frac{a}{a'} &=\frac{58,3cm}{116,6cm}=2 \\ \frac{b}{b'} &=\frac{53,8cm}{107,2cm}=2 \\ \frac{c}{c'} &=\frac{58,3cm}{116,6cm}=2. \\ \end{align}\]
Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich und der Ähnlichkeitsfaktor ist \(k=2\).
Tatsächlich reicht es bei Dreiecken sogar aus, weniger zu überprüfen, z. B. nur die Winkel oder nur die Seitenlängen. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung Ähnlichkeit Dreiecke.
Ähnlichkeit – Vergrößern und verkleinern von Figuren
Wie Du nun vielleicht schon weißt, kannst Du Figuren vergrößern oder verkleinern, indem Du eine zentrische Streckung durchführst. Dabei erhältst Du zwei ähnliche Figuren. Wie das geht, erfährst Du in diesem kleinen „Ausflug“ in das Thema zentrischer Streckungen.
Hier findest Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung für das Verkleinern oder Vergrößern mithilfe einer zentrischen Streckung!
Konstruktionsbeschreibung | Konstruktionsbild |
1. Geben ist die Originalfigur (hier ein Viereck), das Streckzentrum Z und ein Streckfaktor, z. B. \(k=1,5\). | 
Abbildung 6: Zentrische Streckung |
2. Du beginnst mit einem Punkt (hier Punkt A) und zeichnest einen Strahl beginnend in Z durch diesen Punkt. | 
Abbildung 7: Zentrische Streckung |
3. Jetzt misst Du die Länge der Strecke von Punkt Z zu Punkt A, zum Beispiel mit einem Lineal. Hier ist es \(\overline{AZ}=6cm\). Diese Länge multiplizierst Du mit dem Streckfaktor, hier also \( 6cm \cdot 1,5=9cm \). | 
Abbildung 8: Zentrische Streckung |
4. Das ist die Länge der Strecke vom Punkt Z zum neuen Punkt A' auf dem Strahl. Trag diese Strecke auf dem Strahl ab und zeichne den Punkt A' ein. | 
Abbildung 9: Zentrische Streckung |
5. Genauso gehst Du für alle weiteren Punkte vor, hier also für die Punkte B, C und D. | 
Abbildung 10: Zentrische Streckung |
6. Im letzten Schritt verbindest Du die neuen Punkte (A', B', C' und D') zur Bildfigur. Nun hast Du zwei ähnliche Figuren. |  Abbildung 11: Zentrische Streckung
|
Wenn Du eine Figur zentrisch streckst, liegen das Streckzentrum, der Originalpunkt und der zugehörige Bildpunkt stets auf einer Geraden.Möchtest Du eine Figur
verkleinern, wählst Du einen Streckfaktor, der
zwischen 0 und 1 liegt.Möchtest Du eine Figur
vergrößern, wählst Du einen Streckfaktor, der
größer als 1 ist.
Ähnlichkeit – Aufgaben
Damit Du direkt mit dem Üben loslegen kannst, findest Du hier ein paar Übungen zum Thema Ähnlichkeit.
Aufgabe 1
Überprüfe beide Figuren auf Ähnlichkeit.
Hinweis: Da Du keine Seitenlängen gegeben hast, kannst Du die Kästchen als Orientierung nutzen. Ein Kästchen entspricht einer Längeneinheit (kurz: LE).
Abbildung 12: Aufgabe 1
Lösung
Es kann schnell erkannt werden, dass beide Figuren die gleichen Winkel besitzen. Es sind überall rechte Winkel, außer im Punkt F und F'. Dort sind es außerhalb des Vielecks \(90^\circ\), innerhalb also \(360^\circ-90^\circ=270^\circ\).
Nun müssen also noch die Seitenlängen verglichen werden. Hierbei schaust Du Dir die Verhältnisse der einzelnen Strecken an. Die Strecke von A bis B besteht aus 2 Kästchen, also 2 LE, während die Strecke von A' bis B' aus 3 Kästchen, also 3 LE, besteht. So gehst Du für alle Strecken vor.
\begin{align} \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} &=\frac{2 LE}{3 LE}=\frac{2}{3} \\ \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} &=\frac{2 LE}{3 LE}=\frac{2}{3} \\ \frac{\overline{CD}}{\overline{C'D'}} &=\frac{3 LE}{5 LE}=\frac{3}{5} \\ \frac{\overline{DE}}{\overline{D'E'}} &=\frac{1 LE}{2 LE}=\frac{1}{2} \\ \frac{\overline{EF}}{\overline{E'F'}} &=\frac{1 LE}{2 LE}=\frac{1}{2} \\ \frac{\overline{AF}}{\overline{A'F'}} &=\frac{1 LE}{1 LE}=1 \\ \end{align}
Wie Du siehst, stimmt schon das Verhältnis der Strecken \(\overline{CD}\) und \(\overline{C'D'}\) nicht mehr mit dem Verhältnis der Strecken (\overline{AB}\) und \(\overline{A'B'}\) überein. Theoretisch reicht dies als Beweis dafür, dass die Figuren nicht ähnlich zueinander sind.
Aufgabe 2
Zeichne das Trapez und den Punkt Z in dein Heft und zeichne ein ähnliches Trapez daneben, indem Du es mit dem Streckfaktor \(k=2\) vergrößerst. Z ist dabei das Streckzentrum.
Abbildung 13: Aufgabe 2
Lösung
Deine Zeichnung sollte in etwa so aussehen:
Abbildung 14: Lösung Aufgabe 2
Aufgabe 3
Überprüfe die Vierecke auf Ähnlichkeit.
Abbildung 15: Aufgabe 3
Lösung
a)
Die Figuren sind ähnlich zueinander, da sie die gleichen Winkel besitzen (alle \(90^\circ\)) und ihre Seiten alle im gleichen Verhältnis stehen. Die langen Seiten sind in der blauen Figur 3 LE lang, in der grünen Figur 6 LE. Das macht einen Streckfaktor/Ähnlichkeitsfaktor von \(\frac{6}{3}=2\). Die kurzen Seiten der blauen Figur sind 1 LE und die der grünen Figur 2 LE, was ebenfalls einen Ähnlichkeitsfaktor von \(\frac{2}{1}=2\) ergibt.
b)
Die Figuren sind nicht ähnlich zueinander. Alle Seiten sind um den Faktor 2 gestreckt, außer die linke Seite. Sie ist lediglich um den Faktor 1,5 gestreckt. Somit stimmen außerdem nicht mehr alle Winkel überein.
c)
Die Figuren sind nicht nur ähnlich zueinander, sie sind sogar kongruent. Du kannst sie also theoretisch genau aufeinanderlegen. Die grüne Figur ist lediglich gedreht.
Ähnlichkeit – Das Wichtigste
Nachweise
- Walz (2016). Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif. Springer-Verlag.
- Scheid, Schwarz (2007). Elemente der Geometrie. Spektrum Akademischer Verlag.
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten Erstelle und finde die besten Karteikarten.
Notizen Erstelle Notizen schneller als je zuvor.
Lernsets Alles was du brauchst an einem Ort.
Lernpläne Wöchentliche Ziele, Lern-Reminder, und mehr.
Spaced Repetition Nachhaltiger lernen.
AI powered learning Mithilfe unserer KI zum Lernerfolg
Blog 
