Umfang Parallelogramm

Du kannst von vielen verschiedenen Dingen den Umfang ermitteln – zum Beispiel von Deinem Kopf oder Deinem Tisch. Diese Dinge würdest Du wahrscheinlich mit einem Lineal oder Maßband ausmessen, aber Du kannst den Umfang auch rechnerisch ermitteln. Hier lernst Du, wie Du den Umfang eines Parallelogramms berechnest. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Umfang Parallelogramm – Grundlagenwissen

    Das Parallelogramm ist eine wichtige Figur der Geometrie. Dabei handelt es sich um Vierecke mit besonderen Eigenschaften.

    Ein Parallelogramm hat folgende Eigenschaften: Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel und gleich lang.

    Umfang Parallelogramm Parallelogramm StudySmarterAbbildung 1: Parallelogramm

    Umfang Parallelogramm Quadrat StudySmarterAbbildung 2: QuadratUmfang Parallelogramm Rechteck StudySmarterAbbildung 3: RechteckUmfang Parallelogramm Raute StudySmarterAbbildung 4: Raute

    Das Quadrat, das Rechteck und die Raute sind besondere Parallelogramme.

    Umfang eines Parallelogramms konstruieren

    Jedes Parallelogramm besitzt einen Umfang, der sich wie folgt definiert:

    Der Umfang bezeichnet die Länge einer Linie, welche eine Figur in der Ebene begrenzt. Das Formelzeichen für den Umfang lautet U.

    Der Umfang eines Parallelogramms setzt sich aus den Seitenlängen des Parallelogramms zusammen. Längen werden immer mit einer Maßeinheit angeben, etwa Meter (m), Zentimeter (cm) oder Kilometer (km).

    Umfang Parallelogramm – Herleitung

    Für die allgemeine Formel zur Berechnung des Umfangs addiert man alle Längen der Seiten der Figur. Bei einem allgemeinen Viereck lautet die Formel: U=a+b+c+d.

    Umfang Parallelogramm Parallelogramm beschriftet StudySmarterAbbildung 5: beschriftetes Parallelogramm

    Die Formel vom allgemeinen Viereck kann auf jedes Viereck angewendet werden, so auch für das Parallelogramm. Die Formel für das Parallelogramm ist eine Vereinfachung der allgemeinen Formel. Da das Parallelogramm zweimal zwei gleichlange Seiten besitzt, ist die Seite a gleich der Seite c und die Seite b gleich der Seite d und die allgemeine Formel kann vereinfacht werden.

    Die entstehende Formel leitet sich wie folgt her:

    U=a+b+c+d|a=c |b=dU=a+b+a+bU=2·a+2·bU=2·(a+b)

    Umfang Parallelogramm – Formel

    Aus der Herleitung geht folgende Formel für den Umfang eines Parallelogramms hervor:

    Die Formel für den Umfang U eines Parallelogramms mit den Seiten a und b lautet:

    U=2·a+b

    Umfang Parallelogramm berechnen

    Zum besseren Verständnis kannst Du beide Formeln auf ein Parallelogramm anwenden.

    Berechne den Umfang des Parallelogramms mit den Seitenlängen a=c=10 cm, b=d=7 cm jeweils mit der allgemeinen Formel zur Berechnung des Umfangs und der vereinfachten Formel für das Parallelogramm.

    Nach der allgemeinen Formel:

    U=a+b+c+dU=10 cm+7 cm+10 cm+7 cmU=34 cm

    Nach der Formel für das Parallelogramm:

    U=2·(a+b)U=2·(10 cm+7 cm)U=34 cm

    Es ist egal, mit welcher Formel Du den Umfang berechnest. Bei beiden Formeln kommst Du auf das gleiche Ergebnis, jedoch ist der Rechenaufwand bei der Formel für das Parallelogramm geringer.

    Umfang Parallelogramm mit Flächeninhalt berechnen

    Der Umfang und der Flächeninhalt stehen miteinander in Zusammenhang. Du kannst mithilfe vom Flächeninhalt den Umfang berechnen und umgekehrt.

    Flächeninhalt – Parallelogramm

    Das Parallelogramm besitzt ebenfalls eine vereinfachte Formel für den Flächeninhalt.

    Die Formel für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms lautet:

    A=a·ha

    oder

    A=b·hb

    Berechnung des Umfangs anhand des Flächeninhalts

    Um den Umfang mithilfe des Flächeninhalts zu berechnen, wird die Höhe auf der nicht gegebenen Seite und der Flächeninhalt gebraucht.

    Es können zwei Fälle auftreten: Entweder Seite a oder Seite b sind nicht gegeben.

    Umfang ohne a berechnen Formel umstellen

    Im Folgenden wird der Umfang berechnet, wobei die Seite a nicht gegeben ist. Dafür ist die Höhe ha, der Flächeninhalt A und die Seite b gegeben.

    Das Parallelogramm mit der Seite b=6 m, dem Flächeninhalt A=27 m2 und Höhe ha=3 m auf a ist gegeben. Gesucht wird der Umfang dieses Parallelogramms.

    Als Erstes stellst Du die Formel für den Flächeninhalt A=a·ha um.

    A=a·ha |÷haa=Aha

    Danach setzt Du die umgestellte Formel in die Formel vom Umfang U=2·a+b ein.

    U=2·a+b |a=AhaU=2·Aha+b

    Nun setzt Du noch die gegebenen Werte ein und rechnest das Ergebnis aus.

    U=2·273+6U=2·9+6U=2·15U=30 [m]

    In der Rechnung kannst Du die Einheiten weglassen, damit es übersichtlicher ist. Aber im Ergebnis muss die Einheit angegeben werden.

    Umfang ohne b berechnen Formel umstellen

    Im Folgenden wird der Umfang berechnet, wobei die Seite b nicht gegeben ist. Dafür ist die Höhe hb, der Flächeninhalt A und die Seite a gegeben.

    Das Parallelogramm mit der Seite a=8 cm, dem Flächeninhalt A=35 cm und Höhe hb=7 cm auf b ist gegeben. Gesucht wird der Umfang dieses Parallelogramms.

    Als Erstes stellst Du auch hier die Formel für den Flächeninhalt A=b·hb um.

    A=b·hb |÷hbb=Ahb

    Danach setzt Du die umgestellte Formel in die Formel vom Umfang U=2·(a+b) ein.

    U=2·a+b |b=AhbU=2·a+Ahb

    Nun setzt Du noch die gegebenen Werte ein und rechnest das Ergebnis aus.

    U=2·8+357U=2·(8+5)U=2·13U=26 [cm]

    Umfang mit Vektoren berechnen

    Der Umfang des Parallelogramms lässt sich auch im dreidimensionalen Koordinatensystem berechnen. Folgendermaßen berechnet sich der Umfang U mit den Vektoren a und b:

    a= AB, b=ADU=2·a+b

    Der Umfang lässt sich nur von positiven Seitenlängen ermitteln. Deshalb wird im dreidimensionalen Koordinatensystem bei Längen immer mit den Beträgen gerechnet.

    Einen Betrag erkennst Du an den senkrechten Strichen vor und nach einer Variablen.

    Zur Verdeutlichung ein Beispiel:

    Ein Parallelogramm hat folgende Eckpunkte: A3-12, B10-2, C212, D406. Berechne den Umfang des Parallelogramms.

    Dazu benötigst Du die Spannvektoren zwischen den Punkten. Hierbei brauchst Du nur zwei zu ermitteln. Beachte, dass Du nicht die parallelen Seiten ermittelst.

    AB=1-30-(-1)-2-2=-214

    AD=4-30-(-1)6-2=114

    Achte darauf, dass Du die Ortsvektoren in der richtigen Reihenfolge subtrahierst.

    AB=xb-xayb-yazb-za

    Nun berechnest Du die Seitenlänge mithilfe der Vektoren,

    AB=(-2)2+12+(-4)2AB=4+1+16AB=21

    AD=12+12+42AD=1+1+16AD=18

    setzt die Werte in die Formel für den Umfang ein und ermittelst den Umfang.

    U=2·AB+ADU=2·21+18U=2·21+2·18U=2·21+6·2U17,65 [LE]

    Umfang Parallelogramm – Aufgaben

    In den folgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

    1. Aufgabe

    Berechne den Umfang der Parallelogramme mit den folgenden Seitenlängen.

    1. a=3 cm, b=5 cm
    2. a=18 m, b=34 m
    3. a=245 cm, b=132 cm

    Lösung

    a.

    b.c.
    U=2·a+bU=2·3+5U=2·8U=16 [cm]U=2·a+bU=2·18+34U=2·52U=104 [m]U=2·a+bU=2·245+132U=2·377U=754 [cm]

    2. Aufgabe

    Berechne die fehlende Seite, in dem Du die Formel für den Umfang vorher umstellst.

    1. U=26 cm, a=5 cm
    2. U=78 m, b=18 m

    Lösung

    a.b.
    U=2·(a+b)|÷2U2=a+b|-ab=U2-ab=262-5b=8 [cm]U=2·(a+b)|÷2U2=a+b|-ba=U2-ba=782-18a=21 [cm]

    3. Aufgabe

    Berechne den Umfang eines Parallelogramms mit den Werten: A=56 cm2, ha=4 cm, b=13 cm

    Lösung

    Für die Berechnung des Umfangs benötigst Du zwei Formeln, denn Dir fehlt noch der Wert von a.

    1. A=a·ha
    2. U=2(a+b)

    Um a zu erhalten, kannst Du die Formel für den Flächeninhalt umstellen

    A=a·ha|:haa=Aha

    und in die Formel für den Umfang einsetzen.

    U=2·(a+b)=2·(Aha+b)U=2·(564+13)=54 [cm]

    Als Ergebnis erhältst Du einen Umfang von 54 cm.

    Umfang Parallelogramm Das Wichtigste

    • Der Umfang eines Parallelogramms ist die Summe aller Seiten, die das Parallelogramm begrenzen.
    • Die Formel für den Umfang eines Parallelogramms lautet: U=2·a+b.
    • Die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms lautet: A=a·ha oder A=b·hb.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Umfang Parallelogramm

    Wie berechnet man den Umfang von einem Parallelogramm? 

    Man berechnet den Umfang, indem man alle 4 Seiten addiert. Die Formel zur Berechnung des Umfangs vom Parallelogramm lautet U=2(a+b).

    Wie berechnet man den Umfang und Flächeninhalt eines Parallelogramms? 

    Man addiert alle 4 Seiten und erhält den Umfang. Die Formel dafür lautet U=2(a+b).

    Für den Flächeninhalt multipliziert man die Höhe und die Grundseite. Die Formel lautet A=bhb oder A=aha.

    Was sind die Eigenschaften von einem Parallelogramm? 

    Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel und gleich lang.

    Wie lautet die Formel für den Umfang des Parallelogramms? 

    Die Formel für den Umfang lautet U=2(a+b).

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