Grundkonstruktionen (Geometrie): Definition & Arten
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Grundkonstruktionen

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Mathe

 Weißt du wie du mithilfe von Zirkel, Lineal und Bleistift Grundkonstruktionen konstruieren kannst? Wir zeigen es dir, los gehts!


Überblick zu Grundkonstruktionen

Unter Grundkonstruktionen versteht man in der Geometrie Konstruktionen, die im Aufbau komplizierter Konstruktionen beteiligt sind.


Zu den Grundkonstruktionen gehören folgende Konstruktionen, auf die wir alle nachfolgend im weiteren Artikel eingehen werden. 


  • Strecke abtragen
  • Winkel antragen
  • Konstruieren einer Mittelsenkrechte (halbieren einer Strecke)
  • Konstruieren einer Winkelhalbierenden (halbieren eines Winkels)
  • Konstruieren eines Lots
  • Konstruieren einer Parallele


Solltest du nicht mehr genau wissen, was es mit den Begriffen Strecke, Lot, Parallele oder Strahl auf sich hat, so lies bitte im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.



Grundkonstruktionen: Strecke abtragen


Gegeben ist eine Strecke , eine Gerade g und ein Punkt C, der auf der geraden g liegt. Gesucht ist jetzt eine Strecke auf g, die die Länge  hat mit C als Begrenzungspunkt.

In der Mathematik schreibt man auch oft C g. Das bedeutet ebenso, dass der Punkt C ein Element der Geraden g ist. Der Punkt C liegt also auf der Geraden g.

   

Grundkonstruktionen Strecke und Gerade StudySmarter
Abbildung 1: Gerade g und Strecke [AB]


1. Nimm mit deinem Zirkel die Länge der Strecke  als Radius ab.

2. Zeichne einen Kreis um C. Der Radius ist dabei die Länge der Strecke .

3. Die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden kannst du F und E nennen. Die Strecken  und   haben beide die selbe Länge, wie die Strecke .


Grundkonstruktionen Kreis um einen Punkt StudySmarterAbbildung 2: Kreis um Punkt C



Grundkonstruktionen: Winkel antragen


Gegeben ist ein Winkel α, ein Strahl (eine Halbgerade) f und ein Punkt A , der auf dem Strahl f liegt. Gesucht ist jetzt der Winkel mit Scheitelpunkt A und Schenkel f in der Größe von α.


Ein Winkel besteht aus zwei Geraden und einem Punkt, aus dem die beiden Geraden hervorgehen. Die beiden Geraden sind dabei die Schenkel des Winkels und der Anfangspunkt wird Scheitelpunkt genannt.


Grundkonstruktionen Winkel antragen StudySmarterAbbildung 3: Winkel und Strahl


1. Zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt von α, mit beliebigem Radius. Markiere die Schnittpunkte I und J.



Grundkonstruktionen Winkel antragen StudySmarterAbbildung 4: Kreis um den Winkel ziehen

 

2. Zeichne einen Kreis um Punkt A mit demselben Radius wie bei dem Kreis um den oberen Punkt beim Winkel α  und markiere den Schnittpunkt K.


Grundkonstruktionen Winkel antragen StudySmarterAbbildung 5: Kreis um Punkt A


3. Zeichne einen Kreis um K. Der Radius dieses Kreises ist die Länge des Abstands von I und J. 

4. Markiere den Schnittpunkt des Kreises um A und dem Kreis um K. Markiere den Schnittpunkt und nenne ihn L.


Grundkonstruktionen Winkel antragen StudySmarterAbbildung 6: Kreis um Punkt K

 

5. Zeichne einen Strahl mit dem Ausgangspunkt A durch L.


Grundkonstruktionen Winkel antragen StudySmarterAbbildung 7: Strahl mit Ausgangspunkt A



Konstruieren einer Mittelsenkrechte

Bevor du eine Mittelsenkrechte konstruierst, schau dir die genaue Definition einer Mittelsenkrechten nochmal an.

Eine Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die eine Strecke in zwei gleich große Teilstrecken teilt und auf dieser senkrecht steht. Dabei dient sie außerdem als eine Symmetrieachse.


Gegeben ist ein Strecke. Zu dieser Strecke sollst du jetzt die Mittelsenkrechte konstruieren.


Grundkonstruktionen Strecke StudySmarterAbbildung 8: Strecke [AB]


1. Um diese Mittelsenkrechte konstruieren zu können, beginnst du mithilfe deines Zirkels einen Kreis um Punkt A zu zeichnen. Zu beachten ist hierbei, dass der Radius des Kreises um Punkt A größer sein muss als die Hälfte der Strecke .



Grundkonstruktionen Strecke Hilfskreis Mittelsenkrechte StudySmarterAbbildung 9: Kreis um Punkt A


2. Im nächsten Schritt zeichnest du einen Kreis um Punkt B. Dabei ist wiederum zu beachten, dass der Kreis um Punkt B den gleichen Radius wie der Kreis um Punkt A haben muss. 


Grundkonstruktionen Strecke Hilfskreis Mittelsenkrechte StudySmarterAbbildung 10: Kreis um Punkt B


3. Wenn du diese beiden Kreise konstruiert hast, findest du zwei Punkte, an denen sich die beiden Kreise schneiden. Durch diese Schnittpunkte ziehst du nun mithilfe deines Lineals eine Gerade. Diese Gerade ist deine Mittelsenkrechte.


Grundkonstruktionen Gerade durch Schnittpunkte StudySmarterAbbildung 11: Gerade durch die Schnittpunkte

Konstruieren einer Winkelhalbierenden

Bevor du eine Winkelhalbierende konstruierst, schau dir auch hier die genaue Definition einer Winkelhalbierenden nochmal an.

Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels verläuft und das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile teilt.


Gegeben ist ein Winkel α, zu dem du die zugehörige Winkelhalbierende konstruieren sollst.


Grundkonstruktionen Winkel StudySmarterAbbildung 12: Winkel Alpha

 

1. Als Erstes zeichnest du einen Kreis um deinen Winkel. Dafür stichst du deinen Zirkel in den Scheitelpunkt des Winkels ein. Die beiden Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln des Winkels werden mit A und B bezeichnet.


Grundkonstruktionen Winkel und Hilfskreis Winkelhalbierende StudySmarterAbbildung 13: Winkel und Hilfskreis


2. Im nächsten Schritt konstruierst du eine Mittelsenkrechte auf die Strecke und damit Winkelhalbierende von . Das geht wie folgt:

        2.1 Zeichne einen Kreis um A mit einem Radius, der größer als die Hälfte der Strecke ist.

        2.2 Wiederhole den vorherigen Schritt an Punkt B. 


Grundkonstruktionen Kreis um einen Punkt StudySmarterAbbildung 14: Kreise um die Punkte A und B


3. Zeichne eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreis um A und B. Diese Gerade ist die gesuchte Winkelhalbierende.
 

Grundkonstruktionen Winkelhalbierende durch Schnittpunkte StudySmarterAbbildung 15: Winkelhalbierende durch Schnittpunkte



Konstruieren eines Lots

Mach dir zunächst nochmal klar, was mathematisch unter einem Lot verstanden wird.

Ein Lot ist eine Gerade, die auf einer gegebenen Gerade senkrecht steht.


Lot errichten


Gegeben ist eine Gerade f und ein Punkt A  der auf der Geraden f liegt. Du hast jetzt die Aufgabe ein Lot auf der Geraden f durch Punkt A zu errichten. 


Grundkonstruktionen Lot errichten Studysmarter
Abbildung 16: Gerade f und Punkt A


1. Im ersten Schritt zeichnest du einen Kreis um Punkt A. Den Radius kannst du beliebig groß wählen. Die beiden Schnittpunkte des Kreises mit Gerade f werden mit C und D benannt. 


Grundkonstruktionen Lot errichten StudysmarterAbbildung 17: Kreis um Punkt A


2. Als Nächstes wird die Mittelsenkrechte der Punkte C und D konstruiert. Dazu machst du folgende Zwischenschritte:

        2.1 Zeichne einen Kreis um C mit einem Radius, der größer als die Hälfte der Strecke  ist.

        2.2 Wiederhole den vorherigen Schritt an Punkt D.


Grundkonstruktionen Lot errichten StudysmarterAbbildung 18: Kreise um die Schnittpunkte C und D


3. Zeichne eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise um C und D. Diese Gerade ist das Lot auf Gerade f durch Punkt A.


Grundkonstruktionen Lot errichten StudysmarterAbbildung 19: Mittelsenkrechte errichten



Lot fällen


Gegeben ist wieder eine Gerade f und ein Punkt C. Bei dieser Aufgabe befindet sich der Punkt C jedoch nicht auf der Geraden f.  Du sollst jetzt ein Lot auf Gerade f durch Punkt C fällen.

 

Grundkonstruktionen Gerade und Punkt Lot fällen StudySmarterAbbildung 20: Gerade f und Punkt C


1. Du beginnst damit einen Kreis um Punkt C zu zeichnen. Der Kreis muss groß genug sein, damit er f in zwei Punkten schneidet. Diese beiden Schnittpunkte werden E und D benannt.


Grundkonstruktionen Lot fällen StudySmarterAbbildung 21: Kreis um Punkt C


2. Als Nächstes wird erneut die Mittelsenkrechte der Punkte E und D konstruiert. 

   2.1 Zeichne dafür einen Kreis um E mit einem Radius, der größer als die Hälfte der Strecke  ist.

   2.2 Wiederhole den vorherigen Schritt an Punkt D.

 

Grundkonstruktionen Lot fällen StudySmarterAbbildung 22: Kreise um die Punkte E und D


3. Zeichne im letzten Schritt eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise um E und D. Diese Gerade ist das Lot auf Gerade g durch den Punkt C. 


Grundkonstruktionen Lot fällen StudysmarterAbbildung 23: Mittelsenkrechte durch die Schnittpunkte

Konstruieren einer Parallelen

Schaue dir auch hier nochmal die Definition einer Parallelen in der Mathematik an, bevor du diese konstruierst.

Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie an jedem Punkt den gleichen Abstand zueinander haben.


Parallele durch einen gegebenen Punkt zu einer Geraden konstruieren


Gegeben ist ein Punkt A und eine Gerade f. Du sollst jetzt eine Gerade durch Punkt A konstruieren, die parallel zur Geraden f verläuft.


Grundkonstruktionen Gerade und Punkt Parallele zeichnen StudySmarterAbbildung 24: Gerade f und Punkt A


1. Zeichne einen Kreis um Punkt A. Der Kreis muss groß genug sein, dass er die Gerade f in zwei Punkten schneidet. Diese sind hier als Punkte E und D markiert.

 

Grundkonstruktionen Parallele zeichnen StudySmarterAbbildung 25: Kreis um Punkt A


2. Zeichne einen weiteren Kreis um Punkt E. Der Kreis muss denselben Radius haben wie zuvor. Der Kreis schneidet die Gerade f in den Punkten F und G.


Grundkonstruktionen Parallele zeichnen StudySmarterAbbildung 26: Kreis um Punkt E


3. Zeichne einen dritten Kreis. Diesmal ist der Mittelpunkt des Kreises der Punkt G. Der Radius bleibt weiterhin derselbe. 

 

Grundkonstruktionen Parallele zeichnen StudySmarterAbbildung 27: Kreis um Punkt G


4. Im letzten Schritt zeichnest du eine Gerade durch den Schnittpunkt, von Kreis 1 (K 1) und Kreis 3 (K 3), zu Punkt A. 


Grundkonstruktionen Gerade und Parallele durch einen Punkt StudySmarterAbbildung 28: Gerade durch den Schnittpunkt und Punkt A

Parallele in einem gegebenen Abstand konstruieren


Gegeben ist wieder eine Gerade g und ein Abstand f. Gesucht ist jetzt eine Gerade, die im Abstand f parallel zu g verläuft. Das f ist dabei die Länge des Abstands, in dem die zweite Parallele zur Geraden g gezeichnet werden soll. 


Grundkonstruktionen Parallele konstruieren StudySmarterAbbildung 29: Gerade und Abstand f 


1. Zeichne zwei beliebige Punkte auf g ein. Die Punkte heißen A und B und sollten nicht zu nahe beieinander liegen.

2. Ziehe zwei Kreise um A und B. Den Radius kannst du frei wählen, er muss aber bei beiden Kreisen derselbe sein und zudem dürfen sich die beiden Kreise nicht schneiden.


Grundkonstruktionen Abstand Parallele zeichnen StudySmarterAbbildung 30: Kreise um die Punkte A und B


3. Benenne jetzt alle Punkte an denen die beiden Kreise die Gerade g schneiden. Die vier Punkte kannst du C, D, E und F nennen. 


Grundkonstruktionen Parallele zeichnen StudySmarterAbbildung 31: Benennung der Schnittpunkte


4. Im nächsten Schritt ziehst du jetzt um alle vier Schnittpunkte (C, D, E und F) einen Kreis. Wichtig ist dabei, dass alle Kreise den gleichen Radius haben und der Radius größer ist als die Hälfte der Strecke  .


Grundkonstruktionen Hilfskreise Parallele im Abstand zeichnen StudySmarterAbbildung 32: Kreise um die Punkte C, D, E und F


5. Zeichne zwei Geraden durch die Schnittpunkte von den Kreisen durch C und D und durch die Kreise von E und F.


Grundkonstruktionen Hilfskreise Parallele im Abstand zeichnen StudySmarterAbbildung 33: Geraden durch die Schnittpunkte der Kreise

 

6. Jetzt zeichnest du zwei weitere Kreise. Diese Kreise haben den Radius f und werden um A und B gezeichnet. 


Grundkonstruktionen Hilfskreise Parallele im Abstand zeichnen StudySmarterAbbildung 34: Kreise mit Radius f um Punkt A und B

 

7. Im letzten Schritt verbindest du die Punkte, an denen die Geraden aus Schritt 5 die beiden letzten Kreise schneiden. Die beiden schwarz markierten Linien sind dann die gesuchten Parallelen im Abstand f zur Gerade g.


Grundkonstruktionen Parallele im Abstand zeichnen StudySmarterAbbildung 35: Geraden durch die Schnittpunkte


 

Grundkonstruktionen - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Mithilfe von Zirkel, Lineal und Stift lassen sich Grundkonstruktionen zeichnen.
  • Grundkonstruktionen sind:

Häufig gestellte Fragen zum Thema Grundkonstruktionen

Um eine Senkrechte zu konstruieren, legt man zunächst zwei beliebige Punkte auf der Gerade fest. Anschließend konstruierst du zwei Kreise um die gewählten Punkte, die sich schneiden. Die zwei Punkte, in denen sich die Kreise schneiden, verbindest du nun. Jetzt hast du die Senkrechte konstruiert.

Unter einer Grundkonstruktion in der Geometrie versteht man das Errichten einer Mittelsenkrechte, das Konstruieren einer Winkelhalbierenden, das Errichten der Senkrechten zu einer Geraden in einem Punkt auf der Gerade und das Fällen eines Lots von einem Punkt auf eine Gerade. Alle diese Konstruktionen lassen sich mit einem Zirkel, einem Lineal und einem Stift ausführen.

Zeichne einen Kreis mit gleichem Radius, um zwei beliebige Punkte auf der Geraden. Der Radius der beiden Kreise sollte so groß sein, dass sich die beiden Kreise schneiden. Zeichne anschließend eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der zwei Kreise. Diese Gerade ist das Lot.

Zeichne mit deinem Zirkel einen Kreis um den Scheitelpunkt des Winkels. Markiere anschließend die Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln des Winkels. Zeichne um die beiden markierten Punkte jeweils einen Kreis. Beide Kreise haben den gleichen Radius. Zuletzt ziehst du eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreise und teilst so den Winkel in zwei deckungsgleiche Teile.

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