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Sehnentangentenwinkel

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Sehnentangentenwinkel

Am Kreis lassen sich in der Geometrie viele verschiedene Beobachtungen machen. So entsteht zum Beispiel ein Kreisbogen, indem eine Linie von einem Punkt des Kreises zum anderen gezogen wird. Diese Kreissehne teilt den Kreis in zwei Kreisbögen.

Sehnentangentenwinkel Kreisbogen StudySmarterAbbildung 1: Kreisbogen

Was für Beobachtungen können an solchen Kreisbögen wohl gemacht werden? Eine davon betrifft die Sehnentangente, die am Kreis anliegt.

Wiederholung der Grundlagen

Bevor Du Dir genaueres zur Sehnentangente und ihrem Winkel ansehen kannst, solltest Du Dir die anderen Winkel am Kreisbogen sowie den Begriff der Tangente in dieser kurzen Wiederholung ansehen.

Besondere Winkel am Kreisbogen

Wenn Du auf einem Kreis zwei beliebige Punkte A und B einzeichnest und diese zu einer Strecke verbindest, erhältst Du zwei Kreisbögen. Verbindest Du diese beiden Punkte zusätzlich jeweils mit dem Kreismittelpunkt, entsteht der sogenannte Mittelpunktswinkel. Verbindest Du A und B mit einem weiteren beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen, entsteht der sogenannte Umfangswinkel.

Sehnentangentenwinkel Winkel am Kreisbogen StudySmarterAbbildung 2: Winkel im Kreisbogen

Umfangswinkel/Randwinkel

Der Umfangswinkel oder auch Randwinkel ist der Winkel . Sein Scheitel P liegt auf dem Kreisbogen, der den Kreisbogen über zum Kreis ergänzt.

Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß.

Mittelpunktswinkel

Ist M der Mittelpunkt des Kreisbogens, so ist der Mittelpunktswinkel .

Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.

Alles Weitere zum Umfangswinkel sowie zum Mittelpunktswinkel erfährst Du in den Erklärungen Randwinkelsatz und Mittelpunktswinkel.

Tangente – Definition

Das Wort Tangente leitet sich von dem lateinischen Wort „tangere“ab, was auf Deutsch „berühren“ bedeutet.

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur in einem Punkt P berührt. Das bedeutet, dass die Tangente und die Kurve oder die Figur den Punkt P gemeinsam haben, die Tangente die Kurve bzw. die Figur jedoch nicht schneidet.

Hier siehst Du ein Beispiel für eine Tangente an einem Kreis.

Sehnentangentenwinkel Tangente am KreisAbbildung 3: Tangente am Kreis

Sehnentangentenwinkel berechnen

Zusätzlich zu den zwei bekannten Winkeln gibt es noch einen dritten Winkel am Kreisbogen, den sogenannten Sehnentangentenwinkel. Diesen kannst Du mithilfe des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen. Was dieser Winkel ist und wie der zugehörige Satz lautet, erfährst Du jetzt.

Sehnentangentenwinkel – Definition

Der Sehnentangentenwinkel ist der Winkel, der mit einer Tangente am Kreis durch einen der Punkte A oder B entsteht.

Ein Sehnentangentenwinkel zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne und der Tangente am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B.

Wo der Winkel liegt, siehst Du hier:

Sehnentangentenwinkel Definition StudySmarterAbbildung 4: Sehnentangentenwinkel

Es kann auch sein, dass der Mittelpunktswinkel genau beträgt oder größer als ist. Dementsprechend verändern sich auch die anderen Winkel.

Wenn der Mittelpunktswinkel genau beträgt, können die Winkel so aussehen:

Sehnentangentenwinkel Mittelpunktswinkel genau 180° StudySmarterAbbildung 5: Mittelpunktswinkel 180°

Beträgt der Mittelpunktswinkel mehr als , so sieht das Ganze wie folgt aus.

Sehnentangentenwinkel Mittelpunktswinkel über 180° StudySmarterAbbildung 6: Mittelpunkswinkel über 180°

Zu jedem Kreisbogen gibt es entsprechend genau zwei Sehnentangentenwinkel an den Tangenten des Kreisbogens durch A und B.

Sehnentangentenwinkelsatz – Satz vom Sehnentangentenwinkel

Der Sehnentangentenwinkel hat eine Besonderheit, welche in der Mathematik in einem eigenen Satz festgehalten wird.

Der Sehnentangentenwinkelsatz besagt, dass jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen genauso groß ist wie alle zugehörigen Umfangswinkel.

Der Satz sagt also aus, dass gilt.

Verläuft die Kreissehne durch den Mittelpunkt des Kreises, so gibt es eine Besonderheit.

Satz des Thales

In diesem Fall gilt der Satz des Thales.

Der Satz des Thales besagt, dass alle Dreiecke an einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind.

Dadurch, dass die Sehne durch den Mittelpunkt geht, halbiert sie den Kreis und es entsteht ein Halbkreisbogen. Damit gilt, dass in diesem Fall alle Umfangswinkel und daher die Sehnen betragen.

Sehnentangentenwinkel Satz des Thales StudySmarterAbbildung 7: Satz des Thales

Mehr über diesen besonderen Satz erfährst Du in der Erklärung zum Satz des Thales.

Sehnentangentenwinkelsatz – Beweis

Doch warum gilt überhaupt der Sehnentangentenwinkelsatz? Das kannst Du im folgenden Beweis nachvollziehen.

Sehnentangentenwinkel Satz Beweis StudySmarterAbbildung 8: Beweis Sehnentangentenwinkelsatz

Du weißt, dass der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel , also gilt

.

Das Dreieck ist gleichschenklig, da der Mittelpunkt gleich weit entfernt von den beiden Punkten A und B ist. Außerdem hat es, wie alle Dreiecke, eine Innenwinkelsumme von . Die Basiswinkel werden hier genannt. Dann gilt:

Zudem ist die Tangente senkrecht zum Radius des Kreises, der ja die Strecke bzw. ist. Das bedeutet, dass

.

gilt. Ziehst Du den Basiswinkel auf beiden Seiten ab und setzt dann für ihn ein, erhältst Du das gesuchte Ergebnis:

Damit ist der Sehnentangentenwinkelsatz bewiesen.

Sehnentangentenwinkel messen

Du kannst den Sehnentangentenwinkel mithilfe der anderen gegebenen Winkel dank des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen. Hast Du einen gegebenen Winkel, kannst Du ihn auch messen.

Hast Du einen Kreisbogen mit einer Sehnentangente gegeben, legst Du das Geodreieck so an, um ihn zu messen.

Sehnentangentenwinkel messen StudySmarterAbbildung 9: Sehnentangentenwinkel messen

Dann kannst Du die Größe des Sehnentangentenwinkels ablesen. Hier beträgt er genau 80°.

Wie Du Winkel richtig misst, erfährst Du in der Erklärung Winkel messen.

Sehnentangentenwinkel – Übungen und Aufgaben

Damit Du das Gelernte direkt üben und anwenden kannst, findest Du nachfolgend ein paar Aufgaben zum Sehnentangentenwinkel und den dazugehörigen Winkeln am Kreisbogen.

Aufgabe 1

Berechne die Größe der Mittelpunktswinkel µ für folgenden Kreisbogen.

Sehnentangentenwinkel Aufgabe 1 StudySmarterAbbildung 10: Aufgabe 1

Lösung

Der Mittelpunktswinkel µ ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Zudem gilt mit dem Sehnentangentenwinkelsatz, dass der Umfangswinkel genauso groß ist wie der Sehnentangentenwinkel. Also gilt

und

Aufgabe 2

Gegeben ist eine Kreissehne . Verbindest Du die Punkte A und B mit dem Kreismittelpunkt M, entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Basiswinkeln .

Berechne den Mittelpunktswinkel .

Lösung

Hier gibt es zwei Möglichkeiten, wie Du vorgehst.

Möglichkeit 1 (mit Sehnentangentenwinkelsatz)

Der Basiswinkel ergibt zusammen mit dem Sehnentangentenwinkel einen rechten Winkel. Du kannst also den Sehnentangentenwinkel berechnen, indem Du

rechnest. Außerdem weißt Du, dass der Sehnentangentenwinkel genauso groß ist wie der Umfangswinkel, der halb so groß ist wie der Mittelpunktswinkel. Also gilt

Somit ist

Möglichkeit 2

Da der Mittelpunktswinkel genau in der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks liegt und die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer ergibt, kannst Du wie folgt rechnen:

Aufgabe 3

Konstruiere einen Kreisbogen mit einer beliebigen Sehne und den Sehnentangenten. Zeichne alle Winkel ein, die Du kennst. Markiere dabei alle Winkel, die gleich groß sind, in der gleichen Farbe.

Lösung

Deine Zeichnung sollte ungefähr so aussehen:

Sehnentangentenwinkel Lösung Aufgabe 3 StudySmarterAbbildung 11: Lösung Aufgabe 3

Sehnentangentenwinkel – Das Wichtigste

  • Ein Sehnentangentenwinkel zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne und der Tangente am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B.
  • Du kannst den Sehnentangentenwinkel mithilfe der anderen gegebenen Winkel dank des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen.
  • Der Sehnentangentenwinkelsatz besagt, dass jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen ist genauso groß ist wie alle zugehörigen Umfangswinkel.
  • Verläuft die Kreissehne durch den Mittelpunkt des Kreises, so greift der Satz des Thales und alle Umfangswinkel sowie die Sehnentangentenwinkel betragen .

Nachweise

  1. Scheid, Schwarz (2016). Elemente der Geometrie. Springer-Verlag.
  2. Bittner et. al. (2013). Kompendium der Mathematik. Springer-Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sehnentangentenwinkel

Der Sehnentangentenwinkel zu einem gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne AB und der Tangente am Kreisbogen durch den Punkt A bzw. B.

Der Sehnentangentenwinkel wird mit dem Sehnentangentenwinkelsatz berechnet. Dieser sagt aus, dass der Sehnentangentenwinkel am Kreisbogen genau so groß ist, wie der Umfangswinkel.

Der Sehnentangentenwinkel hilft bei der Berechnung anderer Winkel am Kreisbogen, zum Beispiel für die Berechnung des Umfangswinkels oder des Mittelpunktswinkels.

Finales Sehnentangentenwinkel Quiz

Frage

Beschreibe, wo der Sehnentangentenwinkel liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Sehnentangentenwinkel ist der Winkel, der mit einer Tangente am Kreis durch einen der Punkte A oder B entsteht.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob sich der Sehnentangentenwinkel verändert, wenn sich der Mittelpunktswinkel verändert.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, der Sehnentangentenwinkel verändert sich bei einem sich ändernden Mittelpunktswinkel.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Zu jedem Kreisbogen gibt es genau drei Sehnentangentenwinkel.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Zu jedem Kreisbogen gibt es genau zwei Sehnentangentenwinkel an den Tangenten des Kreisbogens durch die Punkte A und B.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was der Sehnentangentenwinkelsatz aussagt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Sehnentangentenwinkelsatz sagt aus, dass jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen genauso groß ist wie alle zugehörigen Umfangswinkel.


Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wann der Satz des Thales angewendet werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Satz des Thales gilt, wenn die Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist. 


Das Dreieck aus den Punkten A, B und dem Mittelpunkt des Kreisbogens ist gleichschenklig.

Antwort anzeigen

Antwort

Wahr

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob folgende Aussage über die bekannten Winkel wahr oder falsch ist.


Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.

Antwort anzeigen

Antwort

Wahr

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage: 


Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist halb so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist falsch, der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.

Frage anzeigen

Frage

Der Mittelpunktswinkel in einem Kreisbogen beträgt 70°. Berechne den Sehnentangentenwinkel.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Sehnentangentenwinkel ist genau so groß, wie die zugehörigen Umfangswinkel. Die Umfangswinkel sind halb so groß, wie der Mittelpunktswinkel. Daher beträgt der Sehnentangentenwinkel in dem Fall 35°.

Frage anzeigen

Frage

Nenne einen anderen Namen für den Umfangswinkel.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umfangswinkel wird auch Randwinkel genannt.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob alle Umfangswinkel eines Kreisbogens gleich groß sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, alle Umfangswinkel eines Kreisbogens sind gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Ein Kreisbogen besitzt nur einen Umfangswinkel.

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch, ein Kreisbogen besitzt mehrere Umfangswinkel. 

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Sehnentangentenwinkel bei einem gegebenen Umfangswinkel von 81°.

Antwort anzeigen

Antwort

Sehnentangentenwinkel und Umfangswinkel sind nach dem Sehnentangentenwinkelsatz gleich groß. Dementsprechend beträgt der Sehnentangentenwinkel hier 81°.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Mittelpunktswinkel für einen gegebenen Sehnentangentenwinkel von 22°.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Dieser ist so groß wie der Sehnentangentenwinkel. Also beträgt der Mittelpunktswinkel hier 44°.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie ein Kreisbogen entsteht.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Kreisbogen entsteht, indem bei einem Kreis eine Linie (Kreissehne) von einem Punkt auf dem Kreis zu einem anderen Punkt auf dem Kreis gezogen wird. Diese Kreissehne teilt den Kreis in zwei Kreisbögen. 

Frage anzeigen

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