Sehnentangentenwinkel

Am Kreis lassen sich in der Geometrie viele verschiedene Beobachtungen machen. So entsteht zum Beispiel ein Kreisbogen, indem eine Linie von einem Punkt des Kreises zum anderen gezogen wird. Diese Kreissehne teilt den Kreis in zwei Kreisbögen.

Abbildung 1: Kreisbogen

Was für Beobachtungen können an solchen Kreisbögen wohl gemacht werden? Eine davon betrifft die Sehnentangente, die am Kreis anliegt.

Sehnentangentenwinkel – Wiederholung der Grundlagen

Bevor Du Dir genaueres zur Sehnentangente und ihrem Winkel ansehen kannst, solltest Du Dir die anderen Winkel am Kreisbogen sowie den Begriff der Tangente in dieser kurzen Wiederholung ansehen.

Besondere Winkel am Kreisbogen

Wenn Du auf einem Kreis zwei beliebige Punkte A und B einzeichnest und diese zu einer Strecke verbindest, erhältst Du zwei Kreisbögen. Verbindest Du diese beiden Punkte zusätzlich jeweils mit dem Kreismittelpunkt, entsteht der sogenannte Mittelpunktswinkel. Verbindest Du A und B mit einem weiteren beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen, entsteht der sogenannte Umfangswinkel.

Abbildung 2: Winkel im Kreisbogen

Umfangswinkel/Randwinkel

Der Umfangswinkel oder auch Randwinkel $\varphi$ ist der Winkel $\angle APB$. Sein Scheitel P liegt auf dem Kreisbogen, der den Kreisbogen über $\overline{AB}$ zum Kreis ergänzt.

Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß.

Mittelpunktswinkel

Ist M der Mittelpunkt des Kreisbogens, so ist $\angle AMB$ der Mittelpunktswinkel $\mu$.

Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.

Tangente – Definition

Das Wort Tangente leitet sich von dem lateinischen Wort „tangere“ab, was auf Deutsch „berühren“ bedeutet.

Hier siehst Du ein Beispiel für eine Tangente an einem Kreis.

Abbildung 3: Tangente am Kreis

Sehnentangentenwinkel berechnen & messen

Zusätzlich zu den zwei bekannten Winkeln gibt es noch einen dritten Winkel am Kreisbogen, den sogenannten Sehnentangentenwinkel. Diesen kannst Du mithilfe des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen. Was dieser Winkel ist und wie der zugehörige Satz lautet, erfährst Du jetzt.

Sehnentangentenwinkel – Definition

Der Sehnentangentenwinkel ist der Winkel, der mit einer Tangente am Kreis durch einen der Punkte A oder B entsteht.

Wo der Winkel liegt, siehst Du hier:

Abbildung 4: Sehnentangentenwinkel

Es kann auch sein, dass der Mittelpunktswinkel $\mu$ genau $180°$ beträgt oder größer als $180°$ ist. Dementsprechend verändern sich auch die anderen Winkel.

Zu jedem Kreisbogen gibt es entsprechend genau zwei Sehnentangentenwinkel an den Tangenten des Kreisbogens durch A und B.

Sehnentangentenwinkelsatz (Satz vom Sehnentangentenwinkel)

Der Sehnentangentenwinkel hat eine Besonderheit, welche in der Mathematik in einem eigenen Satz festgehalten wird.

Der Satz sagt also aus, dass $\tau =\varphi$ gilt.

Sehnentangentenwinkelsatz – Beweis

Doch warum gilt überhaupt der Sehnentangentenwinkelsatz? Das kannst Du im folgenden Beweis nachvollziehen.

Abbildung 8: Beweis Sehnentangentenwinkelsatz

$\mu =2\varphi$.

Das Dreieck $△ABM$ ist gleichschenklig, da der Mittelpunkt gleich weit entfernt von den beiden Punkten A und B ist. Außerdem hat es, wie alle Dreiecke, eine Innenwinkelsumme von $180°$. Die Basiswinkel werden hier $\alpha$ genannt. Dann gilt:

$\begin{array}{cccc}& \alpha +\alpha +2\varphi & =& 180°\\ \iff & 2\alpha +2\varphi & =& 180°\\ \iff & 2(\alpha +\varphi )& =& 180°\\ \iff & \alpha +\varphi & =& 90°\\ \iff & \alpha & =& 90°-\varphi .\end{array}$

Zudem ist die Tangente senkrecht zum Radius des Kreises, der ja die Strecke $\overline{AM}$ bzw. $\overline{BM}$ ist. Das bedeutet, dass

$\alpha +\tau =90°$.

gilt. Ziehst Du den Basiswinkel $\alpha$ auf beiden Seiten ab und setzt dann für ihn $90°-\varphi$ ein, erhältst Du das gesuchte Ergebnis:

$\begin{array}{cccc}& \tau & =& 90°-\alpha \\ \iff & \tau & =& 90°-(90°-\varphi )\\ \iff & \tau & =& \varphi .\end{array}$

Damit ist der Sehnentangentenwinkelsatz bewiesen.

Sehnentangentenwinkel messen

Du kannst den Sehnentangentenwinkel mithilfe der anderen gegebenen Winkel dank des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen. Hast Du einen gegebenen Winkel, kannst Du ihn auch messen.

Sehnentangentenwinkel berechnen – Aufgaben zum Üben

Damit Du das Gelernte direkt üben und anwenden kannst, findest Du nachfolgend ein paar Aufgaben zum Sehnentangentenwinkel und den dazugehörigen Winkeln am Kreisbogen.