Am Kreis lassen sich in der Geometrie viele verschiedene Beobachtungen machen. So entsteht zum Beispiel ein Kreisbogen, indem eine Linie von einem Punkt des Kreises zum anderen gezogen wird. Diese Kreissehne teilt den Kreis in zwei Kreisbögen.
Abbildung 1: Kreisbogen
Was für Beobachtungen können an solchen Kreisbögen wohl gemacht werden? Eine davon betrifft die Sehnentangente, die am Kreis anliegt.
Sehnentangentenwinkel – Wiederholung der Grundlagen
Bevor Du Dir genaueres zur Sehnentangente und ihrem Winkel ansehen kannst, solltest Du Dir die anderen Winkel am Kreisbogen sowie den Begriff der Tangente in dieser kurzen Wiederholung ansehen.
Besondere Winkel am Kreisbogen
Wenn Du auf einem Kreis zwei beliebige Punkte A und B einzeichnest und diese zu einer Strecke verbindest, erhältst Du zwei Kreisbögen. Verbindest Du diese beiden Punkte zusätzlich jeweils mit dem Kreismittelpunkt, entsteht der sogenannte Mittelpunktswinkel. Verbindest Du A und B mit einem weiteren beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen, entsteht der sogenannte Umfangswinkel.
Abbildung 2: Winkel im Kreisbogen
Umfangswinkel/Randwinkel
Der Umfangswinkel oder auch Randwinkel ist der Winkel . Sein Scheitel P liegt auf dem Kreisbogen, der den Kreisbogen über zum Kreis ergänzt.
Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß.
Mittelpunktswinkel
Ist M der Mittelpunkt des Kreisbogens, so ist der Mittelpunktswinkel .
Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.
Alles Weitere zum Umfangswinkel sowie zum Mittelpunktswinkel erfährst Du in den Erklärungen Randwinkelsatz und Mittelpunktswinkel.
Tangente – Definition
Das Wort Tangente leitet sich von dem lateinischen Wort „tangere“ab, was auf Deutsch „berühren“ bedeutet.
Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur in einem Punkt P berührt. Das bedeutet, dass die Tangente und die Kurve oder die Figur den Punkt P gemeinsam haben, die Tangente die Kurve bzw. die Figur jedoch nicht schneidet.
Hier siehst Du ein Beispiel für eine Tangente an einem Kreis.
Abbildung 3: Tangente am Kreis
Sehnentangentenwinkel berechnen & messen
Zusätzlich zu den zwei bekannten Winkeln gibt es noch einen dritten Winkel am Kreisbogen, den sogenannten Sehnentangentenwinkel. Diesen kannst Du mithilfe des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen. Was dieser Winkel ist und wie der zugehörige Satz lautet, erfährst Du jetzt.
Sehnentangentenwinkel – Definition
Der Sehnentangentenwinkel ist der Winkel, der mit einer Tangente am Kreis durch einen der Punkte A oder B entsteht.
Ein Sehnentangentenwinkel zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne und der Tangente am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B.
Wo der Winkel liegt, siehst Du hier:
Abbildung 4: Sehnentangentenwinkel
Es kann auch sein, dass der Mittelpunktswinkel genau beträgt oder größer als ist. Dementsprechend verändern sich auch die anderen Winkel.
Wenn der Mittelpunktswinkel genau beträgt, können die Winkel so aussehen:
Abbildung 5: Mittelpunktswinkel 180°
Beträgt der Mittelpunktswinkel mehr als , so sieht das Ganze wie folgt aus.
Abbildung 6: Mittelpunkswinkel über 180°
Zu jedem Kreisbogen gibt es entsprechend genau zwei Sehnentangentenwinkel an den Tangenten des Kreisbogens durch A und B.
Sehnentangentenwinkelsatz (Satz vom Sehnentangentenwinkel)
Der Sehnentangentenwinkel hat eine Besonderheit, welche in der Mathematik in einem eigenen Satz festgehalten wird.
Der Sehnentangentenwinkelsatz besagt, dass jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen genauso groß ist wie alle zugehörigen Umfangswinkel.
Der Satz sagt also aus, dass gilt.
Verläuft die Kreissehne durch den Mittelpunkt des Kreises, so gibt es eine Besonderheit.
Satz des Thales
In diesem Fall gilt der Satz des Thales.
Der Satz des Thales besagt, dass alle Dreiecke an einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind.
Dadurch, dass die Sehne durch den Mittelpunkt geht, halbiert sie den Kreis und es entsteht ein Halbkreisbogen.
Damit gilt, dass in diesem Fall alle Umfangswinkel und daher die Sehnen betragen.
Abbildung 7: Satz des Thales
Mehr über diesen besonderen Satz erfährst Du in der Erklärung zum Satz des Thales.
Sehnentangentenwinkelsatz – Beweis
Doch warum gilt überhaupt der Sehnentangentenwinkelsatz? Das kannst Du im folgenden Beweis nachvollziehen.
Abbildung 8: Beweis Sehnentangentenwinkelsatz
Du weißt, dass der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel , also gilt
.
Das Dreieck ist gleichschenklig, da der Mittelpunkt gleich weit entfernt von den beiden Punkten A und B ist. Außerdem hat es, wie alle Dreiecke, eine Innenwinkelsumme von . Die Basiswinkel werden hier genannt. Dann gilt:
Zudem ist die Tangente senkrecht zum Radius des Kreises, der ja die Strecke bzw. ist. Das bedeutet, dass
.
gilt. Ziehst Du den Basiswinkel auf beiden Seiten ab und setzt dann für ihn ein, erhältst Du das gesuchte Ergebnis:
Damit ist der Sehnentangentenwinkelsatz bewiesen.
Sehnentangentenwinkel messen
Du kannst den Sehnentangentenwinkel mithilfe der anderen gegebenen Winkel dank des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen. Hast Du einen gegebenen Winkel, kannst Du ihn auch messen.
Hast Du einen Kreisbogen mit einer Sehnentangente gegeben, legst Du das Geodreieck so an, um ihn zu messen.
Abbildung 9: Sehnentangentenwinkel messen
Dann kannst Du die Größe des Sehnentangentenwinkels ablesen. Hier beträgt er genau 80°.
Wie Du Winkel richtig misst, erfährst Du in der Erklärung Winkel messen.
Sehnentangentenwinkel berechnen – Aufgaben zum Üben
Damit Du das Gelernte direkt üben und anwenden kannst, findest Du nachfolgend ein paar Aufgaben zum Sehnentangentenwinkel und den dazugehörigen Winkeln am Kreisbogen.
Aufgabe 1
Berechne die Größe der Mittelpunktswinkel µ für folgenden Kreisbogen.
Abbildung 10: Aufgabe 1
Lösung
Der Mittelpunktswinkel µ ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Zudem gilt mit dem Sehnentangentenwinkelsatz, dass der Umfangswinkel genauso groß ist wie der Sehnentangentenwinkel. Also gilt
und
Aufgabe 2
Gegeben ist eine Kreissehne . Verbindest Du die Punkte A und B mit dem Kreismittelpunkt M, entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Basiswinkeln .
Berechne den Mittelpunktswinkel .
Lösung
Hier gibt es zwei Möglichkeiten, wie Du vorgehst.
Möglichkeit 1 (mit Sehnentangentenwinkelsatz)
Der Basiswinkel ergibt zusammen mit dem Sehnentangentenwinkel einen rechten Winkel. Du kannst also den Sehnentangentenwinkel berechnen, indem Du
rechnest. Außerdem weißt Du, dass der Sehnentangentenwinkel genauso groß ist wie der Umfangswinkel, der halb so groß ist wie der Mittelpunktswinkel. Also gilt
Somit ist
Möglichkeit 2
Da der Mittelpunktswinkel genau in der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks liegt und die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer ergibt, kannst Du wie folgt rechnen:
Aufgabe 3
Konstruiere einen Kreisbogen mit einer beliebigen Sehne und den Sehnentangenten. Zeichne alle Winkel ein, die Du kennst. Markiere dabei alle Winkel, die gleich groß sind, in der gleichen Farbe.
Lösung
Deine Zeichnung sollte ungefähr so aussehen:
Abbildung 11: Lösung Aufgabe 3
Sehnentangentenwinkel – Das Wichtigste
- Ein Sehnentangentenwinkel zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne und der Tangente am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B.
- Du kannst den Sehnentangentenwinkel mithilfe der anderen gegebenen Winkel dank des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen.
- Der Sehnentangentenwinkelsatz besagt, dass jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen ist genauso groß ist wie alle zugehörigen Umfangswinkel.
- Verläuft die Kreissehne durch den Mittelpunkt des Kreises, so greift der Satz des Thales und alle Umfangswinkel sowie die Sehnentangentenwinkel betragen .
Nachweise
- Scheid, Schwarz (2016). Elemente der Geometrie. Springer-Verlag.
- Bittner et. al. (2013). Kompendium der Mathematik. Springer-Verlag.
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