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Koordinatensystem

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Koordinatensystem

In diesem Artikel lernst du alles Wichtige zum Koordinatensystem kennen. Es ist der Grundbaustein, auf dem jegliche Geometrie basiert. Das Koordinatensystem gehört zum Thema Geometrie und ist damit Teil des Fachs Mathe.

Viel Spaß beim Lernen!

Was sind Koordinaten und wie werden sie gelesen?

Koordinaten im mathematischen Zusammenhang beschreiben die Lage eines Punktes im Koordinatensystem. Dabei kann es sich um die Lage in einem zweidimensionalen oder dreidimensionalen Koordinatensystem handeln. Jedem Punkt kann nur genau ein Koordinatenpaar zugeordnet werden!

Koordinaten sind hier nicht zu verwechseln mit geographischen Koordinaten!

Wie genau die x- und y-Achse aufgebaut sind, erfährst du gleich. Es geht erstmal darum, dass du weißt, wie du Koordinaten liest.

Grundsätzlich findest du Koordinaten immer in dieser Form:

P (x ∣ y ∣ z)

x und y findest du immer in einer Koordinatenangabe. z kommt nur im dreidimensionalen Koordinatensystem vor.

  • Ganz links steht immer der Wert für die x-Achse.
  • Rechts (oder wenn es einen z-Wert gibt, in der Mitte), ist der Wert für die y-Achse.
  • An dritter Stelle (falls vorhanden) und somit ganz rechts, der Wert für die x3-Achse im dreidimensionalen Raum.

Ein Beispiel für die Angabe der Koordinaten des Punktes P im zweidimensionalen Koordinatensystem ist:

P (1 ∣ 2)

Sprich: „P hat die Koordinaten 1 und 2.

Du weißt also: der Wert auf der x-Achse ist 1 und der auf der y-Achse ist 2.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem funktioniert es genauso, wie beim zweidimensionalen, nur mit einer weiteren Koordinate. Hier ein Beispiel:

Q (1 ∣ 2 ∣ 3)

Sprich: „Q hat die Koordinaten 1, 2 und 3.

Für 1 und 2 gilt genau das gleiche, wie im Beispiel mit dem zweidimensionalen Koordinatensystem, nur mit einer Koordinate mehr.

Das zweidimensionale Koordinatensystem

Das zweidimensionale Koordinatensystem hat eine x-Achse und eine y-Achse. Du kannst die Achsen eigentlich so lang machen, wie du möchtest, es macht aber Sinn, sie groß genug zu machen, damit deine Werte darauf passen, aber auch nicht zu groß, da du sonst unnötig viel Platz verschwendest und möglicherweise deine Einheiten nicht beibehalten kannst. Wichtig ist aber, dass sie sich jeweils gegenseitig im Punkt 0 Schneiden.

Die x-Achse ist waagrecht und die y-Achse steht senkrecht auf ihr.

Dies sieht so aus:

(Quelle: https://www.mathestunde.com/koordinatensystem)

Wie du siehst, ist am rechten Ende der x-Achse und am oberen Ende der y-Achse ein Pfeil mit jeweils x und y eingezeichnet. Es ist wichtig, dass du diese immer dazuschreibst, um die Achsen zu kennzeichnen.

Zudem sind die Achsen (in diesem Beispiel) mit den Zahlen -8 bis 8 bzw. -7 bis 7 beschriftet. Das solltest du auch immer machen! Beachte dabei, dass die Abstände zwischen den Zahlen immer gleichgroß sind – normalerweise nimmt man 2 Kästchen (oder 1cm) pro Einheit.

Du erkennst auch, dass in der Darstellung durch die Achsen vier kleinere Kästchen entstehen. Diese werden Quadranten genannt. Es gibt die Quadranten 1-4, die aber mit römischen Zahlen durchnummeriert werden, also Quadrant I, II, III und IV.

Dort, wo sich die zwei Achsen schneiden – im Punkt P (0 I 0) also – befindet sich der sogenannte Ursprung.

(Quelle: wikipedia)

Einen Punkt im zweidimensionalen Koordinatensystem einfügen

Möchtest du nun einen Punkt im Koordinatensystem einfügen, gibt es eine ganz bestimmte Vorgehensweise. Diese ist wirklich einfach und du wirst es nach ein wenig Üben perfekt beherrschen.

Beispiel: Du hast den Punkt P (2 I 3). Zeichne ihn in dein Koordinatensystem ein.

Du weißt ja, dass 2 der Wert der x-Achse ist und 3 der Wert der y-Achse. Zuerst nimmst du den Wert der x-Achse und gehst entsprechend vom Ursprung aus dorthin. Das heißt, in Gedanken gehst du mit deinem Finger vom Ursprung 2 Schritte nach rechts auf der x-Achse und bist dann dort, wo du „2“ hingeschrieben hast.

Dann schaust du dir den Wert der y-Achse an, also 3. Das bedeutet für dich, dass du von der Stelle, auf der du gerade stehst (die 2 auf der x-Achse), 3 Schritte nach oben gehst. Bist du nun genau auf der Höhe von 2 und 3, hast du den Punkt P (2 I 3) gefunden und kannst dort ein Kreuzchen mit einem „P“ daneben einzeichnen!

Du weißt auch, dass dein Punkt im ersten Quadranten liegt.

Beispiel: Zeichne den Punkt Q (5 I -7) in dein Koordinatensystem ein.

Du gehst hier mit dem gleichen Prinzip wie eben vor. Zuerst läufst du vom Ursprung aus an der x-Achse 5 Schritte entlang und bist dann bei P (5 I 0). Dann aber musst du nicht 7 Schritte nach oben, sondern nach unten gehen, weil der y-Wert hier ja ein negatives Vorzeichen hat. Hätte der x-Wert ein negatives Vorzeichen, würdest du an der x-Achse auch nicht nach rechts, sondern nach links gehen.

Dieser Punkt liegt dann im zweiten Quadranten.

Das dreidimensionale Koordinatensystem

Das dreidimensionale Koordinatensystem ist im Grunde aufgebaut, wie das zweidimensionale, hat aber eine weitere Achse, was ein wenig Vorstellungsvermögen und räumliches Denken fordert.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem bleibt die bisherige x- und y-Achse gleich. Hinzu kommt die z-Achse. Manchmal werden die Achsen auch in x1-, x2- und x3-Achse umbenannt. Letztendlich sind sie aber genau das gleiche: x1-Achse ist x-Achse, x2-Achse ist y-Achse und x3-Achse ist z-Achse.

Ein dreidimensionales Koordinatensystem sieht so aus:

(Quelle: matheretter.de)

Wie du siehst, sind die Kästchen pro Einheit für die x-Achse nur halb so groß, da sie ja in deine Richtung gehen. Genauso, wie wenn du im Kunstunterricht bei einem dreidimensionalen Gebäude die Breite der Gebäude halbieren musst, musst du das hier auch tun. Benutzt du also bei der y- und z-Achse 2 Kästchen (bzw. 1cm) für eine Einheit, musst du für die x-Achse dann die Diagonale eines Kästchens (bzw. 0,5cm) pro Einheit nehmen. Es macht auch Sinn, die x-Achse im 45°-Winkel zur x-Achse, also in der Diagonalen der Kästchenreihe vom Ursprung aus, anzusetzen.

Da es nun eine weitere Dimension in deinem Koordinatensystem gibt, gibt es auch nicht mehr nur 4 Quadranten, sondern 8 Oktanten – wieder in römischen Zahlen nummeriert – Oktant I bis Oktant VIII.

Diese sind so durchnummeriert:

(Quelle: roro-seiten.de)

Einen Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem einfügen

Das Einfügen eines Punktes im dreidimensionalen Koordinatensystem entspricht genau dem Prinzip des zweidimensionalen Koordinatensystems, nur um einen weiteren Schritt verlängert.

In diesem Beispiel gehen wir von einem Koordinatensystem aus, in dem die y- und z-Achse jeweils mit 2 Kästchen pro Einheit (also 1cm) und die x-Achse in einem 45°-Winkel mit der Diagonale eines Kästchens pro Einheit (also 0,5cm) beschriftet wurde.

Beispiel: Zeichne den Punkt P (6 I 5 I 2) im dreidimensionalen Koordinatensystem ein.

Wie schon im zweidimensionalen Raum, gehst du also erst vom Ursprung aus 6 Schritte an der x-Achse entlang – also in „deine“ Richtung.

Von dort aus dann parallel zur y-Achse 5 Schritte nach rechts.

Achtung: Orientiere dich hier nicht an der Beschriftung der y-Achse, sondern gehe wirklich von der Einheit 6 auf der x-Achse parallel zur y-Achse 5 Einheiten (bzw. 5cm) nach rechts! Durch den dreidimensionalen Raum bzw. die Zeichnung, verschiebt sich dein Punkt auf der x-Achse nach links, je weiter du gehst und passt damit nicht mehr zu deiner Beschriftung auf der y-Achse!

Wenn du nun von deinem Punkt aus senkrecht zur y-Achse schaust, solltest du dich auf Höhe des Wertes 2 befinden. Schaust du waagrecht von deinem Punkt aus zur x-Achse, befindest du dich natürlich auf Höhe des Wertes 6.

Der letzte Schritt ist nun, 2 Schritte nach oben die z-Achse entlang zu gehen. Orientiere dich hierbei wieder nicht an der Beschriftung der z-Achse, sondern gehen 2 Einheiten (bzw. 2cm) nach oben.

Zur Kontrolle: Wenn du jetzt auf die tatsächlichen Beschriftungen auf den Achsen schauen würdest, wärst du nun auf Höhe des Wertes 2 auf der x-Achse, 2 auf der y-Achse und -1 auf der z-Achse.

Hast du alles richtig gemacht, kannst du hier dann dein Kreuzchen mit der Beschriftung P setzen. Dein Punkt liegt im ersten Quadranten.

Beispiel: Zeichne den Punkt Q (-4 I -3 I 1) in deinem dreidimensionalen Koordinatensystem ein.

Die Vorgehensweise ist wieder die gleiche. Diesmal gehst du aber erst 4 Schritte (bzw. 4 Kästchen oder 2cm) auf der x-Achse von dir weg, um dann 3 Schritte (bzw. 3cm) nach links zu gehen. Beides erkennst du am negativen Vorzeichen der Zahlen.

Nun solltest du (den Beschriftungen nach) bei der y-Achse auf Höhe von -1 und bei der z-Achse von 2 liegen.

Alles, was du nun noch tun musst, ist, die z-Achse eine Einheit entlang zu gehen, also einen Schritt nach oben. Bist du jetzt bei y immer noch auf der Höhe von -1 und nach der z-Achse auf 3, so bist du am richtigen Punkt angelangt!

Koordinatensystem – Alles Wichtige auf einen Blick!

  • Jedes Koordinatenpaar kann nur einen einzigen Punkt ausdrücken und jeder Punkt im Koordinatensystem hat ein zugehöriges Koordinatenpaar.
  • Koordinaten bestehen aus x- und y-Koordinaten sowie im dreidimensionalen Raum auch einer z-Koordinate.
  • Im zweidimensionalen Koordinatensystem gibt es zwei Achsen, eine waagrechte und eine senkrechte, die sich im Punkt 0 jeweils schneiden.
  • Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es drei Achsen, die sich jeweils im Punkt 0 schneiden.
  • Der Punkt 0, in dem sich die Achsen schneiden, heißt Ursprung.
  • Beim Einzeichnen eines Punktes im dreidimensionalen Koordinatensystem, ist es wichtig, dass man sich vor allem auf die Einheiten fokussiert und nicht immer nach den Beschriftungen geht.

Nun solltest du alles Wichtige zu Koordinatensystemen beherrschen. Interessieren dich noch weitere Subtopics zur Geometrie, so kannst du dir gern die anderen Seiten dazu auf StudySmarter anschauen!

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