Koordinatensystem

Um Punkte, Strecken oder andere geometrische Objekte zu zeichnen hilft als Vorlage ein Koordinatensystem. Das Grundgerüst vom Koordinatensystem bilden die Achsen. Was genau das ist, wie die korrekte Beschriftung eines Koordinatensystems gelingt oder wie Du ein Koordinatensystem zeichnest, erfährst Du in dieser Erklärung durch verschiedene Beispiele.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Koordinatensystem StudySmarterAbb. 1: Koordinatensystem

    Koordinatensystem – Definition

    Ein kartesisches Koordinatensystem kann in der zweidimensionalen Ebene und dreidimensionalen Raum sein.

    Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei Geraden, die sich schneiden, gleich lang sind und den gleichen Abstand zueinander haben. Das sind die Koordinatenachsen \(x\) und \(y\).

    Anhand eines Koordinatensystems können Punkte an bestimmten Koordinaten eingezeichnet werden, die auch miteinander verbunden werden können.

    Koordinatensystem – Erklärung

    Ein Koordinatensystem hat immer einen positiven Bereich. In diesen positiven Bereich kannst Du zum Beispiel positive Punkte \(P\) eintragen.

    Der positive Teil eines Koordinatensystems nennt sich auch der erste Quadrant.

    Aber wie sieht der positive Teil eines Koordinatensystems aus?

    Hier siehst Du zwei Achsen, die \( {\color{#1478c8}x}\) - und \({\color{#00dcb4}y}\) -Achse, welche in einem \(90°\) Winkel zueinander sind. Die beiden Achsen treffen sich in ihrem Ursprung \({\color{#fa3273}O}\) .

    Der Punkt \({\color{#fa3273}O}\) ist der Punkt \({\color{#fa3273} O(0|0)}\).

    Koordinatensystem positiven Bereich StudySmarterAbb. 2: Koordinatensystem im positiven Bereich

    Wie trägst Du hier einen Punkt ein?

    Positives Koordinatensystem - Punkte eintragen

    Ein Punkt \(P\) besteht immer aus zwei Werten, einmal dem \(x\)- und einmal dem \(y\)-Wert. Das sieht dann folgendermaßen aus:

    \[P(x|y)\]

    Punkte ins zweidimensionale Koordinatensystem trägst Du folgendermaßen ein:

    1. Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert des Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt.
    2. Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert der Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus den Abstand entlang der \(y\)-Achse.
    3. Zuletzt markierst Du den Punkt.

    Jetzt kannst Du es probieren!

    Aufgabe 1

    Zeichne den Punkt \(P(3|2)\) ins zweidimensionale kartesische Koordinatensystem ein.

    Lösung

    Zuerst gehst Du entlang der \(x\)-Achse zur dritten Skalierung, aufgrund des x-Wertes \(x=3\).

    Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 3: Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen

    Gleich danach gehst Du zwei Einheiten nach oben, wie der \(y\)-Wert \(y=2\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.

    Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 4: Punkt ins Koordinatensystem eintragen

    Nun hast Du einen eingezeichneten Punkt \(P\).

    Und was ist, wenn Du in deinem Punkt eine negative Koordinate hast?

    Koordinatensystem x-y

    Wenn Du eine negative Koordinate in ein Koordinatensystem einzeichnen musst, dann benötigst Du auch den negativen Bereich des Koordinatensystems.

    Wie sieht das Koordinatensystem dann aus?

    Ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem hat zwei Achsen.

    Die waagerechte Achse ist die \( {\color{#1478c8}x}\) -Achse, und die senkrechte Achse ist die \({\color{#00dcb4}y}\) -Achse.

    Der Punkt \( {\color{#fa3273}O(0|0)} \) ist der Ursprung des Koordinatensystems und der Schnittpunkt beider Koordinatenachsen.

    Die durchgehenden grauen Linien sind das Koordinatengitter, welches das Einzeichnen, von Punkten erleichtert.

    Koordinatensystem Achsen StudySmarterAbb. 5: Koordinatensystem Achsen

    Neben den Achsen hat das Koordinatensystem vier Quadranten, welche im oberen rechten Quadranten anfangen und gegen den Uhrzeigersinn gehen.

    Koordinatensystem Quadranten StudySmarterAbb. 6: Koordinatensystem Quadranten

    Anhand der Vorzeichen eines Punktes, kann abgelesen werden, in welchem Quadranten der Punkt \( P\) liegt.

    QuadrantVorzeichen \(x\)Vorzeichen \(y\)
    1. Quadrant\(+\)\(+\)
    2. Quadrant

    \(-\)

    \(+\)
    3. Quadrant

    \(-\)

    \(-\)

    4. Quadrant\(+\)\(-\)

    Aber wie genau trägst Du dann einen Punkt \(P\) ins Koordinatensystem ein?

    Koordinatensystem zeichnen - Koordinatensystem Beschriftung

    Bevor Du ein Punkt ins Koordinatensystem eintragen kannst, musst Du es erstmal zeichnen. Ein Koordinatensystem kannst Du auch zeichnen. Dafür musst Du folgende Schritte befolgen:

    1. Achsen zeichnen in beliebiger Länge.
    2. Achsen skalieren.
    3. Achsen beschriften mit Zahlen und Buchstaben.

    Nun siehst Du diesem Vorgang anhand eines Beispiels.

    Zuerst zeichnest Du die Achsen in beliebiger Länge und skalierst diese in diesem Fall mit \( 1\, cm \) Abständen.

    Koordinatensystem zeichnen StudySmarterAbb. 7: Koordinatensystem zeichnen

    Nach dem Skalieren beschriftest Du die Achsen mit den Buchstaben \(x\) und \(y\).

    Koordinatensystem zeichnen StudySmarterAbb. 8: Koordinatensystem zeichnen

    Jetzt hast Du ein vollständiges Koordinatensystem, in welches Du Punkte, und Funktionen einzeichnen kannst.

    Koordinatensystem - Punkte eintragen

    Punkte ins zweidimensionale Koordinatensystem trägst Du folgendermaßen ein:

    1. Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt.
    2. Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus dem Abstand entlang der \(y\)-Achse und markierst den Punkt.

    Nun bist Du an der Reihe!

    Aufgabe 2

    Zeichne den Punkt \(P(-3|4)\) ins Koordinatensystem ein.

    Lösung

    Der \(x\)-Wert des Punktes \(P\) ist \(x=-3\). Also gehst Du entlang der x-Achse zur dritten Skalierung, aufgrund des \(x\)-Wertes.

    Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 9: Punkt ins Koordinatensystem eintragen

    Gleich danach gehst Du vier Einheiten nach oben, wie der \(y\)-Wert \(y=4\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.

    Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 10: Punkt ins Koordinatensystem eintragen

    Nun hast Du den Punkt \(P(3|-4)\) eingezeichnet.

    Räumliches Koordinatensystem x-y-z

    Neben dem zweidimensionalen Koordinatensystem gibt es ebenfalls das dreidimensionale Koordinatensystem für zum Beispiel die Vektorgeometrie.

    Das dreidimensionale Koordinatensystem hat drei Achsen, die \( {\color{#1478c8}x}\) -Achse , \({\color{#00dcb4}y}\) -Achse und \( {\color{#fa3273}z}\) -Achse. Der Schnittpunkt all dieser Achsen ist der Ursprung des Koordinatensystems, nämlich der Punkt \(P(0|0|0)\).

    koordinatensystem Räumliches Koordinatensystem StudySmarterAbb. 11: Räumliches Koordinatensystem

    Koordinatensystem – Übung

    Aufgabe 3

    Trage den Punkt \(P(5|6)\) ins Koordinatensystem ein.

    Lösung

    Zuerst gehst Du entlang der \(x-Achse\) zur fünften Skalierung, aufgrund des \(x\)-Wertes \(x=5\).

    Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 12: Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen

    Gleich danach gehst Du zwei Einheiten nach oben, wie der \(y\)-Wert \(y=6\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.

    Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 13: Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen

    Nun hast Du einen eingezeichneten Punkt \(P\).

    Jetzt hast Du das ganze Wissen auf einen Blick!

    Koordinatensystem – Das Wichtigste

    • Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei orthogonale Geraden, als Koordinatenachsen \(x\) und \(y\), welche den gleichen konstanten Abstand haben. Wenn das Koordinatensystem im Raum ist, hat es drei Achsen \(x,\, y\) und \(z\).
    • Ein Koordinatensystem kann im zwei- und dreidimensionalen Raum sein.
    • Das dreidimensionale Koordinatensystem hat drei Achsen, die \(x\)-Achse, \(y\)-Achse und \(z\)-Achse.
    • Der Schnittpunkt aller Achsen ist der Ursprung bei dem Punkt \(P(0|0)\).
    • Das zweidimensionale Koordinatensystem hat vier Quadranten.
    • Einen Punkt \(P\) zeichnest Du ins Koordinatensystem ein, in dem Du auf der \(x\)-Achse zum \(x\)-Wert gehst und den \(y\)-Wert entlang der \(y\)-Achse von dem Punkt aus gehst. Dann markierst Du den Punkt.

    Nachweise

    1. Dürrschnabel (2019): Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem. In: So viel Mathe muss sein!. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.
    2. Beetz (2015): Funktionen für Höhlenmenschen oder andere Anfänger. Springer Spektrum. Wiesbaden
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Koordinatensystem

    Wie zeichne ich ein Koordinatensystem?

    Zuerst zeichnest Du die Achsen in beliebiger Länge und skalierst diese. Dann beschriftest Du die Achsen mit Zahlen und Buchstaben.

    Für was braucht man ein Koordinatensystem?

    Ein Koordinatensystem brauchst Du um Punkte, Funktionen und geometrische Figuren einzuzeichnen

    Wie trägst Du Punkte ins Koordinatensystem ein?

    Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert des Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt. Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert der Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus den Abstand entlang der \(y\)-Achse. Zuletzt markierst Du den Punkt.

    In welcher Reihenfolge werden Koordinaten angegeben? 

    Koordinaten werden in einem Punkt angegeben und zuerst wird der x-Wert und dann der y-Wert gegeben.

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    Nenne, in welchen Formen es das kartesische Koordinatensystem gibt.

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    Was sind Polarkoordinaten und was macht sie besonders nützlich?

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