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Koordinatensystem

Koordinatensystem

Um Punkte, Strecken oder andere geometrische Objekte zu zeichnen hilft als Vorlage ein Koordinatensystem. Das Grundgerüst vom Koordinatensystem bilden die Achsen. Was genau das ist, wie die korrekte Beschriftung eines Koordinatensystems gelingt oder wie Du ein Koordinatensystem zeichnest, erfährst Du in dieser Erklärung durch verschiedene Beispiele.

Koordinatensystem StudySmarterAbb. 1: Koordinatensystem

Koordinatensystem – Definition

Ein kartesisches Koordinatensystem kann in der zweidimensionalen Ebene und dreidimensionalen Raum sein.

Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei Geraden, die sich schneiden, gleich lang sind und den gleichen Abstand zueinander haben. Das sind die Koordinatenachsen \(x\) und \(y\).

Anhand eines Koordinatensystems können Punkte an bestimmten Koordinaten eingezeichnet werden, die auch miteinander verbunden werden können.

Koordinatensystem – Erklärung

Ein Koordinatensystem hat immer einen positiven Bereich. In diesen positiven Bereich kannst Du zum Beispiel positive Punkte \(P\) eintragen.

Der positive Teil eines Koordinatensystems nennt sich auch der erste Quadrant.

Aber wie sieht der positive Teil eines Koordinatensystems aus?

Hier siehst Du zwei Achsen, die \( {\color{#1478c8}x}\) - und \({\color{#00dcb4}y}\) -Achse, welche in einem \(90°\) Winkel zueinander sind. Die beiden Achsen treffen sich in ihrem Ursprung \({\color{#fa3273}O}\) .

Der Punkt \({\color{#fa3273}O}\) ist der Punkt \({\color{#fa3273} O(0|0)}\).

Koordinatensystem positiven Bereich StudySmarterAbb. 2: Koordinatensystem im positiven Bereich

Wie trägst Du hier einen Punkt ein?

Positives Koordinatensystem - Punkte eintragen

Ein Punkt \(P\) besteht immer aus zwei Werten, einmal dem \(x\)- und einmal dem \(y\)-Wert. Das sieht dann folgendermaßen aus:

\[P(x|y)\]

Punkte ins zweidimensionale Koordinatensystem trägst Du folgendermaßen ein:

  1. Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert des Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt.
  2. Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert der Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus den Abstand entlang der \(y\)-Achse.
  3. Zuletzt markierst Du den Punkt.

Jetzt kannst Du es probieren!

Aufgabe 1

Zeichne den Punkt \(P(3|2)\) ins zweidimensionale kartesische Koordinatensystem ein.

Lösung

Zuerst gehst Du entlang der \(x\)-Achse zur dritten Skalierung, aufgrund des x-Wertes \(x=3\).

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 3: Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen

Gleich danach gehst Du zwei Einheiten nach oben, wie der \(y\)-Wert \(y=2\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 4: Punkt ins Koordinatensystem eintragen

Nun hast Du einen eingezeichneten Punkt \(P\).

Und was ist, wenn Du in deinem Punkt eine negative Koordinate hast?

Koordinatensystem x-y

Wenn Du eine negative Koordinate in ein Koordinatensystem einzeichnen musst, dann benötigst Du auch den negativen Bereich des Koordinatensystems.

Wie sieht das Koordinatensystem dann aus?

Ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem hat zwei Achsen.

Die waagerechte Achse ist die \( {\color{#1478c8}x}\) -Achse, und die senkrechte Achse ist die \({\color{#00dcb4}y}\) -Achse.

Der Punkt \( {\color{#fa3273}O(0|0)} \) ist der Ursprung des Koordinatensystems und der Schnittpunkt beider Koordinatenachsen.

Die durchgehenden grauen Linien sind das Koordinatengitter, welches das Einzeichnen, von Punkten erleichtert.

Koordinatensystem Achsen StudySmarterAbb. 5: Koordinatensystem Achsen

Neben den Achsen hat das Koordinatensystem vier Quadranten, welche im oberen rechten Quadranten anfangen und gegen den Uhrzeigersinn gehen.

Koordinatensystem Quadranten StudySmarterAbb. 6: Koordinatensystem Quadranten

Anhand der Vorzeichen eines Punktes, kann abgelesen werden, in welchem Quadranten der Punkt \( P\) liegt.

QuadrantVorzeichen \(x\)Vorzeichen \(y\)
1. Quadrant
\(+\)
\(+\)
2. Quadrant

\(-\)

\(+\)
3. Quadrant

\(-\)

\(-\)

4. Quadrant
\(+\)
\(-\)

Aber wie genau trägst Du dann einen Punkt \(P\) ins Koordinatensystem ein?

Koordinatensystem zeichnen - Koordinatensystem Beschriftung

Bevor Du ein Punkt ins Koordinatensystem eintragen kannst, musst Du es erstmal zeichnen. Ein Koordinatensystem kannst Du auch zeichnen. Dafür musst Du folgende Schritte befolgen:

  1. Achsen zeichnen in beliebiger Länge.
  2. Achsen skalieren.
  3. Achsen beschriften mit Zahlen und Buchstaben.

Nun siehst Du diesem Vorgang anhand eines Beispiels.

Zuerst zeichnest Du die Achsen in beliebiger Länge und skalierst diese in diesem Fall mit \( 1\, cm \) Abständen.

Koordinatensystem zeichnen StudySmarterAbb. 7: Koordinatensystem zeichnen

Nach dem Skalieren beschriftest Du die Achsen mit den Buchstaben \(x\) und \(y\).

Koordinatensystem zeichnen StudySmarterAbb. 8: Koordinatensystem zeichnen

Jetzt hast Du ein vollständiges Koordinatensystem, in welches Du Punkte, und Funktionen einzeichnen kannst.

Koordinatensystem - Punkte eintragen

Punkte ins zweidimensionale Koordinatensystem trägst Du folgendermaßen ein:

  1. Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt.
  2. Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus dem Abstand entlang der \(y\)-Achse und markierst den Punkt.

Nun bist Du an der Reihe!

Aufgabe 2

Zeichne den Punkt \(P(-3|4)\) ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Der \(x\)-Wert des Punktes \(P\) ist \(x=-3\). Also gehst Du entlang der x-Achse zur dritten Skalierung, aufgrund des \(x\)-Wertes.

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 9: Punkt ins Koordinatensystem eintragen

Gleich danach gehst Du vier Einheiten nach oben, wie der \(y\)-Wert \(y=4\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 10: Punkt ins Koordinatensystem eintragen

Nun hast Du den Punkt \(P(3|-4)\) eingezeichnet.

Räumliches Koordinatensystem x-y-z

Neben dem zweidimensionalen Koordinatensystem gibt es ebenfalls das dreidimensionale Koordinatensystem für zum Beispiel die Vektorgeometrie.

Das dreidimensionale Koordinatensystem hat drei Achsen, die \( {\color{#1478c8}x}\) -Achse , \({\color{#00dcb4}y}\) -Achse und \( {\color{#fa3273}z}\) -Achse. Der Schnittpunkt all dieser Achsen ist der Ursprung des Koordinatensystems, nämlich der Punkt \(P(0|0|0)\).

koordinatensystem Räumliches Koordinatensystem StudySmarterAbb. 11: Räumliches Koordinatensystem

Koordinatensystem – Übung

Aufgabe 3

Trage den Punkt \(P(5|6)\) ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Zuerst gehst Du entlang der \(x-Achse\) zur fünften Skalierung, aufgrund des \(x\)-Wertes \(x=5\).

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 12: Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen

Gleich danach gehst Du zwei Einheiten nach oben, wie der \(y\)-Wert \(y=6\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarterAbb. 13: Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen

Nun hast Du einen eingezeichneten Punkt \(P\).

Jetzt hast Du das ganze Wissen auf einen Blick!

Koordinatensystem – Das Wichtigste

  • Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei orthogonale Geraden, als Koordinatenachsen \(x\) und \(y\), welche den gleichen konstanten Abstand haben. Wenn das Koordinatensystem im Raum ist, hat es drei Achsen \(x,\, y\) und \(z\).
  • Ein Koordinatensystem kann im zwei- und dreidimensionalen Raum sein.
  • Das dreidimensionale Koordinatensystem hat drei Achsen, die \(x\)-Achse, \(y\)-Achse und \(z\)-Achse.
  • Der Schnittpunkt aller Achsen ist der Ursprung bei dem Punkt \(P(0|0)\).
  • Das zweidimensionale Koordinatensystem hat vier Quadranten.
  • Einen Punkt \(P\) zeichnest Du ins Koordinatensystem ein, in dem Du auf der \(x\)-Achse zum \(x\)-Wert gehst und den \(y\)-Wert entlang der \(y\)-Achse von dem Punkt aus gehst. Dann markierst Du den Punkt.

Nachweise

  1. Dürrschnabel (2019): Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem. In: So viel Mathe muss sein!. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.
  2. Beetz (2015): Funktionen für Höhlenmenschen oder andere Anfänger. Springer Spektrum. Wiesbaden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Koordinatensystem

Zuerst zeichnest Du die Achsen in beliebiger Länge und skalierst diese. Dann beschriftest Du die Achsen mit Zahlen und Buchstaben.

Ein Koordinatensystem brauchst Du um Punkte, Funktionen und geometrische Figuren einzuzeichnen

Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert des Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt. Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert der Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus den Abstand entlang der \(y\)-Achse. Zuletzt markierst Du den Punkt.

Koordinaten werden in einem Punkt angegeben und zuerst wird der x-Wert und dann der y-Wert gegeben.

Finales Koordinatensystem Quiz

Frage

Erkläre, was das kartesische Koordinatensystem ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei orthogonale Geraden, als Koordinatenachsen \(x\) und \(y\), welche den gleichen konstanten Abstand haben. Wenn das Koordinatensystem im Raum ist, hat es drei Achsen \(x,\, y\) und \(z\).

Frage anzeigen

Frage

Nenne, in welchen Formen es das kartesische Koordinatensystem gibt.

Antwort anzeigen

Antwort

Das kartesische Koordinatensystem gibt es in der zweidimensionalen Ebene.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, wo sich der Ursprung des Koordinatensystems befindet.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Ursprung des Koordinatensystems befindet sich in dem Schnittpunkt der Achsen, an dem Punkt \(P(0|0)\).

Frage anzeigen

Frage

Nenne, wie viele Quadranten ein zweidimensionales Koordinatensystem hat

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Quadranten

Frage anzeigen

Frage

Nenne, an welcher Stelle des Koordinatensystems sich welcher Quadrant befindet.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Achse des Koordinatensystems die \(x\)- und \(y\)-Achse ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die \(x\)-Achse ist die waagerechte Achse.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du ein Koordinatensystem zeichnest.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Koordinatensystem kannst Du auch zeichnen. Dafür musst Du folgende Schritte befolgen:


  1. Achsen zeichnen in beliebiger Länge.
  2. Achsen skalieren.
  3. Achsen beschriften mit Zahlen und Buchstaben.

Frage anzeigen

Frage

Zeichne ein Koordinatensystem.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst zeichnest Du die Achsen in beliebiger Länge und skalierst diese in diesem Fall mit \( 1\, cm \) Abständen.



Nach dem Skalieren beschriftest Du die Achsen.



Nun hast Du ein vollständiges Koordinatensystem.

Frage anzeigen

Frage

Zeichne ein Koordinatensystem.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst zeichnest Du die Achsen in beliebiger Länge und skalierst diese in diesem Fall mit \( 1\, cm \) Abständen.



Nach dem Skalieren beschriftest Du die Achsen.



Nun hast Du ein vollständiges Koordinatensystem.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du einen Punkt ins zweidimensionale Koordinatensystem einträgst.

Antwort anzeigen

Antwort

Punkte ins zweidimensionale Koordinatensystem trägst Du folgendermaßen ein:


  1. Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt.
  2. Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus den Abstand entlang der \(y\)-Achse.
  3. Zuletzt markierst Du den Punkt.


Frage anzeigen

Frage

Trage den Punkt \(P(2|-4)\) ins Koordinatensystem ein.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst gehst Du entlang der x-Achse zur zweiten Skalierung, aufgrund des \(x\)-Wertes \(x=2\).

Gleich danach gehst Du zwei Einheiten nach unten, wie der \(y\)-Wert \(y=-4\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.


Frage anzeigen

Frage

Nenne, wofür ein Koordinatensystem benötigt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Koordinatensystem braucht es in der Mathematik, um Funktionen, Punkt, Vektoren und bestimmte geometrische Figuren einzuzeichnen.

Frage anzeigen

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