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In diesem Artikel geht es um die wichtigsten Fakten zum Thema „Funktionen“. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen.
Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Arten von Funktionen und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. Wir erklären dir auch die Sonderfälle und was du zu beachten hast!
Am Ende dieses Kapitels hast du hoffentlich einen guten Überblick über Funktionen! ☺
Unter einer linearen Funktion mit Steigung m und Achsenabschnitt t versteht man eine Funktion der Form:
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a ≠ 0, b, c ist eine Funktion der Form:
a ist eine reelle Zahl, dabei ist es wichtig, das diese Zahl nicht 0 ist. Im Gegensatz dazu können die Koeffizienten b ,c alle reellen Zahlen annehmen - auch die 0.
Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt.
Der zur Funktion 
gehörende Graph heißt Normalparabel.
Eine Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten hat die Form:
mit der veränderlichen Basis x und dem festen Exponenten n mit 
.
Ihr Graph heißt:
Eine Wurzelfunktion ist nah mit der Potenzfunktion verwandt. Eine Wurzelfunktion ist eine Potenzfunktion mit Bruch als Exponenten.
Sie hat zwei Schreibweisen:
1. 
2. 
Beachte, dass die Wurzelfunktion nur für positive Werte, einschließlich der 0, definiert ist.
Der Graph hat eine Nullstelle bei (0|0) und verläuft immer durch den Punkt (1|1).
Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades wird auch Polynomfunktion n-ten Grades genannt.
Man versteht darunter eine Funktion der Form:
Hat eine ganzrationale Funktion n Grade, hat sie höchstens n Nullstellen.
Falls eine ganzrationale Funktion n Grade hat und du bereits eine Nullstelle kennst, kannst du die Polynomdivision durchführen.
Falls eine ganzrationale Funktion den Grad 2 hat, kannst du die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel berechnen.
Hier siehst du einen Beispielgraph für eine ganzrationale Funktion geraden Grades. Das erkennst du, da die Grenzwerte der Funktion gleich sind. Da das Vorzeichen des höchsten Parametes (in diesem Fall 2) positiv ist, hat die Funktion zwei positive Grenzwerte, sie verläuft von Plus zu Plus.
Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus zwei ganzrationalen Funktionen, die dividiert werden:
Wobei g(x) und h(x) Funktionen der Form: 
bzw. 
sind.
Je nach Zählergrad und Nennergrad, kann eine gebrochen-rationale Funktion eine Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel haben. Sie kann allerdings auch die Form einer Parabel oder einer linearen Funktion haben. Falls sich der Nenner aus dem Zähler kürzen lässt, hat die gebrochen-rationale Funktion eine hebbare Definitionslücke.
Hier siehst du einen Beispielgraph für eine gebrochen-rationale Funktion. Eine gebrochen-rationale Funktion kann allerdings ganz verschieden aussehen.
Eine Exponentialfunktion mit der Basis 
ist eine reelle Funktion und hat die Form:
bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x. b gibt den Vorfaktor an.
Unter der Euler´schen Zahl versteht man den Grenzwert:
e ist eine irrationale Zahl. Du kannst diese auch als Dezimalbruch schreiben. Sie ist unendlich, aber nicht periodisch und beginnt mit 2,71828…
Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form 
.
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion lautet:
Die Ableitung der Exponentialfunktion lautet:
Die Stammfunktion der Exponentialfunktion lautet:
Die ln-Funktion mit der Basis e , ist eine reelle Funktion mit der Form:
Die Umkehrfunktion der ln-Funktion lautet:
Die Ableitung der ln-Funktion lautet:
Die Stammfunktion der ln-Funktion lautet:
Hier siehst du den Zusammenhang der e-Funktion und der ln-Funktion.
Du kannst eine gegebene Funktion bzw. einen gegebenen Graphen auch transformieren. Also beispielsweise durch die Verschiebung des Graphen Gf an der x-Achse um 2 Einheiten, entsteht der neue Graph Gg. Dadurch verändert sich auch der Wertebereich von Gf.
Im folgenden siehst du, wie du den Graphen verändern kannst und was das dann für Auswirkungen hat. f(x) ist dabei unsere Ausgangsfunktion und g(x) unsere transformierte Funktion.
Auswirkung | g(x) | Dg | Wg |
Spieglung an der x-Achse | -f(x) | Df | -Wf |
Spiegelung an der y-Achse | -f(x) | D | -W |
Vertikale Verschiebung um a | fx+a, a∈R | D | W+a |
Horizontale Verschiebung um -a | f(x+a), a∈R | D-a | W |
c >1:Streckung, 0<c <1:Stauchung | c*fx, c>0 | D | c*W |
c >1:Stauchung, 0<c<1: Streckung | fc*x, c>0 | 1c*D | W |
Wenn du mehr zu diesem Thema wissen möchtest, dann schau dir doch unseren Artikel „Graphen zeichnen“ an.
Die Umkehrfunktion für die Funktion 
lautet 
. Wenn du in die Funktion 
den zugehörigen y-Wert einsetzt, erhältst du den x-Wert der Umkehrfunktion.
Du musst diese drei Schritte dabei beachten:
um und löse schrittweise nach x auf
aufUnser Tipp für Euch:
Schau dir doch die einzelnen verlinkten Seiten zu den Themen an. Dort haben wir dir Beispielaufgaben, Beispielgraphen und Tipps gezeigt. ☺
Frage
Bestimme für die gegebene Funktion den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse auf dem gegebenen Intervall einschreibt:
Antwort
f(x) schließt 4FE ein, g(x) ca. 3,717FE und h(x) 12FE.
Frage
Der Graph einer Funktion verläuft entlang einer Geraden durch die Punkte P(-4/-5) und Q(3/-5).
Bestimme den Funktionsterm und zeichne einen Graphen!
Antwort
Frage
Erstelle einen Graphen, der die konstanten Funktionen
Antwort
Frage
Einer lineare Funktion mit Steigung k=0 verläuft durch den Punkte R(-2/3).
Bestimme den Funktionsterm und zeichne einen Graphen!
Antwort
Frage
Bestimme die Funktionsgleichungen der Graphen der folgenden konstanten Funktionen:
Antwort
Frage
Erstelle einen Graphen, der die konstanten Funktionen
Antwort
Frage
Ist die lineare Funtion, die durch die Punkte A(3/2) und B(6/2) verläuft, eine konstante Funktion?
Begründe deine Antwort, gib den Funktionsterm an und zeichne einen Graphen!
Antwort
Konstante Funktion!
Frage
Eine konstante Funktion verläuft durch den Punkt S(4/4).
Bestimme den Funktionsterm und zeichne einen Graphen!
Antwort
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