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Funktionen

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Funktionen

Funktionen

In diesem Artikel geht es um die wichtigsten Fakten zum Thema „Funktionen“. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen.

Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Arten von Funktionen und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. Wir erklären dir auch die Sonderfälle und was du zu beachten hast!

Am Ende dieses Kapitels hast du hoffentlich einen guten Überblick über Funktionen! ☺

Lineare Funktion

Unter einer linearen Funktion mit Steigung m und Achsenabschnitt t versteht man eine Funktion der Form:

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Die quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a ≠ 0, b, c ist eine Funktion der Form:

a ist eine reelle Zahl, dabei ist es wichtig, das diese Zahl nicht 0 ist. Im Gegensatz dazu können die Koeffizienten b ,c alle reellen Zahlen annehmen - auch die 0.

Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt.

Der zur Funktion gehörende Graph heißt Normalparabel.

Die Potenzfunktion

Eine Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten hat die Form:

mit der veränderlichen Basis x und dem festen Exponenten n mit .

Ihr Graph heißt:

  • Parabel der Ordnung n, wenn n = 2,3,4,…
  • Hyperbel der Ordnung |n|, wenn n = -1,-2,-3,…

Die Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion ist nah mit der Potenzfunktion verwandt. Eine Wurzelfunktion ist eine Potenzfunktion mit Bruch als Exponenten.

Sie hat zwei Schreibweisen:

1.

2.

Beachte, dass die Wurzelfunktion nur für positive Werte, einschließlich der 0, definiert ist.

Der Graph hat eine Nullstelle bei (0|0) und verläuft immer durch den Punkt (1|1).

Die Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades wird auch Polynomfunktion n-ten Grades genannt.

Man versteht darunter eine Funktion der Form:

Die Nullstellen einer Polynomfunktion

Hat eine ganzrationale Funktion n Grade, hat sie höchstens n Nullstellen.

Falls eine ganzrationale Funktion n Grade hat und du bereits eine Nullstelle kennst, kannst du die Polynomdivision durchführen.

Falls eine ganzrationale Funktion den Grad 2 hat, kannst du die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel berechnen.

Hier siehst du einen Beispielgraph für eine ganzrationale Funktion geraden Grades. Das erkennst du, da die Grenzwerte der Funktion gleich sind. Da das Vorzeichen des höchsten Parametes (in diesem Fall 2) positiv ist, hat die Funktion zwei positive Grenzwerte, sie verläuft von Plus zu Plus.

Die gebrochen-rationale Funktion:

Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus zwei ganzrationalen Funktionen, die dividiert werden:

Wobei g(x) und h(x) Funktionen der Form: bzw.

sind.

Je nach Zählergrad und Nennergrad, kann eine gebrochen-rationale Funktion eine Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel haben. Sie kann allerdings auch die Form einer Parabel oder einer linearen Funktion haben. Falls sich der Nenner aus dem Zähler kürzen lässt, hat die gebrochen-rationale Funktion eine hebbare Definitionslücke.

Hier siehst du einen Beispielgraph für eine gebrochen-rationale Funktion. Eine gebrochen-rationale Funktion kann allerdings ganz verschieden aussehen.

Die Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion mit der Basis ist eine reelle Funktion und hat die Form:

bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x. b gibt den Vorfaktor an.

Die natürliche Exponentialfunktion

Unter der Euler´schen Zahl versteht man den Grenzwert:

e ist eine irrationale Zahl. Du kannst diese auch als Dezimalbruch schreiben. Sie ist unendlich, aber nicht periodisch und beginnt mit 2,71828…

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form .

Die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion lautet:

Die Ableitung

Die Ableitung der Exponentialfunktion lautet:

Die Stammfunktion

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion lautet:

Die ln-Funktion

Die ln-Funktion

Die ln-Funktion mit der Basis e , ist eine reelle Funktion mit der Form:

Die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der ln-Funktion lautet:

Die Ableitung

Die Ableitung der ln-Funktion lautet:

Die Stammfunktion

Die Stammfunktion der ln-Funktion lautet:

Hier siehst du den Zusammenhang der e-Funktion und der ln-Funktion.

Die Veränderung der Grundfunktion

Du kannst eine gegebene Funktion bzw. einen gegebenen Graphen auch transformieren. Also beispielsweise durch die Verschiebung des Graphen Gf an der x-Achse um 2 Einheiten, entsteht der neue Graph Gg. Dadurch verändert sich auch der Wertebereich von Gf.

Im folgenden siehst du, wie du den Graphen verändern kannst und was das dann für Auswirkungen hat. f(x) ist dabei unsere Ausgangsfunktion und g(x) unsere transformierte Funktion.

Auswirkung

g(x)

Dg

Wg

Spieglung an der x-Achse

-f(x)

Df

-Wf

Spiegelung an der y-Achse

-f(x)

D

-W

Vertikale Verschiebung um a

fx+a, a∈R

D

W+a

Horizontale Verschiebung um -a

f(x+a), a∈R

D-a

W

c >1:Streckung, 0<c <1:Stauchung

c*fx, c>0

D

c*W

c >1:Stauchung, 0<c<1: Streckung

fc*x, c>0

1c*D

W

Wenn du mehr zu diesem Thema wissen möchtest, dann schau dir doch unseren Artikel „Graphen zeichnen“ an.

Die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion für die Funktion lautet . Wenn du in die Funktion den zugehörigen y-Wert einsetzt, erhältst du den x-Wert der Umkehrfunktion.

Du musst diese drei Schritte dabei beachten:

  1. Schreibe die Funktion als um und löse schrittweise nach x auf
  2. Tausche die Variablen x und y
  3. Schreibe die Umkehrfunktion auf

Unser Tipp für Euch:

Schau dir doch die einzelnen verlinkten Seiten zu den Themen an. Dort haben wir dir Beispielaufgaben, Beispielgraphen und Tipps gezeigt. ☺

Finales Funktionen Quiz

Frage

Was sind Eigenschaft einer konstanten Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Für jeden x-Wert hat sie denselben y-Wert.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme für die gegebene Funktion den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse auf dem gegebenen Intervall einschreibt:


Antwort anzeigen

Antwort

f(x) schließt 4FE ein, g(x) ca. 3,717FE und h(x) 12FE.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussagen über konstante Funktionen stimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung einer konstanten Funktion hängt von der Funktionsvorschrift selbst ab und kann deswegen allgemein nicht bestimmt werden.

Frage anzeigen

Frage

Kreuze an welche Größen sich durch eine konstante Funktion beschreiben lassen:



Antwort anzeigen

Antwort

Der zurückgelegte Weg eines geworfenen Balles.

Frage anzeigen

Frage


Kreuze an welche Größen sich durch eine konstante Funktion beschreiben lassen:






Antwort anzeigen

Antwort

Der Schaum in Bierglas.

Frage anzeigen

Frage

Warum könnten konstante Funktionen wichtig sein?

 Überlege dir Gründe und Beispiele, warum eine nicht stattfindende Änderung auch eine wichtige Aussage ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Langweilig!


Zumindest anzuschauen. Aber wenn sich eine Größe nicht ändert ist dies genauso eine Aussage , als wenn wir beschreiben können was und wie sich etwas ändert.


Mit Funktionen wollen wir Zusammenhänge und Abhängikeitent beschreiben. Wenn dieser Zusammenhang konstant ist, heißt dies entweder, dass kein Zusammenhang besteht oder sich zum Beipiel andere Faktoren ausgleichen, sodass sich unsere betrachtete Größe nicht ändert.


Als Beispiel: 

Dass wir weder Energie erzeugen noch vernichten können, diese also konstant ist, sich nur in ihrer Form ändert, ist eine wichtige Erkenntnis auf die die moderne Technologie basiert.


Dass unserer mittlerer Bludruck über die Zeit  kontant bleibt, kann durchaus beruhigend sein, solange er am Anfang gut war. Das heißt wir machen Dinge richtig und wir können beruhigt vom Arzt nach Hause gehen.

Wenn wir trainieren oder lernen und unsere Resultate ändern sich auch nach Wochen nicht, dann bietet dies Anlass zum Überdenken des Trainings oder Lernens.


Zu merken:  Konstante Funktionen  sehen vieleicht langweilig aus. Ihre Interpretation und Aussagekraft kann aber genauso wichtig oder wichtiger sein, wie die von nicht anderen Funktionen.



Frage anzeigen

Frage


Kreuze an welche Größen sich durch eine konstante Funktion beschreiben lassen:




Antwort anzeigen

Antwort

Der Ort des Eifelturms in Paris.

Frage anzeigen

Frage

Der Graph einer Funktion verläuft entlang einer Geraden durch die Punkte P(-4/-5) und Q(3/-5).

Bestimme den Funktionsterm und zeichne einen Graphen!

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Erstelle einen Graphen, der die konstanten Funktionen


enthält.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Einer lineare Funktion mit Steigung k=0 verläuft durch den Punkte R(-2/3).

Bestimme den Funktionsterm und zeichne einen Graphen!

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Funktionsgleichungen der Graphen der folgenden konstanten Funktionen:


  1. der grünen Kurve f
  2. der roten Kurve g
  3. der blauen Kurve h
  4. der orangen Kurve i
Antwort anzeigen

Antwort

  1. f(x)= 4
  2. g(x)=-2
  3. h(x)=0
  4. i(x)=2,5
Frage anzeigen

Frage

Erstelle einen Graphen, der die konstanten Funktionen


enthält.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Ist die lineare Funtion, die durch die Punkte A(3/2) und B(6/2) verläuft, eine konstante Funktion?

Begründe deine Antwort, gib den Funktionsterm an und zeichne einen Graphen!

Antwort anzeigen

Antwort

Konstante Funktion!


Frage anzeigen

Frage

Eine konstante Funktion verläuft durch den Punkt S(4/4).

Bestimme den Funktionsterm und zeichne einen Graphen!

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welche Gleichung gehört zu einer konstanten Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x)=x²+6x+3

Frage anzeigen

Frage

Welche Gleichung gehört zu einer konstanten Funktion?


Antwort anzeigen

Antwort

f(x)=√x+7

Frage anzeigen

Frage

Welche Gleichung gehört zu einer konstanten Funktion?


Antwort anzeigen

Antwort

f(x)=4x-0,7

Frage anzeigen

Frage

Welche Gleichung gehört zu einer konstanten Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x)=ln(x)+3,7

Frage anzeigen

Frage

Welche Gleichung gehört zu einer konstanten Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x)=-4x+57

Frage anzeigen

Frage

Welche Gleichung gehört zu einer konstanten Funktion?


Antwort anzeigen

Antwort

f(x)=44,25

Frage anzeigen

Frage

Welche Gleichung gehört zu einer konstanten Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x)=-77,7

Frage anzeigen
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