Funktionen

Funktionen benötigst Du in der Mathematik in verschiedensten Bereichen, aber auch im Alltag. Zum Beispiel kannst Du mit einer quadratischen Funktion die Länge einer gebogenen Brücke berechnen. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Was eine Funktion oder ein Funktionsgraph ist, was eine ganzrationale oder trigonometrische Funktion auszeichnet und vieles mehr erfährst Du in dieser Erklärung!

    Funktionen Grundbegriffe

    Es gibt grundlegende Begriffe, die Dir dabei helfen, das Thema Funktionen zu verinnerlichen. Dazu gehören die Begriffe Funktion, Funktionsterm, Funktionsgraph und Funktionsgleichung.

    Eine Funktion \(f(x)\) ist eine Vorschrift, die zwei Mengen und die darin enthaltenen Elemente einander zuordnet. Jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(\mathbb{D}\), wird ein Element \(y\) der Wertemenge \(\mathbb{W}\) zugeordnet.

    Gegeben ist eine beispielhafte Funktion \(f(x)\). Der Funktionsterm beschreibt den mathematischen Ausdruck hinter dem Gleichheitszeichen bei einer Funktionsgleichung.

    \begin{align}\underbrace{f(x)=\overbrace{2x+3}^{Funktionsterm}}_{Funktionsgleichung}\end{align}

    Eine Funktionsgleichung verbindet einen Funktionsterm mit einer Funktion \(f(x)\) und ordnet so jedem \(x\)-Wert einen konkreten Funktionswert \(y=f(x)\) zu.

    Du kannst Funktionen (die Zuordnung aller \(x\) und \(y\)-Werte) auch grafisch darstellen, wenn sie in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden.

    Noch mehr Grundbegriffe von Funktionen findest Du in der dazu passenden Erklärung „Grundbegriffe Funktionen“.

    Im Beispiel hast Du bereits eine bestimmte Art von Funktionen gesehen. Sie gehört zu den ganzrationalen Funktionen.

    Ganzrationale Funktionen

    Eine ganzrationale Funktion, auch Polynomfunktion \(n\)-ten Grades genannt, ist eine Funktion \(f(x)\) der Form:

    \[ f(x)=a_{n} \cdot x^{n}+ a_{n-1} \cdot x^{n-1}+...+a_{1} \cdot x^{1}+a_{0} \]

    Wenn Du noch mehr über ganzrationale Funktionen erfahren möchtest, dann schau Dir doch die passende Erklärung „Ganzrationale Funktionen“ dazu an.

    Je nachdem, welchen Grad \(n\) die Funktion \(f(x)\) besitzt, gehören zum Beispiel auch lineare oder quadratische Funktionen zu dieser Kategorie. Was kennzeichnet diese Art Funktionen?

    Lineare Funktionen und quadratische Funktionen

    Eine lineare Funktion \(f(x)\), ist eine ganzrationale Funktion ersten Grades, welche grafisch durch eine Gerade dargestellt wird.

    Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades und lässt sich innerhalb des Koordinatensystems durch eine Parabel darstellen und bezeichnet quadratische Funktionen.

    FunktionsartFunktionsgleichung
    Lineare Funktion

    \begin{align}f(x)&=mx+t \\[0.2cm] oder \\[0.2cm] f(x)&=ax+b\end{align}

    Quadratische Funktion

    \[f(x)=ax^{2}+bx+c\]

    In diesem Beispiel siehst Du eine lineare Funktion \(f(x)\) und eine quadratische Funktion \(g(x)\).

    \begin{align} f(x)&=x \\ g(x)&=x^{2} \end{align}

    Funktionen lineare und quadratische Funktion StudySmarterAbb. 1 - Lineare und quadratische Funktion.

    Wie Du sehen kannst, schneiden sich die beiden Funktionsgraphen \(f(x)\) und \(g(x)\) sogar in zwei Schnittpunkten \(S_1\) und \(S_2\).

    Wie Du die Schnittpunkte in so einem Fall berechnen kannst, erfährst Du in der Erklärung „Schnittpunkt zweier Funktionen“.

    Wenn Du noch mehr über „lineare Funktionen“ und „quadratische Funktionen“ erfahren möchtest, schau Dir die einzelnen Erklärungen an.

    Gebrochenrationale Funktionen

    Eine gebrochenrationale Funktion \(f(x)\) lässt sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen \(g(x)\) und \(h(x)\) darstellen. Demnach liegt die Funktion \(f(x)\) in folgender Form vor:

    \[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \]

    Hier siehst Du eine echt gebrochenrationale Funktion \(f(x)\).

    \[f(x)=\frac{1}{x}\]

    Funktionen Gebrochenrationale Funktion StudySmarterAbb. 2 - Gebrochenrationale Funktion.

    Wenn Du mehr zum Thema gebrochenrationale Funktionen erfahren möchtest, kannst Du Dir den passenden Artikel „Gebrochenrationale Funktionen“ gerne durchlesen.

    Potenzfunktion und Wurzelfunktion

    Eine Potenzfunktion \(f(x)=x^{n}\) ist eine ganzrationale Funktion, die eine positive ganze Zahl \(n\) im Exponenten hat. Wird der ganzzahlige Exponent durch einen rationalen Exponenten ersetzt, so ergibt sich die Potenzfunktion \(f(x)\) mit rationalem Exponenten:

    \[f(x)=x^{\frac{m}{n}}\]

    Aus der Umkehrfunktion der Potenzfunktion mit ganzem Exponenten ergibt sich die allgemeine Wurzelfunktion.

    \[f(x)=\sqrt[n]{x}\]

    Hier siehst Du eine Potenzfunktion \(f(x)\) dritten Grades und eine Wurzelfunktion \(g(x)\).

    \begin{align} f(x)&=x^{3} \\ g(x)&=\sqrt[]{x} \end{align}

    Funktionen Potenzfunktion und Wurzelfunktion StudySmarterAbb. 3 - Potenzfunktion und Wurzelfunktion.

    In dieser Grafik erkennst Du außerdem noch den sogenannten Sattelpunkt der Funktion \(f(x)\) am Ursprung. Das ist eine grafische Eigenschaft einer bestimmten Funktion \(f(x)\).

    Wenn Du noch mehr zu den grafischen Eigenschaften von Funktionen erfahren möchtest, dann sieh Dir die Erklärung „Funktionsgraphen“ an.

    In den Erklärungen „Potenzfunktionen“ und „Wurzelfunktion“ findest Du noch weitere Beispiele und Übungsaufgaben. Sieh also gerne vorbei!

    Trigonometrische Funktionen

    Die Kosinus-, Sinus- und Tangensfunktion gehören zu den trigonometrischen Funktionen.

    Aber wie sehen diese aus?

    KosinusfunktionSinusfunktionTangensfunktion
    \[f(x)=cos(x)\]\[f(x)=sin(x)\]\[f(x)=tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} \]

    Sieh Dir gerne die Erklärung „Trigonometrische Funktionen“ an, um weitere Informationen zu den drei Funktionen zu erhalten.

    Im folgenden Schaubild siehst Du alle drei Trigonometrischen Funktionen im Koordinatensystem:

    Funktionen trigonometrische Funktionen StudySmarterAbb. 4 - Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion.

    Wie Du sehen kannst, sind die Funktionsgraphen nur in einem Intervall von etwa \(-2\pi\) bis \(2\pi\) dargestellt. Aber wie verhalten sich diese Funktionen für einen sehr sehr großen Bereich?

    Das kannst Du anhand dieses Bildes nicht erkennen, aber im Artikel „Verhalten von Funktionen“ erfährst Du alles rund um das Thema.

    Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion

    Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion \(f(x)=a^{x}\) mit einer Basis \(a\) und einer Variable \(x\) im Exponenten. Wird die Basis \(a\) durch die Eulersche Zahl \(e\) ersetzt, dann ergibt sich die natürliche Exponentialfunktion.

    \[f(x)=e^{x}\]

    Die Logarithmusfunktion \(f(x)=log_{a}(x)\) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \(f(x)=a^{x}\). Auch hier kann die Basis \(a\) durch die Eulersche Zahl \(e\) ersetzt werden und es ergibt sich:

    \[f(x)=log_{e}(x)=ln(x)\]

    In den Erklärungen „Exponentialfunktion“ und „Logarithmusfunktion“ kannst Du Dir noch mehr Übungsbeispiele ansehen.

    In diesem Beispiel siehst Du die natürliche Exponentialfunktion \(f(x)\) und die natürliche Logarithmusfunktion \(g(x)\).

    \begin{align} f(x)&=e^{x} \\ g(x)&=log_{e}(x)\end{align}

    Funktionen E-Funktion und ln-Funktion StudySmarterAbb. 5 - Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion.

    Diese Funktionen sind an einer Achse gespiegelt. Das Spiegeln einer Funktion \(f(x)\) ist eine Transformation einer Funktion.

    Wenn Du mehr zum Thema Funktionen Transformieren erfahren möchtest, schau Dir doch die Erklärung „Transformation von Funktionen“ an.

    In manchen Aufgaben kann es sein, dass Du die Funktion \(f(x)\) nicht gegeben hast, sondern erst bestimmen musst. Sieh Dir dazu das nächste Kapitel an.

    Rekonstruktion von Funktionen

    Bei der Rekonstruktion von Funktionen hast Du nur verschiedene Eigenschaften und Informationen zu einer zunächst unbekannten Funktion \(f(x)\) gegeben. Mit diesen Informationen kannst Du die Funktion \(f(x)\) rekonstruieren und ihre Funktionsgleichung bestimmen.

    Für jede Art von Funktion benötigst Du andere Angaben, mit denen Du die Funktion rekonstruieren kannst.

    Der Funktionsgraph einer linearen Funktion \(f(x)\) geht durch den Punkt \(A\,(2|3)\) und verläuft parallel zur einer Geraden mit der Funktionsgleichung \(h(x)=2x+2\). Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\).

    Lösung

    Eine lineare Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung \(f(x)=mx+t\). In der Aufgabe ist bekannt, dass der Funktionsgraph der Funktion \(f(x)\) parallel zu einer Geraden verläuft mit \(h(x)={\color{#1478C8}2}x+2\).

    Eine parallele Gerade hat die gleiche Steigung \(m\), die in diesem Fall \(m=2\) ist. Für die Funktion \(f(x)\) gilt demnach:

    \[f(x)={\color{#1478C8}2}x+t\]

    Es fehlt lediglich noch der Achsenabschnitt \(t\). Dazu wird der gegebene Punkt \(A\) in die Funktion \(f(x)\) eingesetzt.

    \begin{align}f(x)&=2x+t \\[0.1cm] 3&=2\cdot 2 +t\\[0.1cm] 3&=4+t\hspace{1cm} |\,-4\\[0.1cm]-1&=t\end{align}

    Damit erhältst Du die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\) mit:

    \[f(x)=2x-1\]

    In den Karteikarten zu „Funktionen“ findest Du noch weitere Übungsaufgaben und Wissensfragen rund um das Thema Funktionen.

    Funktionen – Das Wichtigste

    FunktionsartFunktionsgleichung
    Lineare Funktion\[f(x)=mx+t\]
    Quadratische Funktion\[f(x)=ax^{2}+bx+c\]
    Gebrochenrationale Funktion

    \[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \]

    Potenzfunktion mit rationalem Exponent

    \[f(x)=x^{\frac{m}{n}}\]

    Allgemeine Wurzelfunktion

    \[f(x)=\sqrt[n]{x}\]

    Kosinusfunktion\[f(x)=cos(x)\]
    Sinusfunktion\[f(x)=sin(x)\]
    Tangensfunktion\[f(x)=tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} \]
    Natürliche Exponentialfunktion\[f(x)=e^{x}\]
    Natürliche Logarithmusfunktion

    \[f(x)=log_{e}(x)=ln(x)\]


    Nachweise

    1. Humenberger, Schuppar (2019): Mit Funktionen Zusammenhänge und Veränderung beschreiben. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.
    2. Wittmann (2008): Elementare Funktionen und ihre Anwendungen. Springer, Berlin Heidelberg.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktionen

    Was ist eine Funktion?

    Eine Funktion ist eine Zuordnung zweier Elemente x und y aus zwei Mengen. Jedem Element x der Definitionsmenge D wird ein Element y der Wertemenge zugeordnet.

    Was ist eine lineare Funktion?

    Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion ersten Grades der Form f(x)=mx+t oder f(x)=ax+b.

    Was ist eine ganzrationale Funktion?

    Eine ganzrationale Funktion ist eine Polynomfunktion n-ten Grades (Polynomgrad). Quadratische Funktionen sind beispielsweise Polynomfunktionen mit Grad 2.  

    Wann ist eine Funktion differenzierbar?

    Eine Funktion f(x) ist dann differenzierbar, wenn an jeder Stelle x0 aus der Definitionsmenge eine Ableitung f'(x) existiert. 

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    Was sind Eigenschaft einer konstanten Funktion?

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    Kreuze an welche Größen sich durch eine konstante Funktion beschreiben lassen:

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