Ursprungsgerade: Funktion & Berechnung | StudySmarter
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Ursprungsgerade

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Mathe

In diesem Artikel erfährst du alles über Ursprungsgeraden. Wir erklären dir, was eine Ursprungsgerade ist, wie du eine Ursprungsgerade bestimmen kannst und welche besondere Beispiele von Ursprungsgeraden es gibt. Außerdem gehen wir noch darauf ein, wie die Winkelhalbierende als Spiegelachse verwendet wird und welche Rolle die Ursprungsgerade bei der Proportionalität spielt. Dieses Thema gehört zur Mathematik und lässt sich unter Lineare Funktionen einordnen. 


Am Ende dieses Artikels findest du alles Wichtige zusammengefasst.


Was ist eine Ursprungsgerade?

Unter einer Ursprungsgerade versteht man im Allgemeinem eine Gerade, die durch den Punkt (0|0) verläuft. Dieser Punkt stellt den Ursprung des Koordinatensystems dar. Daher kommt auch der Name dieser Gerade. Die Normalform der Geradengleichung sieht so aus:


                                                                                              y = m * x



Eine Ursprungsgerade hat für den y-Achsenabschnitt t den Wert 0, weshalb dieser aus der Normalform rausfällt. Wie bei jeder anderen Gerade bleibt die Steigung konstant d.h. die Gerade steigt oder fällt stetig.

Wie kann man eine Ursprungsgerade bestimmen?

Falls wir zu bestimmen haben, ob eine Funktion eine Ursprungsgerade darstellt, müssen wir beweisen, dass die gegebene Funktion die besonderen Eigenschaften der Ursprungsgerade aufweist. Zuerst überprüfen wir, ob die gegebene Funktion eine Gerade darstellt. Geraden haben eine konstante Steigung, also muss die Steigung m der Funktion auch konstant bleiben. Wenn dies auf unsere Funktion zustimmt, müssen wir als nächstes überprüfen, ob die Funktion auch noch durch den Ursprung verläuft. Dafür setzen wir die Variable x = 0 damit wir für die Geradengleichung am Ende y = 0 erhalten. Falls dies nicht der Fall sein sollte, verläuft die Gerade nicht durch den Punkt (0|0).


An einem Beispiel wird das Vorhaben deutlicher:


1. Beispiel:

Gegeben: f(x) = 2x


1. Schritt: Liegt eine Gerade vor?

Ja, die Funktion ist linear und die Steigung m beträgt immer 2.


2. Schritt: Geht die Gerade durch den Ursprung?

Ja, da für x = 0:


y = 2x

y = 2 * 0

y = 0


Ergebnis: Diese Funktion ist eine Ursprungsgerade!



Graphik von der Funktion f(x) = 2x.

 

2. Beispiel:

Gegeben: g(x) = x²


1. Schritt: Liegt eine Gerade vor?

Nein, da die Funktion eine Parabel ist, die keine konstante Steigung in jedem Punkt aufweist.


Der nächste Schritte ist nicht notwendig, da die Funktion keine Ursprungsgerade mehr sein kann.


Ergebnis: Diese Funktion ist keine Ursprungsgerade!



Graphik von der Funktion g(x) = x². 

 

3. Beispiel:

Gegeben: h(x) = 5x + 1


1. Schritt: Liegt eine Gerade vor?

Ja, da die Funktion linear ist und die Steigung m immer 5 beträgt.


2. Schritt: Geht die Gerade durch den Ursprung?

Nein, da für x = 0:


y = 5x + 1

y = 5 * 0 + 1

y = 1


Ergebnis: Die Funktion ist zwar eine Gerade, aber keine Ursprungsgerade.



Graphik von der Funktion h(x) = 5x + 1.

 

Besondere Beispiele von Ursprungsgeraden?

Ein typisches Beispiel für eine Ursprungsgerade ist die Funktion:


f(x) = x


Graphik von den beiden Winkelhalbierenden.  

Diese Funktion stellt nicht nur eine Ursprungsgerade dar, sondern es beschreibt auch eine Winkelhalbierende. Die achsensymmetrische Funktion von f(x) ist ebenfalls eine Winkelhalbierende und somit eine Ursprungsgerade.


Ein weiteres Beispiel für Ursprungsgeraden sind die Koordinatenachsen selbst, die mithilfe der folgenden Geradengleichungen beschrieben werden:


y = 0


Graphik von der Gerade mit der Gleichung y = 0. 

Diese Funktion liegt komplett auf der x-Achse und wird auch als Waagrechte bezeichnet. Die Gerade beschreibt eine Ursprungsgerade mit der Steigung 0.


x = 0


Graphik von der Senkrechten auf der x-Achse. 

 


Diese Ursprungsgerade ist in der Hinsicht speziell, dass die Steigung "unendlich" ist. Hier spricht man auch von einer Senkrechten, die auf der y-Achse liegt.

Die Winkelhalbierende als Spiegelachse verwenden?

Bei der Bildung von Umkehrfunktionen wird die Winkelhalbierende als Spiegelachse verwendet. Eine Umkehrfunktion definiert sich dadurch, dass sie die x- und y-Werte einer gegebenen Funktion umkehrt und, wie der Name schon sagt, eine umgekehrte Funktion erzeugt. Falls du noch mehr darüber wissen möchtest, kannst du dir gerne unseren Artikel über das Thema "Umkehrfunktion" anschauen. 

Die Winkelhalbierende ist bei der zeichnerischen Bestimmung einer Umkehrfunktion sehr hilfreich, da bei der Winkelhalbierenden die x- und y- Werte fortlaufend identisch sind. Die Umkehrung der x- und y-Werte dieser Ursprungsgerade wird also nichts verändern. Daher eignet sie sich optimal als die Spiegelachse. An einem Beispiel zeigen wir dir, wie die Winkelhalbierende dir zum Zeichnen einer Umkehrfunktion helfen kann.


Beispiel:


Gegeben: f(x) = 2x + 3


Graph von der Funktion f(x) = 2x + 3.

 

 

Aufgabe: Spiegele die Funktion f an der Winkelhalbierenden y = x bzw. bilde die Umkehrfunktion von f.


Schritt 1: Zuallererst zeichnen wir die Winkelhalbierende y = x in das Koordinatensystem ein (am besten in unterbrochenen Linien).


Die Winkelhalbierende ist jetzt mit eingezeichnet. 

 

 

Schritt 2: Um eine Gerade bilden zu können, brauchst du nur 2 Punkte. Also konzentrieren wir uns auf die Punkte, die möglichst einfach zu spiegeln sind und einen guten Abstand voneinander haben. Nehmen wir daher beispielweise die Punkte (0|3) und den Schnittpunkt (-3|-3) von der Gerade mit der Winkelhalbierenden. Das besondere am zweiten Punkt ist, dass der x- und y-Wert identisch sind. Die Umkehrfunktion wird durch diesen Punkt verlaufen, da eine Umkehrung der Werte am Punkt nichts verändert. 


Schritt 3: Nun, nimm dein Geodreieck in die Hand und lege die Mitte der längsten Seite auf die Winkelhalbierende, sodass die Mittellinie des Dreiecks auf der Winkelhalbierenden liegt. Als nächstes schiebst du dein Geodreieck auf den ersten Punkt und spiegelst diesen mit dem gleichen Abstand zum Nullwert auf der anderen Seite der Winkelhalbierenden. Das folgende Bild veranschaulicht diesen Schritt.


Skizze von Schritt 3. Die Strecke i beschreibt den Abstand zwischen den Punkten A und B.

 

Schritt 4: Ziehe jetzt eine Gerade durch die beiden Punkte und schon hast du deine Umkehrfunktion.


Schritt 5: Zu guter Letzt kannst du den Funktionsterm der Umkehrfunktion bestimmen, indem du auf den y-Achsenabschnitt achtest und mithilfe des Steigungsdreiecks die Steigung der Funktion berechnest. Der Term sollte folgendermaßen aussehen:


 = 0,5x - 1,5


Hier ist jetzt die Umkehrfunktion enthalten.

 

 

 

Wenn du es auch schriftlich lösen möchtest, solltest du unseren Artikel über die Umkehrfunktion lesen.


Welche Bedeutung spielt die Ursprungsgerade bei der Proportionalität?

Unter Proportionalität versteht man das Verhältnis zwischen zwei Größen, dass wenn sich eines der Größen verändert, sich auch die andere auf die gleiche Weise ändert. Wenn sich zum Beispiel Größe A verdoppelt, so wird sich auch Größe B verdoppeln, wenn zutrifft, dass beide Größen proportional sind. Meistens wird die Proportionalität zwischen zwei Größen mithilfe von Wertetabellen dargestellt. Es ist auch möglich, die Wertetabellen graphisch als Funktion umzusetzen, indem der x- und y-Wert zwei verschiedene Größen einnimmt. Wichtig dabei zu merken ist, dass wenn die Funktion eine Ursprungsgerade darstellt, dann sind die beiden Größen auch proportional zueinander. An zwei Beispiel können wir dies überprüfen.


1. Beispiel:


Wertetabelle

x
124816
y3591733


An dieser Wertetabelle wird schon deutlich, dass die beiden Größen nicht proportional sind. Nämlich verdoppeln sich die x-Werte, aber nicht die y-Werte. Die Funktion dieser Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:


Die Funktion f(x) = 2x +1 ist keine Ursprungsgerade!

 

2. Beispiel:


Wertetabelle:
x124816
y2481632


Hier sind die Größen proportional. Also sollte jetzt die Funktion eine Ursprungsgerade darstellen.

Die Funktion g(x) = 2x ist eine Ursprungsgerade! Damit ist es bewiesen, dass Ursprungsgeraden proportional sind.

 


Ursprungsgerade - Alles Wichtige auf einem Blick

  • Eine Ursprungsgerade stellt eine Gerade dar, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.
  • Die Winkelhalbierende und die Senkrechte bzw. Waagrechte auf den jeweiligen Koordinatenachsen sind ebenfalls Ursprungsgeraden
  • Die Winkelhalbierende wird beim Bilden der Umkehrfunktion als Spiegelachse verwendet.
  • Jede Ursprungsgerade ist proportional. 







Finales Ursprungsgerade Quiz

Frage

Welche Eigenschaften hat die Ursprungsgerade?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie ist parabelförmig

Frage anzeigen

Frage

Welche dieser Funktionen sind Ursprungsgeraden?




Antwort anzeigen

Antwort

p(x) = x und g(x) = -3x sind Ursprungsgeraden

Frage anzeigen

Frage

Welche von den folgenden stellen Ursprungsgeraden dar?

Antwort anzeigen

Antwort

Winkelhalbierende 

Frage anzeigen

Frage

Sind alle Ursprungsgeraden lineare Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da die Senkrechte auf der y-Achse keine Funktion darstellt.

(Merke: Eine Funktion hat für jeden x-Wert nur einen y-Wert!)

Frage anzeigen

Frage

Welche dieser Funktionen sind Ursprungsgeraden?



Antwort anzeigen

Antwort

Nur die Funktion h(x), da z.B. g(x) beim genauerem Betrachten nicht waagrecht ist. Außerdem mag vielleicht f(x) wie eine Gerade aussehen, aber es ist am oberen Ende erkennbar, dass die Steigung von f(x) nicht konstant ist. 

Frage anzeigen

Frage

Welche Ursprungsgerade wird bei der Bildung von Umkehrfunktionen als Spiegelachse verwendet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkelhalbierende y = - x

Frage anzeigen

Frage

Wie sieht die Umkehrfunktion von der Winkelhalbierenden aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Bilden von Umkehrfunktion stellt die Winkelhalbierende die Spiegelachse dar. Außerdem sind die die x-und y-Werte identisch. Aus diesen Gründen wird sich die Winkelhalbierende nicht verändern. 

Frage anzeigen

Frage

In welchen Themenbereichen innerhalb der Mathematik sind Ursprungsgeraden wichtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Proportionalität

Frage anzeigen

Frage

Was trifft auf Ursprungsgeraden in der Proportionalität zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie sind nicht proportional

Frage anzeigen

Frage

Stellt die Funktion, die aus der folgenden Wertetabelle hervorgeht, eine Ursprungsgerade dar?




Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da die beiden Größen nicht proportional sind. Sie sind aber dafür umgekehrt proportional. Das bedeutet, dass sich einer der Größen verdoppelt/verdreifacht/vervierfacht usw., währenddessen die andere Größe sich halbiert/drittelt/viertelt usw.



Frage anzeigen

Frage

Eine Fußgängerin legt pro Stunde 6 km zurück. Sie geht für 3 Stunden mit der gleichen Geschwindigkeit.

Erstelle mithilfe der Informationen eine Wertetabelle mit x als Stunden und y als die zurückgelegte Strecke. Zeichne dann mit der erstellten Wertetabelle eine Funktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wertetabelle der Textaufgabe sieht so aus:

Die Funktion der Wertetabelle:


Frage anzeigen

Frage

Vervollständige diese proportionale Wertetabelle und erstelle damit eine Funktion.


Antwort anzeigen

Antwort

Da der x-Wert doppelt so groß ist wie der y-Wert, muss dies wegen der Proportionalität auch für die ganze Wertetabelle zutreffen. Daher sieht die Wertetabelle so aus:



Daraus folgt die Funktion:


Frage anzeigen
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