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Ursprungsgerade

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Ursprungsgerade

Vielleicht hast Du schon einmal etwas von Null Island gehört. Dabei handelt es sich um den Punkt auf der Erde, an dem sich der Äquator und der Nullmeridian kreuzen. Dieser Punkt besitzt die Koordinaten 0° Nord und 0° Ost. Auch das Koordinatensystem in der Mathematik besitzt diesen markanten Punkt, dieser wird Ursprung des Koordinatensystems bezeichnet.

Ursprungsgerade Boje bei Null Island als Ursprung der Erdkoordinaten StudySmarter

Durch diesen Ursprung können wiederum Geraden verlaufen, die als sogenannte Ursprungsgeraden bezeichnet werden. Was es damit auf sich hat und wie die Geradengleichungen der Funktionen aufgestellt werden können, erfährst Du in dieser Erklärung.

Ursprungsgerade – Wiederholung

Bevor es nun an die Ursprungsgerade sowie die Steigung und die Geradengleichung geht, werden in diesem Kapitel noch allgemein Geraden und linearen Funktionen wiederholt.

Lineare Funktionen

Eine Gerade ist eine der geläufigsten Funktionen in der Analysis. Diese verläuft mit einer konstanten Steigung, die aus den Funktionen über die Steigung m abgelesen und ermittelt werden kann.

Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion. Sie verläuft geradlinig. Der allgemeine Funktionsterm der linearen Funktion ist gegeben durch:

Ursprungsgerade Formel für eine Gerade StudySmarter

Die Variable t entspricht dabei dem y-Achsenabschnitt der Gerade und die Variable m der Steigung der Geraden.

Der y-Achsenabschnitt t der Gerade verläuft durch den Punkt , an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Die Steigung lässt sich mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

Steigungsdreieck einer linearen Funktion

Wie in der Definition beschrieben, ist m die konstante Steigung dieser Geraden entlang ihres gesamten Verlaufs. Betrachtest Du eine Gerade f, so kannst Du an jedem Punkt auf der Geraden die Steigung ablesen.

Eine detailliertere Erklärung zu der Steigung einer Geraden findest Du in den Erklärungen

Lineare Funktionen und Geradengleichung aufstellen.

Verwende dazu zwei Punkte und , die sich auf der Geraden befinden. Nun kannst Du über die nachfolgende Formel die Steigung berechnen.

Ursprungsgerade Steigung einer Geraden StudySmarter

Auch grafisch kann die Steigung mithilfe der Formel abgelesen werden. Dafür muss ein sogenanntes Steigungsdreieck eingezeichnet werden und seine Seitenlängen abgelesen werden (siehe Abbildung 1).

Ursprungsgerade Steigungsdreieck einer Geraden allgemein StudySmarterAbbildung 1: Steigungsdreieck einer Geraden

Da Beispiele oftmals die beste Wahl sind, kannst Du dieses Konzept nochmals selbst kurz anhand des nächsten Falls einer Geraden wiederholen.

Zu Beginn einer Aufgabe könnte genau diese blaue Gerade angegeben sein (siehe auch Abbildung 2).

Rechnerisch

In diesem Fall liest Du zwei gute Punkte vom Funktionsgraph ab:

  • Punkt
  • Punkt

Versuche Punkte mit ganzzahligen Koordinaten zu verwenden, das erleichtert das Rechnen.

Nun nutzt Du die Formel und fügst die Koordinaten in diese ein. So kannst Du die Steigung der Funktion berechnen.

Für die Steigung gilt also .

Graphisch

Die Steigung der Geraden kann auch als Steigungsdreieck zwischen den beiden Punkten aufgezeichnet werden. Somit kannst Du direkt aus der Grafik ablesen/abmessen.

Ursprungsgerade Ursprungsgerade Steigungsdreieck einer Geraden StudySmarterAbbildung 2: Steigungsdreieck einer Geraden

Das bedeutet also, Du kannst sowohl rechnerisch als auch anhand einer Zeichnung die Steigung einer Geraden ermitteln.

Weitere Informationen zu den linearen Funktionen findest Du in der Erklärung Lineare Funktionen.

Möchtest Du Dich darüber hinaus über andere besondere lineare Funktionen informieren, sind die nachfolgenden Erklärungen empfehlenswert:

  • Konstante Funktionen
  • Normale
  • Besondere lineare Funktionen

Ursprungsgleichung – Geradengleichung

Wie der Name bereits andeutet, hat eine Ursprungsgerade mit dem Koordinatenursprung zu tun.

Ursprungsgerade – Definition

Wie auch Abbildung 3 andeutet, verlaufen Ursprungsgeraden ausschließlich durch den Koordinatenursprung, wobei sie sich nur durch ihre unterschiedlichen Steigungen unterscheiden.

Eine Ursprungsgerade ist eine Gerade, die durch den Punkt (0|0), den Ursprung des Koordinatensystems, verläuft. Der allgemeine Funktionsterm ihrer zugehörigen linearen Funktion ist gegeben durch

Ursprungsgerade Funktionsterm Ursprungsgerade StudySmarter

Der Unterschied zu einer Geraden, die nicht die Ursprungsgerade ist, besteht darin, dass die Ursprungsgerade keinen y-Achsenabschnitt t besitzt.

Dieser gibt an, an welchem Punkt die Gerade die y-Achse schneidet. Das ist bei einer Ursprungsgerade jedoch der Wert 0. Daher fällt in der allgemeinen Funktionsgleichung weg.

Ursprungsgerade Ursprungsgeraden durch den Koordinatenursprung StudySmarterAbbildung 3: Ursprungsgeraden

Ursprungsgerade – Parameterdarstellung

Du kannst eine Ursprungsgerade nicht nur als Funktionsterm angeben, sondern auch in der sogenannten Koordinatenform. Die Koordinatenform ist eine andere Art eine Gerade im zweidimensionalen Raum darzustellen.

Die Parameterdarstellung lässt sich in folgender Form angeben:

Ursprungsgerade Parameterdarstellung einer Ursprungsgerade StudySmarter

Hierbei soll gelten, dass niemals a und b gleichzeitig den Wert 0 annehmen.

Für eine Ursprungsgerade wird c immer Null.

Die Steigung der Geraden kannst Du wiederum mit der folgenden Formel über die Parameterdarstellung bestimmen:

Ursprungsgerade Steigung Ursprungsgerade Parameterdarstellung StudySmarter

Die Variablen x und y beschreiben dabei die beiden Koordinaten für einen Punkt.

Du hast gegeben, dass eine Ursprungsgerade durch den Punkt verläuft und der Parameter a den Wert besitzt.

Damit kannst Du die Parameterform der Geradengleichung aufstellen.

Du gibst also für die Werte x und y die Koordinaten des Punktes in die Parameterform ein und setzt den Wert für a ein.

Für eine Ursprungsgerade gilt immer . Damit kannst Du den fehlenden Parameter b berechnen.

Somit erhältst Du für b den Wert . Möchtest Du die Steigung berechnen, so verwendest Du die zweite Formel und kannst damit auch den Funktionsterm der Ursprungsgeraden angeben.

Die Ursprungsgerade besitzt also die Steigung .

Ursprungsgerade erkennen

Eine Ursprungsgerade kannst Du in zwei Schritten erkennen und sie von einer anderen Geraden unterscheiden.

Falls Du bestimmen sollst, ob es sich um eine Ursprungsgerade handelt, musst Du zwei Dinge überprüfen:

  1. Ist die Funktion eine lineare Funktion?

    Zuerst überprüfst Du, ob die gegebene Funktion eine lineare Funktion ist bzw. ihr Funktionsgraph eine Gerade ist. Geraden haben eine konstante Steigung m und eine Funktionsgleichung der Form .

  2. Geht die Gerade durch den Ursprung?Als Nächstes überprüfst Du, ob die Funktion auch durch den Ursprung läuft. Dafür setzt Du in die Funktionsgleichung der Geraden ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln. Ergibt sich , dann handelt es sich um eine Ursprungsgerade. Falls dies nicht der Fall sein sollte, verläuft die Gerade nicht durch den Punkt (0|0) und damit kann die Gerade auch keine Ursprungsgerade sein.

    Außerdem erkennst Du direkt, dass eine Gerade keine Ursprungsgerade sein kann, wenn der y-Achsenabschnitt ist.

Aufgabe 1

Überprüfe, ob es sich bei der Gerade um eine Ursprungsgerade handelt.

Lösung

  1. Ist die Funktion eine lineare Funktion? Ja, die Steigung ist durch gegeben. Es handelt sich bei der Funktion um eine konstante lineare Funktion.
  2. Läuft die Funktion durch den Ursprung?Setze dazu in die Geradengleichung ein.

Somit verläuft die Gerade direkt durch den Ursprung, weshalb es sich um eine Ursprungsgerade handelt.

Ursprungsgerade Ursprungsgerade Beispiel StudySmarterAbbildung 4: Ursprungsgerade Beispiel

Ursprungsgerade - Bestimmen & Berechnen

Du konntest bereits in Erfahrung bringen, wie eine Ursprungsgerade nun konkret definiert und was für sie gelten soll. Dieses Wissen kannst Du anwenden, um die Gleichung einer Ursprungsgeraden zu ermitteln.

Ursprungsgerade durch Punkt bestimmen

Die Null ist ein wichtiger Teil der Ursprungsgerade, da diese immer durch den Ursprung verläuft. Somit benötigst Du nur noch einen weiteren Punkt, der in der Aufgabenstellung angegeben ist, um die Steigung zu ermitteln.

Durch die Steigung besitzt Du dann bereits das komplette Wissen, das Du für die Ursprungsgerade benötigst. Denn damit lässt sich bereits zeichnerisch (und auch rechnerisch) das Steigungsdreieck ermitteln.

Für einen weiteren gegebenen Punkt einer Ursprungsgerade ergibt sich folgendes Steigungsdreieck und damit die Funktion .

Ursprungsgerade Steigungsdreieck einer Ursprungsgeraden StudySmarterAbbildung 5: Steigungsdreieck einer Ursprungsgeraden

Auch rechnerisch kannst Du bei dieser Aufgabenstellung die Gleichung der Ursprungsgerade aufstellen.

Ursprungsgerade - Gleichung aufstellen

Für die rechnerische Ermittlung der Geradengleichung wird nun wieder die Formel zur Berechnung der Steigung interessant: .

Umfangreichere Aufgaben dazu findest Du unter den Erklärungen Lineare Funktionen und Geradengleichung aufstellen. Dort wird Dir das folgende Konzept nochmals ausführlicher beschrieben.

Um die Gleichung einer Ursprungsgerade aufzustellen, reicht Dir ein weiterer gegebener Punkt, durch den die Gerade läuft (abgesehen vom Ursprung). Das hat folgenden Grund:

Da die Gerade eine Ursprungsgerade ist, kannst Du schlussfolgern, dass sie durch den Punkt (0|0), den Ursprung des Koordinatensystems, verläuft. Damit ist ein Punkt der Gerade bereits vorgegeben.

Aus den beiden Punkten, dem gegebenem Punkt P(x|y) und dem Ursprung (0|0), kannst Du nun durch die folgende Gleichung die Steigung der Geraden berechnen und so ihre Geradengleichung aufstellen.

Du kannst so für jeden beliebigen Punkt des Koordinatensystems eine Ursprungsgerade angeben, die durch diesen Punkt läuft.

Hier noch mal anhand eines Beispiels Schritt für Schritt erläutert, wie Du vorgehen kannst.

Aufgabe 2

Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion auf, deren Graph als Ursprungsgerade durch den Punkt geht.

Lösung

Laut Angabe läuft die Gerade durch den Punkt P (2|4). Da die Gerade eine Ursprungsgerade ist, geht sie außerdem durch den Punkt (0|0). Damit hast Du zwei Punkte der Gerade gegeben und kannst so wie gewohnt ihre Steigung berechnen.

Da es sich um eine Ursprungsgerade handelt, ist der Achsenabschnitt immer .

Daher lautet die Funktionsgleichung der gesuchten linearen Funktion .

Besondere Ursprungsgeraden

Im Folgenden sollen Dir noch zwei Typen von Ursprungsgeraden gezeigt werden, die Dir im Matheunterricht bestimmt noch öfter begegnen werden.

Die Winkelhalbierenden

Ein typisches Beispiel für eine Ursprungsgerade ist der Funktionsgraph der linearen Funktion . Diese Ursprungsgerade wird auch als Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten des Koordinatensystems bezeichnet.

Wenn Du sie an der y-Achse spiegelst, erhältst Du die Gerade mit der Geradengleichung als Winkelhalbierende für den zweiten und vierten Quadranten.

Die Winkelhalbierende spielt im Kontext der Umkehrfunktion eine wichtige Rolle.

Wenn eine Funktion umkehrbar ist, dann erhältst Du die Umkehrfunktion, indem Du diese Funktion an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten spiegelst.

Mehr dazu erfährst Du im Artikel Umkehrfunktionen.

Hier siehst Du die beiden Winkelhalbierenden.

Ursprungsgerade Winkelhalbierende als besondere Ursprungsgeraden StudySmarterAbbildung 6: Winkelhalbierende

Die Koordinatenachsen

Ein weiteres Beispiel für Ursprungsgeraden sind die Koordinatenachsen selbst. Auch sie können mithilfe von Geradengleichungen beschrieben werden.

Die x-Achse kann mithilfe der Geradengleichungen beschrieben werden. Die x-Achse ist genau die Menge der Punkte, deren y-Koordinaten null sind.

Die x-Achse ist eine Ursprungsgerade der Form , wobei die Steigung m der Gerade 0 entspricht.

Auch die y-Achse verläuft durch den Ursprung, allerdings ist die y-Achse keine eigentliche Funktion und kann daher nur als Gleichung beschrieben werden: .

Laut Definition dürfen bei einer Funktion jedem x-Wert nur genau ein y-Wert zugeordnet werden. Das ist an der y-Achse nicht der Fall (unendlich viele y-Werte für den x-Wert Null), deshalb kann sie nicht als Funktion beschrieben werden.

Orthogonale Ursprungsgeraden

Nicht nur die beiden Winkelhalbierenden des Koordinatensystems stehen aufeinander senkrecht. Es gibt auch für jede andere Ursprungsgerade eine Funktion, die senkrecht auf dieser steht und durch den Ursprung verläuft.

Stehen Geraden senkrecht aufeinander, werden sie in der Mathematik auch als orthogonal bezeichnet.

Für die Funktionsgleichung einer solchen orthogonalen Ursprungsgerade g(x) gilt:

Ursprungsgerade Formel für eine orthogonale Ursprungsgerade StudySmarter

Du nutzt also für diese orthogonale Funktion die Steigung der ursprünglichen Ursprungsgerade f(x) und setzt sie wie in der Formel gezeigt ein.

Ursprungsgerade Senkrechte Gerade g(x) der Gerade f(x) StudySmarterAbbildung 7: Orthogonale Ursprungsgeraden

Ursprungsgerade - Aufgaben

Nun bist Du an der Reihe, die Aufgaben praktisch zu lösen. Viel Spaß dabei!

Aufgabe 3

Entscheide, ob die Funktion eine Ursprungsgerade ist und nimm dazu Stellung.

Lösung

  1. Ist die Funktion eine lineare Funktion? Ja, es handelt sich um eine lineare Funktion. Die Steigung ist und damit konstant. Daher ist der Graph der Funktion eine Gerade.
  2. Läuft die Funktion durch den Ursprung?Setze dazu in die Geradengleichung ein.

Damit schneidet die Gerade im Punkt (0|2) die y-Achse. Die Gerade ist daher keine Ursprungsgerade!

Wegen kannst Du alternativ direkt anhand der Funktionsgleichung g(x) begründen, dass es sich nicht um eine Ursprungsgerade handelt.

Ursprungsgerade Keine Ursprungsgerade StudySmarterAbbildung 8: Gerade (keine Ursprungsgerade)

Aufgabe 4

Eine Ursprungsgerade soll durch den Punkt P(2|5) gehen.

a) Ermittle die Gleichung der Ursprungsgerade.

[Lösung: ]

b) Ermittle die orthogonale Ursprungsgerade dazu.

Lösung

Zu a) Um die Steigung der Geraden zu ermitteln, benötigst Du die folgende Formel.

Da bei einer Ursprungsgerade der y-Achsenabschnitt ist, lautet die Ursprungsgerade insgesamt:

Zu b) Nun kannst Du eine orthogonale Ursprungsgerade g(x) ermitteln. Dazu soll gelten:

Setze dazu den Wert der Steigung f(x) in die Formel ein und Du erhältst die folgende Steigung:

Die orthogonale Ursprungsgerade ist also:

Ursprungsgerade - Das Wichtigste

  • Ursprungsgeraden sind spezielle Geraden (= Graphen linearer Funktionen).
  • Sie verlaufen immer durch den Punkt (0|0), den Ursprung des Koordinatensystems.
  • Der y-Achsenabschnitt t von linearen Funktionen, deren Graphen Ursprungsgeraden sind, ist immer 0.
  • Die Winkelhalbierenden und die Koordinatenachsen sind spezielle Ursprungsgeraden.
  • Die Berechnungen entsprechen denen bei allgemeinen linearen Funktionen/Geraden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ursprungsgerade

Um eine Ursprungsgerade zu berechnen, die durch einen Punkt P geht, muss zunächst die Steigung m berechnet werden. Dies funktioniert mithilfe des Steigungsdreiecks mit dem Punkt P und dem Ursprung. Die Steigung ergibt sich also, indem die y-Koordinate des Punktes P durch die x-Koordinate des Punktes P geteilt wird. Da der y-Achsenabschnitt t der Ursprungsgerade 0 ist, gilt dann f(x) = mx.

Die Steigung einer Ursprungsgerade hängt von ihrem Verlauf ab. Durch zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, kann die Steigung analog zur Steigung einer allgemeinen Gerade berechnet werden. Dazu muss die Differenz der y-Werte der Punkte durch die Differenz der x-Werte geteilt werden.

Die Graphen vieler Funktionen verlaufen durch den Ursprung des Koordinatensystems. Ein Beispiel sind die Ursprungsgeraden, aber beispielsweise auch die Graphen von Potenzfunktionen, die nicht verschoben sind oder von Polynomen ohne konstanten Faktor.

Finales Ursprungsgerade Quiz

Frage

Welche Eigenschaften hat die Ursprungsgerade?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie ist parabelförmig

Frage anzeigen

Frage

Welche dieser Funktionen sind Ursprungsgeraden?




Antwort anzeigen

Antwort

p(x) = x und g(x) = -3x sind Ursprungsgeraden

Frage anzeigen

Frage

Welche von den folgenden stellen Ursprungsgeraden dar?

Antwort anzeigen

Antwort

Winkelhalbierende des Koordinatensystems

Frage anzeigen

Frage

Sind alle Ursprungsgeraden lineare Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da die Senkrechte auf der y-Achse keine Funktion darstellt.

(Merke: Eine Funktion hat für jeden x-Wert nur einen y-Wert!)

Frage anzeigen

Frage

Welche dieser Funktionen sind Ursprungsgeraden?



Antwort anzeigen

Antwort

Nur die Funktion h(x), da z.B. g(x) beim genauerem Betrachten nicht waagrecht ist. Außerdem mag vielleicht f(x) wie eine Gerade aussehen, aber es ist am oberen Ende erkennbar, dass die Steigung von f(x) nicht konstant ist. 

Frage anzeigen

Frage

Welche Ursprungsgerade wird bei der Bildung von Umkehrfunktionen als Spiegelachse verwendet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkelhalbierende y = - x

Frage anzeigen

Frage

Wie sieht die Umkehrfunktion von der Winkelhalbierenden aus?

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Antwort

Beim Bilden von Umkehrfunktionen stellt die Winkelhalbierende die Spiegelachse dar. Außerdem sind die x-und y-Werte identisch. Aus diesen Gründen wird sich die Winkelhalbierende nicht verändern. 

Frage anzeigen

Frage

In welchen Themenbereichen innerhalb der Mathematik sind Ursprungsgeraden wichtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Proportionalität

Frage anzeigen

Frage

Was trifft auf Ursprungsgeraden in der Proportionalität zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie sind nicht proportional

Frage anzeigen

Frage

Stellt die Funktion, die aus der folgenden Wertetabelle hervorgeht, eine Ursprungsgerade dar?




Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da die beiden Größen nicht proportional sind. Sie sind aber dafür umgekehrt proportional. Das bedeutet, dass sich einer der Größen verdoppelt/verdreifacht/vervierfacht usw., währenddessen die andere Größe sich halbiert/drittelt/viertelt usw.



Frage anzeigen

Frage

Eine Fußgängerin legt pro Stunde 6 km zurück. Sie geht für 3 Stunden mit der gleichen Geschwindigkeit.

Erstelle mithilfe der Informationen eine Wertetabelle mit x als Stunden und y als die zurückgelegte Strecke. Zeichne dann mit der erstellten Wertetabelle eine Funktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wertetabelle der Textaufgabe sieht so aus:

Die Funktion der Wertetabelle:


Frage anzeigen

Frage

Vervollständige diese proportionale Wertetabelle und erstelle damit eine Funktion.


Antwort anzeigen

Antwort

Da der x-Wert doppelt so groß ist wie der y-Wert, muss dies wegen der Proportionalität auch für die ganze Wertetabelle zutreffen. Daher sieht die Wertetabelle so aus:



Daraus folgt die Funktion:


Frage anzeigen

Frage

Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion auf, 
deren Graph eine Ursprungsgerade ist, die durch den Punkt P (-1/4) geht.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ursprungsgerade geht außerdem durch den Ursprung (0/0). Damit kann ihre Steigung m berechnet werden:

Der y-Achsenabschnitt t beträgt , da es sich um eine Ursprungsgerade handelt.
Der Funktionsterm lautet daher 

Frage anzeigen

Frage

Liegen die beiden Punkte A (2/3) und  auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden?

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Antwort

  1.  Bestimme zunächst die Funktionsgleichung der Ursprungsgeraden, auf der A liegt. Berechne dazu die Steigung m der Geraden.

  2. Die Funktionsgleichung lautet  (der y-Achsenabschnitt t ist 0)
  3. Teste, ob der Punkt B auf der Gerade liegt. Setze dazu die x-Koordinate des Punktes B in die Geradengleichung ein.
  4. Die beiden Punkte A und B liegen daher nicht auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden.

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe, ob es sich bei dem Graphen der Funktion um eine Ursprungsgerade handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Handelt es sich um eine lineare Funktion?
    Ja, die Steigung ist mit  konstant. Es handelt sich also um eine lineare Funktion.
  2. Geht die Gerade durch den Ursprung?
    Bemerke dazu, dass  gilt, sodass es sich um eine Ursprungsgerade handelt.
    Berechne alternativ:

    Beim Graphen der Funktion f handelt es sich also um eine Ursprungsgerade.
Frage anzeigen

Frage

Ist der Graph der Funktion eine Ursprungsgerade?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, weil die Funktion g keine lineare Funktion von Grad 1 (mit Funktionsgraph Gerade), sondern eine Polynom von Grad 2 (mit Funktionsgraph Parabel) ist. Würde man die Funktion g in die Form einer linearen Funktion bringen, wäre  und damit  im Widerspruch dazu, dass m konstant ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie unterscheidet sich eine Ursprungsgerade von einer normalen Geraden?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ursprungsgerade geht durch den Ursprung des Koordinatensystems, also den Punkt (0/0).

Frage anzeigen

Frage

Kann man für jeden beliebigen Punkt in Koordinatensystem eine lineare Funktion finden, deren Funktionsgraph eine Ursprungsgerade ist, die durch diesen Punkt läuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Nenne zwei besondere Ursprungsgeraden.

Antwort anzeigen

Antwort

Beispiele sind die Winkelhalbierenden , und die Koordinatenachsen  (x-Achse) und (y-Achse).

Frage anzeigen

Frage

Schreibe drei Funktionsgleichungen von linearen Funktionen auf, deren Graphen Ursprungsgeraden sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Dafür gibt es unendlich viele Beispiele. Wichtig ist, dass der y-Achsenabschnitt t 0 ist und die Steigung m konstant.

Mögliche Beispiele sind: 





  • ...
Frage anzeigen

Frage

Gib zwei Punkte an, die auf der Ursprungsgeraden der linearen Funktion  liegen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Der einfachste Punkt ist der Ursprung (0/0)
  • Es gibt unendlich viele Punkte, die auf der Geraden liegen
  • Du berechnest sie, indem du beliebige x-Werte in die Geradengleichung einsetzt und den zugehörigen y-Wert bestimmst
  • Beispielsweise gilt für :  
  • Weitere Punkte, die auf  liegen, sind ,  und
  • Ob deine berechneten Punkte auf  liegen, kannst du anhand der Skizze unten überprüfen
Frage anzeigen

Frage

Liegt der Punkt P (-3/-5) auf der Ursprungsgeraden, die durch den Punkt A (4/6) geht?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Bestimme zunächst die Ursprungsgerade, die durch den Punkt A (4/6) geht.

    Damit hat die Ursprungsgerade die Geradengleichung  (der y-Achsenabschnitt t ist 0, da es sich um eine Ursprungsgerade handelt)

  2. Überprüfe, ob der Punkt P (-3/-5) auf der Geraden liegt. Setze dazu die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein:

    Damit liegt der Punkt P nicht auf der Ursprungsgeraden, die durch A geht.
Frage anzeigen

Frage

Welche der Geraden sind Ursprungsgeraden?


Antwort anzeigen

Antwort

Gerade f (blau)

Frage anzeigen

Frage

Welche Rolle spielt die Winkelhalbierende im Zusammenhang mit der Umkehrbarkeit einer Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Ist eine Funktion umkehrbar, so erhält man ihre Umkehrfunktion, indem man die Funktion an der Winkelhalbierenden spiegelt. So werden die x- und y-Werte vertauscht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat eine Ursprungsgerade?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie schneidet die y-Achse nur im Punkt (0/0)

Frage anzeigen
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