Matrizen

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Grundsätzlich sind Matrizen rechteckige Anordnungen von Elementen (Zahlen und/oder Variablen). Dabei hat eine Matrix m Zeilen und n Spalten. Eine solche Matrix hat dann die Dimension m x n und ist eine (m;n)-Matrix.

Hier siehst du die allgemeine Schreibweise einer solchen Matrix:

Jedes Element hat dabei eine Position innerhalb der Matrix. Zur Kennzeichnung der Position wird ein Doppelindex verwendet. Das Element befindet sich in der i-ten Zeile und j-ten Spalte. Der erste Index steht also für die Zeile, der zweite Index für die Spalte.

Zum besseren Verständnis haben wir hier noch ein Beispiel mit konkreten Zahlen:

Diese Matrix ist eine (2,3)-Matrix, da sie 2 Zeilen und 3 Spalten hat. Das Element wäre hier die 5 in der 1-ten Zeile und 3-ten Spalte.

Wofür braucht man Matrizen?

Jetzt weißt du schon, was Matrizen sind und wie sie dargestellt werden. Wofür aber brauchen wir diese Matrizen dann?

Besonders hilfreich sind Matrizen zur Darstellung von Linearen Gleichungssystemen. Diese werden oft unübersichtlich. In einer Matrix können die Faktoren übersichtlich und kompakt gespeichert werden. Wenn dir das Thema noch unbekannt ist, lies dir einfach unseren Artikel dazu durch.

Am besten lässt sich das an einem Beispiel verstehen. Dafür betrachten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

Mithilfe einer Matrixmultiplikation können wir das LGS auch wie folgt darstellen:

Dafür gibt es auch noch eine kurze Schreibweise:

Welche besonderen Matrizen gibt es?

Im Folgenden wollen wir dir noch besondere Matrizen vorstellen.

Quadratische Matrizen

Bei einer quadratischen Matrix gilt n = m, d.h. es gibt genauso viele Zeilen wie Spalten.

Hier siehst du ein Beispiel, eine (3,3)-Matrix:

Die pinken Elemente, für die i = j gilt, bilden die Hauptdiagonale.

Nullmatrix

Bei einer Nullmatrix sind alle Elemente der Matrix gleich Null. Hier siehst du eine (2,2)-Nullmatrix:

Einheitsmatrix

Bei einer Einheitsmatrix sind alle Elemente, die die Hauptdiagonale bilden, gleich 1 und die restlichen sind 0.

Auch hier haben wir ein Beispiel, eine (4,4)-Einheitsmatrix:

Diagonalmatrix

Bei der Diagonalmatrix sind alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonale liegen, gleich Null. Die Einheitsmatrix ist also eine Sonderform der Diagonalmatrix. Hier siehst du eine (3,3)-Diagonalmatrix:

Obere / untere Dreiecksmatrix

Bei der oberen Dreiecksmatrix sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null, bei der unteren Dreiecksmatrix sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null. Hier siehst du für beide Formen ein Beispiel:

Weitere Sonderformen von Matrizen

Neben den hier bereits vorgestellten Sonderformen gibt es noch drei Arten von Matrizen, dabei empfehlen wir dir unsere zugehörigen Artikel:

Transponierte Matrix
Inverse Matrix
Orthogonale Matrix

Matrizen - Das Wichtigste auf einen Blick

Eine (m,n)-Matrix ist eine rechteckige Ansammlung von Elementen mit m Zeilen und n Spalten
Die Position eines Elements innerhalb der Matrix wird durch einen Doppelindex angegeben
Das Element ist in der i-ten Zeile in der j-ten Spalte

Unser Tipp für Euch

Beim Rechnen mit Matrizen solltest du immer aufpassen, dass du Zeile und Spalte nicht vertauscht. Wenn du aber ein bisschen mit Matrizen geübt hast, ist es irgendwann nicht mehr so kompliziert, wie es am Anfang vielleicht wirkt 😊

Finales Matrizen Quiz

Matrizen Quiz - Teste dein Wissen

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Addiere die beiden Matrizen miteinander!

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: 3x^2 + 4x - 2

y: 5x^3 - 3x + 6

z: 5x^2 - 3x + 7

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 5x^3 + 3x^2 + x + 4

b. 5x^3 + 5x^2 - 6x + 13

c. 8x^2 + x + 5

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: 3x^2 + 8x - 2

y: 2x^3 - 3x + 1

z: x^2 - 5x + 7

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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Antwort

a. 2x^3 + 3x^2 + 5x - 1

b. 2x^3 + x^2 -8x + 8

c. 4x^2 + 3x + 5

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: 2x^2 + 8x - 5

y: 2x^3 - 5x + 6

z: 4x^2 - x + 7

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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Antwort

a. 2x^3 + 2x^2 + 3x + 1

b. 2x^3 + 4x^2 - 6x + 13

c. 6x^2 + 7x + 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -4x^2 + 7x - 10

y: 6x^2 - 2x + 6

z: 4x^2 - 5x + 2

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 2x^2 + 5x - 4

b. 10x^2 - 7x + 8

c. 2x - 8

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -2x^2 + 7x - 5

y: 6x^2 - 5x + 2

z: 5x^2 - 5x + 2

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 4x^2 + 2x - 3

b. 11x^2 - 10x + 4

c. 3x^2 + 2x - 3

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -2x^2 + 1x - 3

y: 6x^2 - 3x + 2

z: 3x^2 - 5x + 1

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 4x^2 - 2x - 1

b. 9x^2 - 8x + 3

c. x^2 - 4x - 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -2x^2 + 4x - 2

y: 2x^2 - 3x + 2

z: 3x^2 - 2x + 4

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. x

b. 5x^2 - 5x + 6

c. x^2 + 2x + 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -5x^2 + 6x - 2

y: 2x^2 - 3x + 2

z: 2x^2 - 5x + 4

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -3x^2 + 3x

b. 4x^2 - 8x + 6

c. -3x^2 + x + 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -5x^2 + x - 4

y: 4x^2 - 3x + 2

z: 2x^2 - 3x + 4

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -x^2 - 2x - 2

b. 6x^2 - 6x + 6

c. -3x^2 - 2x

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -4x^2 + x - 3

y: x^2 - 4x + 2

z: 2x^2 - 3x + 2

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -3x^2 - 3x - 1

b. 3x^2 - 7x + 4

c. -2x^2 - 2x - 1

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -4x^2 + 5x - 3

y: 2x^2 - 4x + 5

z: 5x^2 - 3x + 1

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -2x^2 + x + 2

b. 7x^2 - 7x + 6

c. x^2 + 2x - 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -3x^2 + x - 3

y: x^2 - 4x + 2

z: 2x^2 - 3x + 1

a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -2x^2 - 3x - 1

b. 3x^2 - 7x + 3

c. -x^2 - 2x - 2

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Führe eine Skalarmultiplikation durch!

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Bestimme den Skalar λ!

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Berechne den Lösungsvektor!

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B sei die inverse Matrix zu A. Das Produkt A*B ergibt...

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die Einheitsmatrix

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