Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Matrizen

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Matrizen

Grundsätzlich sind Matrizen rechteckige Anordnungen von Elementen (Zahlen und/oder Variablen). Dabei hat eine Matrix m Zeilen und n Spalten. Eine solche Matrix hat dann die Dimension m x n und ist eine (m;n)-Matrix.

Hier siehst du die allgemeine Schreibweise einer solchen Matrix:

Jedes Element hat dabei eine Position innerhalb der Matrix. Zur Kennzeichnung der Position wird ein Doppelindex verwendet. Das Element befindet sich in der i-ten Zeile und j-ten Spalte. Der erste Index steht also für die Zeile, der zweite Index für die Spalte.

Zum besseren Verständnis haben wir hier noch ein Beispiel mit konkreten Zahlen:

Diese Matrix ist eine (2,3)-Matrix, da sie 2 Zeilen und 3 Spalten hat. Das Element wäre hier die 5 in der 1-ten Zeile und 3-ten Spalte.

Wofür braucht man Matrizen?

Jetzt weißt du schon, was Matrizen sind und wie sie dargestellt werden. Wofür aber brauchen wir diese Matrizen dann?

Besonders hilfreich sind Matrizen zur Darstellung von Linearen Gleichungssystemen. Diese werden oft unübersichtlich. In einer Matrix können die Faktoren übersichtlich und kompakt gespeichert werden. Wenn dir das Thema noch unbekannt ist, lies dir einfach unseren Artikel dazu durch.

Am besten lässt sich das an einem Beispiel verstehen. Dafür betrachten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

Mithilfe einer Matrixmultiplikation können wir das LGS auch wie folgt darstellen:

Dafür gibt es auch noch eine kurze Schreibweise:

Welche besonderen Matrizen gibt es?

Im Folgenden wollen wir dir noch besondere Matrizen vorstellen.

Quadratische Matrizen

Bei einer quadratischen Matrix gilt n = m, d.h. es gibt genauso viele Zeilen wie Spalten.

Hier siehst du ein Beispiel, eine (3,3)-Matrix:

Die pinken Elemente, für die i = j gilt, bilden die Hauptdiagonale.

Nullmatrix

Bei einer Nullmatrix sind alle Elemente der Matrix gleich Null. Hier siehst du eine (2,2)-Nullmatrix:

Einheitsmatrix

Bei einer Einheitsmatrix sind alle Elemente, die die Hauptdiagonale bilden, gleich 1 und die restlichen sind 0.

Auch hier haben wir ein Beispiel, eine (4,4)-Einheitsmatrix:

Diagonalmatrix

Bei der Diagonalmatrix sind alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonale liegen, gleich Null. Die Einheitsmatrix ist also eine Sonderform der Diagonalmatrix. Hier siehst du eine (3,3)-Diagonalmatrix:

Obere / untere Dreiecksmatrix

Bei der oberen Dreiecksmatrix sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null, bei der unteren Dreiecksmatrix sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null. Hier siehst du für beide Formen ein Beispiel:

Weitere Sonderformen von Matrizen

Neben den hier bereits vorgestellten Sonderformen gibt es noch drei Arten von Matrizen, dabei empfehlen wir dir unsere zugehörigen Artikel:

Matrizen - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine (m,n)-Matrix ist eine rechteckige Ansammlung von Elementen mit m Zeilen und n Spalten
  • Die Position eines Elements innerhalb der Matrix wird durch einen Doppelindex angegeben
  • Das Element ist in der i-ten Zeile in der j-ten Spalte

Unser Tipp für Euch

Beim Rechnen mit Matrizen solltest du immer aufpassen, dass du Zeile und Spalte nicht vertauscht. Wenn du aber ein bisschen mit Matrizen geübt hast, ist es irgendwann nicht mehr so kompliziert, wie es am Anfang vielleicht wirkt 😊

Finales Matrizen Quiz

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander! 


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Multipliziere die folgenden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Addiere die beiden Matrizen miteinander!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Addiere die beiden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Addiere die beiden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Addiere die beiden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Addiere die beiden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Addiere die beiden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Addiere die beiden Matrizen miteinander!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Addiere die beiden Matrizen miteinander!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: 3x^2 + 4x - 2

y: 5x^3 - 3x + 6

z: 5x^2 - 3x + 7


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. 5x^3 + 3x^2 + x + 4

b. 5x^3 + 5x^2 - 6x + 13

c. 8x^2 + x + 5

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: 3x^2 + 8x - 2

y: 2x^3 - 3x + 1

z: x^2 - 5x + 7


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^3 + 3x^2 + 5x - 1

b. 2x^3 + x^2 -8x + 8

c. 4x^2 + 3x + 5

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: 2x^2 + 8x - 5

y: 2x^3 - 5x + 6

z: 4x^2 - x + 7


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^3 + 2x^2 + 3x + 1

b. 2x^3 + 4x^2 - 6x + 13

c. 6x^2 + 7x + 2

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -4x^2 + 7x - 10

y: 6x^2 - 2x + 6

z: 4x^2 - 5x + 2


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^2 + 5x - 4

b. 10x^2 - 7x + 8

c. 2x - 8

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -2x^2 + 7x - 5

y: 6x^2 - 5x + 2

z: 5x^2 - 5x + 2


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^2 + 2x - 3

b. 11x^2 - 10x + 4

c. 3x^2 + 2x - 3

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -2x^2 + 1x - 3

y: 6x^2 - 3x + 2

z: 3x^2 - 5x + 1


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^2 - 2x - 1

b. 9x^2 - 8x + 3

c. x^2 - 4x - 2

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -2x^2 + 4x - 2

y: 2x^2 - 3x + 2

z: 3x^2 - 2x + 4


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. x 

b. 5x^2 - 5x + 6

c. x^2 + 2x + 2

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -5x^2 + 6x - 2

y: 2x^2 - 3x + 2

z: 2x^2 - 5x + 4


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3x^2 + 3x 

b. 4x^2 - 8x + 6

c. -3x^2 + x + 2

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -5x^2 + x - 4

y: 4x^2 - 3x + 2

z: 2x^2 - 3x + 4


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. -x^2 - 2x - 2

b. 6x^2 - 6x + 6

c. -3x^2 - 2x 

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -4x^2 + x - 3

y: x^2 - 4x + 2

z: 2x^2 - 3x + 2


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3x^2 - 3x - 1

b. 3x^2 - 7x + 4

c. -2x^2 - 2x - 1

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -4x^2 + 5x - 3

y: 2x^2 - 4x + 5

z: 5x^2 - 3x + 1


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. -2x^2 + x + 2

b. 7x^2 - 7x + 6

c. x^2 + 2x - 2

Frage anzeigen

Frage

Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -3x^2 + x - 3

y: x^2 - 4x + 2

z: 2x^2 - 3x + 1


a. x + y

b. y + z

c. z + x

Antwort anzeigen

Antwort

a. -2x^2 - 3x - 1

b. 3x^2 - 7x + 3

c. -x^2 - 2x - 2

Frage anzeigen

Frage

Führe eine Skalarmultiplikation durch!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Führe eine Skalarmultiplikation durch!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Führe eine Skalarmultiplikation durch!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Führe eine Skalarmultiplikation durch!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Führe eine Skalarmultiplikation durch!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Führe eine Skalarmultiplikation durch!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Führe eine Skalarmultiplikation durch!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Skalar λ! 


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Skalar λ! 



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Skalar λ!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Skalar λ!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Skalar λ!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Skalar λ!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Skalar λ!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Lösungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Lösungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Lösungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Lösungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Lösungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Lösungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

B sei die inverse Matrix zu A. Das Produkt A*B ergibt...

Antwort anzeigen

Antwort

die Einheitsmatrix

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Richtungsvektor!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob die Matrizen invers zueinander sind.



Antwort anzeigen

Antwort

Ja, die Matrizen sind invers zueinander. A*B und B*A ergeben jeweils die Einheitsmatrix.

Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob Matrix B die inverse Matrix von A ist.




Antwort anzeigen

Antwort

A*B ergibt nicht die Einheitsmatrix. Daher ist B nicht die inverse Matrix von A.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Matrix B so, dass sie die Inverse Matrix zu A bildet.


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die inverse Matrix (B) von A. 


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme eine Matrix B, die die Inverse zu A bildet.


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Matrix B, die zu A invers ist.


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Finde die inverse Matrix zu A.


Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt keine inverse Matrix zu A, da die Zeilenvektoren linear abhängig sind.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die zu A inverse Matrix B.


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeige, dass B die inverse Matrix von A ist.


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeige, dass B die inverse Matrix von A ist. 


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Ist B die inverse Matrix von A?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, bei der Multiplikation A*B kommt nicht die Einheitsmatrix heraus.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für die inverse Matrix der Einheitsmatrix?

Antwort anzeigen

Antwort

Die inverse Matrix der Einheitsmatrix ist die Einheitsmatrix selbst.

Frage anzeigen

Frage

Matrix B sei die inverse Matrix von Matrix A.  Berechne die inverse Matrix von B und stelle eine Schlussfolgerung auf. 


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du, ohne zu rechnen, feststellen, ob die Matrix invertierbar ist (also eine inverse Matrix existiert)?


Antwort anzeigen

Antwort




Frage anzeigen

Frage

Bilde eine 5x5 Matrix, die nicht invertierbar ist.

Antwort anzeigen

Antwort

z.B. 



Frage anzeigen

Frage

Wähle die korrekten Rechenregeln aus:

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Die inverse Matrix sei definiert durch die untenstehende Beziehung. A* ist die sog. adjungierte Matrix. Kannst du, auch ohne detailliertes Wissen über die adjungierte Matrix, eine Bedingung bzgl. der Existenz einer inversen Matrix aufstellen?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Determinante steht im Nenner. Wird der Nenner gleich Null, ist die Gleichung nicht lösbar und es gibt keine inverse Matrix. Zusammengefasst:


Frage anzeigen

Frage

Berechne die inverse Matrix von A.


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeige durch zwei unterschiedliche Ansätze, dass A keine inverse Matrix besitzt.


Antwort anzeigen

Antwort

1) die Determinante ist Null, sodass es keine inverse Matrix gibt.

2) Beim Versuch, die Inverse zu berechnen, entsteht ein Gleichungssystem ohne Lösungen.

Frage anzeigen

Frage

Löse die Matrizengleichung nach X auf.


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Löse die Matritzengleichung nach X auf.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Löse die Matritzengleichung nach X auf.


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welcher Rechenschritt wurde korrekt ausgeführt?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Löse die Matritzengleichung nach X auf.


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Löse die Matritzengleichung nach X auf.



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Löse die Matritzengleichung nach X auf.



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welcher Rechenschritt ist korrekt?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Löse die Matritzengleichung nach X auf.

 


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeige, dass X eine Einheitsmatrix sein muss.



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Was hat das lineare Gleichungssystem mit linearen Funktionen zu tun?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Grundlage für ein lineares Gleichungssystem bilden lineare Funktionen. Dafür sind mehrere Funktionen mit mehreren Variablen notwendig.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet die Abkürzung LGS?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Abkürzung LGS steht für Lineares GleichungsSystem.

Frage anzeigen

Frage

In welcher Beziehung können beispielsweise zwei Funktionen miteinander stehen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktionen können:

  • identisch sein
  • parallel sein
  • einen Schnittpunkt besitzen
Frage anzeigen

Frage

Was lässt sich über die Darstellungsform in folgenden Beispiel eines linearen Gleichungssystems sagen?


Antwort anzeigen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem ist in der allgemeinen Form dargestellt mit 3 Gleichungen und 3 Variablen.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann das folgende Beispiel in der Matrizendarstellung angegeben werden?



Antwort anzeigen

Antwort

Das Beispiel in der Matrizendarstellung lautet:



Frage anzeigen

Frage

Was ist die Koeffizientenmatrix A bei einem linearen Gleichungssystem?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Koeffizientenmatrix A eines linearen Gleichungssystems ist die Matrix mit den Werten der linken Seite einer Gleichung.



Frage anzeigen

Frage

Mit welcher allgemeinen Schreibweise lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit der erweiterten Matrix darstellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich durch die erweiterte Matrix wie folgt darstellen:



Frage anzeigen

Frage

Welche Kateogorien von linearen Gleichungssystemen können hinsichtlich der Anzahl an Gleichungen und Variablen unterschieden werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei linearen Gleichungssystemen mit m Gleichungen und n Variablen kann wie folgt unterschieden werden:

  • quadratisches Gleichungssystem (m=n)
  • unterbestimmtes Gleichungssystem (m<n)
  • überbestimmtes Gleichungssystem (m>n)
Frage anzeigen

Frage

Was ist ein homogenes und ein inhomogenes Gleichungssystem?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein homogenes Gleichungssystem mit Ax=b liegt vor, wenn alle Werte von b gleich 0 sind (b=0).

Ein inhomogenes Gleichungsystem mit Ax=b hat beim Ergebnisvektor b mindestens einen Wert ungleich 0 (b0).

Frage anzeigen

Frage

Mit welchen Verfahren können lineare Gleichungssysteme gelöst werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Lineare Gleichungssysteme können mit folgenden Verfahren gelöst werden:

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
Frage anzeigen

Frage

Welches Vorgehen wird bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Gleichsetzungsverfahren angewandt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe des Gleichsetzungsverfahren kann wie folgt vorgenommen werden:

1. Beide Gleichungen nach beliebiger Variable auflösen

2. Gleichungen gleichsetzen

3. Gleichung berechnen (1. Variable)

4. Berechnete Variable in beliebige Gleichung einsetzen und berechnen (2. Variable)

5. Lösungsmenge definieren

Frage anzeigen

Frage

Welches Vorgehen wird bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren angewandt?

Antwort anzeigen

Antwort


Die Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe des Additionsverfahren kann wie folgt vorgenommen werden:

1. Gleichungen umformen, um Variable zu eliminieren

2. Gleichungen addieren (linke und rechte Seite)

3. Gleichung berechnen (1. Variable)

4. Berechnete Variable in beliebige Gleichung einsetzen und berechnen (2. Variable)

5. Lösungsmenge definieren


Frage anzeigen

Frage

Welches Vorgehen wird bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Einsetzungsverfahren angewandt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe des Einsetzungsverfahren kann wie folgt vorgenommen werden:

1. Eine Gleichung nach beliebiger Variable auflösen

2. Aufgelöste Gleichung in andere Gleichung einsetzen

3. Gleichung berechnen (1. Variable)

4. Berechnete Variable in beliebige Gleichung einsetzen und berechnen (2. Variable)

5. Lösungsmenge definieren

Frage anzeigen

Frage

Welche Lösungen und zugehörige Lösungsmengen können bei der Berechnung von linearen Gleichungssystemen auftreten?

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Lösungen können sich bei der Berechnung von LGS ergeben:

  • eindeutige Lösung:
  • keine Lösung:
  • unendlich viele Lösungen:
Frage anzeigen

Frage

In welcher Beziehung können zum Beispiel zwei Gleichungen zueinander stehen, wenn es keine Lösung bei der Berechnung des Gleichungssystems gibt?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine leere Lösungsmenge und damit keine Lösung bei der Berechnung des Gleichungssystems können beispielsweise zwei parallele Geraden sein.

Frage anzeigen

Frage

Welche Besonderheit ergibt sich bei der Lösung eines linearen Gleichungssystem mit zwei identischen Geraden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Lösung eines Gleichungssystems mit zwei identischen Geraden erhalten wir unendlich viele Lösungen und damit die allgemeine Lösungsmenge .

Frage anzeigen

Frage

Welche Lösung erhalten wir bei der Berechnung des folgenden Beispiels mithilfe eines beliebigen Verfahren?



Antwort anzeigen

Antwort

Die Lösungen für das lineare Gleichungssystem sind: x=0,5 und y=0. 

Damit ergibt sich folgende Lösungsmenge: .

Frage anzeigen

Frage

Welche Matrizen können transponiert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Es kann jede beliebige Matrix transponiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Was passiert mit einer Matrix, die 2 Zeilen und 3 Spalten besitzt, nachdem sie transponiert wurde?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten besitzt nach dem Transponieren 3 Zeilen und 2 Spalten.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet der Begriff "transponieren" und was wird dabei mit der Koeffizienten in der Matrix gemacht?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Begriff "transponieren" bedeutet so viel wie "versetzen" oder "umsetzen". Die Koeffizienten werden in der Matrix umgesetzt, indem die Zeilen und Spalten vertauscht werden.

Frage anzeigen

Frage

Welche Möglichkeiten gibt es, eine Matrix zu transponieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt drei Möglichkeiten eine Matrix zu transponieren:

  • Zeilen der Matrix A zu Spalten der Matrix
  • Spalten der Matrix A zu Zeilen der Matrix
  • Spiegeln der Matrix A an der Hauptdiagonalen
Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine transponierte Matrix gekennzeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die transponierte Matrix wird mit einem hochgestellten T gekennzeichnet.


Frage anzeigen

Frage

Was passiert mit einer transponierten Matrix, die noch einmal transponiert wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Transponieren einer bereits transponierten Matrix erhalten wir wieder die ursprüngliche Matrix A, denn es gilt:


Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenregeln gelten für die Addition und Multiplikation von transponierten Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Addition von transponierten Matrizen gilt:

Für die Multiplikation von transponierten Matrizen gilt:


Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage kann über die folgenden Angaben gemacht werden?



Antwort anzeigen

Antwort

Falls die transponierte Matrix gleich der ursprünglichen Matrix A ist (), so wird sie als symmetrisch bezeichnet. 

Bei kann die Matrix als antisymmetrisch/schiefsymmetrisch betitelt werden.

Frage anzeigen

Frage

Bitte transponiere folgende Matrix A:



Antwort anzeigen

Antwort

Die transponierte Matrix A lautet:



Frage anzeigen

Frage

Die transponierte Matrix soll wieder in die ursprüngliche Matrix A umgewandelt werden.



Antwort anzeigen

Antwort

Die ursprüngliche Matrix A erhalten wir durch Transponieren der transponierten Matrix .


Frage anzeigen

Frage

Bitte zeige anhand der Matrix A, dass gilt: .



Antwort anzeigen

Antwort

Durch zweimaliges Transponieren der Matrix A erhalten wir wieder die ursprüngliche Matrix.

1. Schritt:



2. Schritt:



Frage anzeigen

Frage

Bitte transponiere die folgende Matrix A:



Antwort anzeigen

Antwort

Die transponierte Matrix lautet:



Frage anzeigen

Frage

Warum ist die folgende Matrix A symmetrisch?



Antwort anzeigen

Antwort

Die Matrix A ist symmetrisch, weil die transponierte Matrix gleich der Matrix A ist.



Frage anzeigen

Frage

Bitte transponiere die Matrix C:



Antwort anzeigen

Antwort

Die transponierte Matrix C lautet:



Frage anzeigen

Frage

Die folgende Matrix B ist gegeben. Bitte transponiere sie zu Matrix .



Antwort anzeigen

Antwort

Die transponierte Matrix lautet:



Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenoperationen können bei der Matrizenrechnung durchgeführt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Rechenoperationen sind bei der Matrizenrechnung möglich:

  • Addition und Subtraktion
  • Multiplikation (Matrizen und Skalare)
Frage anzeigen

Frage

Was muss bei der Addition von Matrizen beachtet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Matrizen können nur miteinander addiert werden, wenn sie die gleiche Form besitzen. Sie müssen also die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.

Zum Beispiel kann eine 2x2-Matrix nur mit einer 2x2-Matrix addiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Bitte addiere folgende Matrizen.



Antwort anzeigen

Antwort

Durch Addition der Matrizen ergibt sich:



Frage anzeigen

Frage

Führe eine Addition für folgende Matrizen A und B aus.



Antwort anzeigen

Antwort

Durch Addition der Matrizen erhalten wir:



Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Ergebnismatrix nach einer Addition von zwei Matrizen noch bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ergebnismatrix nach einer Addition wird als Summenmatrix bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenregeln gelten bei der Addition von Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Rechenregeln gelten bei der Addition von Matrizen:

  • Kommutativgesetz:
  • Assoziativgesetz: 
Frage anzeigen

Frage

Was muss bei der Subtraktion von Matrizen beachtet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Subtraktion müssen beide Matrizen die gleiche Form und somit die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten aufweisen.

Zum Beispiel kann nur eine 3x3-Matrix von einer 3x3-Matrix subtrahiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Bitte subtrahiere folgende Matrix B von der Matrix A.



Antwort anzeigen

Antwort

Durch Subtraktion ergibt sich:



Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Ergebnismatrix einer Subtraktion von Matrizen noch bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ergebnismatrix bei einer Subtraktion wird zudem auch als Differenzmatrix bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Welche Voraussetzung gibt es bei der Multiplikation von Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Multiplizieren einer Matrix A mit einer Matrix B muss die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Kann folgende Multiplikation ausgeführt werden?



Antwort anzeigen

Antwort

Die Multiplikation lässt sich nicht ausführen, da die Matrix A zwei Spalten und die Matrix B drei Zeilen. Möglich wäre aber .

Frage anzeigen

Frage

Welches Schema wird bei der Matrizenmultiplikation verwendet und welche Schritte sind dabei auszuführen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Matrizenmultiplikation erfolgt nach dem "Falk-Schema" mit folgendem Vorgehen:

  1. Kreuz einzeichnen
  2. Matrix A links unten eintragen
  3. Matrix B rechts oben eintragen
  4. Ergebnismatrix berechnen


Frage anzeigen

Frage

Welche Bezeichnung trägt die Ergebnismatrix einer Multiplikation von Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ergebnismatrix einer Multiplikation wird auch als Produktmatrix bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenregeln gelten für das Multiplizieren von Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Rechenregeln gelten bei der Multiplikation von Matrizen:

  • Ungleich:
  • Assoziativgesetz:
  • Distributivgesetz:
Frage anzeigen

Frage

Bitte multipliziere folgenden Matrizen miteinander .



Antwort anzeigen

Antwort

Nach Multiplikation erhalten wir:



Frage anzeigen

Frage

Wie kann eine Matrix mit einem Skalar multipliziert werden? Gib dazu auch ein Beispiel an.

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn eine Matrix mit einem Skalar multipliziert wird, muss jede Komponente der Matrix einzeln mit dem Skalar multipliziert werden.

Zum Beispiel:




Frage anzeigen

Frage

Wie viele Zeilen und Spalten hat die Ergebnismatrix bei der Multiplikation folgender Matrizen ?



Antwort anzeigen

Antwort

Die Ergebnismatrix der Multiplikation besitzt eine Spalte und zwei Zeilen.


Frage anzeigen

Frage

Welche Form hat eine Einheitsmatrix? Wie sieht eine 3x3-Einheitsmatrix aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Einheitsmatrix besitzt keine beliebigen Zahlen, sondern nur die Werte 0 und 1. Entlang der Hauptdiagonalen haben die Komponenten die Werte 1, alle anderen sind 0. Zudem ist eine Einheitsmatrix quadratisch.

Eine 3x3-Einheitsmatrix ist:



Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet der Begriff "orthogonal"?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Begriff orthogonal bedeutet so viel wie senkrecht zueinanderstehend oder rechtwinklig.

Frage anzeigen

Frage

Wie lassen sich rechnerisch zwei Vektoren auf Orthogonalität prüfen?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe des Skalarprodukts lassen sich zwei Vektoren auf Orthogonalität prüfen. Ist das Skalarprodukt gleich 0, dann sind die Vektoren orthogonal.

Frage anzeigen

Frage

Wann bedeutet es, wenn Vektoren orthonormal zueinander stehen?

Antwort anzeigen

Antwort

Normierte Vektoren (Länge 1), die orthogonal zueinander stehen, werden als orthonormal bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Matrix orthogonal?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Matrix ist orthogonal (oder besser gesagt orthonormal), wenn deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal zueinander sind.

Frage anzeigen

Frage

Mit welchem Buchstaben werden meist orthogonale Matrizen gekennzeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Orthogonale Matrizen werden oft mit dem Buchstaben Q versehen.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für die Multiplikation einer orthogonalen Matrix mit ihrer transponierten Matrix?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch die Multiplikation einer orthogonalen Matrix mit ihrer transponierten Matrix erhalten wir eine Einheitsmatrix.



Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage über die Inverse und Transponierte einer orthogonalen Matrix kann gemacht werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Transponierte einer Matrix entspricht der Inversen einer Matrix.



Frage anzeigen

Frage

Welche Werte kann die Determinante einer orthogonalen Matrix annehmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Determinante einer orthogonalen Matrix kann lediglich die Werte 1 und -1 annehmen.



Frage anzeigen

Frage

Wozu können orthogonale Matrizen verwendet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Orthogonale Matrizen werden meist bei folgenden zwei Bereichen angewandt:

  • Drehungen
  • Spiegelungen
Frage anzeigen

Frage

Wie kann ich eine Matrix auf Orthogonalität prüfen?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Gleichung kann als Grundlage für die Prüfung einer Matrix auf Orthogonalität herangezogen werden.

Frage anzeigen

Frage

Welche Werte nimmt die Determinante einer orthogonalen Matrix jeweils bei Drehung und Spiegelung an?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Werte der Determinante nehmen folgende Werte an:


Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Matrix auf Orthogonalität.



Antwort anzeigen

Antwort

Prüfung der Orthogonalität:



Damit ergibt sich, dass die Matrix Q orthogonal ist.

Frage anzeigen

Frage

Kann mit folgender Matrix Q eine Spiegelung ausgeführt werden?



Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Spiegelung muss die Determinante der Matrix gleich -1 sein. 



Die Matrix Q ist damit für eine Spiegelung geeignet.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann ein Vektor mithilfe einer orthgonalen 2x2-Matrix Q beispielsweise um den Winkel gedreht werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Multiplikation der folgenden Matrix Q mit dem Vektor, kann dieser entsprechend gedreht werden.



Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet der Begriff "invers"?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Begriff invers bedeutet so viel wie "umgekehrt".

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine inverse Matrix und wie ist sie gekennzeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine inverse Matrix ist die Kehrmatrix einer Matrix und wird mit einer hochgestellten -1 gekennzeichnet.


Inverse Matrix:

Frage anzeigen

Frage

Welche Matrizen können invertiert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Nicht jede Matrix kann invertiert werden. Folgende Voraussetzungen müssen erfüllt sein:

  • die Matrix ist quadratisch
  • die Determinante der Matrix ist ungleich null
Frage anzeigen

Frage

Kann folgende Matrix B invertiert werden?



Antwort anzeigen

Antwort

Überprüfung der Voraussetzungen:

  • Matrix B ist quadratisch
  • Determinante B ungleich 0 
Frage anzeigen

Frage

Wie werden invertierbare und nicht-invertierbare Matrizen noch bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Matrizen können wie folgt bezeichnet werden:

  • Invertierbare Matrix               ->    reguläre Matrix
  • Nicht-invertierbare Matrix    ->    singuläre Matrix
Frage anzeigen

Frage

Was passiert beim Invertieren einer bereits invertierten Matrix?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Invertieren einer invertieren Matrix erhalten wir wieder die ursprüngliche Matrix.



Frage anzeigen

Frage

Was muss beim Invertieren eines Matrizenprodukts beachtet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Invertieren eines Matrizenprodukts entspricht der Multiplikation der inversen Matrizen, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.



Frage anzeigen

Frage

Mit welchen Verfahren lassen sich Matrizen invertieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Invertieren einer Matrix kann mithilfe folgender Verfahren durchgeführt werden:

  • Gauß-Jordan-Algorithmus
  • Adjunkte
  • Cramersche Regel
Frage anzeigen

Frage

Welches Vorgehen ergibt sich beim Invertieren einer Matrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Invertieren einer Matrix mithilfe des Gauß-Verfahren kann wie folgt vorgenommen werden:

  1. Blockmatrix bilden
  2. Umformungen
  3. Inverse Matrix ablesen
Frage anzeigen

Frage

Welches Ziel ist beim Invertieren einer Matrix mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus anzustreben?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus soll die Blockmatrix in die Form umgewandelt werden. Es soll also auf der linken Blockseite durch Umformung eine Einheitsmatrix erzeugt werden. Damit kann auf der entstandenen rechten Seite die inverse Matrix abgelesen werden.

Frage anzeigen

Frage

Bitte berechne die inverse Matrix der folgenden Matrix A.



Antwort anzeigen

Antwort

Die Inverse der Matrix berechnet sich durch Umformen der Blockmatrix.




Damit lautet die Inverse:



Frage anzeigen

Frage

Bestimme die inverse Matrix der Matrix B.



Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe des Gauß-Jordan-Verfahren ergibt sich:



Frage anzeigen

Frage

Ist folgende Matrix invertierbar?



Antwort anzeigen

Antwort

Durch Überprüfung der Voraussetzungen ergibt sich, dass die Matrix A nicht invertierbar ist, denn die Matrix ist nicht quadratisch.

Frage anzeigen

Frage

Prüfe die Matrix A auf Invertierbarkeit.



Antwort anzeigen

Antwort

Prüfung der Voraussetzungen:

  • die Matrix A ist quadratisch
  • die Determinante der Matrix A ist

Damit ist die Matrix nicht invertierbar.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Inverse der Matrix A.



Antwort anzeigen

Antwort

Durch Berechnung ergibt sich:



Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Eigenvektor? Was ist der Eigenwert einer Matrix?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Eigenvektor verändert bei der Multiplikation mit einer Matrix nicht die Richtung, sondern wird nur gestreckt. Der Streckungsfaktor ist dabei der Eigenwert der Matrix.

Frage anzeigen

Frage

Wie definiert sich das Eigenwertproblem?

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Gleichung ist als Eigenwertproblem bekannt.


Frage anzeigen

Frage

Was ist das charakteristische Polynom?

Antwort anzeigen

Antwort

Das charakteristische Polynom ist die Determinante der Matrix .



Frage anzeigen

Frage

Bei welchen Matrizen können Eigenwerte berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Eigenwerte können grundsätzlich nur bei quadratischen Matrizen berechnet werden.

Frage anzeigen

Frage

Bei welcher Art Matrix sind die Eigenwerte reell?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Matrix symmetrisch ist, dann sind ihre Eigenwerte reell.

Frage anzeigen

Frage

Wie können Eigenwerte einer Matrix berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe eines Algorithmus lassen sich die Eigenwerte einer Matrix berechnen:

  1. Matrix bilden
  2. Charakteristisches Polynom
  3. Nullstellen
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Eigenwerte der Matrix A.



Antwort anzeigen

Antwort

Die Eigenwerte der Matrix A sind und .

Frage anzeigen

Frage

Bilde die Matrix mit folgender Matrix A.



Antwort anzeigen

Antwort

Die Matrix  lautet:



Frage anzeigen

Frage

Mithilfe welcher Gleichung können die Eigenvektoren berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Eigenvektoren lassen sich mithilfe folgender Gleichung berechnen.



Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenwerte ergeben sich nach der Lösung des folgenden charakteristischen Polynoms?



Antwort anzeigen

Antwort

Durch Berechnung der Determinante ergeben sich folgende Werte:

und

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenwerte hat das folgende charakteristische Polynom?



Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe der Mitternachtsformel lassen sich die Eigenwerte bestimmen.

und

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Eigenwerte der Matrix A.



Antwort anzeigen

Antwort

Die Matrix hat die Eigenwerte und .

Frage anzeigen

Frage

Welches charakteristische Polynom ergibt die folgende Matrix A?



Antwort anzeigen

Antwort

Zunächst wird die Matrix  gebildet und dann die Determinante berechnet. Es ergibt sich:


Frage anzeigen

Frage

Erstelle das charakteristische Polynom der folgenden 3x3-Matrix.



Antwort anzeigen

Antwort

Das charakteristische Polynom der Matrix A lautet:



Frage anzeigen

Frage

Wie kann das Eigenwertproblem mithilfe einer Einheitsmatrix umformuliert werden?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie lassen sich Matrizen in der allgemeinen Form beschreiben?

Antwort anzeigen

Antwort

Matrizen besitzen m Zeilen und n Spalten und können allgemein definiert werden als:

Frage anzeigen

Frage

Wie vielen Zeilen und wie viele Spalten besitzt folgende Matrix?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Matrix A besitzt 2 Zeilen und 3 Spalten.

Frage anzeigen

Frage

Welche Zahlenbereiche beinhalten reelle Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Reelle Zahlen beinhalten sowohl natürliche und ganze Zahlen, als auch rationale und irrationale Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Skalare?

Antwort anzeigen

Antwort

Skalare werden in der Algebra durch reelle Zahlen vollständig beschrieben.

Frage anzeigen

Frage

Welche Voraussetzungen müssen bei der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl erfüllt sein?

Antwort anzeigen

Antwort

Es sind keine bestimmten Voraussetzungen notwendig um die Berechnung durchführen zu können. Jede beliebige Matrix kann mit jeder beliebigen reellen Zahl mulitpliziert werden.

Frage anzeigen

Frage

Wie lässt sich die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl allgemein durchführen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Muliplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl wird jeder Koeffizient der Matrix mit der reellen Zahl einzeln multipliziert.

Frage anzeigen

Frage

Bitte führe eine Multiplikation der folgenden Matrix A mit der angegebenen reellen Zahl c durch.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Produkt aus der Matrix A und der reellen Zahl c ergibt:


Frage anzeigen

Frage

Bitte führe die Multiplikation der folgenden Angabe aus:

Antwort anzeigen

Antwort

Nach der Multiplikation erhalten wir:


Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet es für die Länge eines Vektors, wenn dieser mit einer reellen Zahl c=3 multipliziert wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Multiplikation des Vektors mit der reellen Zahl c=3 wird der Vektor um den Faktor 3 vervielfacht und ist damit drei mal so lang.

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechengesetze müssen bei der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl beachtet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Multplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl gelten folgende Rechengesetze:

  • Kommutativgesetz cA=Ac
  • Assoziativgesetz c(dA)=(cd)A
  • Distributivgesetz (c+d)A=cA+dA
  • Distributivgesetz c(A+B)=cA+cB
Frage anzeigen

Frage

Bitte weise anhand des folgenden Beispiels das Assoziativgesetz nach.

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Berechnung beider Seiten des Gesetzes ergibt sich:

Das Assoziativgesetz wurde damit nachgewiesen.

Frage anzeigen

Frage

Muss bei der Berechnung beachtet werden, ob das Produkt aus Matrix und Zahl oder das Produkt aus Zahl und Matrix berechnet wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Aufgrund des Kommutativgesetzes ist es zulässig beide Komponenten im Produkt zu vertauschen, da gilt:

cA=Ac

Frage anzeigen

Frage

Was lässt sich über die einspaltige Matrix (Vektor) im Bezug auf die Vervielfachung sagen?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Grafik zeigt, dass der Vektor um den Faktor 2 vervielfacht, also gestreckt, wurde. Dies entspricht einer Multiplikation des Vektors mit der Zahl 2.

Frage anzeigen

Frage

Welche Zahlen sind nicht im Zahlenbereich der reellen Zahlen enthalten?

Antwort anzeigen

Antwort

Negative Wurzeln sind nicht im Zahlenbereich der reellen Zahlen enthalten. Diese fallen in den Bereich der komplexen Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Bitte berechne die Multiplikation aus der folgenden Matrix A mit der reellen Zahl c.


Antwort anzeigen

Antwort

Nach der Multiplikation ergibt sich:


Frage anzeigen

Frage

Verändert sich die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix bei der Multiplikation mit einer reellen Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrizen bleiben trotz der Multiplikation gleich.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet der Ausdruck (2,4)-Matrix?

Antwort anzeigen

Antwort

(2,4)-Matrix bedeutet, dass die Matrix 2 Zeilen und 4 Spalten besitzt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Komponenten sind erforderlich, um einen Vektor vollständig zu beschreiben?

Antwort anzeigen

Antwort

Vektoren benötigen folgende Komponenten zur vollständigen Beschreibung:

  • Betrag (Zahl)
  • Richtung
  • Orientierung
Frage anzeigen

Frage

Als was können Matrizen mit einer Spalte oder einer Zeile noch bezeichnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Matrizen mit einer Spalte bzw. einer Zeile können auch als Spaltenvektoren bzw. Zeilenvektoren bezeichnet werden. Vektoren stellen somit einen Sonderfall von Matrizen dar.

Frage anzeigen

Frage

Welche Voraussetzungen müssen bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor erfüllt sein?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor muss die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Ist die Voraussetzung für die Multiplikation in diesem Beispiel erfüllt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, in diesem Beispiel ist die Voraussetzung erfüllt, da die Matrix 2 Spalten und der Vektor 2 Zeilen besitzt.

Frage anzeigen

Frage

Kann bei der Muliplikation einer Matrix und eines Vektors die Reihenfolge vertauscht werden? Statt das Produkt aus ?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, ein Vertauschen der Komponenten bei der Multiplikation ist nicht möglich, da gilt:

Frage anzeigen

Frage

Anhand welches Verfahrens lassen sich Matrizen mit Vektoren multiplizieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Zur Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor lässt sich das Falk-Schema anwenden.

Frage anzeigen

Frage

Welche Vorgehensweise wird beim Falk-Schema durchgeführt? (Multiplikation )

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Schritte lassen sich mit dem Falk-Schema bei dem Produkt  durchführen:

  1. Kreuz einzeichnen (Feld)
  2. Matrix links unten eintragen
  3. Vektor rechts oben eintragen
  4. Ergebnismatrix berechnen
Frage anzeigen

Frage

Bitte führe die Multiplikation der Matrix A mit dem Vektor x→ aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Nach der Multiplikation erhalten wir:

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Zeilen und Spalten hat die Ergebnismatrix, wenn eine (2,3)-Matrix mit einem (3,1)-Vektor multipliziert wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Multiplikation einer (2,3)-Matrix mit einem (3,1)-Vektor ergibt sich eine (2,1)-Ergebnismatrix.

Frage anzeigen

Frage

Welche Form der Matrix (Zeilen und Spalten) erhalten wir bei der Multiplikation eines (4,1)-Spaltenvektors mit einem (1,3)-Zeilenvektor?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Matrizenprodukt aus einem (4,1)-Spaltenvektor mit einem (1,3)-Zeilenvektor ergibt eine (4,3)-Ergebnismatrix.

Frage anzeigen

Frage

Wann erhält man als Ergebnis einer Multiplikation von Matrizen (Vektoren) ein Skalar?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor erhalten wir als Ergebnis ein Skalar (Zahl). Dies entspricht dem Skalarprodukt zweier Vektoren.

Frage anzeigen

Frage

Bitte berechne das Produkt x·A der folgenden Komponenten.


Antwort anzeigen

Antwort

Nach der Multiplikation erhalten wir als Ergebnis:

Frage anzeigen

Frage

Lassen sich folgende Komponenten miteinander multiplizieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Das Produkt aus  ist nicht möglich, da die Matrix A 3 Spalten und der Vektor x 2 Zeilen besitzt.

Das Produkt aus ist ebenfalls nicht möglich, da der Vektor x 1 Spalte besitzt und die Matrix A 2 Zeilen.

Frage anzeigen

Frage

Kann eine Matrix A mit einem Vektor x () multipliziert werden, wenn die Zeilenanzahl der Matrix nicht mit der Spaltenanzahl des Vektors übereinstimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

Es ist möglich, denn für die Multiplikation ist die Spaltenanzahl der Matrix und die Zeilenanzahl des Vektors relevant. Stimmt diese überein, so kann die Multiplikation durchgeführt werden.

Frage anzeigen
60%

der Nutzer schaffen das Matrizen Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Gerade angemeldet?

Ja
Nein, aber ich werde es gleich tun

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.