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Assoziativgesetz

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Mathe

Neben dem Assoziativgesetz gibt es noch das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz. Diese drei Rechengesetze helfen dir, lange Terme zu strukturieren und zu berechnen.

Assoziativgesetz Beispiel Formel Erklärung StudySmarter

Wiederholung: Was ist ein Rechengesetz in Mathe?

Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.

Ein Rechengesetz gibt dir vor, wie du in bestimmten Situationen Rechnungen auszuführen hast. Es sagt dir zum Beispiel, welchen Teil der Rechnung du zuerst berechnen musst.

Neben den Rechengesetzen gibt es noch ein paar Rechenregeln, wie die Klammerregeln oder die Vorrangregeln.

Alle wichtigen Rechengesetze und Rechenregeln findest du im Kapitel Rechengesetze erklärt!

Assoziativgesetz Erklärung und Beispiele

Das Assoziativgesetz wird auch Verbindungsgesetz genannt. Es erlaubt dir, in bestimmten Situationen gewisse Rechnungen mit einer Klammer zu verbinden und damit zuerst zu berechnen. Dadurch kannst du dir Rechenvorteile verschaffen und komplexe Terme schneller und einfacher berechnen.

Der Begriff "Assoziativgesetz" kommt übrigens vom lateinischen Verb "associare", was übersetzt "verbinden" heißt.

Das Assoziativgesetz gilt aber nicht immer. Du kannst also nicht willkürlich Klammern setzen. Du darfst es aber innerhalb von Summen – also beim Addieren – und innerhalb von Produkten – also beim Multiplizieren – nutzen. Denn dort ist die Rechenreihenfolge für das Ergebnis unwichtig.

Betrachte einmal die folgende Summe:

13+5+15

Diese Summe ist grundsätzlich leicht, und auch wenn du sie wie gewohnt von links nach rechts berechnest, wirst du sicherlich auf das richtige Ergebnis kommen.

Deine Rechnung würde dann wie folgt aussehen:

13+5+15=18+15=33

Vielleicht siehst du aber auch, dass sich die beiden hinteren Summanden (5 und 15) zu 20 ergänzen. Mit 20 lässt es sich etwas leichter rechnen, als beispielsweise mit der 18 aus der vorherigen Rechnung. Wenn du also diesen kleinen Rechenvorteil nutzen möchtest, dann kannst du das Assoziativgesetz anwenden und eine Klammer setzen:

13+5+15=13+(5+15)=13+20=33

Wie du siehst, bleibt das Ergebnis gleich. Die letzte Addition ist aber ein wenig leichter als in der vorherigen Rechnung.

Das Assoziativgesetz gilt für alle Zahlenarten, also für natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen.

Beim Subtrahieren und Dividieren gilt das Assoziativgesetz jedoch nicht. Wenn du dort die Rechenreihenfolge veränderst, veränderst du damit auch das Endergebnis.

Das kannst du dir anhand der beiden folgenden einfachen Gegenbeispielen anschauen:

Gegenbeispiel für das Assoziativgesetz der Subtraktion:

30-16-6=14-6=830-16-6=30-10=20

Gegenbeispiel für das Assoziativgesetz der Division:

32:4:2=8:2=432:4:2=32:2=16

Die Ergebnisse mit den gesetzten Klammern stimmen nicht mit den Ergebnissen der ursprünglichen Rechnungen überein. Die Anwendung des Assoziativgesetzes war also falsch.

Das Assoziativgesetz gilt also nur in Summen und Produkten. Im Folgenden lernst du das Rechengesetz für diese beiden Rechenarten kennen.

Assoziativgesetz der Addition

Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass man in Summen Klammern umsetzen, setzen oder weglassen kann und das Ergebnis dabei gleich bleibt.

Formal definiert sieht es wie folgt aus:

Assoziativgesetz der Addition:

Für alle Zahlen a, b und c gilt:

a+b+c=a+b+c

Wie du in der formalen Definition sehen kannst, sagt das Assoziativgesetz der Addition also aus, dass du Teilrechnungen in einer Addition in beliebiger Reihenfolge ausführen darfst. Das Ergebnis bleibt dabei gleich.

Das Assoziativgesetz gilt aber nicht nur für Summen mit drei Summanden. Du kannst es auch in Summen mit mehreren Summanden anwenden.

In der folgenden Rechnung kann man sogar zwei Rechenvorteile erhalten, wenn man das Assoziativgesetz der Addition anwendet:

8+50+37+113=8+50+37+113=8+50+150=8+50+150=8+200=208

Wichtig: Das Assoziativgesetz der Addition gilt nur in reinen Summen. Kommt in einem Term auch nur eine Subtraktion vor, so kannst du nicht mehr ganz frei Klammern setzen. Ein Beispiel für eine solche Situation ist der folgende Term:

8+3-7+58+3-7+59-1

Das Assoziativgesetz in Differenzen

Du hast bereits weiter oben im Artikel in einem Gegenbeispiel gesehen, dass du in Differenzen nicht einfach Klammern setzen kannst.

Es ist auch möglich, das Assoziativgesetz der Addition in Differenzen anzuwenden, solange du folgendes beachtest:

Eine Differenz ist nichts anderes als eine Summe mit einer negativen Zahl.

12-5=7=12+-5

Es ist also möglich, jede Differenz in eine Summe umzuwandeln. Und in Summen darfst du das Assoziativgesetz anwenden.

Wichtig ist jedoch, dass das Vorzeichen jeder Zahl fest mit der Zahl verbunden ist, und bei der Anwendung des Assoziativgesetzes – also beim Setzen von Klammern – bei der jeweiligen Zahl bleiben muss.

Ein Beispiel hierzu:

243-343-123+23=243+-343+-123+23=243+-343+-123+23=-100+-100=-200

Dieser Trick hilft dir weiter, wenn doch mal ein Minus in einer Summe steht.

Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Assoziativgesetz der Multiplikation funktioniert genauso wie das Assoziativgesetz der Addition. Es besagt also, dass du in Produkten Klammern setzen, umsetzen oder weglassen kannst, ohne das Ergebnis zu verändern.

Im Folgenden findest du erneut die formale Definition:

Assoziativgesetz der Multiplikation:

Für alle Zahlen a, b und c gilt:

a·b·c=a·b·c

Auch beim Assoziativgesetz der Multiplikation dürfen es mehr als drei Faktoren sein. Hier kannst du, durch geschicktes Klammern setzen, Rechenvorteile gewinnen.

Betrachte den Term 13·4·25.

Ohne Verwendung von Rechengesetzen würde deine Rechnung wie folgt aussehen:

13·4·25=52·25=1300

Der erste Schritt der Rechnung war dabei schon herausfordernd, und die zweite Multiplikation ist etwas komplizierter, wenn du sie im Kopf berechnen möchtest.

Vielleicht entdeckst du aber einen Rechenvorteil: Führst du die hintere Multiplikation zuerst aus, dann wird die Rechnung ganz einfach:

13·4·25=13·4·25=13·100=1300

Das Assoziativgesetz in Quotienten

Genauso wie beim Subtrahieren gibt es einen Trick, mit dem du das Assoziativgesetz der Multiplikation auch beim Dividieren verwenden darfst.

Dazu musst du dir eine kleine Wiederholung aus der Bruchrechnung anschauen.

Beim Dividieren mit Brüchen gilt die Regel:

Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

Diese Regel kann man auch auf ganze Zahlen oder natürliche Zahlen übertragen: Wenn du durch eine Zahl teilen möchtest, dann kannst du ebenso mit ihrer Kehrzahl oder ihrem Kehrwert multiplizieren.

12:2=6=12·12

Hast du also einen Quotienten in ein Produkt umgewandelt, darfst du wieder das Assoziativgesetz anwenden:

4·40:2·5=4·40·12·5=4·40·12·5=4·20·5=4·20·5=4·100=400

Wenn du diese und die vorherige Vertiefung verstanden hast, ist es dir also möglich, in Termen mit beliebigen Rechenzeichen das Assoziativgesetz sinnvoll anzuwenden!

Assoziativgesetz Merksatz

Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetz – was war noch mal welches?

Damit du dir leicht merken kannst, dass du mit dem Assoziativgesetz Summanden und Faktoren mithilfe von Klammern verbinden kannst, findest du hier eine Merkhilfe:

Bei "assoziativ" kann man leicht auf "sozial" kommen – das Assoziativgesetz ist ein sehr soziales Gesetz und vereint alle Summanden so, wie sie möchten:

a+b+c=a+b+c=a+b+c

Assoziativgesetz Aufgaben und Übungen

Damit du dir das Assoziativgesetz gut einprägst und das Finden von Rechenvorteilen ein wenig üben kannst, gibt es im Folgenden einige Übungsaufgaben für dich. Hier gilt es, durch geschicktes Setzen von Klammern – aber auch durch Weglassen von Klammern – Rechenvorteile zu finden.

Aufgabe

Berechne die folgenden Terme, indem du das Assoziativgesetz anwendest:

1.35·2·10·52.23·125·83.37·4·125·24.123+1111+8889+12

Lösungen

zu 1.:

35·2·10·5=35·2·10·5=35·20·5=35·100=3500

zu 2.:

23·125·8=23·125·8=23·1000=23000

zu 3.:

37·4·125·2=37·4·125·2=37·500·2=37·500·2=37·1000=37000

zu 4.:

123+1111+8889+12=123+1111+8889+12=123+10000+12=10123+12=10135

Assoziativgesetz Das Wichtigste

  • Das Assoziativgesetz ist neben dem Kommutativgesetz und dem Distributivgesetz eines der drei wichtigsten Rechengesetze der Mathematik.
  • Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.
  • Das Assoziativgesetz gilt für die Addition und die Multiplikation, nicht aber für die Subtraktion und Division.
  • Das Assoziativgesetz der Addition lautet für alle Zahlen a, b und c: a+b+c=a+b+c.
  • Formst du eine Subtraktion in eine Addition mit der Gegenzahl um, kannst du auch dort das Assoziativgesetz anwenden.
  • Das Assoziativgesetz der Multiplikation lautet für alle Zahlen a, b und c: a·b·c=a·b·c.
  • Formst du eine Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert um, so kannst du auch dort das Assoziativgesetz anwenden.
  • Das Assoziativgesetz gilt auch in Summen und Produkten mit mehr als drei Summanden oder Faktoren.
  • Merksatz für das Assoziativgesetz: "Assoziativ" – "Sozial": Das Assoziativgesetz ist ein sehr soziales Gesetz und vereint alle Summanden so, wie sie möchten.

Assoziativgesetz

Für alle Zahlen a, b und c  gilt:

  • das Assoziativgesetz der Addition: a+(b+c)=(a+b)+c
  • das Assoziativgesetz der Multiplikation: a · (b · c) = (a · b) · c

Du darfst das Assoziativgesetz innerhalb von Summen (also beim Addieren) und innerhalb von Produkten (also beim Multiplizieren) anwenden. Beim Subtrahieren und Dividieren gilt es jedoch nicht. Wenn du hier Klammern beliebig setzt oder weglässt, verändert sich das Ergebnis der Rechnung.

Das Assoziativgesetz erlaubt dir, in Summen und Produkten Klammern zu setzen oder sie wegzulassen. Dadurch kannst du dir Rechenvorteile verschaffen. Zwei Beispiele hierfür sind:

  • 134+63+37 = 134+(63+37) = 134+100=234
  • (12 · 40) · 25 = 12· (40 · 25) = 12· 1000=12000


Das Assoziativgesetz wendet man beim Addieren oder Multiplizieren an, wenn man durch das Setzen von Klammern oder durch das Weglassen von Klammern Rechenvorteile bekommt, sich also die Rechnung dadurch vereinfacht. Durch das Anwenden des Assoziativgesetzes kannst du also häufig auf den Taschenrechner verzichten und kompliziert aussehende Rechenaufgaben im Kopf lösen.

Finales Assoziativgesetz Quiz

Frage

Wie lautet das Assoziativgesetz der Addition?

Antwort anzeigen

Antwort

Für alle Zahlen a, b und c gilt:



Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das Assoziativgesetz der Multiplikation?

Antwort anzeigen

Antwort

Für alle Zahlen a, b und c gilt:



Frage anzeigen

Frage

Für welche Grundrechenarten gilt das Assoziativgesetz?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Addition

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgende Aufgabe geschickt, indem du das Assoziativgesetz anwendest.



Antwort anzeigen

Antwort

Setze eine Klammer und berechne die Summe in der Mitte zuerst:



Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgende Aufgabe geschickt, indem du das Assoziativgesetz anwendest.



Antwort anzeigen

Antwort

Entferne die Klammer und rechne dann von links nach rechts:



Frage anzeigen

Frage

Welches der folgenden Rechengesetze ist das Assoziativgesetz?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

In welcher der folgenden Rechnungen darfst du das Assoziativgesetz nicht einfach so anwenden?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie wird das Assoziativgesetz noch genannt, und warum?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Assoziativgesetz wird auch Verbindungsgesetz genannt, denn das Assoziativgesetz hat seinen Namen vom lateinischen Wort "associare", was "verbinden" bedeutet.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du dir gut merken, was das Assoziativgesetz ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst bei assoziativ an sozial denken: beim Assoziativgesetz werden alle Termglieder so vereint, wie sie möchten.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgende Aufgabe geschickt, indem du das Assoziativgesetz anwendest. 



Antwort anzeigen

Antwort

Bei dieser Aufgabe kann die Klammer um die ersten beiden Termglieder gesetzt werden:



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