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Wendepunkt berechnen

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Wendepunkt berechnen

Hast du gerade das Thema Kurvendiskussion in Mathe und musst den Wendepunkt berechnen, weißt aber nicht genau wie es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie du Schritt für Schritt den Wendepunkt berechnen kannst. :) Das Thema kann dem Fach Mathematik und genauer dem Unterthema Untersuchen von Funktionen zugeordnet werden.

Was ist ein Wendepunkt?

Grafisch gesehen ist der Wendepunkt ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten verändert. An diesem Punkt wechselt der Graph entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder anders herum.

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt: f’’(x) = 0 und f’’’(x) ≠ 0

Quelle: rither.de

So sieht das auf einem Funktionsgraphen aus. Der Wendepunkt wurde mit einem roten Punkt gekennzeichnet. Wie du siehst, ändert sich das Krümmungsverhalten.

Kurz zusammengefasst: Punkt, an dem Graph sich wendet, Krümmungsverhalten sich ändert

Wie berechne ich einen Wendepunkt?

Auf den ersten Blick mögen die Bedingungen kompliziert aussehen, aber nur in ein paar Schritten kannst du den Wendepunkt berechnen:

  1. Zweite Ableitung berechnen
  2. Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen. f’’(x) = 0
  3. Dritte Ableitung berechnen
  4. Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen → Wenn f’’’(x) ≠ 0, dann ist es ein Wendepunkt
  5. Die berechneten x-Werte in die Funktion f(x) einsetzen, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu berechnen.

Im nächsten Abschnitt wenden wir diese Schritte an einem Beispiel an.

Wendepunkt berechnen - Beispiel

Die Funktion f(x) = x³ soll auf Wendepunkte untersucht werden.

1. f’’(x) berechnen

f’(x) = 3x²

f’’(x) = 6x

2. Nullstellen von f’’(x) berechnen

Ansatz: f’’(x) = 0

f’’(x) = 6x = 0 → x = 0

3. f’’’(x) berechnen

f’’’(x) = 6

4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen

In der dritten Ableitung kommt kein x vor. Wir sind fertig!

f’’’(x) ist immer ungleich Null: f’’’(x) = 6 ≠ 0

An der Stelle x= 0 liegt ein Wendepunkt vor

5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu berechnen

y = f(0) = 0³ = 0

Ergebnis: Die Funktion f(x) hat an der Stelle (0|0) einen Wendepunkt.

In der folgenden Grafik ist die Funktion f(x) = x³ eingezeichnet. Der rote Punkt ist der Wendepunkt.

Quelle: Mathebibel.de

Für x < 0 ist die Funktion rechtsgekrümmt.

Für x > 0 ist die Funktion linksgekrümmt.

Du kannst deutlich erkennen, dass am WP x =0 der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten verändert.

Wendepunkt berechnen - Das Wichtigste auf einen Blick

Am Ende haben wir dir das wichtigste nochmal zusammengefasst:

  • Am Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten.
  • Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein WP vorliegt:

→ f’’(x) = 0 und f’’’(x) ≠ 0

  • Wendepunkt berechnen Rechenschritte:
  1. f’’(x) berechnen
  2. Nullstellen von f’’(x) berechnen.
  3. f’’’(x) berechnen.
  4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen.
  5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu berechnen

Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du den Wendepunkt berechnen kannst. Weiter so!

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