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Hast du gerade das Thema Kurvendiskussion in Mathe und musst den Wendepunkt berechnen, weißt aber nicht genau wie es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie du Schritt für Schritt den Wendepunkt berechnen kannst. :) Das Thema kann dem Fach Mathematik und genauer dem Unterthema Untersuchen von Funktionen zugeordnet werden.
Grafisch gesehen ist der Wendepunkt ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten verändert. An diesem Punkt wechselt der Graph entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder anders herum.
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt: f’’(x) = 0 und f’’’(x) ≠ 0
Quelle: rither.de
So sieht das auf einem Funktionsgraphen aus. Der Wendepunkt wurde mit einem roten Punkt gekennzeichnet. Wie du siehst, ändert sich das Krümmungsverhalten.
Kurz zusammengefasst: Punkt, an dem Graph sich wendet, Krümmungsverhalten sich ändert
Auf den ersten Blick mögen die Bedingungen kompliziert aussehen, aber nur in ein paar Schritten kannst du den Wendepunkt berechnen:
Im nächsten Abschnitt wenden wir diese Schritte an einem Beispiel an.
Die Funktion f(x) = x³ soll auf Wendepunkte untersucht werden.
1. f’’(x) berechnen
f’(x) = 3x²
f’’(x) = 6x
2. Nullstellen von f’’(x) berechnen
Ansatz: f’’(x) = 0
f’’(x) = 6x = 0 → x = 0
3. f’’’(x) berechnen
f’’’(x) = 6
4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen
In der dritten Ableitung kommt kein x vor. Wir sind fertig!
f’’’(x) ist immer ungleich Null: f’’’(x) = 6 ≠ 0
An der Stelle x= 0 liegt ein Wendepunkt vor
5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu berechnen
y = f(0) = 0³ = 0
Ergebnis: Die Funktion f(x) hat an der Stelle (0|0) einen Wendepunkt.
In der folgenden Grafik ist die Funktion f(x) = x³ eingezeichnet. Der rote Punkt ist der Wendepunkt.
Quelle: Mathebibel.de
Für x < 0 ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Für x > 0 ist die Funktion linksgekrümmt.
Du kannst deutlich erkennen, dass am WP x =0 der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten verändert.
Am Ende haben wir dir das wichtigste nochmal zusammengefasst:
→ f’’(x) = 0 und f’’’(x) ≠ 0
Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du den Wendepunkt berechnen kannst. Weiter so!
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