4.8 • +11k Ratings
Speichern
Drucken
Bearbeiten
Du sitzt an Deinen Hausaufgaben und sollst alle Wendepunkte der folgenden Funktion 
bestimmen.
Ratlos suchst Du im Internet nach Unterstützung. Erleichtert seufzt Du auf, denn Du triffst auf diese Erklärung. Deine Hausaufgaben sind gerettet.
Wendepunkte sind Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion 
verändert.
Existiert ein Wendepunkt mit 
, dann wird der x-Wert dieses Punktes 
auch Wendestelle genannt.
Der y-Wert dieses Punktes 
wird auch Wendewert genannt.
Doch welche Kriterien müssen für einen Wendepunkt erfüllt sein?
Um die notwendige Bedingung zu überprüfen, wird die zweite Ableitung 
einer Funktion 
gebildet.
Für die zweite Ableitung 
einer Funktion 
an der Stelle 
gilt als notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt:
Überprüfe die notwendige Bedingung an dem Eingangsbeispiel.
Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion 
mit 
. Dafür wird zuerst die erste und zweite Ableitung benötigt.
Setze nun die zweite Ableitung 
gleich 0.
Die notwendige Bedingung ist also für 
und 
erfüllt.
Die notwendige Bedingung reicht noch nicht, um zu sagen, dass an der Stelle 
eine Wendestelle existiert.
Zusätzlich zur notwendigen Bedingung muss die hinreichende Bedingung erfüllt sein.
Für die dritte Ableitung 
einer Funktion 
an der Stelle 
gilt als hinreichendes Kriterium für einen Wendepunkt:
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Wendepunktes ist die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle 
. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel vor, dann existiert an dieser Stelle ein Wendepunkt.
Dieses Vorgehen bietet sich meist dann an, wenn ein Schaubild gegeben oder die Bildung der dritten Ableitung deutlich aufwendiger ist.
Überprüfe jetzt auch die hinreichende Bedingung für das Eingangsbeispiel.
Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion 
mit 
. Dafür wird die dritte Ableitung 
benötigt.
Nun kannst Du 
und 
in die dritte Ableitung 
einsetzen.
Dementsprechend existieren an den Stellen 
und 
Wendepunkte.
Da die Bedingung, dass 
für einen Wendepunkt sein muss, nur hinreichend ist, kann es sein, dass es vorkommt, dass 
ist.
Doch was passiert, wenn die dritte Ableitung 
ist? In diesem Fall besteht trotzdem die Möglichkeit, dass ein Wendepunkt vorliegt. Hierfür wird dann zusätzlich die erste Ableitung 
an der Stelle 
betrachtet.
Wenn für die Stelle 
gilt, existiert ein Sattelpunkt.
Achtung! Fälschlicherweise wird der Sattelpunkt oftmals als Extrempunkt interpretiert. Der Sattelpunkt ist aber ein Wendepunkt und KEIN Extrempunkt.
Das beste Beispiel dafür ist die Funktion 
.
Das Schaubild der Funktion 
mit 
sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 1: Schaubild einer Funktion 3. Grades mit Sattelpunkt
Es ist zu erkennen, dass die Funktion bei 
einen Sattelpunkt besitzt.
Bilde zunächst die erste, zweite und dritte Ableitung.
Wende als Nächstes das Notwendige Kriterium an.
Versuche nun das hinreichende Kriterium anzuwenden.
In diesem Fall ist auch die dritte Ableitung gleich 0. Hier greift die Möglichkeit, die erste Ableitung 
an der Stelle 
zu betrachten.
Damit sind alle drei Bedingungen für einen Sattelpunkt erfüllt und es handelt sich demnach um einen Wendepunkt, genauer gesagt Sattelpunkt, an der Stelle 
.
Bei Wendepunkten kann noch zwischen einem Wendepunkt mit positiver und negativer Steigung unterschieden werden. Ein Wendepunkt mit positiver Steigung wird auch Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) und ein Wendepunkt mit negativer Steigung wird auch Links-Rechts-Wendepunkt (LRW) genannt. Die Bezeichnungen kommen daher, weil ein RLW von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung führt - bei einem LRW ist es umgekehrt.
Für die zweite Ableitung 
einer Funktion an der Stelle gilt als hinreichendes Kriterium für...
... einen Links-Rechts-Wendepunkt (LRW) mit positiver Steigung:
... einen Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) mit negativer Steigung:
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines LRW oder RLW ist die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle . Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor, dann existiert an dieser Stelle ein LRW. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, dann existiert an dieser Stelle ein RLW.
Dieses Vorgehen bietet sich meist dann an, wenn ein Schaubild gegeben oder die Bildung der dritten Ableitung deutlich aufwendiger ist.
Auch in diesem Fall kannst Du Dir wieder das Eingangsbeispiel anschauen.
Es wurde bereits herausgefunden, dass die Funktion 
mit 
zwei Wendepunkte in den Stellen 
und 
besitzt.
Zusätzlich wurde bereits die Werte der dritten Ableitung 
an diesen Stellen berechnet.
Damit existiert an der Stelle 
ein Wendepunkt (LRW) mit positiver Steigung und an der Stelle 
ein Wendepunkt (RLW) mit negativer Steigung.
Ein Sattelpunkt hat immer die Steigung 0 und somit weder eine positive noch eine negative Steigung. Zusätzlich kann er sowohl von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergehen oder umgekehrt.
Da Du nun bereits das notwendige und hinreichende Kriterium für Wendestellen kennst, kannst Du Dich an folgendem Rezept orientieren, um Wendepunkte zu berechnen.
nach 
auflösen
für jedes 
ermitteln
in die Funktion
einsetzen und 
berechnenSchritt 2 und 3 können mehrmals durchgeführt werden, wenn die Funktion 
mehrere Wendepunkte besitzt.
Beim Eingangsbeispiel fehlen jetzt noch die passenden y-Werte zu den Wendestellen.
Dazu werden die Wendestellen 
und 
in die Funktion 
mit 
eingesetzt.
Damit existiert ein Links-Rechts-Wendepunkt 
und ein Rechts-Links-Wendepunkt 
.
Abbildung 2: Schaubild des Eingangsbeispiels
Super, jetzt hast Du Deine Hausaufgaben gelöst. Wenn Du Deine Kenntnisse noch mehr festigen willst, kannst Du Dir im folgenden Abschnitt noch zwei weitere Übungen anschauen.
Existiert ein Wendepunkt mit 
, dann wird der x-Wert dieses Punktes 
auch Wendestelle genannt.Der y-Wert dieses Punktes 
wird auch Wendewert genannt.
Notwendiges und hinreichendes Kriterium für eine Wendestelle
Für die zweite Ableitung 
einer Funktion 
an der Stelle 
gilt als notwendiges Kriterium für eine Wendestelle: 
Die notwendige Bedingung reicht noch nicht, um zu sagen, dass an der Stelle 
eine Wendestelle existiert. Zusätzlich zur notwendigen Bedingung muss die hinreichende Bedingung erfüllt sein.
Für die dritte Ableitung 
einer Funktion 
an der Stelle 
gilt als hinreichendes Kriterium für...
Dies kann auch durch einen Vorzeichenwechsel überprüft werden. Liegt bei 
ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor, dann existiert an dieser Stelle ein LRW. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, dann existiert an dieser Stelle ein RLW.
Sonderfall Sattelpunkt
Wenn die dritte Ableitung 
ist, besteht trotzdem die Möglichkeit, dass ein Wendepunkt vorliegt. Hierfür wird dann die erste Ableitung 
an der Stelle 
betrachtet.
Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn für die Stelle 
gilt: 
Dieser Punkt ist KEIN Extrempunkt, sondern ein Wendepunkt.
Berechnen eines Wendepunktes
nach auflösen für jedes ermitteln in die Funktion einsetzen und berechnen
nach 
auflösen
für jedes 
ermitteln
in die Funktion
einsetzen und 
berechnenWendepunkte sind Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion 
verändert.
Wendepunkte liegen an den Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion verändert.
Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.
Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.
Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.
Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.
Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.
Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.
Kenne deine Schwächen und Stärken.
Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.
Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.
Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.
Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
