Wie wird der Wendepunkt berechnet?

Notwendiges Kriteriumf''(x0)=0 nach x0 auflösenHinreichendes Kriteriumf'''(x0) für jedes x0ermittelnLRW, wenn f'''(x0) < 0RLW, wenn f'''(x0) > 0Sattelpunkt, wenn f'''(x0) = 0 & f'(x0) = 0Berechnen des y-Werts des Wendepunktesx0 in die Funktion f(x) einsetzen und f(x0) berechnen

Welcher Anstieg liegt im Wendepunkt vor?

Bei einem Sattelpunkt ist die Steigung 0.Ein Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) hat eine positive Steigung.Ein Links-Rechts-Wendepunkt (RLW) hat eine negative Steigung.

Wendepunkt berechnen

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Du sitzt an Deinen Hausaufgaben und sollst alle Wendepunkte der folgenden Funktion $f (x)$ bestimmen.

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 2 x$

Ratlos suchst Du im Internet nach Unterstützung. Erleichtert seufzt Du auf, denn Du triffst auf diese Erklärung. Deine Hausaufgaben sind gerettet.

Kurvendiskussion – Wendepunkte einer Funktion berechnen

Wendepunkte sind Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion $f (x)$ verändert.

Existiert ein Wendepunkt mit $(x_{0} | f (x_{0}))$ , dann wird der x-Wert dieses Punktes $x_{0}$ auch Wendestelle genannt.

Der y-Wert dieses Punktes $f (x_{0})$ wird auch Wendewert genannt.

Doch welche Kriterien müssen für einen Wendepunkt erfüllt sein?

Wendepunkt berechnen – Notwendige Bedingung

Um die notwendige Bedingung zu überprüfen, wird die zweite Ableitung $f'' (x)$ einer Funktion $f (x)$ gebildet.

Für die zweite Ableitung $f'' (x)$ einer Funktion $f (x)$ an der Stelle $x_{0}$ gilt als notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt:

$f'' (x_{0}) = 0$

Überprüfe die notwendige Bedingung an dem Eingangsbeispiel.

Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 2 x$ . Dafür wird zuerst die erste und zweite Ableitung benötigt.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 2 \\ f'' (x) & = & x^{2} + 2 x - 3 \end{array}$

Setze nun die zweite Ableitung $f'' (x)$ gleich 0.

$\begin{array}{rclcl} f' (x) = \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} 2 \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} 2 \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} 3 \end{array} & = & 0 & | & a b c - F o r m e l \\ \begin{array}{rcl} x_{0 / 1} \end{array} & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1} \\ \begin{array}{rcl} x_{0 / 1} \end{array} & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\ \begin{array}{rcl} x_{0 / 1} \end{array} & = & \frac{- 2 \pm 4}{2} \\ x_{0} & = & - 3 \\ x_{1} & = & 1 \end{array}$

Die notwendige Bedingung ist also für $\begin{array}{rcl} x_{0} & = & - 3 \end{array}$ und $\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 1 \end{array}$ erfüllt.

Die notwendige Bedingung reicht noch nicht, um zu sagen, dass an der Stelle $x_{0}$ eine Wendestelle existiert.

Wendepunkt berechnen – Hinreichende Bedingung

Zusätzlich zur notwendigen Bedingung muss die hinreichende Bedingung erfüllt sein.

An dieser Stelle wird der Wendepunkt unabhängig von seiner Steigung betrachtet. Dies wird an späterer Stelle ausführlich behandelt.

Für die dritte Ableitung $f''' (x)$ einer Funktion $f (x)$ an der Stelle $x_{0}$ gilt als hinreichendes Kriterium für einen Wendepunkt:

$f''' (x_{0}) \neq 0$

Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Wendepunktes ist die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle $x_{0}$ . Liegt dort ein Vorzeichenwechsel vor, dann existiert an dieser Stelle ein Wendepunkt.

Dieses Vorgehen bietet sich meist dann an, wenn ein Schaubild gegeben oder die Bildung der dritten Ableitung deutlich aufwendiger ist.

Überprüfe jetzt auch die hinreichende Bedingung für das Eingangsbeispiel.

Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 2 x$ . Dafür wird die dritte Ableitung $f''' (x)$ benötigt.

$\begin{array}{rcl} f''' (x) & = & 2 x + 2 \end{array}$

Nun kannst Du $x_{0} = - 3$ und $x_{1} = 1$ in die dritte Ableitung $f''' (x)$ einsetzen.

$\begin{array}{cclcrcl} \begin{array}{rcl} f''' (- 3) \end{array} & = & \begin{array}{rcl} 2 \cdot (- 3) + 2 \end{array} & und & f''' (1) & = & \begin{array}{rcl} 2 \cdot 1 + 2 \end{array} \\ = & \begin{array}{rcl} - 6 + 2 \end{array} & = & \begin{array}{rcl} 2 + 2 \end{array} \\ = & \begin{array}{rcl} - 4 & \neq & 0 \end{array} & = & \begin{array}{rcl} 4 & \neq & 0 \end{array} \end{array}$

Dementsprechend existieren an den Stellen $x_{0} = - 3$ und $x_{1} = 1$ Wendepunkte.

Da die Bedingung, dass $f''' (x) \neq 0$ für einen Wendepunkt sein muss, nur hinreichend ist, kann es sein, dass es vorkommt, dass $f''' (x) = 0$ ist.

Sonderfall Sattelpunkt

Doch was passiert, wenn die dritte Ableitung $f''' (x_{0}) = 0$ ist? In diesem Fall besteht trotzdem die Möglichkeit, dass ein Wendepunkt vorliegt. Hierfür wird dann zusätzlich die erste Ableitung $f' (x)$ an der Stelle $x_{0}$ betrachtet.

Damit Du eine bessere Vorstellung von einem Sattelpunkt bekommst, kannst Du Dir die folgende Abbildung anschauen.

Wendepunkt berechnen Graph Sattelpunkt StudySmarter Abbildung 1: Graph eines Sattelpunktes

Schau Dir jetzt das Ganze noch einmal mathematisch formuliert an.

Wenn für die Stelle $x_{0}$

$\begin{array}{rcl} f' (x_{0}) & = & 0 & f'' (x_{0}) = 0 & f''' (x_{0}) = 0 \end{array}$

gilt, existiert ein Sattelpunkt.

Achtung! Fälschlicherweise wird der Sattelpunkt oftmals als Extrempunkt interpretiert. Der Sattelpunkt ist aber ein Wendepunkt und KEIN Extrempunkt.

Das beste Beispiel für einen Sattelpunkt ist die Funktion $f (x) = x^{3}$ .

Das Schaubild der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = x^{3}$ sieht folgendermaßen aus:

Wendepunkte berechnen Sattelpunkt Funktion x hoch 3 StudySmarter Abbildung 2: Schaubild einer Funktion 3. Grades mit Sattelpunkt

Es ist zu erkennen, dass die Funktion bei $x_{0} = 0$ einen Sattelpunkt besitzt.

Bilde zunächst die erste, zweite und dritte Ableitung.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 4 x^{3} \\ f'' (x) & = & 12 x^{2} \\ f''' (x) & = & 24 x \end{array}$

Wende als Nächstes das notwendige Kriterium an.

$\begin{array}{rcl} f'' (x_{0}) & = & 0 \\ 12 {x_{0}}^{2} & = & 0 \\ {x_{0}}^{2} & = & 0 \\ x_{0} & = & 0 \end{array}$

Versuche nun das hinreichende Kriterium anzuwenden.

$\begin{array}{rcl} f''' (0) & = & 24 \cdot 0 \\ = & 0 \end{array}$

In diesem Fall ist auch die dritte Ableitung gleich 0. Hier greift die Möglichkeit, die erste Ableitung $f' (x)$ an der Stelle $x_{0} = 0$ zu betrachten.

$\begin{matrix} f' (0) & = & 4 \cdot 0^{3} \\ = & 0 \end{matrix}$

Damit sind alle drei Bedingungen für einen Sattelpunkt erfüllt und es handelt sich demnach um einen Wendepunkt, genauer gesagt Sattelpunkt, an der Stelle $x_{0} = 0$ .

Steigung im Wendepunkt berechnen – Rechts-Links-Wendepunkt

Bei Wendepunkten kann noch zwischen einem Wendepunkt mit positiver und negativer Steigung unterschieden werden. Ein Wendepunkt mit positiver Steigung wird auch Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) und ein Wendepunkt mit negativer Steigung wird auch Links-Rechts-Wendepunkt (LRW) genannt. Die Bezeichnungen kommen daher, weil ein RLW von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung führt - bei einem LRW ist es umgekehrt.

Um den Unterschied von einem LRW und einem RLW zu erkennen, schau Dir dazu ein kurzes Beispiel an.

Es wurde bereits berechnet, dass die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 2 x$ bei $x_{0} = - 3$ und $x_{1} = 1$ Wendestellen besitzt. Schau Dir dazu nun das Schaubild der Funktion $f (x)$ an.

Wendepunkt berechnen Schaubild Eingangsbeispiel StudySmarter Abbildung 3: Schaubild des Eingangsbeispiels

Es ist zu erkennen, dass an der Stelle $x_{0}$ die Funktion $f (x)$ eine positive Steigung besitzt, somit existiert an dieser Stelle ein LRW. Gleichzeitig ist zu erkennen, dass an der Stelle $x_{1}$ die Funktion $f (x)$ eine negative Steigung besitzt, deshalb existiert an dieser Stelle ein RLW.

Doch was bedeutet der LRW und der RLW für das hinreichende Kriterium?

Für die zweite Ableitung $f''' (x)$ einer Funktion $f (x)$ an der Stelle $x_{0}$ gilt als hinreichendes Kriterium für...

... einen Links-Rechts-Wendepunkt (LRW) mit positiver Steigung:

$f''' (x_{0}) < 0$

... einen Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) mit negativer Steigung:

$f''' (x_{0}) > 0$

Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines LRW oder RLW ist die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle $x_{0}$ . Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor, dann existiert an dieser Stelle ein LRW. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, dann existiert an dieser Stelle ein RLW.

Dieses Vorgehen bietet sich meist dann an, wenn ein Schaubild gegeben oder die Bildung der dritten Ableitung deutlich aufwendiger ist.

Auch in diesem Fall kannst Du Dir wieder das Eingangsbeispiel anschauen.

Es wurde bereits herausgefunden, dass die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 2 x$ zwei Wendepunkte in den Stellen $x_{0} = - 3$ und $x_{1} = 1$ besitzt.

Zusätzlich wurde bereits die Werte der dritten Ableitung $f''' (x)$ an diesen Stellen berechnet.

$\begin{array}{rclllcl} \begin{array}{rcl} f''' (- 3) \end{array} & = & \begin{array}{rcl} - 4 \end{array} & < & 0 & \Rightarrow & L R W \\ f''' (1) & = & 4 & > & 0 & \Rightarrow & R L W \end{array}$

Damit existiert an der Stelle $x_{0} = - 3$ ein Wendepunkt (LRW) mit positiver Steigung und an der Stelle $x_{1} = 1$ ein Wendepunkt (RLW) mit negativer Steigung.

Ein Sattelpunkt hat immer die Steigung 0 und somit weder eine positive noch eine negative Steigung. Zusätzlich kann er sowohl von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergehen oder umgekehrt.

Wendepunkt – x- und y-Wert berechnen

Da Du nun bereits das notwendige und hinreichende Kriterium für Wendestellen kennst, kannst Du Dich an folgendem Rezept orientieren, um Wendepunkte zu berechnen.

Notwendiges Kriterium
- $f'' (x_{0}) = 0$ nach $x_{0}$ auflösen
Hinreichendes Kriterium
- f'''x0 für jedes x0ermitteln
  - LRW, wenn $f''' (x_{0}) < 0$
  - RLW, wenn $f''' (x_{0}) > 0$
  - Sattelpunkt, wenn $f''' (x_{0}) = 0 & f' (x_{0}) = 0$
Berechnen des y-Werts des Wendepunktes
- $x_{0}$ in die Funktion $f (x)$ einsetzen und $f (x_{0})$ berechnen

Schritt 2 und 3 können mehrmals durchgeführt werden, wenn die Funktion $f (x)$ mehrere Wendepunkte besitzt.

Wendepunkt berechnen – Aufgabe

Beim Eingangsbeispiel fehlen jetzt noch die passenden y-Werte zu den Wendestellen.

Dazu werden die Wendestellen $x_{0} = - 3$ und $x_{1} = 1$ in die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 2 x$ eingesetzt.

\begin{array}{rlcrl}f(-3)&=\frac{1}{12} \cdot (-3)^4+ \frac{1}{3} \cdot (-3)^3 - \frac{3}{2} \cdot (-3)^2 - 2 \cdot (-3) & \text {und} & f(1)&=\frac{1}{12} \cdot 1^4+ \frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{3}{2} \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 \\ &=\frac{1}{12} \cdot 81+ \frac{1}{3} \cdot (-27) - \frac{3}{2} \cdot 9 - 2 \cdot (-3) & & &=\frac{1}{12}+ \frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 2 \\ &=\frac{27}{4} -9 - \frac{27}{2} +6 & & &=- \frac{37}{12} \approx -3,08 \\ &=-\frac{39}{4} \approx -9,75 & & &\\\end{array}

Damit existiert ein Links-Rechts-Wendepunkt $L R W (- 3 | - 9, 75)$ und ein Rechts-Links-Wendepunkt $R L W (1 - \frac{37}{12})$ .

Wendepunkt berechnen Schaubild Eingangsbeispiel StudySmarter Abbildung 4: Wendepunkte des Eingangsbeispiels

Super, jetzt hast Du Deine Hausaufgaben gelöst.

Wendepunkt berechnen – Das Wichtigste

Existiert ein Wendepunkt mit $(x_{0} | f (x_{0}))$ , dann wird der x-Wert dieses Punktes $x_{0}$ auch Wendestelle genannt.
Berechnen eines Wendepunktes
1. Notwendiges Kriterium
  - $f'' (x_{0}) = 0$ nach $x_{0}$ auflösen
2. Hinreichendes Kriterium
  - f'''x0 für jedes x0ermitteln
    - LRW, wenn $f''' (x_{0}) < 0$
    - RLW, wenn $f''' (x_{0}) > 0$
    - Dies kann auch durch einen Vorzeichenwechsel von $f'' (x)$ überprüft werden. Liegt bei $x_{0}$ ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor, dann existiert an dieser Stelle ein LRW. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, dann existiert an dieser Stelle ein RLW.
    - Sattelpunkt, wenn $f''' (x_{0}) = 0 & f' (x_{0}) = 0$
3. Berechnen des y-Werts des Wendepunktes
  - $x_{0}$ in die Funktion $f (x)$ einsetzen und $f (x_{0})$ berechnen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wendepunkt berechnen

Notwendiges Kriterium
- f''(x₀)=0 nach x₀ auflösen
Hinreichendes Kriterium
- f'''(x₀) für jedes x₀ermitteln
  - LRW, wenn f'''(x₀) < 0
  - RLW, wenn f'''(x₀) > 0
  - Sattelpunkt, wenn f'''(x₀) = 0 & f'(x₀) = 0
Berechnen des y-Werts des Wendepunktes
- x₀ in die Funktion f(x) einsetzen und f(x₀) berechnen

Wendepunkte sind Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion f(x) verändert.

Wendepunkte liegen an den Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion f(x) verändert.

Bei einem Sattelpunkt ist die Steigung 0.
Ein Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) hat eine positive Steigung.
Ein Links-Rechts-Wendepunkt (RLW) hat eine negative Steigung.

Finales Wendepunkt berechnen Quiz

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Frage

Identifiziere die richtige Aussage.

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Antwort

Ein Sattelpunkt ist ein Extrempunkt.

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Frage

Gib die Bedeutung von LRW und RLW an.

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Antwort

Ein Wendepunkt mit positiver Steigung wird auch Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) und ein Wendepunkt mit negativer Steigung wird auch Links-Rechts-Wendepunkt (LRW) genannt. Die Bezeichnungen kommen daher, weil ein RLW von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung führt - bei einem LRW ist es umgekehrt.

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Sonderfall Sattelpunkt

Steigung im Wendepunkt berechnen – Rechts-Links-Wendepunkt

Wendepunkt – x- und y-Wert berechnen

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Wendepunkt berechnen – Das Wichtigste

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Wie wird der Wendepunkt berechnet?

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Wo liegen die Wendepunkte?

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