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Du sitzt an Deinen Hausaufgaben und sollst alle Wendepunkte der folgenden Funktion bestimmen.
Ratlos suchst Du im Internet nach Unterstützung. Erleichtert seufzt Du auf, denn Du triffst auf diese Erklärung. Deine Hausaufgaben sind gerettet.
Wendepunkte sind Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion verändert.
Existiert ein Wendepunkt mit , dann wird der x-Wert dieses Punktes
auch Wendestelle genannt.
Der y-Wert dieses Punktes wird auch Wendewert genannt.
Doch welche Kriterien müssen für einen Wendepunkt erfüllt sein?
Um die notwendige Bedingung zu überprüfen, wird die zweite Ableitung einer Funktion
gebildet.
Für die zweite Ableitung einer Funktion
an der Stelle
gilt als notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt:
Überprüfe die notwendige Bedingung an dem Eingangsbeispiel.
Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion mit
. Dafür wird zuerst die erste und zweite Ableitung benötigt.
Setze nun die zweite Ableitung gleich 0.
Die notwendige Bedingung ist also für und
erfüllt.
Die notwendige Bedingung reicht noch nicht, um zu sagen, dass an der Stelle eine Wendestelle existiert.
Zusätzlich zur notwendigen Bedingung muss die hinreichende Bedingung erfüllt sein.
An dieser Stelle wird der Wendepunkt unabhängig von seiner Steigung betrachtet. Dies wird an späterer Stelle ausführlich behandelt.
Für die dritte Ableitung einer Funktion
an der Stelle
gilt als hinreichendes Kriterium für einen Wendepunkt:
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Wendepunktes ist die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle . Liegt dort ein Vorzeichenwechsel vor, dann existiert an dieser Stelle ein Wendepunkt.
Dieses Vorgehen bietet sich meist dann an, wenn ein Schaubild gegeben oder die Bildung der dritten Ableitung deutlich aufwendiger ist.
Überprüfe jetzt auch die hinreichende Bedingung für das Eingangsbeispiel.
Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion mit
. Dafür wird die dritte Ableitung
benötigt.
Nun kannst Du und
in die dritte Ableitung
einsetzen.
Dementsprechend existieren an den Stellen und
Wendepunkte.
Da die Bedingung, dass für einen Wendepunkt sein muss, nur hinreichend ist, kann es sein, dass es vorkommt, dass
ist.
Doch was passiert, wenn die dritte Ableitung ist? In diesem Fall besteht trotzdem die Möglichkeit, dass ein Wendepunkt vorliegt. Hierfür wird dann zusätzlich die erste Ableitung
an der Stelle
betrachtet.
Damit Du eine bessere Vorstellung von einem Sattelpunkt bekommst, kannst Du Dir die folgende Abbildung anschauen.
Abbildung 1: Graph eines Sattelpunktes
Schau Dir jetzt das Ganze noch einmal mathematisch formuliert an.
Wenn für die Stelle
gilt, existiert ein Sattelpunkt.
Achtung! Fälschlicherweise wird der Sattelpunkt oftmals als Extrempunkt interpretiert. Der Sattelpunkt ist aber ein Wendepunkt und KEIN Extrempunkt.
Das beste Beispiel für einen Sattelpunkt ist die Funktion .
Das Schaubild der Funktion mit
sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 2: Schaubild einer Funktion 3. Grades mit Sattelpunkt
Es ist zu erkennen, dass die Funktion bei einen Sattelpunkt besitzt.
Bilde zunächst die erste, zweite und dritte Ableitung.
Wende als Nächstes das notwendige Kriterium an.
Versuche nun das hinreichende Kriterium anzuwenden.
In diesem Fall ist auch die dritte Ableitung gleich 0. Hier greift die Möglichkeit, die erste Ableitung an der Stelle
zu betrachten.
Damit sind alle drei Bedingungen für einen Sattelpunkt erfüllt und es handelt sich demnach um einen Wendepunkt, genauer gesagt Sattelpunkt, an der Stelle .
Bei Wendepunkten kann noch zwischen einem Wendepunkt mit positiver und negativer Steigung unterschieden werden. Ein Wendepunkt mit positiver Steigung wird auch Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) und ein Wendepunkt mit negativer Steigung wird auch Links-Rechts-Wendepunkt (LRW) genannt. Die Bezeichnungen kommen daher, weil ein RLW von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung führt - bei einem LRW ist es umgekehrt.
Um den Unterschied von einem LRW und einem RLW zu erkennen, schau Dir dazu ein kurzes Beispiel an.
Es wurde bereits berechnet, dass die Funktion mit
bei
und
Wendestellen besitzt. Schau Dir dazu nun das Schaubild der Funktion
an.
Abbildung 3: Schaubild des Eingangsbeispiels
Es ist zu erkennen, dass an der Stelle die Funktion
eine positive Steigung besitzt, somit existiert an dieser Stelle ein LRW. Gleichzeitig ist zu erkennen, dass an der Stelle
die Funktion
eine negative Steigung besitzt, deshalb existiert an dieser Stelle ein RLW.
Doch was bedeutet der LRW und der RLW für das hinreichende Kriterium?
Für die zweite Ableitung einer Funktion
an der Stelle
gilt als hinreichendes Kriterium für...
... einen Links-Rechts-Wendepunkt (LRW) mit positiver Steigung:
... einen Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) mit negativer Steigung:
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines LRW oder RLW ist die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle . Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor, dann existiert an dieser Stelle ein LRW. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, dann existiert an dieser Stelle ein RLW.
Dieses Vorgehen bietet sich meist dann an, wenn ein Schaubild gegeben oder die Bildung der dritten Ableitung deutlich aufwendiger ist.
Auch in diesem Fall kannst Du Dir wieder das Eingangsbeispiel anschauen.
Es wurde bereits herausgefunden, dass die Funktion mit
zwei Wendepunkte in den Stellen
und
besitzt.
Zusätzlich wurde bereits die Werte der dritten Ableitung an diesen Stellen berechnet.
Damit existiert an der Stelle ein Wendepunkt (LRW) mit positiver Steigung und an der Stelle
ein Wendepunkt (RLW) mit negativer Steigung.
Ein Sattelpunkt hat immer die Steigung 0 und somit weder eine positive noch eine negative Steigung. Zusätzlich kann er sowohl von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergehen oder umgekehrt.
Da Du nun bereits das notwendige und hinreichende Kriterium für Wendestellen kennst, kannst Du Dich an folgendem Rezept orientieren, um Wendepunkte zu berechnen.
Schritt 2 und 3 können mehrmals durchgeführt werden, wenn die Funktion mehrere Wendepunkte besitzt.
Beim Eingangsbeispiel fehlen jetzt noch die passenden y-Werte zu den Wendestellen.
Dazu werden die Wendestellen und
in die Funktion
mit
eingesetzt.
\begin{array}{rlcrl}f(-3)&=\frac{1}{12} \cdot (-3)^4+ \frac{1}{3} \cdot (-3)^3 - \frac{3}{2} \cdot (-3)^2 - 2 \cdot (-3) & \text {und} & f(1)&=\frac{1}{12} \cdot 1^4+ \frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{3}{2} \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 \\ &=\frac{1}{12} \cdot 81+ \frac{1}{3} \cdot (-27) - \frac{3}{2} \cdot 9 - 2 \cdot (-3) & & &=\frac{1}{12}+ \frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 2 \\ &=\frac{27}{4} -9 - \frac{27}{2} +6 & & &=- \frac{37}{12} \approx -3,08 \\ &=-\frac{39}{4} \approx -9,75 & & &\\\end{array}
Damit existiert ein Links-Rechts-Wendepunkt und ein Rechts-Links-Wendepunkt
.
Abbildung 4: Wendepunkte des Eingangsbeispiels
Super, jetzt hast Du Deine Hausaufgaben gelöst.
Existiert ein Wendepunkt mit , dann wird der x-Wert dieses Punktes
auch Wendestelle genannt.
Berechnen eines Wendepunktes
Wendepunkte sind Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion f(x) verändert.
Wendepunkte liegen an den Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion f(x) verändert.
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