Parameter sind ein wichtiger Bestandteil von Funktionen. Wie sie sich auf die Funktion auswirken, welche verschiedenen Fälle gibt es dabei und worin unterscheidet sich der Parameter eigentlich von der Variable?
Parameter – Definition & Bedeutung
Wenn dir Parameter begegnen, sind diese oft bezeichnet mit a1, a2, … oder a, b, c und so weiter. Du kannst sie dir vorstellen wie eine Art Stellschraube, welche die Funktion verschiebt oder in ihrer Form verändert, während sie den typischen Charakter der Funktionsart beibehält.
Parameter stehen mit Variablen in Verbindung. Durch sie wird die Funktion auf eine bestimmte Art und Weise transformiert. Parameter besitzen wie die Variablen keinen festen Wert, werden bei Umformungen allerdings so behandelt.
a und d sind Parameter in der Funktion ![]()
![]()
Parameter – Gleichungen
Es kommt vor, dass du eine Funktion mit Parametern gegeben hast. Möchtest du diese umformen, ableiten usw. ist es wichtig, dass du sie wie eine Zahl behandelst. Du kannst also so tun, als hättest du statt dem Parameter eine Zahl gegeben.
So ist z. B. die Ableitung von
![]()
![]()
und nicht
![]()
Parameter – Streckung und Stauchung
Wenn du deine Funktion![]()
strecken oder stauchen möchtest, hast du zwei Möglichkeiten dies durch Parameter zu tun.
Streckung und Stauchung der Funktion: g(x) = a · f(x)
Wir betrachten die Funktion ![]()
. Möchten wir diese strecken, wählen wir den Parameter a mit |a|>1. Beispielsweise wählen wir![]()
. Wir erhalten so die transformierte Funktion.
![]()
Abbildung 1: Streckung von f(x)
Skalierung von x: g(x) = f(b · x)
Die Skalierung von x ist eine zweite Möglichkeit eine Funktion![]()
zu strecken oder zu stauchen.
Die Skalierung von x deiner Funktion![]()
erreichst du, indem du den Parameter b so zu deiner Funktion![]()
hinzufügst:
![]()
Die Fälle, welche unterschieden werden können, ähneln denen der Stauchung oder Streckung:
- Ist |b| < 1 handelt es sich um eine Stauchung der Funktion
![]()
- Mit |b| > 1 wird die Funktion
![]()
gestreckt. - Im Fall b < 0 wird die Funktion
![]()
an der x-Achse gespiegelt.
Die Funktion f, für welche wir x skalieren wollen, ist![]()
. Wir fügen den Parameter b so hinzu, dass die Funktion gestaucht wird. Wir wählen also ![]()
und erhalten die transformierte Funktion.
![]()
Abbildung 2: Skalierung von x
Parameter – Verschiebung
Auch bei der Verschiebung deiner Funktion![]()
können zwei Fälle unterschieden werden. Du kannst diese hoch und runter, also in y-Richtung, aber auch nach links und rechts, in x-Richtung, verschieben.
Verschiebung in x-Richtung: g(x) = f(x + c)
Du kannst deine Funktion![]()
nicht nur strecken und stauchen, sondern auch verschieben!
Möchtest du deine Funktion ![]()
auf der x-Achse verschieben, kannst du den Parameter c so in die Funktion ![]()
einfügen:
![]()
Es gilt:
- c < 0: Verschiebung auf der x-Achse nach rechts
- c > 0: Verschiebung auf der x-Achse nach links
Möchtest du die Funktion![]()
um 3 Einheiten auf der x-Achse nach links verschieben, wählst du![]()
. Du erhältst die transformierte Funktion.
![]()
Abbildung 3: Verschiebung auf der x-Achse von f(x)
Verschiebung in y-Richtung: g(x) = f(x) + d
Auch die Bewegung entlang der y-Achse ist möglich.
Um die Funktion![]()
auf der y-Achse zu verschieben, hast du die Möglichkeit den Parameter |d| so zur Funktion![]()
zu addieren:
![]()
Du unterscheidest zwei Fälle:
- d < 0: Verschiebung auf der y-Achse nach unten
- d > 0: Verschiebung auf der y-Achse nach oben
Um eine Verschiebung der Funktion![]()
um 3 Einheiten nach oben auf der y-Achse zu erreichen, wählst du![]()
. Du erhältst die transformierte Funktion.
![]()
Abbildung 4: Verschiebung von f(x) auf der y-Achse
Parameter verschiedener Funktionen
Bevor du dich damit beschäftigst, wie sich die verschiedenen Parameter auf die verschiedenen Funktionen auswirken, solltest du dir immer im Klaren sein, wie die Funktion ohne Einwirkung eines Parameters ausschaut.
Parameter – Quadratische Funktion
Die quadratische Funktion ist dir sicher schon oft begegnet. Jetzt kannst du verstehen, wie diese sich überhaupt zusammensetzt.
Die quadratische Funktion hat im Allgemeinen die Form
![]()
mit ![]()
und ![]()
Du kannst die Parameter an ihrer klassischen Bezeichnung mit a, b und c erkennen.
Im Fall der quadratischen Funktion wirken sich diese folgendermaßen aus:
- Parameter a: Der Parameter a bewirkt bei der quadratischen Funktion eine Streckung oder Stauchung. Außerdem entscheidet der Parameter a darüber, ob die Funktion nach oben oder unten geöffnet ist.
- Parameter b: Beim Parameter b gibt es gleich mehrere Möglichkeiten. Es kann eine Verschiebung nach x und gleichzeitig nach y bewirkt werden.
- Parameter c: Der Parameter c entspricht offensichtlich dem hoch oder runter Verschieben der Funktion entlang der y-Achse.
Wenn du mehr darüber wissen möchtest, wie du eine Parabel verschieben kannst, lies dir gerne unseren Artikel Quadratische Funktion verändern durch.
Parameter – Exponentialfunktion
Auch bei der Exponentialfunktion finden Parameter ihre Anwendung.
Exponentialfunktionen haben die Form:
![]()
mit ![]()
und ![]()
.
Bei Exponentialfunktionen findet oft die Streckung oder Stauchung Anwendung. Dafür wird ein Parameter b so hinzugefügt:
![]()
a heißt auch Wachstums- oder Zerfallsfaktor.
Wie du oben gelernt hast, hängt es vom Wert von b ab, wie die Funktion sich verändert.
Was dir bei der Exponentialfunktion auch häufig begegnet, ist die Skalierung von x.
![]()
Natürlich können auch die anderen beiden Transformationen vorkommen oder in Kombination auftreten.
Parameter – Sinusfunktion
Genau, wie bei den obigen Funktionen besteht auch bei der Sinusfunktion die Möglichkeit diese auf verschiedene Art und Weise zu transformieren.
Möchtest du die Sinusfunktion mit Parametern verändern, kannst du auf die allgemeine Form zurückgreifen:
![]()
Die Parameter haben hier die Wirkung, wie wir sie oben beschrieben haben.
- Parameter a: Streckung oder Stauchung
- Parameter b: Skalierung von x
- Parameter c: Verschiebung in x-Richtung
- Parameter d: Verschiebung in y-Richtung
Du betrachtest die verschieden transformierten Sinusfunktionen![]()
und![]()
, neben der normalen Sinusfunktion![]()
.
Abbildung 7: Sinusfunktion
Die Funktion g(x) ist gestaucht mit dem Faktor![]()
.
Die Funktion h(x) ist um 1 nach rechts auf der x-Achse und um 3 nach oben auf der y-Achse verschoben.
Über die Parameter in der Sinusfunktion gibt es übrigens auch einen eigenen Artikel. Diesen findest du im Kapitel zu den trigonometrischen Funktionen.
Parameter – Übungsaufgaben
Damit du überprüfen kannst, ob du die Theorie auch anwenden kannst, hier zwei Übungsaufgaben für dich:
Aufgabe 1
Dir ist diese Funktion gegeben:
![]()
Füge einen Parameter so hinzu, dass die Funktion![]()
auf der x-Achse um 2 Einheiten nach rechts verschoben wird.
Lösung
Um die Funktion![]()
um 2 Einheiten auf der x-Achse nach rechts zu verschieben, wählst du einen Parameter![]()
und fügst ihn wie folgt in die Funktion![]()
ein:
![]()
Aufgabe 2
Welche Parameter sind in der Funktion![]()
zu finden und welche Wirkung haben sie auf die Funktion?
![]()
Lösung
In der Funktion![]()
sind folgende Parameter auszumachen:
- Parameter
![]()
wirkt eine Streckung der Funktion![]()
in y-Richtung. - Parameter
![]()
verschiebt die Funktion auf der x-Achse um eine Einheit nach links. - Parameter
![]()
verschiebt die Funktion auf der y-Achse um 12 Einheiten nach unten.
Parameter - Das Wichtigste
- Parameter stehen mit Variablen in Verbindung
- Sie transformieren die Funktion auf bestimmte Art und Weise
- Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, Funktionen durch Parameter zu transformieren
- Du kannst eine Funktion
![]()
durch den Parameter a strecken oder stauchen:![]()
- Mit dem Parameter b kannst du das x der Funktion
![]()
skalieren:![]()
- Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Funktion
![]()
in x-Richtung: ![]()
- In y-Richtung kann die Funktion
![]()
durch den Parameter d verschoben werden: ![]()
- Parameter können auf alle beliebigen Funktionen
![]()
angewendet werden wie z. B. die quadratische Funktion oder Exponentialfunktion
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