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Parameter

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Mathe

Parameter sind ein wichtiger Bestandteil von Funktionen. Wie sie sich auf die Funktion auswirken, welche verschiedenen Fälle gibt es dabei und worin unterscheidet sich der Parameter eigentlich von der Variable?

Parameter – Definition & Bedeutung

Parameter Definition Bedeutung StudySmarter

Wenn dir Parameter begegnen, sind diese oft bezeichnet mit a1, a2, … oder a, b, c und so weiter. Du kannst sie dir vorstellen wie eine Art Stellschraube, welche die Funktion verschiebt oder in ihrer Form verändert, während sie den typischen Charakter der Funktionsart beibehält.

Parameter stehen mit Variablen in Verbindung. Durch sie wird die Funktion auf eine bestimmte Art und Weise transformiert. Parameter besitzen wie die Variablen keinen festen Wert, werden bei Umformungen allerdings so behandelt.

a und d sind Parameter in der Funktion

Parameter Funktionen StudySmarter

Parameter – Gleichungen

Es kommt vor, dass du eine Funktion mit Parametern gegeben hast. Möchtest du diese umformen, ableiten usw. ist es wichtig, dass du sie wie eine Zahl behandelst. Du kannst also so tun, als hättest du statt dem Parameter eine Zahl gegeben.

So ist z. B. die Ableitung von

Parameter Gleichungen StudySmarter

Parameter Gleichungen StudySmarter

und nicht

Parameter Gleichungen StudySmarter

Parameter – Streckung und Stauchung

Wenn du deine Funktionstrecken oder stauchen möchtest, hast du zwei Möglichkeiten dies durch Parameter zu tun.

Streckung und Stauchung der Funktion: g(x) = a · f(x)

Die Streckung oder Stauchung einer Funktionerreichst du, indem du den Parameter a folgendermaßen auf die Funktionanwendest:

Parameter Streckung und Stauchung StudySmarter

Die transformierte Funktion benennen wir mit

Je nachdem, welchen Wert a hat, werden folgende Fälle unterschieden:

  • Ist |a| < 1, handelt es sich um eine Stauchung der Funktion
  • Mit |a| > 1 wird die Funktiongestreckt.
  • Im Fall a < 0 wird die Funktionan der x-Achse gespiegelt.

|x| spricht man "Betrag von x". Der Betrag gibt an, wie weit das x von der Null entfernt ist, sowohl im positiven als auch im negativen Bereich.

Sollte dir ein Fall vorliegen, in welchemist, wird die Funktionzusätzlich zur Streckung oder Stauchung auch an der x-Achse gespiegelt.

Wir betrachten die Funktion . Möchten wir diese strecken, wählen wir den Parameter a mit |a|>1. Beispielsweise wählen wir. Wir erhalten so die transformierte Funktion.

Parameter Streckung und Stauchung Beispiel StudySmarter

Parameter, Streckung, StudySmarter

Abbildung 1: Streckung von f(x)

Skalierung von x: g(x) = f(b · x)

Die Skalierung von x ist eine zweite Möglichkeit eine Funktionzu strecken oder zu stauchen.

Die Skalierung von x deiner Funktionerreichst du, indem du den Parameter b so zu deiner Funktion hinzufügst:

Parameter Skalierung von x StudySmarter

Die Fälle, welche unterschieden werden können, ähneln denen der Stauchung oder Streckung:

  • Ist |b| < 1 handelt es sich um eine Stauchung der Funktion
  • Mit |b| > 1 wird die Funktiongestreckt.
  • Im Fall b < 0 wird die Funktionan der x-Achse gespiegelt.

Die Funktion f, für welche wir x skalieren wollen, ist. Wir fügen den Parameter b so hinzu, dass die Funktion gestaucht wird. Wir wählen also und erhalten die transformierte Funktion.

Parameter Skalierung StudySmarter

Parameter, Skalierung von x, StudySmarter

Abbildung 2: Skalierung von x

Parameter – Verschiebung

Auch bei der Verschiebung deiner Funktionkönnen zwei Fälle unterschieden werden. Du kannst diese hoch und runter, also in y-Richtung, aber auch nach links und rechts, in x-Richtung, verschieben.

Verschiebung in x-Richtung: g(x) = f(x + c)

Du kannst deine Funktionnicht nur strecken und stauchen, sondern auch verschieben!

Möchtest du deine Funktion auf der x-Achse verschieben, kannst du den Parameter c so in die Funktion einfügen:

Parameter Verschiebung StudySmarter

Es gilt:

  • c < 0: Verschiebung auf der x-Achse nach rechts
  • c > 0: Verschiebung auf der x-Achse nach links

Möchtest du die Funktionum 3 Einheiten auf der x-Achse nach links verschieben, wählst du. Du erhältst die transformierte Funktion.

Parameter Verschiebung Beispiel StudySmarter

Parameter, Verschiebung Beispiel, StudySmarter

Abbildung 3: Verschiebung auf der x-Achse von f(x)

Verschiebung in y-Richtung: g(x) = f(x) + d

Auch die Bewegung entlang der y-Achse ist möglich.

Um die Funktionauf der y-Achse zu verschieben, hast du die Möglichkeit den Parameter |d| so zur Funktionzu addieren:

Parameter Verschiebung StudySmarter

Du unterscheidest zwei Fälle:

  • d < 0: Verschiebung auf der y-Achse nach unten
  • d > 0: Verschiebung auf der y-Achse nach oben

Um eine Verschiebung der Funktionum 3 Einheiten nach oben auf der y-Achse zu erreichen, wählst du. Du erhältst die transformierte Funktion.

Parameter Verschiebung Beispiel StudySmarter

Parameter Verschiebung Beispiel StudySmarter

Abbildung 4: Verschiebung von f(x) auf der y-Achse

Parameter verschiedener Funktionen

Bevor du dich damit beschäftigst, wie sich die verschiedenen Parameter auf die verschiedenen Funktionen auswirken, solltest du dir immer im Klaren sein, wie die Funktion ohne Einwirkung eines Parameters ausschaut.

Parameter – Quadratische Funktion

Die quadratische Funktion ist dir sicher schon oft begegnet. Jetzt kannst du verstehen, wie diese sich überhaupt zusammensetzt.

Die quadratische Funktion hat im Allgemeinen die Form

Parameter Funktionen Quadratische Funktion StudySmarter

mit und

Du kannst die Parameter an ihrer klassischen Bezeichnung mit a, b und c erkennen.

Im Fall der quadratischen Funktion wirken sich diese folgendermaßen aus:

  • Parameter a: Der Parameter a bewirkt bei der quadratischen Funktion eine Streckung oder Stauchung. Außerdem entscheidet der Parameter a darüber, ob die Funktion nach oben oder unten geöffnet ist.
  • Parameter b: Beim Parameter b gibt es gleich mehrere Möglichkeiten. Es kann eine Verschiebung nach x und gleichzeitig nach y bewirkt werden.
  • Parameter c: Der Parameter c entspricht offensichtlich dem hoch oder runter Verschieben der Funktion entlang der y-Achse.

Wir bilden beispielhaft einige quadratische Funktionen ab, damit du verstehst, wie diese transformiert werden.

Parameter Funktionen Beispiel StudySmarter, Parameter Funktionen Beispiel StudySmarter und Parameter Funktionen Beispiel StudySmarter

Parameter Funktionen Beispiel StudySmarter

Abbildung 5: Quadratische Funktionen

Du erkennst, dass die Funktiondurch den Faktorgestaucht wurde und die Funktiondurch den Faktorgestreckt wurde, wenn man diese beiden Funktionen mit der Funktionvergleicht, welche den Faktorbesitzt und somit weder gestreckt noch gestaucht wurde.

Durch den Parameterwurde die Funktionum 2 nach links und 4 nach unten verschoben. Der Parameterhat die Funktion um eine weitere Einheit auf der y-Achse nach unten verschoben.

Wenn du mehr darüber wissen möchtest, wie du eine Parabel verschieben kannst, lies dir gerne unseren Artikel Quadratische Funktion verändern durch.

Parameter – Exponentialfunktion

Auch bei der Exponentialfunktion finden Parameter ihre Anwendung.

Exponentialfunktionen haben die Form:

Parameter  Funktionen Exponentialfunktion StudySmarter

mit und .

Bei Exponentialfunktionen findet oft die Streckung oder Stauchung Anwendung. Dafür wird ein Parameter b so hinzugefügt:

Parameter  Funktionen Exponentialfunktion StudySmarter

a heißt auch Wachstums- oder Zerfallsfaktor.

Wie du oben gelernt hast, hängt es vom Wert von b ab, wie die Funktion sich verändert.

Was dir bei der Exponentialfunktion auch häufig begegnet, ist die Skalierung von x.

Parameter  Funktionen Exponentialfunktion StudySmarter

Natürlich können auch die anderen beiden Transformationen vorkommen oder in Kombination auftreten.

Du betrachtest die Exponentialfunktion und wählstund erhältst somit die Funktion

Parameter  Funktionen Exponentialfunktion StudySmarter

Anschauen möchtest du dir die Streckung der Funktionin y-Richtung. Du hast zwei Möglichkeiten diese Streckung umzusetzen.

  1. Du wählst einen Faktor a mit. Da du die Funktionstrecken willst, wählst du ein
  2. Du skalierst die Funktionmit einem Faktor c so, dass. Auch hier musst du ein wählen, damit die Funktion gestreckt wird.

Im ersten Fall wählst du zur Veranschaulichung, im zweiten Fallund wir erhalten somit die beiden transformierten Funktionen:

Parameter  Funktionen Exponentialfunktion Beispiel StudySmarter und

Parameter  Funktionen Exponentialfunktion Beispiel StudySmarter

Abbildung 6: Exponentialfunktionen

Du erkennst also leicht, dass die Funktiondurch die Skalierung von x mit dem Faktor 2 mehr gestreckt wird als durch die Streckung mit dem Faktor 5.

Parameter – Sinusfunktion

Genau, wie bei den obigen Funktionen besteht auch bei der Sinusfunktion die Möglichkeit diese auf verschiedene Art und Weise zu transformieren.

Die Sinusfunktion begegnet dir im einfachsten Fall so:

Parameter Funktionen Sinusfunktion StudySmarter

mit

Möchtest du die Sinusfunktion mit Parametern verändern, kannst du auf die allgemeine Form zurückgreifen:

Parameter Funktionen Sinusfunktion StudySmarter

Die Parameter haben hier die Wirkung, wie wir sie oben beschrieben haben.

  • Parameter a: Streckung oder Stauchung
  • Parameter b: Skalierung von x
  • Parameter c: Verschiebung in x-Richtung
  • Parameter d: Verschiebung in y-Richtung

Du betrachtest die verschieden transformierten SinusfunktionenParameter Funktionen Sinusfunktion Beispiel StudySmarterundParameter Funktionen Sinusfunktion Beispiel StudySmarter, neben der normalen SinusfunktionParameter Funktionen Sinusfunktion Beispiel StudySmarter.

Parameter Funktionen Sinusfunktion Beispiel StudySmarter

Abbildung 7: Sinusfunktion

Die Funktion g(x) ist gestaucht mit dem Faktor.

Die Funktion h(x) ist um 1 nach rechts auf der x-Achse und um 3 nach oben auf der y-Achse verschoben.

Über die Parameter in der Sinusfunktion gibt es übrigens auch einen eigenen Artikel. Diesen findest du im Kapitel zu den trigonometrischen Funktionen.

Parameter – Übungsaufgaben

Damit du überprüfen kannst, ob du die Theorie auch anwenden kannst, hier zwei Übungsaufgaben für dich:

Aufgabe 1

Dir ist diese Funktion gegeben:

Parameter Funktionen Übungsaufgaben StudySmarter

Füge einen Parameter so hinzu, dass die Funktionauf der x-Achse um 2 Einheiten nach rechts verschoben wird.

Lösung

Um die Funktionum 2 Einheiten auf der x-Achse nach rechts zu verschieben, wählst du einen Parameterund fügst ihn wie folgt in die Funktionein:

Parameter Funktionen Übungsaufgaben StudySmarter

Aufgabe 2

Welche Parameter sind in der Funktionzu finden und welche Wirkung haben sie auf die Funktion?

Parameter Funktionen Übungsaufgaben StudySmarter

Lösung

In der Funktionsind folgende Parameter auszumachen:

  • Parameterwirkt eine Streckung der Funktionin y-Richtung.
  • Parameterverschiebt die Funktion auf der x-Achse um eine Einheit nach links.
  • Parameterverschiebt die Funktion auf der y-Achse um 12 Einheiten nach unten.

Parameter - Das Wichtigste

  • Parameter stehen mit Variablen in Verbindung
  • Sie transformieren die Funktion auf bestimmte Art und Weise
  • Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, Funktionen durch Parameter zu transformieren
  • Du kannst eine Funktiondurch den Parameter a strecken oder stauchen:Parameter Funktionen StudySmarter
  • Mit dem Parameter b kannst du das x der Funktionskalieren:Parameter Funktionen StudySmarter
  • Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Funktionin x-Richtung: Parameter Funktionen StudySmarter
  • In y-Richtung kann die Funktiondurch den Parameter d verschoben werden: Parameter Funktionen StudySmarter
  • Parameter können auf alle beliebigen Funktionenangewendet werden wie z. B. die quadratische Funktion oder Exponentialfunktion

Parameter

Ein Parameter steht mit der Variable einer Funktion in Verbindung. Sie können in ihrem Wert variieren und die Funktion entsprechend transformieren.

Variable und Parameter unterscheiden sich in ihrer Funktion. Während die Variable für die charakteristische Form der Funktion sorgt, haben Parameter die Funktion diese charakteristische Funktion zu transformieren.

Parameter können eine Funktion auf verschiedene Art und Weise transformieren. Es besteht die Möglichkeit die Funktion durch Parameter zu strecken oder zu stauchen, sowie diese entweder in x- oder y-Richtung zu verschieben.

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