Punktprobe

Liegt der Punkt P auf der Funktion f(x)? Das kannst du mithilfe der sogenannten Punktprobe rechnerisch herausfinden. In diesem Artikel findest du alle wichtigen Informationen, die du zur Punktprobe wissen solltest. 

Punktprobe Punktprobe

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Punktprobe Übersicht

    Wenn du dir die Grafik einer Funktion ansiehst, dann siehst du sofort, ob ein eingezeichneter Punkt P oder P' auf dem Graphen liegt oder nicht.

    Aufgabe 1

    Punktprobe, Punkt auf Funktion, StudySmarterAbbildung 1: Liegt der Punkt auf der Funktion?

    Lösung

    Der PunktP(3|1)liegt auf der Geraden. Der PunktP'(2|-1)nicht.

    Willst du jedoch berechnen, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt, dann benötigst du die Punktprobe.

    Die Punktprobe zeigt durch Rechnung, ob ein beliebiger PunktP(x|y)Element einer Funktionf(x)ist oder nicht.

    Der Hintergrund der Punktprobe ist, dass die Funktionsgleichung für einen ihr zugehörigen Punkt und dessen x- und y-Werte aufgehen muss.

    Andersherum muss bei einem externen Punkt () ein falsches Ergebnis, beim Einsetzen der Zahlenwerte für x und y in die Gleichung, herauskommen.

    Ein Punkt ist meist in dieser Form gegeben: P(1|3).

    Zur Erinnerung: Der vordere Wert, die 1, ist die x-Stelle des Punktes. Der hintere Wert, die 3, ist der y-Wert des Punktes.

    Um am Ende anzugeben, ob der Punkt P auf der Funktionf(x)liegt, verwendet man das "Element von"-Zeichen

    () oder das "kein Element von"-Zeichen ():

    BeispielSo sprichst du es
    "P ist Element von f(x)"
    "P' ist kein Element von f(x)"

    Punktprobe Durchführung

    Beim Durchführen der Punktprobe gehst du immer nach dem gleichen Schema vor:

    Punktprobe

    1. Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

    2. Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.

    3. Geht die Gleichung auf (zum Beispiel5=5⁣), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch (), liegt der Punkt neben der Funktion.

    Anhand dieses einfachen Beispiels kannst du sehen, wie das Ganze funktioniert.

    Aufgabe 2

    Überprüfe, ob der PunktP(2|4)auf der linearen Funktion mit der Gleichungliegt.

    Merke dir: f(x) kannst du auch als y schreiben.

    Lösung

    Du vereinfachst deine Gleichung also sofort, indem du stattf(x)ein y schreibst. In dieser Form wirst du sie nämlich in der Rechnung benötigen.

    Außerdem machst du dir nochmal bewusst, welche Koordinate des Punktes für den x-Wert und den y-Wert stehen.

    Nach diesen Vorüberlegungen startest du mit der Punktprobe:

    Schritt 1:

    Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

    Für y setzt du die 4 ein, den y-Wert des Punktes P. Das x aus der Gleichung wird durch 2 ersetzt.

    Schritt 2:

    Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.

    Auf der linken Seite gibt es nichts mehr zu rechnen, hier steht eine 4. Rechts musst du den Term noch berechnen, doch auch hier ergibt sich eine 4.

    Schritt 3:

    Geht die Gleichung auf (zum Beispiel 5 = 5), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch,

    (), liegt der Punkt neben der Funktion.

    Die Gleichung ergibt, das heißt, sie ist korrekt und geht auf. Der Punkt liegt damit also auf der Funktion.

    Das gibst du jetzt noch als Antwort in folgender Form wieder:

    "P ist Element von f(x)"

    Damit hast du deine Punktprobe erfolgreich erledigt.

    Punktprobe Punktprobe Beispiel StudySmarterAbbildung 2: Punktprobe Beispiel 1

    Aufgabe 3

    Berechne, ob der PunktP(3|1)auf dem Graphen der Funktionliegt.

    Lösung

    Vorüberlegungen

    Um dir die Punktprobe zu vereinfachen, schreibst du die Funktion schon einmal in der richtigen Form auf und überlegst dir, wie der Punkt dargestellt ist.

    P(x|y) =P(3|1 )

    1. Schritt:

    Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

    Setze die gegebenen Werte statt x und y in die Gleichung ein.

    2. Schritt:

    Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.

    Auf der linken Seite ist wieder nichts zu tun. Die rechte Seite berechnest du nach den bekannten Rechenregeln.

    3. Schritt:

    Geht die Gleichung auf (zum Beispiel 5 = 5), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch, (⁣), liegt der Punkt neben der Funktion.

    Das Ergebnis deiner Rechnungenist falsch. Die Gleichung geht also nicht auf und der Punkt P liegt nicht auf der Funktion, sondern daneben.

    Das schreibst du so:

    Auch diese Punktprobe wurde erfolgreich durchgeführt.

    Punktprobe, Punktprobe Beispiel, StudySmarterAbbildung 3: Punktprobe Beispiel 2

    Punktprobe verschiedener Funktionstypen

    Grundsätzlich läuft die Punktprobe immer gleich ab. In der folgenden Tabelle kannst du dir dennoch Beispiele für jeden einzelnen Funktionstyp ansehen.

    Funktionstyp Berechnung Punktprobe
    Lineare FunktionenAufgabe:Liegt der Punkt P (4|4) auf der Funktion ?1. Schritt: x- und y-Wert in Funktionsgleichung einsetzen.2. Schritt: Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung.3. Schritt: Ergebnis auswerten.

    Punktprobe, Punktprobe Lineare Funktion, StudySmarterAbbildung 4: Punktprobe Lineare Funktion

    Quadratische Funktionen Aufgabe:Ist der Punkt R (3|2) ein Teil des Graphen der Funktion?1. Schritt:2. Schritt:3. Schritt:

    Punktprobe, Punktprobe quadratische Funktion, StudySmarter Abbildung 5: Punktprobe Quadratische Funktion

    sonstige Ganzrationale FunktionenAufgabe:Die Funktion ist gegeben. Liegt der Punkt S (2|3) auf dem Funktionsgraphen?1. Schritt:2. Schritt:3. Schritt:

    Punktprobe, Punktprobe ganzrationale Funktion, StudySmarterAbbildung 6: Punktprobe Ganzrationale Funktion

    Natürliche ExponentialfunktionAufgabe:Liegt der Punkt L (-2|2) auf der Funktion?1. Schritt:2. Schritt:3. Schritt:

    Punktprobe, Punktprobe natürliche e-Funktion, StudySmarterAbbildung 7: Punktprobe Natürliche e-Funktion

    Natürliche Logarithmusfunktion

    Aufgabe:

    Der Punkt Z (3|5) liegt auf der Funktion. Stimmt diese Aussage?

    1. Schritt:

    2. Schritt:

    3. Schritt:

    Die Aussage ist also falsch.

    Punktprobe, Punktprobe Natürliche Logarithmus Funktion, StudySmarter Abbildung 8: Punktprobe Natürliche Logarithmusfunktion

    WurzelfunktionAufgabe:Ist der Punkt T (3|2) Teil des Funktionsgraphen der Funktion?Schritt 1:Schritt 2:Schritt 3:

    Punktprobe, Wurzelfunktion, StudySmarter Abbildung 9: Punktprobe Wurzelfunktion

    SinusfunktionAufgabe:Gehört der Punkt Ozur Funktion?1. Schritt: 2. Schritt:3. Schritt:

    Punktprobe, Sinusfunktion, StudySmarterAbbildung 10: Punktprobe Sinusfunktion

    Punktprobe – Fehlende Koordinate eines Punktes berechnen

    Die Punktprobe kannst du nun, es gibt jedoch in diesem Zusammenhang noch mehr unterschiedliche Formen von Aufgaben.

    Ein weiterer Aufgabentyp, der dir auch immer wieder begegnen wird, ist die Berechnung der fehlenden Koordinate eines Punktes.

    Das heißt, du hast nur eine Koordinate (zum Beispiel die x-Koordinate) eines Punktes und eine Funktionf(x) gegeben. Die andere Koordinate (beispielsweise die y-Koordinate) musst du erst noch berechnen, damit der Punkt auf der gegebenen Funktion liegt.

    Du gehst hier nach folgendem Schema vor:

    1. Du setzt die gegebene Variable des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

    2. Danach löst du die Gleichung nach der gesuchten Koordinate des Punktes auf.

    Diese zwei Beispiele veranschaulichen dir, wie es geht.

    y-Koordinate gesucht

    Aufgabe 4

    Welche y-Koordinate muss der PunktP(1|y)haben, damit der Punkt P auf der Funktionf(x)=5x-3liegt?

    Lösung

    1. Schritt:

    Genau wie bei der Punktprobe setzt du den Punkt P in die Funktionf(x)ein, er soll ja auf der Funktion liegen. Da du ja nicht den gesamten Punkt kennst, setzt du nur das dir Bekannte ein, in diesem Fall den x-Wert. Der y-Wert bleibt frei und somit bleibt ein y in der Gleichung stehen.

    y=5·1-3

    2. Schritt:

    Nachdem jetzt noch eine Unbekannte in dem Term ist, behandelst du ihn jetzt als ganz normale Gleichung und bestimmst eine Lösung für y, und damit auch für die y-Koordinate.

    y=5-3y=2

    3. Schritt: Lösung

    Die y-Koordinate des Punktes P ist 2. Damit liegt der PunktP(1|2)auf der Funktionf(x).

    Punktprobe, Fehlende y-Koordinate berechnen, StudySmarter Abbildung 11: fehlende y-Koordinate berechnen

    x-Koordinate gesucht

    Aufgabe 5

    Welche x-Koordinate muss der PunktQ(x|8)haben, damit Q auf der Funktiong(x)=x2-1liegt?

    Lösung

    1. Schritt:

    Du setzt den Punkt Q in die Funktion g(x)ein. In diesem Fall hast du nur den y-Wert des Punktes gegeben, ihn setzt du ein. Da du den x-Wert nicht weißt, bleibt er frei.

    8=x2-1

    2. Schritt:

    Mithilfe von Äquivalenzumformungen löst du die Gleichung nach der enthaltenen Variable (x) auf.

    8=x2-1 |+19=x2 |x2=9x1=3x2=-3

    3. Schritt:

    Für die x-Koordinaten 3 und -3 liegt der Punkt Q auf der Funktiong(x). Damit liegen die gesuchten Punkte Q1=(3|8) und Q2=(-3|8)auf dem Funktionsgraphen vong(x).

    Punktprobe, fehlende x-Koordinate berechnen, StudySmarter Abbildung 13: fehlende x-Koordinate berechnen

    Punktprobe Vektoren

    Um diese Aufgaben lösen zu können, solltest du alles zu den Vektoren, Gesetze zur Vektorrechnung, Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem usw. wissen. Sieh dir dazu am besten noch einmal die jeweiligen Artikel an.

    Diese Punktprobe läuft ein wenig anders ab: Hier ist ebenfalls eine Gerade in Parameterform (siehe Artikel) gegeben und du hast das Ziel, herauszufinden, ob ein Punkt auf ihr liegt. Allerdings ist der Ablauf der Punktprobe ein wenig anders.

    Punktprobe Vektoren

    1. Setze den Punkt P als Vektor in die Geradengleichung ein (anstatt x).
    2. Stelle das Gleichungssystem auf, indem du für jede Zeile der Rechnung eine eigene Gleichung bildest.
    3. Berechne für jede der Gleichungen den Wert von t.
    4. Ist t in allen Gleichungen identisch, liegt der Punkt auf der Geraden. Gibt es einen Unterschied zwischen den t-Werten der Gleichungen, so ist der Punkt kein Teil der Geraden.

    Parameterform Gerade: f:x= (12) + λ· (34) Ortsvektor Richtungsvektor

    Punktprobe Ebene

    Diese Punktprobe ist etwas anders, denn du musst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen aufstellen und lösen.

    Aufgabe 6

    Du hast die Geradengleichung in Parameterform vor dir:

    f:x = 34 + λ · 3-2

    Liegt der PunktP(1|2)auf der Geraden?

    Lösung

    1. Schritt:

    Setze den Punkt P als Vektor in die Geradengleichung ein (anstatt x).

    12=34+λ·3-2

    2. Schritt:

    Stelle das Gleichungssystem auf, indem du für jede Zeile der Rechnung eine eigene Gleichung bildest.

    Obere Zeile: 1=3+λ·3Untere Zeile: 2=4+λ·(-2)

    3. Schritt:

    Berechne für jede der Gleichungen den Wert von λ.

    1=3+λ·3|-3-2=λ·3|:3-23=λ2=4+λ·(-2)|-4-2=λ·(-2)|:(-2)1=λ

    4. Schritt:

    λnimmt in den beiden Gleichungen einen unterschiedlichen Wert an. Damit liegt der Punkt P nicht auf der Geraden.

    Aufgabe 7

    Gegeben ist die Gleichung einer Geraden in der Ebene:

    g:x = 52 + λ · 11

    Liegt der PunktQ(2|-1)darauf?

    Lösung

    1. Schritt: Punkt Q (als Vektor) statt x in die Geradengleichung einsetzen.

    2-1=52+λ·11

    2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen.

    Obere Zeile: 2=5+λ·1Untere Zeile: -1=2+λ·1

    3. Schritt: Gleichungen lösen (für λ).

    2=5+λ·1|-5-3=λ·1λ=-3-1=2+λ·1|-2-3=λ·1λ=-3

    4. Schritt: Lösung angeben.

    Da die Werte für λ beide gleich sind, liegt der Punkt Q auf der Gerade.

    Punktprobe im Raum

    Im Raum musst du sogar ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen aufstellen, um die Punktprobe durchzuführen. Du kannst im Dreidimensionalen diesmal nicht nur überprüfen, ob der Punkt auf einer Geraden liegt, sondern auch, ob der Punkt Teil einer Ebene ist.

    So überprüfst du (genauso wie bei der Punktprobe im Zweidimensionalen), ob der Punkt auf oder neben einer Geraden liegt:

    Aufgabe 8

    Diese Gerade liegt im Raum:

    h:x=132+λ·243

    Liegt der PunktR(-1|-1|-1)auf der Geraden h?

    Lösung

    1. Schritt: Punkt R (als Vektor) statt x in die Geradengleichung von h einsetzen.

    -1-1-1=132+λ·243

    2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen.

    1. Zeile: -1=1+λ·22. Zeile: -1=3+λ·43. Zeile: -1=2+λ·3

    3. Schritt: Gleichungen lösen (für λ).

    1. Zeile:-1=1+λ·2|-1-2=2·λ|:2λ=-12. Zeile:-1=3+λ·4|-3-4=4·λ|:4λ=-13. Zeile:-1=2+λ·3|-2-3=3·λ|:3λ=-1

    4. Schritt: Lösung angeben.

    λ hat für alle Gleichungen dieselbe Lösung, deswegen liegt der Punkt R auf der Geraden.

    Aufgabe 9

    Gegeben ist die Parameterform der Geraden:

    i:x=251+λ·-31-4

    Ist der PunktS(-4|7|3)ein Teil der Gerade?

    Lösung

    1. Schritt: Punkt S (als Vektor) statt x in die Geradengleichung einsetzen.

    -473=251+λ·-31-4

    2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen.

    1. Zeile: -4=2+λ·(-3)2. Zeile: 7=5+λ·13. Zeile: 3=1+λ·(-4)

    3. Schritt: Gleichungen lösen (für λ).

    1. Zeile:-4=2+(-3)·λ|-2-6=(-3)·λ|:(-3)λ=22. Zeile:7=5+λ·1|-52=1·λλ=23. Zeile:3=1+λ·(-4)|-12=(-4)·λ|:(-4)λ=-12

    4. Schritt: Lösung angeben.

    Nicht alle λ-Werte sind gleich. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.

    Um zu testen, ob ein Punkt Teil einer Ebene ist, setzt du ihn in die Ebenengleichung ein. Das funktioniert wie folgt:

    Aufgabe 10

    Du benötigst die Ebenengleichung in der Koordinatenform (E: n1·x+n2·y+n3·z=d), mit dieser Form geht die Rechnung am einfachsten.

    Zur Wiederholung der Koordinatenform und wie du diese durch Umwandlung bekommen kannst, liest du dir am besten noch einmal den dazugehörigen Artikel durch.

    Gegeben ist die Koordinatenform der Ebene E:

    E: 3x-y+4z=12

    Sollte eine andere Form, zum Beispiel Parameterform oder Normalform, gegeben sein, musst du diese in die Koordinatenform umwandeln.

    Liegt der PunktP(5|1|-0,5)auf der Ebene?

    Lösung

    1. Schritt: Setze statt x, y und z die jeweiligen Werte des Punktes P in die Ebenengleichung ein.

    E: 3·5-1+4·(-0,5)=12

    2. Schritt: Vereinfache die Gleichung.

    3·5-1+4·(-0,5)=1215-1-2=1212=12

    3. Schritt: Lösung angeben.

    Die Gleichung geht auf, sie ist richtig. Das bedeutet der Punkt P liegt auf der Ebene E.

    Punktprobe - Das Wichtigste

    • Die Punktprobe ergibt durch Rechnung, ob ein beliebiger PunktP(x|y)Element einer Funktionf(x) ist oder nicht.

    • Durchführung der Punktprobe

      1. Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
      2. Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.
      3. Geht die Gleichung auf (zum Beispiel 5 = 5), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch (05), liegt der Punkt neben der Funktion.
    • Die Punktprobe kannst du bei allen Funktionstypen durchführen.
    • Spezialfall: Fehlende Koordinate eines Punktes berechnen:
      1. Du setzt die gegebene Variable des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
      2. Danach löst du die Gleichung nach der gesuchten Koordinate des Punktes auf.
    • Du kannst die Punktprobe auch in der Vektorrechnung durchführen. Dazu muss die Geradengleichung (Raum oder Ebene) in der Parameterform vorliegen.
    • Du gehst folgendermaßen vor:
      1. Setze den Punkt P als Vektor in die Geradengleichung ein (anstatt).

      2. Stelle das Gleichungssystem auf, indem du für jede Zeile der Rechnung eine eigene Gleichung bildest.

      3. Berechne für jede der Gleichungen den Wert von t.

      4. Ist t in allen Gleichungen identisch, liegt der Punkt auf der Geraden. Gibt es einen Unterschied zwischen den t-Werten der Gleichungen, so ist der Punkt kein Teil der Geraden.

    Häufig gestellte Fragen zum Thema Punktprobe

    Wie macht man eine Punktprobe?

    Bei der Punktprobe setzt du die x- und y-Koordinate eines Punktes P(x|y) in die Funktion ein.

    Anschließend berechnest du die Funktionsgleichung.

    Geht die Rechnung auf, liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen. Ist die Rechnung falsch, ist der Punkt kein Teil des Funktionsgraphen.

    Was ist eine Punktprobe?

    Die Punktprobe zeigt durch Rechnung, ob ein beliebiger Punkt P(x|y) Element einer Funktion f(x) ist oder nicht.

    Wann liegt ein Punkt oberhalb oder unterhalb der Geraden?

    Um zu überprüfen, ob der Punkt P(x|y) oberhalb, unterhalb oder auf einer Gerade liegt, setzt du seinen x-Wert in die Funktion ein und berechnest den y-Wert.

    • Kommt für y ein Wert größer als der y-Wert des Punktes heraus, liegt der Punkt oberhalb der Gerade.
    • Ist der y-Wert gleich dem des Punktes, liegt der Punkt auf der Gerade. 
    • Ist der berechnete y-Wert kleiner als der des Punktes, liegt er unterhalb der Gerade.

    Woher weiß ich, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

    Bei der Punktprobe setzt du die x- und y-Koordinate eines Punktes P(x|y) in die Funktion der Geraden ein. 

    Anschließend berechnest du die Funktionsgleichung.

    Geht die Rechnung auf, liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen. Ist die Rechnung falsch, ist der Punkt kein Teil des Funktionsgraphen.

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