Liegt der Punkt P auf der Funktion f(x)? Das kannst du mithilfe der sogenannten Punktprobe rechnerisch herausfinden. In diesem Artikel findest du alle wichtigen Informationen, die du zur Punktprobe wissen solltest.
Punktprobe Übersicht
Wenn du dir die Grafik einer Funktion ansiehst, dann siehst du sofort, ob ein eingezeichneter Punkt P oder P' auf dem Graphen liegt oder nicht.
Aufgabe 1
Abbildung 1: Liegt der Punkt auf der Funktion?
Lösung
Der Punktliegt auf der Geraden. Der Punktnicht.
Willst du jedoch berechnen, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt, dann benötigst du die Punktprobe.
Die Punktprobe zeigt durch Rechnung, ob ein beliebiger PunktElement einer Funktionist oder nicht.
Der Hintergrund der Punktprobe ist, dass die Funktionsgleichung für einen ihr zugehörigen Punkt und dessen x- und y-Werte aufgehen muss.
Andersherum muss bei einem externen Punkt (
) ein falsches Ergebnis, beim Einsetzen der Zahlenwerte für x und y in die Gleichung, herauskommen.
Ein Punkt ist meist in dieser Form gegeben: .
Zur Erinnerung: Der vordere Wert, die 1, ist die x-Stelle des Punktes. Der hintere Wert, die 3, ist der y-Wert des Punktes.
Um am Ende anzugeben, ob der Punkt P auf der Funktionliegt, verwendet man das "Element von"-Zeichen
(
) oder das "kein Element von"-Zeichen (
):
Beispiel | So sprichst du es |
| "P ist Element von f(x)" |
| "P' ist kein Element von f(x)" |
Punktprobe Durchführung
Beim Durchführen der Punktprobe gehst du immer nach dem gleichen Schema vor:
Punktprobe
Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.
Geht die Gleichung auf (zum Beispiel), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch (
), liegt der Punkt neben der Funktion.
Anhand dieses einfachen Beispiels kannst du sehen, wie das Ganze funktioniert.
Aufgabe 2
Überprüfe, ob der Punktauf der linearen Funktion mit der Gleichung
liegt.
Merke dir: f(x) kannst du auch als y schreiben.
Lösung
Du vereinfachst deine Gleichung also sofort, indem du stattein y schreibst. In dieser Form wirst du sie nämlich in der Rechnung benötigen.
Außerdem machst du dir nochmal bewusst, welche Koordinate des Punktes für den x-Wert und den y-Wert stehen.
Nach diesen Vorüberlegungen startest du mit der Punktprobe:
Schritt 1:
Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
Für y setzt du die 4 ein, den y-Wert des Punktes P. Das x aus der Gleichung wird durch 2 ersetzt.
Schritt 2:
Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.
Auf der linken Seite gibt es nichts mehr zu rechnen, hier steht eine 4. Rechts musst du den Term noch berechnen, doch auch hier ergibt sich eine 4.
Schritt 3:
Geht die Gleichung auf (zum Beispiel 5 = 5), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch,
(), liegt der Punkt neben der Funktion.
Die Gleichung ergibt
, das heißt, sie ist korrekt und geht auf. Der Punkt liegt damit also auf der Funktion.
Das gibst du jetzt noch als Antwort in folgender Form wieder:
"P ist Element von f(x)"
Damit hast du deine Punktprobe erfolgreich erledigt.
Abbildung 2: Punktprobe Beispiel 1
Aufgabe 3
Berechne, ob der Punktauf dem Graphen der Funktion
liegt.
Lösung
Vorüberlegungen
Um dir die Punktprobe zu vereinfachen, schreibst du die Funktion schon einmal in der richtigen Form auf und überlegst dir, wie der Punkt dargestellt ist.
1. Schritt:
Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
Setze die gegebenen Werte statt x und y in die Gleichung ein.
2. Schritt:
Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.
Auf der linken Seite ist wieder nichts zu tun. Die rechte Seite berechnest du nach den bekannten Rechenregeln.
3. Schritt:
Geht die Gleichung auf (zum Beispiel 5 = 5), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch, (
), liegt der Punkt neben der Funktion.
Das Ergebnis deiner Rechnungen
ist falsch. Die Gleichung geht also nicht auf und der Punkt P liegt nicht auf der Funktion, sondern daneben.
Das schreibst du so:
Auch diese Punktprobe wurde erfolgreich durchgeführt.
Abbildung 3: Punktprobe Beispiel 2
Punktprobe verschiedener Funktionstypen
Grundsätzlich läuft die Punktprobe immer gleich ab. In der folgenden Tabelle kannst du dir dennoch Beispiele für jeden einzelnen Funktionstyp ansehen.
| Funktionstyp | Berechnung Punktprobe |
Lineare Funktionen | Aufgabe:Liegt der Punkt P (4|4) auf der Funktion ?1. Schritt: x- und y-Wert in Funktionsgleichung einsetzen.2. Schritt: Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung.3. Schritt: Ergebnis auswerten. Abbildung 4: Punktprobe Lineare Funktion
|
Quadratische Funktionen | Aufgabe:Ist der Punkt R (3|2) ein Teil des Graphen der Funktion ?1. Schritt:2. Schritt:3. Schritt: Abbildung 5: Punktprobe Quadratische Funktion
|
sonstige Ganzrationale Funktionen | Aufgabe:Die Funktion ist gegeben. Liegt der Punkt S (2|3) auf dem Funktionsgraphen?1. Schritt:2. Schritt:3. Schritt: Abbildung 6: Punktprobe Ganzrationale Funktion
|
Natürliche Exponentialfunktion | Aufgabe:Liegt der Punkt L (-2|2) auf der Funktion ?1. Schritt:2. Schritt:3. Schritt: Abbildung 7: Punktprobe Natürliche e-Funktion
|
Natürliche Logarithmusfunktion | Aufgabe: Der Punkt Z (3|5) liegt auf der Funktion . Stimmt diese Aussage? 1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt: Die Aussage ist also falsch.  Abbildung 8: Punktprobe Natürliche Logarithmusfunktion
|
Wurzelfunktion | Aufgabe:Ist der Punkt T (3|2) Teil des Funktionsgraphen der Funktion ?Schritt 1:Schritt 2:Schritt 3: Abbildung 9: Punktprobe Wurzelfunktion
|
Sinusfunktion | Aufgabe:Gehört der Punkt O zur Funktion ?1. Schritt:2. Schritt:3. Schritt: Abbildung 10: Punktprobe Sinusfunktion
|
Punktprobe – Fehlende Koordinate eines Punktes berechnen
Die Punktprobe kannst du nun, es gibt jedoch in diesem Zusammenhang noch mehr unterschiedliche Formen von Aufgaben.
Ein weiterer Aufgabentyp, der dir auch immer wieder begegnen wird, ist die Berechnung der fehlenden Koordinate eines Punktes.
Das heißt, du hast nur eine Koordinate (zum Beispiel die x-Koordinate) eines Punktes und eine Funktion gegeben. Die andere Koordinate (beispielsweise die y-Koordinate) musst du erst noch berechnen, damit der Punkt auf der gegebenen Funktion liegt.
Du gehst hier nach folgendem Schema vor:
Du setzt die gegebene Variable des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
Danach löst du die Gleichung nach der gesuchten Koordinate des Punktes auf.
Diese zwei Beispiele veranschaulichen dir, wie es geht.
y-Koordinate gesucht
Aufgabe 4
Welche y-Koordinate muss der Punkthaben, damit der Punkt P auf der Funktionliegt?
Lösung
1. Schritt:
Genau wie bei der Punktprobe setzt du den Punkt P in die Funktionein, er soll ja auf der Funktion liegen. Da du ja nicht den gesamten Punkt kennst, setzt du nur das dir Bekannte ein, in diesem Fall den x-Wert. Der y-Wert bleibt frei und somit bleibt ein y in der Gleichung stehen.
2. Schritt:
Nachdem jetzt noch eine Unbekannte in dem Term ist, behandelst du ihn jetzt als ganz normale Gleichung und bestimmst eine Lösung für y, und damit auch für die y-Koordinate.
3. Schritt: Lösung
Die y-Koordinate des Punktes P ist 2. Damit liegt der Punktauf der Funktion.
Abbildung 11: fehlende y-Koordinate berechnen
x-Koordinate gesucht
Aufgabe 5
Welche x-Koordinate muss der Punkthaben, damit Q auf der Funktionliegt?
Lösung
1. Schritt:
Du setzt den Punkt Q in die Funktion ein. In diesem Fall hast du nur den y-Wert des Punktes gegeben, ihn setzt du ein. Da du den x-Wert nicht weißt, bleibt er frei.
2. Schritt:
Mithilfe von Äquivalenzumformungen löst du die Gleichung nach der enthaltenen Variable (x) auf.
3. Schritt:
Für die x-Koordinaten 3 und -3 liegt der Punkt Q auf der Funktion. Damit liegen die gesuchten Punkte auf dem Funktionsgraphen von.
Abbildung 13: fehlende x-Koordinate berechnen
Punktprobe Vektoren
Um diese Aufgaben lösen zu können, solltest du alles zu den Vektoren, Gesetze zur Vektorrechnung, Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem usw. wissen. Sieh dir dazu am besten noch einmal die jeweiligen Artikel an.
Diese Punktprobe läuft ein wenig anders ab: Hier ist ebenfalls eine Gerade in Parameterform (siehe Artikel) gegeben und du hast das Ziel, herauszufinden, ob ein Punkt auf ihr liegt. Allerdings ist der Ablauf der Punktprobe ein wenig anders.
Punktprobe Vektoren
- Setze den Punkt P als Vektor in die Geradengleichung ein (anstatt ).
- Stelle das Gleichungssystem auf, indem du für jede Zeile der Rechnung eine eigene Gleichung bildest.
- Berechne für jede der Gleichungen den Wert von t.
- Ist t in allen Gleichungen identisch, liegt der Punkt auf der Geraden. Gibt es einen Unterschied zwischen den t-Werten der Gleichungen, so ist der Punkt kein Teil der Geraden.
Punktprobe Ebene
Diese Punktprobe ist etwas anders, denn du musst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen aufstellen und lösen.
Aufgabe 6
Du hast die Geradengleichung in Parameterform vor dir:
Liegt der Punktauf der Geraden?
Lösung
1. Schritt:
Setze den Punkt P als Vektor in die Geradengleichung ein (anstatt ).
2. Schritt:
Stelle das Gleichungssystem auf, indem du für jede Zeile der Rechnung eine eigene Gleichung bildest.
3. Schritt:
Berechne für jede der Gleichungen den Wert von .
4. Schritt:
nimmt in den beiden Gleichungen einen unterschiedlichen Wert an. Damit liegt der Punkt P nicht auf der Geraden.
Aufgabe 7
Gegeben ist die Gleichung einer Geraden in der Ebene:
Liegt der Punktdarauf?
Lösung
1. Schritt: Punkt Q (als Vektor) statt in die Geradengleichung einsetzen.
2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen.
3. Schritt: Gleichungen lösen (für ).
4. Schritt: Lösung angeben.
Da die Werte für beide gleich sind, liegt der Punkt Q auf der Gerade.
Punktprobe im Raum
Im Raum musst du sogar ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen aufstellen, um die Punktprobe durchzuführen. Du kannst im Dreidimensionalen diesmal nicht nur überprüfen, ob der Punkt auf einer Geraden liegt, sondern auch, ob der Punkt Teil einer Ebene ist.
So überprüfst du (genauso wie bei der Punktprobe im Zweidimensionalen), ob der Punkt auf oder neben einer Geraden liegt:
Aufgabe 8
Diese Gerade liegt im Raum:
Liegt der Punktauf der Geraden h?
Lösung
1. Schritt: Punkt R (als Vektor) statt in die Geradengleichung von h einsetzen.
2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen.
3. Schritt: Gleichungen lösen (für ).
4. Schritt: Lösung angeben.
hat für alle Gleichungen dieselbe Lösung, deswegen liegt der Punkt R auf der Geraden.
Aufgabe 9
Gegeben ist die Parameterform der Geraden:
Ist der Punktein Teil der Gerade?
Lösung
1. Schritt: Punkt S (als Vektor) statt in die Geradengleichung einsetzen.
2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen.
3. Schritt: Gleichungen lösen (für ).
4. Schritt: Lösung angeben.
Nicht alle -Werte sind gleich. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.
Um zu testen, ob ein Punkt Teil einer Ebene ist, setzt du ihn in die Ebenengleichung ein. Das funktioniert wie folgt:
Aufgabe 10
Du benötigst die Ebenengleichung in der Koordinatenform (), mit dieser Form geht die Rechnung am einfachsten.
Zur Wiederholung der Koordinatenform und wie du diese durch Umwandlung bekommen kannst, liest du dir am besten noch einmal den dazugehörigen Artikel durch.
Gegeben ist die Koordinatenform der Ebene E:
Sollte eine andere Form, zum Beispiel Parameterform oder Normalform, gegeben sein, musst du diese in die Koordinatenform umwandeln.
Liegt der Punktauf der Ebene?
Lösung
1. Schritt: Setze statt x, y und z die jeweiligen Werte des Punktes P in die Ebenengleichung ein.
2. Schritt: Vereinfache die Gleichung.
3. Schritt: Lösung angeben.
Die Gleichung geht auf, sie ist richtig. Das bedeutet der Punkt P liegt auf der Ebene E.
Punktprobe - Das Wichtigste
Die Punktprobe ergibt durch Rechnung, ob ein beliebiger PunktElement einer Funktion ist oder nicht.
Durchführung der Punktprobe
- Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
- Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.
- Geht die Gleichung auf (zum Beispiel 5 = 5), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch (), liegt der Punkt neben der Funktion.
- Die Punktprobe kannst du bei allen Funktionstypen durchführen.
- Spezialfall: Fehlende Koordinate eines Punktes berechnen:
- Du setzt die gegebene Variable des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
- Danach löst du die Gleichung nach der gesuchten Koordinate des Punktes auf.
- Du kannst die Punktprobe auch in der Vektorrechnung durchführen. Dazu muss die Geradengleichung (Raum oder Ebene) in der Parameterform vorliegen.
- Du gehst folgendermaßen vor:
Setze den Punkt P als Vektor in die Geradengleichung ein (anstatt).
Stelle das Gleichungssystem auf, indem du für jede Zeile der Rechnung eine eigene Gleichung bildest.
Berechne für jede der Gleichungen den Wert von t.
Ist t in allen Gleichungen identisch, liegt der Punkt auf der Geraden. Gibt es einen Unterschied zwischen den t-Werten der Gleichungen, so ist der Punkt kein Teil der Geraden.
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