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Irrationale Zahlen

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Mathe

Andere Einleitung

Irrationale Zahlen haben kein Ende. In Pi kommt in einer Stelle immer dein Geburtsdatum vor. Es gibt sogar einen Geburtstagsrechner.

Welt benötigt die Zahlen.

Nach dem Lesen dieses Artikels weißt du, was irrationale Zahlen sind, wofür du sie brauchst und was sie als Zahlenart so besonders macht!

Zunächst möchten wir Dir einen Überblick zu den möglichen Arten von Dezimalbrüchen geben, damit du die irrationalen Zahlen besser einordnen kannst:

Irrationale Zahlen Dezimalbrüche StudySmarterAbbildung 1: Wege in die Irrationalität

Da die rationalen Zahlen eine wichtige Rolle bei den irrationalen Zahlen spielen, sollen diese nochmal kurz wiederholt werden.

Grundlagenwissen Irrationale Zahlen: Rationale Zahlen

Im Bereich der rationalen Zahlen sind die vier Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar. Rationale Zahlen können als Bruch ganzer Zahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden.

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die durch einen Bruch dargestellt werden kann. Dabei muss sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganze Zahl stehen. Die Null im Nenner ist jedoch nicht erlaubt.

Algebra Definition rationale Zahlen StudySmarter

Rationale Zahlen kannst Du so darstellen:

Art der SchreibweiseBeispiel
Positive und negative Brüche
Periodische Dezimalzahlen
Abbrechende Dezimalzahlen

Eine Dezimalzahl ist eine rationale Zahl, wenn sie...

  • endlich viele Stellen nach dem Komma hat.
  • unendlich viele Stellen nach dem Komma hat, aber periodisch ist.

Du bist Dir bei den rationalen Zahlen nicht mehr ganz sich und möchtest Dein Wissen auffrischen? Dann schau Dir hierzu doch einfach nochmal unseren Artikel zu den Rationale Zahlen an.

Da sich alle natürlichen Zahlen auch als unechte Brüche darstellen lassen, sind natürliche und ganze Zahlen auch rationale Zahlen.

Irrationale Zahlen - Definition

Irrationalen Zahlen bist Du mit Sicherheit schon einmal bewusst oder unbewusst begegnet, denn diese Zahlen kannst Du nicht wie eine rationale Zahl als Bruch, periodische und abbrechende Zahl darstellen.

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können.

Es sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die sich niemals wiederholen. Daher können irrationale Zahlen auch als nicht periodisch bezeichnet werden und sind somit nicht genau bestimmbar.

Mir Irrationalität ist gemeint, dass die Zahl nicht periodisch, aber trotzdem unendlich lang ist. Du kannst sie mit dezimaler Schreibweise (also 4,578682749...) nicht vollständig aufschreiben, da nach der letzten geschriebenen Stelle immer noch eine Zahl kommt, unendlich lange. Wenn Du aus ihnen also eine Dezimalzahl bilden willst, musst Du die Zahl runden.

Irrationale Zahlen lassen sich wie folgt definieren:

Irrationale Zahlen = Algebra Symbol Irrationale Zahlen StudySmarter

Irrationale Zahlen kannst Du als eine Art Gegenstück zu den rationalen Zahlen verstehen. Alle gehören zur Menge der reellen Zahlen, der numerischen Menge, die rationale und irrationale Zahlen gruppiert.

Irrationale Zahlen im Alltag

Mit dem folgenden Beispiel wird Dir die Wichtigkeit der irrationalen Zahlen verdeutlicht und warum Du immer wieder auf sie stoßen wirst. Zur Betrachtung von irrationalen Zahlen soll die Quadratwurzeln behandelt werden. Die ist wie die Kreiszahl oder die Eulersche Zahl e irrational und kann als Kantenlänge eines Dreiecks repräsentiert werden. In diesem Zusammenhang wird Dir folgendes Beispiel aus deinem Matheunterricht vorgestellt:

Wie lang ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks mit der Kathetenlänge von ? Zur Bestimmung der Hypotenuse kannst Du den Satz des Pythagoras anwenden: Für die Länge der Hypotenuse gilt . Die Länge der Hypotenuse beträgt dann .

Algebra Wurzel 2 ist irrational StudySmarterAbbildung 2: Die Zahl Wurzel 2 ist irrational

Das bedeutet: Obwohl die irrationale Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, und nie auf ein Papier aufgeschrieben werden kann, kannst Du sie doch in der Realität darstellen. Faszinierend, oder?

Eigenschaften der irrationalen Zahlen

Du erkennst irrationale Zahlen an den folgenden Eigenschaften:

  • Keine Darstellung als Bruch: Irrationale Zahlen können nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden.
  • Unendlich viele Nachkommastellen: Irrationale Zahlen haben unendlich viele Stellen nach dem Komma.
  • Nicht periodisch: Diese unendlich vielen Nachkommastellen wiederholen sich nicht periodisch.
  • Auffüllen des Zahlenstrahls: Irrationale Zahlen füllen die Lücken des Zahlenstrahls und bilden zusammen mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen.

Die wichtigsten und bekanntesten irrationalen Zahlen

Die wohl bekannteste irrationale Zahl ist die Kreiszahl . Da die Zahl unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen besitzt, geben wir Dir hier die ersten vier an:

Vielleicht die wichtigste Konstante in der Mathematik und im allgemeinem Leben ist die Eulersche Zahl . Wenn Du die ersten Stellen von e betrachtest, könnest Du vermuten, die Zahl sei periodisch. Jedoch konnten Mathematiker beweisen, dass es sich bei e nicht um eine rationale Zahl handelt. Leonhard Euler gelang es, die Irrationalität von e zu beweisen, denn die e-Zahl hat unendliche Nachkommastellen, ist nicht abbrechend und nicht periodisch.

Weitere irrationale Zahlen erhältst Du auch, wenn Du aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, die Wurzel ziehst, zum Beispiel . Die ersten vier Nachkommastellen lauten hier

Die Zahlenmenge der irrationalen Zahlen kann also zum Beispiel so geschrieben werden:


Nicht alle Wurzeln sind irrational.

ist keine irrationale Zahl.

ist eine natürliche Zahl, da 25 eine Quadratzahl ist.

Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sind aber immer irrationale Zahlen.

Für echte Mathe-Pros

Die Zahlen und sind beide irrational, aber trotzdem unterscheiden sie sich in einer Kleinigkeit, wusstest du das?

Irrationale Zahlen die aus dem Ziehen der Wurzel einer Nicht-Quadratzahl entstehen, sind mögliche Lösungen von Gleichungen, oder wie der Mathematiker sagen würde, von Polynomen mit rationalen Koeffizienten.

Die Gleichung hat die Lösungen

Daher werden auch alle irrationalen Zahlen, die wie die

eine Lösung von Polynomen mit rationalen Koeffizienten sind, der Menge der reellen algebraischen Zahlen zugeordnet.

Die Zahl ist eine irrationale Zahl, die aber keine Lösung eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist und wird deshalb auch als transzendent bezeichnet.

Die Geschichte der irrationalen Zahlen

Schon ca. 300 v. Chr. zeigte der Mathematiker Euklid, dass eine irrationale Zahl ist. Er führte damals einen Widerspruchsbeweis durch.

Ein Widerspruchbeweis ist eine der Beweismethoden in der Mathematik. Die Grundidee ist, dass angenommen wird, die zu beweisende Behauptung sei falsch und sieht sich an, ob daraus ein Widerspruch, etwas Unsinniges, folgt. Wenn das der Fall ist, muss wohl die ursprüngliche Aussage doch stimmen.

Der sehr bekannte Mathematiker Pythagoras, geboren 582 v. Chr. in Samos, Griechenland, wurde bekannt durch die Entdeckung des Satz des Pythagoras. Als ein Schüler von Pythagoras nun den Satz auf ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten gleich 1 anwendete, fand er die irrationale Zahl .

Hat man ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 und berechnet dessen Diagonale d, folgt aus dem Satz des Pythagoras , also . Die positive Lösung dieser Gleichung bezeichnet man heute mit .

Sofort wurde ihm klar, dass diese neue Zahl nicht aus dem Quotient zwischen zwei anderen natürlichen Zahlen stammte, die zu dieser Zeit bekannt waren. Deshalb nannte er sie irrational.

Algebra Rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 3: Ein rechtwinkliges Dreieck

Diese Entdeckung führte zu echtem Staunen in der griechischen Mathematik und der pythagoreischen Zahlenlehre aber auch zu einer Grundlagenkrise. Die Grundannahme, dass alles durch ganze Zahlen ausgedrückt werden kann, wurde damit ins Wanken gebracht.

Einordnung der irrationalen Zahlen

Du fragst Dich wofür du irrationale Zahlen überhaupt benötigst und wie Du herausfindest, ob es sich bei der Zahl um eine irrationale Zahl handelt? In diesem Abschnitt soll genauer auf Deine offenen Fragen eingehen.

Irrationale Zahlen - Beweis anhand Wurzel 2

Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist irrational, wenn in deren Primfaktorzerlegung mindestens einer der Primfaktoren in ungerader Anzahl vorkommt. Insbesondere ist die Quadratwurzel einer Primzahl stets irrational. Im Folgenden lernst Du den Beweis nach der Methode des Widerspruchbeweises.

Der Widerspruchbeweis funktioniert so, dass die Annahme, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl, zu einem Widerspruch führt:

  1. Behauptung: ist irrational
  2. Annahme: ist rational (ist ein gekürzter Bruch)Zu zeigen: Es entsteht ein Widerspruch.Vorüberlegungen:
    • Wenn Du eine Zahl n mit 2 multiplizierst, so ist das Ergebnis eine gerade Zahl (2⋅n).
    • Ist das Quadrat einer Zahl gerade, so ist es auch die Zahl selbst. (Beispiel: 64 ist gerade und 8 auch)
    • Brüche können gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.
      BeweisschrittErläuterungen
      1. kann also als Bruch dargestellt werden.(p und q sind teilerfremd, das heißt der Bruch kann nicht weiter gekürzt werden).
      2. Quadrieren beider Seiten der Gleichung.
      3.Umformen der Gleichung nach p durch Multiplikation.
      4. ist gerade.Das folgt aus der Darstellung von p.
      5. p ist gerade.Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung.
      6.p ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl n.
      7.Quadrieren beider Seiten der Gleichung.
      8.Gleichsetzen von und .
      9.Division durch 2.
      10. ist gerade.Das folgt aus der Darstellung von .
      11.q ist gerade.Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung.
      12. q ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl m.
      13.p und q sind gerade und beide durch 2 teilbar.
  3. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.p und q haben doch einen gemeinsamen Teiler. Somit ist doch kein gekürzter Bruch.
  4. Die Annahme ist falsch, die Behauptung gilt.Damit ist bewiesen: Dann kann nur irrational sein.

Zusammenhang von irrationalen und reellen Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen wird in der Mathematik gebraucht, um die reellen Zahlen zu erhalten. Diese ergeben sich nämlich, wenn man zu der Menge der rationalen Zahlen noch die Menge der irrationalen Zahlen dazu nimmt. Die Menge der reellen Zahlen bildet keine neue Gruppe von Zahlen, sondern ist eine Summe aus den beiden Mengen.

Werden die rationalen und irrationalen Zahlen vereint, erhält man die reellen Zahlen . Mit den reellen Zahlen kann der Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade abgebildet werden.

Die reellen Zahlen beinhalten die irrationalen Zahlen und die rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen beinhalten die ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen beinhalten die natürlichen Zahlen.

Algebra Folgen der Zahlenmenge StudySmarter

Die irrationalen Zahlen liegen in der folgenden Grafik also nicht mehr im Bereich der rationalen Zahlen, sondern erweitern den Zahlenbereich zu den reellen Zahlen:

Algebra Übersicht über die Zahlenmengen StudySmarterAbbildung 4: Übersicht über die verschiedenen Zahlenmengen

Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl.Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl.

Das bedeutet, dass jede irrationale Zahl ist auch eine reelle Zahl und kann als komplexe Zahl dargestellt werden. Andersrum gilt das aber nicht, da eine komplexe Zahl keine irrationale Zahl ist wie beispielsweise .

Beachte: Irrationale Zahlen werden erst an der Uni behandelt, also kannst du das als Fakt einfach mal im Hinterkopf behalten.

Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Ein besonders eindrucksvolles Beispiel für die Besonderheit von irrationalen Zahlen ist die folgende Idee:

Betrachten wir zunächst einen Zahlenstrahl der mit rationalen Zahlen gefüllt ist:

Algebra Rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl StudySmarterAbbildung 5: Zahlenstrahl gefüllt mit rationalen Zahlen

Irrationale Zahlen konntest Du bisher nicht auf einem Zahlenstrahl wiederfinden!

Was passiert, wenn jetzt ein einfaches gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1 auf den Zahlenstrahl gelegt wird?

Algebra Gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1 StudySmarter

Abbildung 6: Gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1

Mit Hilfe des Satz des Pythagoras aus Klasse 8/9 kannst Du jetzt die fehlende Seitenlänge berechnen:

Algebra Berechnung der Wurzel 2 mit dem Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 7: Berechnung der Wurzel 2 mit dem Satz des Pythagoras

Berechnung:

Wenn Du nun die berechnete Strecke mit einem Zirkel auf den Zahlenstrahl abträgst, erhältst Du direkt die irrationale Zahl auf dem Zahlenstrahl.

Algebra Konstruktion der Wurzel 2 auf der Zahlengeraden StudySmarterAbbildung 8: Konstruktion der irrationalen Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden

Die irrationalen Zahlen füllen die Lücken des Zahlenstrahls und ergeben gemeinsam mit den ganzen Zahlen die reelle Zahlenmenge . Die rationalen Zahlen reichen dafür alleine nicht.

Bei den verschiedenen Begriffen der rationalen, irrationalen und reellen Zahlen kann man manchmal durcheinanderkommen! Am besten stellst Du Dir das bildlich vor! Im Kunstunterricht ergibt die Farbe Rot und die Farbe Blau vermischt immer die Farbe Lila. Ohne rote Farbe gäbe es auch keine lila Farbe.

Rechnen mit irrationalen Zahlen

Natürlich kannst Du mit irrationalen Zahlen genauso wie mit allen anderen Zahlenarten rechnen. Allerdings wird das Ergebnis dann auch unendlich viele Nachkommastellen haben. Das Ergebnis ist also dann wieder eine neue irrationale Zahl.

Deshalb ist es oft sinnvoll, beispielsweise für nur den gerundeten Wert zu verwenden, je nachdem, wie genau das Ergebnis sein soll. Oder Du lässt einfach stehen.

Die irrationalen Zahlen, mit denen Du es oft in der Schule zu tun haben wirst, werden Dir zum Beispiel bei der Berechnung des Umfangs eines Kreises, der Kugel und auch bei trigonometrischen Funktionen begegnen.

Bei Kreis- und Kugelberechnungen ist die Zahl besonders wichtig. Sie kommt in allen Formeln für den Umfang, den Flächeninhalt, den Oberflächeninhalt und dem Volumen vor. Aber auch im Zusammenhang mit Sinus und Kosinus ist sehr wichtig. Diese beiden Funktionen sind periodisch, und wiederholen sich in einer Periode von immer wieder.

Die Zahlenarten im Überblick

Hier hast Du nochmal alle Zahlenarten im Überblick. Wenn Du die irrationalen Zahlen jetzt schon verstanden hast, kannst Du ja bei der nächsten Zahlenart weitermachen.

ZahlenartBeispiel
Natürliche ZahlenNatürliche Zahlen mit Null
Negative Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Irrationale Zahlen , z. B.
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen

Übungsaufgaben

Zum Abschluss kannst Du nun dein neu erlerntes Wissen zu den Irrationalen Zahlen mit einigen Übungsaufgaben auf die Probe stellen bzw. es weiter vertiefen.

Aufgabe

Welche der folgenden Zahlen gehört zu der Menge der irrationalen Zahlen ?

Lösungen

  1. ist keine irrationale Zahl, 16 ist eine Quadratzahl
  2. ist eine irrationale Zahl.
  3. ist keine irrationale Zahl, weil sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen.
  4. ist eine irrationale Zahl
  5. ist eine irrationale Zahl. da die Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl gezogen wird.
  6. ist keine irrationale Zahl, weil sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen.

Irrationale Zahlen - Das Wichtigste

  • Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist und jede reelle Zahl ist entweder eine rationale Zahl oder eine irrationale Zahl.
  • Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die durch einen Bruch dargestellt werden kann.
    • Dabei muss sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganze Zahl stehen.
    • Die Null im Nenner ist jedoch nicht erlaubt.
  • Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzen Zahlen dargestellt werden können.
    • , z.B. , e, √2, √3 √5, √6, √7, √8, √10,...
  • Sie haben in ihrer Dezimaldarstellung unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen.
  • Wenn Du mit irrationalen Zahlen rechnest, hilft es, einfach gerundete Werte zu nehmen. Das reicht meistens vollkommen aus. Dann geht das Rechnen auch ganz normal!
  • Durch die irrationalen Zahlen wird der Zahlenbereich der rationalen Zahlen erweitert zum Zahlenbereich der reellen Zahlen, die die Grundmenge für das Arbeiten mit Funktionen sind.
    • Die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen ergeben zusammen die reellen Zahlen. Ohne irrationale Zahlen, gibt es auch keine vollständige reelle Zahlenmenge.
    • Sie füllen die Lücken auf der Zahlenebene.
  • Du kannst nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahlen nicht als Dezimalbruch schreiben, denn das sind irrationale Zahlen.

Finales Irrationale Zahlen Quiz

Frage

Die Wurzel aus 4 ist...?

Antwort anzeigen

Antwort

eine rationale Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Die Wurzel aus 2 ist..?

Antwort anzeigen

Antwort

eine irrationale Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Gibt es für die nicht-abbrechenden, nicht periodischen Dezimalzahlen auch eine Darstellung als gewöhnlicher Bruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, hier handelt es sich um irrationale Zahlen, welche sich nicht als Bruch darstellen lassen.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man die Menge der irrationalen Zahlen definieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Irrationale Zahlen sind Zahlen, deren Dezimaldarstellung unendlich viele Stellen aufweist und nicht periodisch ist. 

Frage anzeigen

Frage

Wie können irrationale Zahlen über Brüche definiert werden? 

Antwort anzeigen

Antwort

Irrationale Zahlen sind alle Kommazahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. 

Frage anzeigen

Frage

Wie kann die Eulersche Zahl e definiert werden? 


Antwort anzeigen

Antwort

Die Eulersche Zahl  ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion. Sie ist eine irrationale Zahl.

Frage anzeigen
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