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Am 14. März findet alljährlich der inoffizielle Feiertag der Kreiszahl Pi statt, der Pi-Tag. Über die Jahre wurden immer mehr unterhaltsame Fakten und Anwendung über die Kreis-Konstante Pi hervorgebracht, wie dass sich jedes beliebige Geburtsdatum im Gewirr der Nachkommastellen finden lässt. Es gibt sogar einen Geburtstagsrechner, der Dir die Stelle in ("Pi") berechnet, an der Dein Geburtstag auftritt. Dieser ermöglicht es, gewisse Zahlenfolgen innerhalb der ersten 200 Millionen Stellen von Pi ausfindig zu machen. Die Zahl 
ist eine irrationale Zahl, da ihre Darstellung stets unendlich lang und nicht periodisch ist.
Zunächst wird Dir ein Überblick zu den möglichen Arten von Dezimalbrüchen gegeben, damit Du die irrationalen Zahlen besser einordnen kannst! !
Da die rationalen Zahlen eine wichtige Rolle bei den irrationalen Zahlen spielen, sollen diese nochmal kurz wiederholt werden.
Im Bereich der rationalen Zahlen 
sind die vier Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar. Rationale Zahlen können als Bruch ganzer Zahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden.
Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die durch einen Bruch dargestellt werden kann. Dabei muss sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganze Zahl stehen. Die Null im Nenner ist jedoch nicht erlaubt.
Rationale Zahlen kannst Du so darstellen:
| Art der Schreibweise | Beispiel |
| Positive und negative Brüche |  |
| Periodische Dezimalzahlen |  |
| Abbrechende Dezimalzahlen |  |
Eine Dezimalzahl ist eine rationale Zahl, wenn sie...
Du bist Dir bei den rationalen Zahlen nicht mehr ganz sich und möchtest Dein Wissen auffrischen? Dann schau Dir hierzu doch einfach nochmal unseren Artikel zu den Rationale Zahlen an.
Da sich alle natürlichen Zahlen auch als unechte Brüche darstellen lassen, sind natürliche und ganze Zahlen auch rationale Zahlen.
Irrationalen Zahlen bist Du mit Sicherheit schon einmal bewusst oder unbewusst begegnet, denn diese Zahlen kannst Du nicht wie eine rationale Zahl als Bruch, periodische und abbrechende Zahl darstellen.
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können. Es sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die sich niemals wiederholen. Daher können irrationale Zahlen auch als nicht periodisch bezeichnet werden und sind somit nicht genau bestimmbar.
Mir Irrationalität ist gemeint, dass die Zahl nicht periodisch, aber trotzdem unendlich lang ist. Du kannst sie mit dezimaler Schreibweise (also 4,578682749...) nicht vollständig aufschreiben, da nach der letzten geschriebenen Stelle immer noch eine Zahl kommt, unendlich lange. Wenn Du aus ihnen also eine Dezimalzahl bilden willst, musst Du die Zahl runden.
Irrationale Zahlen lassen sich wie folgt definieren:
Irrationale Zahlen = 
Irrationale Zahlen kannst Du als eine Art Gegenstück zu den rationalen Zahlen verstehen. Alle gehören zur Menge der reellen Zahlen, der numerischen Menge, die rationale und irrationale Zahlen gruppiert.
Mit dem folgenden Beispiel wird Dir die Wichtigkeit der irrationalen Zahlen verdeutlicht und warum Du immer wieder auf sie stoßen wirst. Zur Betrachtung von irrationalen Zahlen soll die Quadratwurzeln behandelt werden. Die 
ist wie die Kreiszahl 
oder die Eulersche Zahl e irrational und kann als Kantenlänge eines Dreiecks repräsentiert werden. In diesem Zusammenhang wird Dir folgendes Beispiel aus deinem Matheunterricht vorgestellt:
Wie lang ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks mit der Kathetenlänge von 1 cm?
Zur Bestimmung der Hypotenuse kannst Du den Satz des Pythagoras anwenden: Für die Länge der Hypotenuse gilt 
. Die Länge der Hypotenuse beträgt dann 
.
Abbildung 2: Die Zahl Wurzel 2 ist irrational
Das bedeutet: Obwohl die irrationale Zahl 
unendlich viele Nachkommastellen hat, und nie auf ein Papier aufgeschrieben werden kann, kannst Du sie doch in der Realität darstellen. Faszinierend, oder?
Du erkennst irrationale Zahlen an den folgenden Eigenschaften:
Die wohl bekannteste irrationale Zahl ist die Kreiszahl 
. Da die Zahl 
unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen besitzt, werden Dir hier die ersten vier angegeben:
Vielleicht die wichtigste Konstante in der Mathematik und im allgemeinem Leben ist die Eulersche Zahl 
. Wenn Du die ersten Stellen von e betrachtest, könnest Du vermuten, die Zahl sei periodisch. Jedoch konnten Mathematiker beweisen, dass es sich bei e nicht um eine rationale Zahl handelt. Leonhard Euler gelang es, die Irrationalität von e zu beweisen, denn die e-Zahl hat unendliche Nachkommastellen, ist nicht abbrechend und nicht periodisch.
Weitere irrationale Zahlen erhältst Du auch, wenn Du aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, die Wurzel ziehst, zum Beispiel 
. Die ersten vier Nachkommastellen lauten hier
Die Zahlenmenge der irrationalen Zahlen kann also zum Beispiel so geschrieben werden:
Nicht alle Wurzeln sind irrational.
ist keine irrationale Zahl.
ist eine natürliche Zahl, da 25 eine Quadratzahl ist.Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sind aber immer irrationale Zahlen.
Für echte Mathe-Pros
Die Zahlen 
und 
sind beide irrational, aber trotzdem unterscheiden sie sich in einer Kleinigkeit, wusstest Du das?
Irrationale Zahlen die aus dem Ziehen der Wurzel einer Nicht-Quadratzahl entstehen, sind mögliche Lösungen von Gleichungen, oder wie der Mathematiker sagen würde, von Polynomen mit rationalen Koeffizienten.
Die Gleichung 
hat die Lösungen 
Daher werden auch alle irrationalen Zahlen, die wie die 
eine Lösung von Polynomen mit rationalen Koeffizienten sind, der Menge der reellen algebraischen Zahlen zugeordnet.
Die Zahl 
ist eine irrationale Zahl, die aber keine Lösung eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist und wird deshalb auch als transzendent bezeichnet.
Schon ca. 300 v. Chr. zeigte der Mathematiker Euklid, dass 
eine irrationale Zahl ist. Er führte damals einen Widerspruchsbeweis durch.
Ein Widerspruchbeweis ist eine der Beweismethoden in der Mathematik. Die Grundidee ist, dass angenommen wird, die zu beweisende Behauptung sei falsch und sieht sich an, ob daraus ein Widerspruch, etwas Unsinniges, folgt. Wenn das der Fall ist, muss wohl die ursprüngliche Aussage doch stimmen.
Der sehr bekannte Mathematiker Pythagoras, geboren 582 v. Chr. in Samos, Griechenland, wurde bekannt durch die Entdeckung des Satz des Pythagoras. Als ein Schüler von Pythagoras nun den Satz auf ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten gleich 1 anwendete, fand er die irrationale Zahl 
.
Liegt ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 vor und wird dessen Diagonale d berechnet, folgt aus dem Satz des Pythagoras 
, also 
. Die positive Lösung dieser Gleichung bezeichnet man heute mit 
.
Sofort wurde ihm klar, dass diese neue Zahl nicht aus dem Quotient zwischen zwei anderen natürlichen Zahlen stammte, die zu dieser Zeit bekannt waren. Deshalb nannte er sie irrational.
Abbildung 3: Ein rechtwinkliges Dreieck
Diese Entdeckung führte zu echtem Staunen in der griechischen Mathematik und der pythagoreischen Zahlenlehre aber auch zu einer Grundlagenkrise. Die Grundannahme, dass alles durch ganze Zahlen ausgedrückt werden kann, wurde damit ins Wanken gebracht.
Du fragst Dich wofür du irrationale Zahlen überhaupt benötigst und wie Du herausfindest, ob es sich bei der Zahl um eine irrationale Zahl handelt? In diesem Abschnitt soll genauer auf Deine offenen Fragen eingehen.
Der Widerspruchbeweis funktioniert so, dass die Annahme, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl, zu einem Widerspruch führt:
ist irrational
ist rational (ist ein gekürzter Bruch)Zu zeigen: Es entsteht ein Widerspruch.Vorüberlegungen:| Beweisschritt | Erläuterungen | |
| 1. |  |  kann also als Bruch dargestellt werden.(p und q sind teilerfremd, das heißt der Bruch kann nicht weiter gekürzt werden). |
| 2. |  | Quadrieren beider Seiten der Gleichung. |
| 3. |  | Umformen der Gleichung nach p durch Multiplikation. |
| 4. |  ist gerade. | Das folgt aus der Darstellung von p. |
| 5. | p ist gerade. | Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung. |
| 6. |  | p ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl n. |
| 7. |  | Quadrieren beider Seiten der Gleichung. |
| 8. |  | Gleichsetzen von  und  . |
| 9. |  | Division durch 2. |
| 10. |  ist gerade. | Das folgt aus der Darstellung von  . |
| 11. | q ist gerade. | Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung. |
| 12. |  | q ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl m. |
| 13. |  | p und q sind gerade und beide durch 2 teilbar. |
doch kein gekürzter Bruch.
nur irrational sein.Die Menge der irrationalen Zahlen 
wird in der Mathematik gebraucht, um die reellen Zahlen 
zu erhalten. Diese ergeben sich nämlich, wenn zu der Menge der rationalen Zahlen 
noch die Menge der irrationalen Zahlen dazu gezählt wird. Die Menge der reellen Zahlen bildet keine neue Gruppe von Zahlen, sondern ist eine Summe aus den beiden Mengen.
Reelle Zahlen 
sind die rationalen Zahlen 
und die irrationalen Zahlen 
zusammen. Also die Vereinigungsmenge aus den beiden Zahlenarten. Mit den reellen Zahlen kann der Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade abgebildet werden.
Die reellen Zahlen beinhalten die irrationalen Zahlen und die rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen beinhalten die ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen beinhalten die natürlichen Zahlen.
Die irrationalen Zahlen liegen in der folgenden Grafik also nicht mehr im Bereich der rationalen Zahlen, sondern erweitern den Zahlenbereich zu den reellen Zahlen:
Abbildung 4: Übersicht über die verschiedenen Zahlenmengen
Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl.Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl.
Das bedeutet, dass jede irrationale Zahl ist auch eine reelle Zahl und kann als komplexe Zahl dargestellt werden. Andersrum gilt das aber nicht, da eine komplexe Zahl keine irrationale Zahl ist wie beispielsweise 
.
Beachte: Irrationale Zahlen werden erst an der Uni behandelt, also kannst Du das als Fakt einfach mal im Hinterkopf behalten.
Ein besonders eindrucksvolles Beispiel für die Besonderheit von irrationalen Zahlen ist die folgende Idee:
Betrachtet wird zunächst ein Zahlenstrahl der mit rationalen Zahlen gefüllt ist:
Abbildung 5: Zahlenstrahl gefüllt mit rationalen Zahlen
Irrationale Zahlen konntest Du bisher nicht auf einem Zahlenstrahl wiederfinden!
Was passiert, wenn jetzt ein einfaches gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1 auf den Zahlenstrahl gelegt wird?
Mit Hilfe des Satz des Pythagoras aus Klasse 8/9 kannst Du jetzt die fehlende Seitenlänge berechnen:
Abbildung 7: Berechnung der Wurzel 2 mit dem Satz des Pythagoras
Berechnung: 
Wenn Du nun die berechnete Strecke mit einem Zirkel auf den Zahlenstrahl abträgst, erhältst Du direkt die irrationale Zahl 
auf dem Zahlenstrahl.
Abbildung 8: Konstruktion der irrationalen Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden
Die irrationalen Zahlen füllen die Lücken des Zahlenstrahls und ergeben gemeinsam mit den ganzen Zahlen die reelle Zahlenmenge 
. Die rationalen Zahlen reichen dafür alleine nicht.
Bei den verschiedenen Begriffen der rationalen, irrationalen und reellen Zahlen besteht die Möglichkeit, dass Du manchmal durcheinander kommst! Am besten stellst Du Dir das bildlich vor! Im Kunstunterricht ergibt die Farbe Rot und die Farbe Blau vermischt immer die Farbe Lila. Ohne rote Farbe gäbe es auch keine lila Farbe.
Natürlich kannst Du mit irrationalen Zahlen genauso wie mit allen anderen Zahlenarten rechnen. Allerdings wird das Ergebnis dann auch unendlich viele Nachkommastellen haben. Das Ergebnis ist also dann wieder eine neue irrationale Zahl.
Deshalb ist es oft sinnvoll, beispielsweise für 
nur den gerundeten Wert 
zu verwenden, je nachdem, wie genau das Ergebnis sein soll. Oder Du lässt 
einfach stehen.
Die irrationalen Zahlen, mit denen Du es oft in der Schule zu tun haben wirst, werden Dir zum Beispiel bei der Berechnung des Umfangs eines Kreises, der Kugel und auch bei trigonometrischen Funktionen begegnen.
Bei Kreis- und Kugelberechnungen ist die Zahl 
besonders wichtig. Sie kommt in allen Formeln für den Umfang, den Flächeninhalt, den Oberflächeninhalt und dem Volumen vor. Aber auch im Zusammenhang mit Sinus und Kosinus ist 
sehr wichtig. Diese beiden Funktionen sind periodisch, und wiederholen sich in einer Periode von 
immer wieder.
Hier hast Du nochmal alle Zahlenarten im Überblick. Wenn Du die irrationalen Zahlen jetzt schon verstanden hast, kannst Du ja bei der nächsten Zahlenart weitermachen.
| Zahlenart | Beispiel |
| Natürliche ZahlenNatürliche Zahlen mit Null |   |
| Negative Zahlen |  |
| Ganze Zahlen |  |
| Rationale Zahlen |  |
| Irrationale Zahlen | , z. B.  |
| Reelle Zahlen |  |
| Komplexe Zahlen |  |
Zum Abschluss kannst Du nun Dein neu erlerntes Wissen zu den Irrationalen Zahlen mit einigen Übungsaufgaben auf die Probe stellen bzw. es weiter vertiefen.
Aufgabe 1
Welche der folgenden Zahlen gehört zu der Menge der irrationalen Zahlen 
?
Lösungen
ist keine irrationale Zahl, 16 ist eine Quadratzahl
ist eine irrationale Zahl.
ist keine irrationale Zahl, weil sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen.
ist eine irrationale Zahl
ist eine irrationale Zahl. da die Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl gezogen wird.
ist keine irrationale Zahl, weil sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen., z.B. 
, e, √2, √3 √5, √6, √7, √8, √10,...
der rationalen Zahlen erweitert zum Zahlenbereich 
der reellen Zahlen, die die Grundmenge für das Arbeiten mit Funktionen sind.Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, die sich nicht periodisch wiederholen. Dazu gehören beispielsweise die Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, die Kreiszahl 
oder die Eulersche Zahl e.
Die Wurzel von 3 ist eine irrationale Zahl, da es keine Quadratzahl ist.
Nein, denn 0 ist eine ganze Zahl, damit kann sie keine irrationale Zahl mehr sein.
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können. Außerdem weist deren Dezimaldarstellung unendlich viele Stellen auf und ist nicht periodisch.
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