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Am 14. März findet alljährlich der inoffizielle Feiertag der Kreiszahl Pi statt, der Pi-Tag. Über die Jahre wurden immer mehr unterhaltsame Fakten und Anwendung über die Kreis-Konstante Pi hervorgebracht, beispielsweise, dass sich jedes beliebige Geburtsdatum im Gewirr der Nachkommastellen finden lässt. Bei der Zahl \(\pi\) handelt es sich um eine irrationale Zahl. Weitere Beispiele von irrationalen Zahlen und welche Eigenschaften…
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Jetzt kostenlos anmeldenAm 14. März findet alljährlich der inoffizielle Feiertag der Kreiszahl Pi statt, der Pi-Tag. Über die Jahre wurden immer mehr unterhaltsame Fakten und Anwendung über die Kreis-Konstante Pi hervorgebracht, beispielsweise, dass sich jedes beliebige Geburtsdatum im Gewirr der Nachkommastellen finden lässt. Bei der Zahl \(\pi\) handelt es sich um eine irrationale Zahl. Weitere Beispiele von irrationalen Zahlen und welche Eigenschaften diese aufweisen, erfährst Du hier!
Da die rationalen Zahlen eine wichtige Rolle bei den irrationalen Zahlen spielen, sollen diese noch einmal kurz wiederholt werden.
Im Bereich der rationalen Zahlen sind die vier Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar. Rationale Zahlen können als Bruch ganzer Zahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden:
Folgende Tabelle zeigt Dir Beispiele und Darstellungsweisen von rationalen Zahlen.
Art der Schreibweise | Beispiel |
Positive und negative Brüche | |
Periodische Dezimalzahlen | |
Abbrechende Dezimalzahlen |
Eine Dezimalzahl ist eine rationale Zahl, wenn sie …
Du bist Dir bei den rationalen Zahlen nicht mehr ganz sicher und möchtest Dein Wissen auffrischen? Dann schau Dir hierzu doch die Erklärung „Rationale Zahlen“ an.
Da sich alle natürlichen Zahlen auch als unechte Brüche darstellen lassen, sind natürliche und ganze auch rationale Zahlen.
Irrationalen Zahlen bist Du mit Sicherheit schon einmal bewusst oder unbewusst begegnet.
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können.
Mit Irrationalität ist gemeint, dass die Zahl nicht periodisch, aber trotzdem unendlich lang ist. Du kannst sie mit dezimaler Schreibweise (also 4,578682749 …) nicht vollständig aufschreiben, da nach der letzten geschriebenen Stelle immer noch eine Zahl kommt, unendlich lange. Wenn Du aus ihnen also eine Dezimalzahl bilden willst, musst Du die Zahl runden.
Für die irrationalen Zahlen wird ein I mit Doppelstrich, also das Symbol verwendet.
Die Menge der irrationalen Zahlen lässt sich als Differenzmenge aus zwei Zahlenmengen schreiben:
Irrationale Zahlen: \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)
Dabei ist die Menge der reellen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen.
In der Menge der reellen Zahlen sind alle rationalen und irrationalen Zahlen zu finden. Mit den reellen Zahlen ist der Zahlenstrahl vollständig.
Irrationale Zahlen kannst Du als eine Art Gegenstück zu den rationalen Zahlen verstehen. Alle gehören zur Menge der reellen Zahlen, der numerischen Menge, die rationale und irrationale Zahlen gruppiert.
Du erkennst irrationale Zahlen an den folgenden Eigenschaften:
Zu den bekanntesten Beispielen von irrationalen Zahlen gehören die Kreiszahl \(\pi\) und die eulersche Zahl \(e\).
Irrationale Zahl | Ungefährer Wert | Anwendung |
Berechnung eines Kreises, Trigonometrie | ||
Wachstumsprozesse e-Funktion |
Weitere irrationale Zahlen erhältst Du auch, wenn Du aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, die Wurzel ziehst, zum Beispiel . Die ersten vier Nachkommastellen werden Dir im Nachfolgenden angegeben.
Eine Zahlenmenge der irrationalen Zahlen kann also zum Beispiel so geschrieben werden:
Nicht alle Wurzeln sind irrational.
ist keine irrationale Zahl.
Die Zahlist eine natürliche Zahl, da 25 eine Quadratzahl ist.
Du fragst Dich, wofür Du irrationale Zahlen überhaupt benötigst und wie Du sie von anderen Zahlen unterscheidest?
Die Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) wird in der Mathematik gebraucht, um die reellen Zahlen zu erhalten. Diese ergeben sich nämlich, wenn zu der Menge der rationalen Zahlen noch die Menge der irrationalen Zahlen dazu gezählt wird. Die Menge der reellen Zahlen bildet keine neue Gruppe von Zahlen, sondern ist eine Summe aus den beiden Mengen.
Reelle Zahlen sind die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) zusammen. Also die Vereinigungsmenge aus den beiden Zahlenarten. Mit den reellen Zahlen kann der Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade abgebildet werden.
Die reellen Zahlen beinhalten die irrationalen und die rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen beinhalten die ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen beinhalten wiederum die natürlichen Zahlen.
Die irrationalen Zahlen liegen in der folgenden Grafik also nicht mehr im Bereich der rationalen Zahlen, sondern erweitern den Zahlenbereich zu den reellen Zahlen:
Abb. 2 - Zahlenmengen
Ein besonders eindrucksvolles Beispiel für die Besonderheit von irrationalen Zahlen ist die folgende Idee:
Irrationale Zahlen konntest Du bisher nicht auf einem Zahlenstrahl wiederfinden!
Platziere nun ein einfaches gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1 auf den Zahlenstrahl.
Abb. 4 - Gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1
Mit dem Satz des Pythagoras kannst Du jetzt die fehlende Seitenlänge berechnen:
Der Satz des Pythagoras stellt in einem rechtwinkligen Dreieck eine Beziehung zwischen drei Seiten her: \(a^2+b^2=c^2\)
Abb. 5 - Berechnung der Wurzel 2 mit dem Satz des Pythagoras
Berechnung:
Die Strecke der Hypotenuse hat also eine Länge von . Wenn Du nun die berechnete Strecke mit einem Zirkel auf den Zahlenstrahl abträgst, erhältst Du direkt die irrationale Zahl auf dem Zahlenstrahl.
Abb. 6 - Konstruktion der irrationalen Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden
Die irrationalen Zahlen füllen die Lücken des Zahlenstrahls und ergeben gemeinsam mit den ganzen Zahlen die reelle Zahlenmenge . Die rationalen Zahlen reichen dafür allein nicht.
In der folgenden Vertiefung wird bewiesen, warum es sich bei der Zahl \(\sqrt{2}\) um keine rationale Zahl handeln kann.
Bei einem Widerspruchsbeweis geht es darum, dass eine Annahme, die aufgestellt wird, zu einem Widerspruch führt. Dabei gehst Du in folgenden Schritten vor:
Die Annahme, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl, muss dementsprechend zu einem Widerspruch führen.
Schritt 1
Behauptung: ist irrational.
Schritt 2
Annahme: ist rational.
Vorüberlegungen:
Schritt 3
Beweisschritt | Erläuterungen | |
1. | Jede rationale Zahl kann als Bruch dargestellt werden, also auch .(p und q sind teilerfremd, das heißt der Bruch kann nicht weiter gekürzt werden). | |
2. | Quadrieren beider Seiten der Gleichung. | |
3. | Umformen der Gleichung nach p durch Multiplikation. | |
4. | ist gerade. | Das folgt aus der Darstellung von p. |
5. | p ist gerade. | Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung. |
6. | p ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl n. | |
7. | Quadrieren beider Seiten der Gleichung. | |
8. | Gleichsetzen von und . | |
9. | Division durch 2. | |
10. | ist gerade. | Das folgt aus der Darstellung von . |
11. | q ist gerade. | Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung. |
12. | q ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl m. | |
13. | p und q sind gerade und beide durch 2 teilbar. |
Natürlich kannst Du mit irrationalen Zahlen genauso wie mit allen anderen Zahlenarten rechnen. Allerdings wird das Ergebnis dann auch unendlich viele Nachkommastellen haben. Das Ergebnis ist also dann wieder eine neue irrationale Zahl.
Deshalb ist es oft sinnvoll, beispielsweise für nur den gerundeten Wert zu verwenden, je nachdem, wie genau das Ergebnis sein soll. Oder Du lässt einfach stehen.
Zu berechnen ist hier der Umfang eines Kreises. Der Radius ist mit gegeben. Der Umfang eines Kreises berechnet sich also gemäß der Formel:
Jetzt kannst Du diesen Term so in den Taschenrechner eingeben und erhältst damit eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen.
Diesen Wert kannst Du jetzt gerundet angeben. Hier wird auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Falls Du keinen Taschenrechner benutzen darfst, so kannst Du zur Berechnung des Umfangs auch den gerundeten Wert mit \(\pi\approx 3{,}14\) verwenden. Je mehr Nachkommastellen Du dabei von \(\pi\) kennst, desto genauer ist die Berechnung.
Der Umfang U eines Kreises mit dem Radius beträgt also gerundet bzw. genau .
Zum Abschluss kannst Du nun Dein neu erlerntes Wissen zu den irrationalen Zahlen mit einigen Übungsaufgaben auf die Probe stellen.
Welche der folgenden Zahlen gehört zu der Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) ?
Lösung
Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, die sich nicht periodisch wiederholen. Dazu gehören beispielsweise die Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, die Kreiszahl Pi oder die Eulersche Zahl e.
Die Wurzel von 3 ist eine irrationale Zahl, da es keine Quadratzahl ist.
Nein, Null ist keine irrationale Zahl. Sie ist eine ganze Zahl, damit kann sie keine irrationale Zahl mehr sein.
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können. Außerdem weist deren Dezimaldarstellung unendlich viele Stellen auf und ist nicht periodisch.
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