Irrationale Zahlen

Am 14. März findet alljährlich der inoffizielle Feiertag der Kreiszahl Pi statt, der Pi-Tag. Über die Jahre wurden immer mehr unterhaltsame Fakten und Anwendung über die Kreis-Konstante Pi hervorgebracht, beispielsweise, dass sich jedes beliebige Geburtsdatum im Gewirr der Nachkommastellen finden lässt. Bei der Zahl \(\pi\) handelt es sich um eine irrationale Zahl. Weitere Beispiele von irrationalen Zahlen und welche Eigenschaften diese aufweisen, erfährst Du hier!

Da die rationalen Zahlen eine wichtige Rolle bei den irrationalen Zahlen spielen, sollen diese noch einmal kurz wiederholt werden.

Grundlagenwissen irrationale Zahlen – Rationale Zahlen

Im Bereich der rationalen Zahlen $\mathrm{\mathbb{Q}}$ sind die vier Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar. Rationale Zahlen können als Bruch ganzer Zahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden:

$\mathrm{\mathbb{Q}}=\left\{\frac{m}{n}\overline{)m,n\in \mathrm{\mathbb{Z}},n\ne 0}\right\}$

Folgende Tabelle zeigt Dir Beispiele und Darstellungsweisen von rationalen Zahlen.

Eine Dezimalzahl ist eine rationale Zahl, wenn sie …

• Endlich viele Stellen nach dem Komma hat.
• Unendlich viele Stellen nach dem Komma hat, aber periodisch ist.

Da sich alle natürlichen Zahlen auch als unechte Brüche darstellen lassen, sind natürliche und ganze auch rationale Zahlen.

Irrationale Zahlen – Definition

Irrationalen Zahlen bist Du mit Sicherheit schon einmal bewusst oder unbewusst begegnet.

Irrationale Zahlen kannst Du als eine Art Gegenstück zu den rationalen Zahlen verstehen. Alle gehören zur Menge der reellen Zahlen, der numerischen Menge, die rationale und irrationale Zahlen gruppiert.

Irrationale Zahlen – Eigenschaften

Du erkennst irrationale Zahlen an den folgenden Eigenschaften:

• Irrationale Zahlen können nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden.
• Irrationale Zahlen haben unendlich viele Stellen nach dem Komma.
• Diese unendlich vielen Nachkommastellen wiederholen sich nicht periodisch.
• Irrationale Zahlen füllen die Lücken des Zahlenstrahls und bilden zusammen mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen.

Irrationalen Zahlen – Beispiele

Zu den bekanntesten Beispielen von irrationalen Zahlen gehören die Kreiszahl \(\pi\) und die eulersche Zahl \(e\).

Weitere irrationale Zahlen erhältst Du auch, wenn Du aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, die Wurzel ziehst, zum Beispiel $\sqrt{2}$. Die ersten vier Nachkommastellen werden Dir im Nachfolgenden angegeben.

$\sqrt{2}=1,4142...$

Nicht alle Wurzeln sind irrational.

Irrationale Zahlen – Einordnung in die Zahlenmengen

Du fragst Dich, wofür Du irrationale Zahlen überhaupt benötigst und wie Du sie von anderen Zahlen unterscheidest?

Unterschied rationale und irrationale Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) wird in der Mathematik gebraucht, um die reellen Zahlen $\mathrm{ℝ}$ zu erhalten. Diese ergeben sich nämlich, wenn zu der Menge der rationalen Zahlen $\mathrm{\mathbb{Q}}$ noch die Menge der irrationalen Zahlen dazu gezählt wird. Die Menge der reellen Zahlen bildet keine neue Gruppe von Zahlen, sondern ist eine Summe aus den beiden Mengen.

Die reellen Zahlen beinhalten die irrationalen und die rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen beinhalten die ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen beinhalten wiederum die natürlichen Zahlen.

$\mathrm{ℝ}\to \mathrm{\mathbb{Q}}\to \mathrm{\mathbb{Z}}\to \mathrm{\mathbb{N}}$

Die irrationalen Zahlen liegen in der folgenden Grafik also nicht mehr im Bereich der rationalen Zahlen, sondern erweitern den Zahlenbereich zu den reellen Zahlen:

Abb. 2 - Zahlenmengen

Irrationale Zahlen konstruieren – Zahlenstrahl

Ein besonders eindrucksvolles Beispiel für die Besonderheit von irrationalen Zahlen ist die folgende Idee:

Irrationale Zahlen konntest Du bisher nicht auf einem Zahlenstrahl wiederfinden!

Platziere nun ein einfaches gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1 auf den Zahlenstrahl.

Abb. 4 - Gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1

Mit dem Satz des Pythagoras kannst Du jetzt die fehlende Seitenlänge berechnen:

Abb. 5 - Berechnung der Wurzel 2 mit dem Satz des Pythagoras

Berechnung: $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Die Strecke der Hypotenuse hat also eine Länge von $\sqrt{2}$. Wenn Du nun die berechnete Strecke mit einem Zirkel auf den Zahlenstrahl abträgst, erhältst Du direkt die irrationale Zahl $\sqrt{2}$ auf dem Zahlenstrahl.

Abb. 6 - Konstruktion der irrationalen Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden

Rechnen mit irrationalen Zahlen

Natürlich kannst Du mit irrationalen Zahlen genauso wie mit allen anderen Zahlenarten rechnen. Allerdings wird das Ergebnis dann auch unendlich viele Nachkommastellen haben. Das Ergebnis ist also dann wieder eine neue irrationale Zahl.

Deshalb ist es oft sinnvoll, beispielsweise für $\pi$ nur den gerundeten Wert $3,14$ zu verwenden, je nachdem, wie genau das Ergebnis sein soll. Oder Du lässt $\pi$ einfach stehen.

Irrationale Zahlen erkennen – Aufgabe zum Üben

Zum Abschluss kannst Du nun Dein neu erlerntes Wissen zu den irrationalen Zahlen mit einigen Übungsaufgaben auf die Probe stellen.