Am 14. März findet alljährlich der inoffizielle Feiertag der Kreiszahl Pi statt, der Pi-Tag. Über die Jahre wurden immer mehr unterhaltsame Fakten und Anwendung über die Kreis-Konstante Pi hervorgebracht, beispielsweise, dass sich jedes beliebige Geburtsdatum im Gewirr der Nachkommastellen finden lässt. Bei der Zahl \(\pi\) handelt es sich um eine irrationale Zahl. Weitere Beispiele von irrationalen Zahlen und welche Eigenschaften diese aufweisen, erfährst Du hier!
Da die rationalen Zahlen eine wichtige Rolle bei den irrationalen Zahlen spielen, sollen diese noch einmal kurz wiederholt werden.
Grundlagenwissen irrationale Zahlen – Rationale Zahlen
Im Bereich der rationalen Zahlen sind die vier Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar. Rationale Zahlen können als Bruch ganzer Zahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden:
Folgende Tabelle zeigt Dir Beispiele und Darstellungsweisen von rationalen Zahlen.
| Art der Schreibweise | Beispiel |
| Positive und negative Brüche | |
| Periodische Dezimalzahlen | |
| Abbrechende Dezimalzahlen | |
Eine Dezimalzahl ist eine rationale Zahl, wenn sie …
- Endlich viele Stellen nach dem Komma hat.
- Unendlich viele Stellen nach dem Komma hat, aber periodisch ist.
Du bist Dir bei den rationalen Zahlen nicht mehr ganz sicher und möchtest Dein Wissen auffrischen? Dann schau Dir hierzu doch die Erklärung „Rationale Zahlen“ an.
Da sich alle natürlichen Zahlen auch als unechte Brüche darstellen lassen, sind natürliche und ganze auch rationale Zahlen.
Irrationale Zahlen – Definition
Irrationalen Zahlen bist Du mit Sicherheit schon einmal bewusst oder unbewusst begegnet.
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können.
Mit Irrationalität ist gemeint, dass die Zahl nicht periodisch, aber trotzdem unendlich lang ist. Du kannst sie mit dezimaler Schreibweise (also 4,578682749 …) nicht vollständig aufschreiben, da nach der letzten geschriebenen Stelle immer noch eine Zahl kommt, unendlich lange. Wenn Du aus ihnen also eine Dezimalzahl bilden willst, musst Du die Zahl runden.
Irrationale Zahlen – Symbol
Für die irrationalen Zahlen wird ein I mit Doppelstrich, also das Symbol verwendet.
Die Menge der irrationalen Zahlen lässt sich als Differenzmenge aus zwei Zahlenmengen schreiben:
Irrationale Zahlen: \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)
Dabei ist die Menge der reellen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen.
In der Menge der reellen Zahlen sind alle rationalen und irrationalen Zahlen zu finden. Mit den reellen Zahlen ist der Zahlenstrahl vollständig.
Irrationale Zahlen kannst Du als eine Art Gegenstück zu den rationalen Zahlen verstehen. Alle gehören zur Menge der reellen Zahlen, der numerischen Menge, die rationale und irrationale Zahlen gruppiert.
Irrationale Zahlen – Eigenschaften
Du erkennst irrationale Zahlen an den folgenden Eigenschaften:
- Irrationale Zahlen können nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden.
- Irrationale Zahlen haben unendlich viele Stellen nach dem Komma.
- Diese unendlich vielen Nachkommastellen wiederholen sich nicht periodisch.
- Irrationale Zahlen füllen die Lücken des Zahlenstrahls und bilden zusammen mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen.
Irrationalen Zahlen – Beispiele
Zu den bekanntesten Beispielen von irrationalen Zahlen gehören die Kreiszahl \(\pi\) und die eulersche Zahl \(e\).
| Irrationale Zahl | Ungefährer Wert | Anwendung |
| | Berechnung eines Kreises, Trigonometrie |
| | Wachstumsprozesse e-Funktion |
Weitere irrationale Zahlen erhältst Du auch, wenn Du aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, die Wurzel ziehst, zum Beispiel . Die ersten vier Nachkommastellen werden Dir im Nachfolgenden angegeben.
Eine Zahlenmenge der irrationalen Zahlen kann also zum Beispiel so geschrieben werden:
Nicht alle Wurzeln sind irrational.
ist keine irrationale Zahl.
Die Zahl
ist eine natürliche Zahl, da 25 eine Quadratzahl ist.
Irrationale Zahlen – Einordnung in die Zahlenmengen
Du fragst Dich, wofür Du irrationale Zahlen überhaupt benötigst und wie Du sie von anderen Zahlen unterscheidest?
Unterschied rationale und irrationale Zahlen
Die Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) wird in der Mathematik gebraucht, um die reellen Zahlen zu erhalten. Diese ergeben sich nämlich, wenn zu der Menge der rationalen Zahlen noch die Menge der irrationalen Zahlen dazu gezählt wird. Die Menge der reellen Zahlen bildet keine neue Gruppe von Zahlen, sondern ist eine Summe aus den beiden Mengen.
Reelle Zahlen sind die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) zusammen. Also die Vereinigungsmenge aus den beiden Zahlenarten. Mit den reellen Zahlen kann der Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade abgebildet werden.
Die reellen Zahlen beinhalten die irrationalen und die rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen beinhalten die ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen beinhalten wiederum die natürlichen Zahlen.
Die irrationalen Zahlen liegen in der folgenden Grafik also nicht mehr im Bereich der rationalen Zahlen, sondern erweitern den Zahlenbereich zu den reellen Zahlen:
Abb. 2 - Zahlenmengen
Irrationale Zahlen konstruieren – Zahlenstrahl
Ein besonders eindrucksvolles Beispiel für die Besonderheit von irrationalen Zahlen ist die folgende Idee:
Irrationale Zahlen konntest Du bisher nicht auf einem Zahlenstrahl wiederfinden!
Platziere nun ein einfaches gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1 auf den Zahlenstrahl.
Abb. 4 - Gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1
Mit dem Satz des Pythagoras kannst Du jetzt die fehlende Seitenlänge berechnen:
Der Satz des Pythagoras stellt in einem rechtwinkligen Dreieck eine Beziehung zwischen drei Seiten her: \(a^2+b^2=c^2\)
Abb. 5 - Berechnung der Wurzel 2 mit dem Satz des Pythagoras
Berechnung:
Die Strecke der Hypotenuse hat also eine Länge von . Wenn Du nun die berechnete Strecke mit einem Zirkel auf den Zahlenstrahl abträgst, erhältst Du direkt die irrationale Zahl auf dem Zahlenstrahl.
Abb. 6 - Konstruktion der irrationalen Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden
Die irrationalen Zahlen füllen die Lücken des Zahlenstrahls und ergeben gemeinsam mit den ganzen Zahlen die reelle Zahlenmenge . Die rationalen Zahlen reichen dafür allein nicht.
In der folgenden Vertiefung wird bewiesen, warum es sich bei der Zahl \(\sqrt{2}\) um keine rationale Zahl handeln kann.
Irrationale Zahlen – Beweis anhand Wurzel 2
Bei einem Widerspruchsbeweis geht es darum, dass eine Annahme, die aufgestellt wird, zu einem Widerspruch führt. Dabei gehst Du in folgenden Schritten vor:
- Schritt 1: zu beweisende Behauptung aufstellen
- Schritt 2: zu widersprechende gegenteilige Annahme aufstellen
- Schritt 3: Annahme aus Schritt 2 mathematisch umformen
- Schritt 4: mathematischen Widerspruch aufdecken
Die Annahme, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl, muss dementsprechend zu einem Widerspruch führen.
Schritt 1
Behauptung: ist irrational.
Schritt 2
Annahme: ist rational.
Vorüberlegungen:
- Wenn Du eine Zahl n mit 2 multiplizierst, so ist das Ergebnis eine gerade Zahl (2⋅n).
- Ist das Quadrat einer Zahl gerade, so ist es auch die Zahl selbst. (Beispiel: 64 ist gerade und 8 auch)
- Brüche können gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.
Schritt 3
| Beweisschritt | Erläuterungen |
| 1. | | Jede rationale Zahl kann als Bruch dargestellt werden, also auch .(p und q sind teilerfremd, das heißt der Bruch kann nicht weiter gekürzt werden). |
| 2. | | Quadrieren beider Seiten der Gleichung. |
| 3. | | Umformen der Gleichung nach p durch Multiplikation. |
| 4. | ist gerade. | Das folgt aus der Darstellung von p. |
| 5. | p ist gerade. | Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung. |
| 6. | | p ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl n. |
| 7. | | Quadrieren beider Seiten der Gleichung. |
| 8. | | Gleichsetzen von und . |
| 9. | | Division durch 2. |
| 10. | ist gerade. | Das folgt aus der Darstellung von . |
| 11. | q ist gerade. | Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung. |
| 12. | | q ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl m. |
| 13. | | p und q sind gerade und beide durch 2 teilbar. |
Schritt 4: Dadurch, dass p und q beide gerade sind, haben sie noch einen gemeinsamen Teiler. Somit ist
doch kein gekürzter Bruch. Das widerspricht der Annahme, dass
rational ist.Damit ist bewiesen, dass
nur irrational sein kann.
Rechnen mit irrationalen Zahlen
Natürlich kannst Du mit irrationalen Zahlen genauso wie mit allen anderen Zahlenarten rechnen. Allerdings wird das Ergebnis dann auch unendlich viele Nachkommastellen haben. Das Ergebnis ist also dann wieder eine neue irrationale Zahl.
Deshalb ist es oft sinnvoll, beispielsweise für nur den gerundeten Wert zu verwenden, je nachdem, wie genau das Ergebnis sein soll. Oder Du lässt einfach stehen.
Zu berechnen ist hier der Umfang eines Kreises. Der Radius ist mit gegeben. Der Umfang eines Kreises berechnet sich also gemäß der Formel:
Jetzt kannst Du diesen Term so in den Taschenrechner eingeben und erhältst damit eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen.
Diesen Wert kannst Du jetzt gerundet angeben. Hier wird auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Falls Du keinen Taschenrechner benutzen darfst, so kannst Du zur Berechnung des Umfangs auch den gerundeten Wert mit \(\pi\approx 3{,}14\) verwenden. Je mehr Nachkommastellen Du dabei von \(\pi\) kennst, desto genauer ist die Berechnung.
Der Umfang U eines Kreises mit dem Radius beträgt also gerundet bzw. genau .
Irrationale Zahlen erkennen – Aufgabe zum Üben
Zum Abschluss kannst Du nun Dein neu erlerntes Wissen zu den irrationalen Zahlen mit einigen Übungsaufgaben auf die Probe stellen.
Welche der folgenden Zahlen gehört zu der Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) ?
-
Lösung
- ist keine irrationale Zahl, 16 ist eine Quadratzahl
- ist eine irrationale Zahl.
- ist keine irrationale Zahl, weil sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen.
- ist eine irrationale Zahl.
- ist eine irrationale Zahl, da die Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl gezogen wird.
- ist keine irrationale Zahl, weil sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen.
Irrationale Zahlen – Das Wichtigste
- Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Jede reelle Zahl ist entweder eine rationale oder eine irrationale Zahl.
- Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die durch einen Bruch dargestellt werden kann.
- Dabei muss sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganze Zahl stehen.
- Die Null im Nenner ist jedoch nicht erlaubt.
- Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzen Zahlen dargestellt werden können.
- Sie werden wie folgt dargestellt: \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)
- Sie haben in ihrer Dezimaldarstellung unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen.
- Beispiele von irrationalen Zahlen sind die Kreiszahl \(\pi\) und die eulersche Zahl \(e\).
- Wenn Du mit irrationalen Zahlen rechnest, kann es helfen, gerundete Werte zu nehmen.
- Durch die irrationalen Zahlen wird der Zahlenbereich der rationalen Zahlen erweitert zum Zahlenbereich der reellen Zahlen, die die Grundmenge für das Arbeiten mit Funktionen sind.
- Die rationalen und die irrationalen Zahlen ergeben zusammen die reellen Zahlen. Ohne irrationale Zahlen gibt es auch keine vollständige reelle Zahlenmenge.
- Sie füllen die Lücken auf der Zahlenebene.
Nachweise
- Grünberg, Sandra (2017). fit fürs abi. Oberstufenwissen Mathematik. Schroedel Verlag, Braunschweig
- Bronstein, I.N., Semendjaev, K.A. (2001). Taschenbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main
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