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Stell Dir vor, Du hast 6 Kekse und möchtet sie auf Deine 3 Freund*innen verteilen. Jeder dieser Freund*innen soll dabei gleich viele Kekse bekommen. Wie viele Kekse bekommt jede*r?
Diese Frage kann mithilfe der Division beantwortet werden. Was das ist, wie das funktioniert und vieles mehr zu dem Thema erfährst Du in diesem Artikel.
Grundlage aller Rechnungen in der Mathematik sind die vier Grundrechenarten. Die Division ist eine davon. Um eine Division aufzuschreiben, wird der Doppelpunkt „:“ verwendet. Vorstellen kannst Du Dir das Dividieren am besten unter dem Begriff „Teilen“ – denn eigentlich wird bei der Division geprüft, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl geteilt werden kann.
Bei der Division wird eine Zahl in andere Zahlen aufgeteilt. Das Ergebnis der Division von Dividend und Divisor wird als Quotient bezeichnet.
Das kannst Du Dir auf zwei Arten vorstellen:
Wenn Du wieder an das Beispiel aus der Einleitung zurückdenkst:
Du hast 6 Kekse und möchtest jedem Deiner 3 Freund*innen gleich viele Kekse geben. Du möchtest wissen, wie viele Kekse jede*r bekommt.
Abbildung 1: Rechenschieber Division
Zur Berechnung wendest Du die Division an:
Insgesamt bekommt jeder 6 durch 3 Kekse. Du möchtest ja insgesamt die 6 Kekse auf Deine 3 Freund*innen aufteilen. Wenn Du 6 durch 3 teilst, dann erhältst Du 2.
Abbildung 2: Kekse Rechenschieber
Insgesamt benötigst Du also 6 Kekse.
Ein Zahlenstrahl (auch Zahlengerade genannt) kann Dir ebenfalls helfen, die Division zu verstehen. Auf einem Zahlenstrahl sind die Zahlen nebeneinander auf einer Strecke eingetragen.
Abbildung 3: Division mit dem Zahlenstrahl
Du beginnst beim Wert des Dividenden und gehst dann, so oft wie möglich in Schritten mit dem Wert des Divisors nach links, bis Du bei der 0 ankommst. Die Anzahl an Schritten, mit dem Wert des Divisors, die Du nach links gegangen bist, ist der Quotient.
Demnach startest Du bei 6, weil Du 6 Kekse hast und gehst in 3er-Schritten, weil Du 3 Freunde hast, nach links. Die Anzahl der Wiederholungen dieses Vorgangs ist der Quotient. Auch hier erhältst Du das Ergebnis 2.
Die Grundlagen der "Geteilt-Rechnung" haben Dir die obigen Beispiele näher gebracht. Im Folgenden werden Dir Fachbegriffe, Eigenschaften und Zeichen der Division vorgestellt.
Es gibt bestimmte Begriffe, um eine Division und ihre Bestandteile zu beschreiben.
Abbildung 4: Begriffe der Division
Dividend | Quotient | |
Der Dividend ist die vorderste Zahl. Der Dividend ist die Zahl, die in zwei andere Zahlen aufgeteilt wird. | Der Divisor ist die Zahl nach dem "geteilt"-Zeichen. Es ist der Wert, bei dem geprüft wird, wie oft er in den Wert des Dividenden passt. | Der Quotient bezeichnet die Rechnung des Dividenden geteilt durch den Divisor. Der Wert des Quotienten ist das Ergebnis dieser Rechnung. |
Bei der Division wird berechnet, wie oft der Divisor in den Dividenden passt. Das Ergebnis ist der Quotient mit seinem zugehörigen Wert.
Tipp:
Die Reihenfolge von Dividend und Divisor stehen bei der Division in der Reihenfolge, wie sie auch im Wörterbuch stehen würden. Also erst d vor s (Dividend vor Divisor).
Die Division wird grundsätzlich als Umkehroperation der Multiplikation bezeichnet. Bei der Multiplikation gelten das Kommutativ- und das Assoziativgesetz. Bei der Division ist dies nicht der Fall.
Das Assoziativgesetz: 
Du darfst also innerhalb eines Quotienten den Dividenden und den Divisor nicht einfach vertauschen, das Ergebnis bleibt nicht das Gleiche.
Das Kommutativgesetz:
Das bedeutet, Teilrechnungen innerhalb der Division dürfen nicht in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden.
Zu diesen Rechenregeln solltest Du Dir die Artikel zum Assoziativgesetz und Kommutativgesetz genauer ansehen.
Außerdem gibt es noch ein paar Tricks, die Dir bei manchen Rechnungen sehr viel Zeit sparen können:
Dividieren mit der Zahl Null
Null als Dividend: 
Der Quotient von 0 mit einer beliebigen Zahl a, ergibt 0. Wenn Du als Anfangswert 0 hast, so kannst Du 0 nicht in andere Zahlen teilen.
Null als Divisor: 
Eine der absoluten Grundregeln der Mathematik stellt die Regel dar, dass niemals durch null geteilt werden darf. Du kannst Deine 6 Kekse ja nicht auf 0 Freunde verteilen.
Dividieren mit der Zahl 1: 
Der Quotient einer beliebigen Zahl a mit eins dividiert, entspricht dem Wert der Zahl a. Wenn Du eine Zahl a durch 1 dividierst, so passt sie a mal 1 in a.
Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Arten von Quotienten bei Divisionen:
Aber was bedeutet das eigentlich?
Ein Quotient ohne Rest ist eine natürliche Zahl. In diesem Fall lassen sich der Dividend und der Divisor „gerade“ durcheinander teilen.
So ist das zum Beispiel im Anfangsbeispiel. Dort hat jeder Deiner Freunde zwei Kekse bekommen.
Hättest Du jetzt zum Beispiel nicht 6, sondern nur 5 Kekse gehabt, weil Du einen schon selbst gegessen hast , dann hätte nicht jeder Deiner Freunde 2 Kekse bekommen. Du hättest jedem Deiner Freunde nur einen Keks geben können und hättest dann noch 2 Kekse übrig gehabt. Du hättest also einen Rest von 2.
Wenn Du einen Rest hast, dann kannst Du den Quotienten mit dem Rest zusammen auch in einen Bruch umwandeln.
Aufgabe 1
Berechne 
.
Lösung
Jetzt kannst Du Dir das entweder wieder mit den Keksen vorstellen oder Du gehst anhand von einem Zahlenstrahl vor. In diesem Fall wird der Zahlenstrahl verwendet.
Du startest bei 14, das ist Dein Anfangswert. Dann gehst Du in 4er-Schritten nach links, in Richtung 0.
Nach dem ersten 4er-Schritt landest Du bei 10. Bei dem zweiten 4er-Schritt landest Du bei 6. Beim dritten 4er-Schritt bist Du dann schon bei 2.
Jetzt kannst Du nicht noch weiter nach links gehen, weil Du dann unter der 0 wärst. Bis jetzt bist Du 3 4er-Schritte gegangen und bist auf der Zahl 2 gelandet. Dein Ergebnis ist also 3, mit dem Rest 2.
Als Bruchzahl könntest Du auch schreiben:
Wenn Du wissen willst, wie natürliche Zahlen in Brüche umgewandelt werden, dann lese Dir doch den Artikel „Brüche und besondere Brüche“ durch.
Um zu testen, ob Du die Division verstanden hast, folgen an dieser Stelle noch ein paar Übungsaufgaben.
Aufgabe 2
Ermittle den Quotienten folgender Divisionen:
a)
b)
c) 
d) 
Lösung
a)
Als Erstes musst Du Dich wieder entscheiden, ob Du Dir die Rechnung mit den Keksen vorstellen willst oder mit dem Zahlenstrahl. Bei dem Zahlenstrahl startest Du bei 12 und gehst dann in 4er-Schritten nach links in Richtung 0. So endest Du dann bei 3 4er-Schritten genau bei 0. Dein Ergebnis lautet also:
b)
Bei dieser Aufgabe musst Du eigentlich gar nicht rechnen. Du musst nur die Rechenregeln von oben kennen, denn 0 durch eine Zahl a ist immer 0, also ist 0 geteilt durch 100 auch 0.
c)
Auch bei der Aufgabe wird der Zahlenstrahl verwendet. Du kannst natürlich trotzdem gerne die Variante mit den Keksen nehmen, wenn Dir das leichter fällt.
Du startest bei der 20 und gehst dann in 3er-Schritten nach links, in Richtung 0. Das sieht dann so aus:
Nummer des Schritts | 3-er Schritt abwärts |
0 | 20 |
1 | 17 |
2 | 14 |
3 | 11 |
4 | 8 |
5 | 5 |
6 | 2 |
d)
In diesem Fall sind 3 Zahlen gegeben. Im Prinzip funktioniert das hier wie bei den anderen Divisionen. Du musst nur darauf achten, von links nach rechts vorzugehen. Erst berechnest Du den Quotienten der ersten beiden Zahlen und dann berechnest Du den Quotienten von diesem Ergebnis mit der dritten Zahl.Dein erste Rechnung lautet also:
Du gehst also 4 mal 4 Schritte nach links, um bei der 0 zu landen.
Dann lautet Deine Rechnung:
Von der 4 aus kannst Du 2 2er-Schritte gehen, bis Du bei der Null landest. Das Ergebnis lautet also:
Ab einem gewissen Punkt werden die Zahlen zu groß, als dass Du eine Division im Kopf durchführen kannst. In diesen Fällen kannst Du dann eine schriftliche Division durchführen.
Bei der Division wird in echte Teiler und unechte Teiler unterschieden. In diesem Abschnitt geht es um echte Teiler. Der Quotient bei echten Zählern ist immer eine natürliche Zahl.
Zur Erinnerung:
Eine natürliche Zahl ist eine ganze Zahl ohne Nachkommastellen.
Grundsätzlich arbeitest Du bei der schriftlichen Division von links nach rechts und kommst zum Ergebnis, indem Du jeweils prüfst, wie oft der Divisor in einen Teil des Dividenden passt. Hier einmal Schritt für Schritt:
Aufgabe 2
Berechne folgende Division schriftlich in Deinem Heft.
Lösung
Schritt 1:
Betrachte die erste Zahl des Dividenden, hier die 1. Du prüfst, ob der Divisor, die 8, in diese erste Zahl hinein passt. Ist das nicht der Fall, also ist der Divisor größer, als die erste Zahl, wie hier 8 > 1, musst Du so lange Zahlen vom Dividenden dazu nehmen, bis die so gebildete Zahl – der Hilfswert – größer ist, als der Divisor. In diesem Beispiel ist das bei der Zahl 10 der Fall.
Abbildung 5: schriftliche Division
Schritt 2:
Anschließend prüfst Du, wie oft der Divisor in den Hilfswert passt und bestimmen das zugehörige Vielfache. In diesem Beispiel passt die 8 genau 1-mal in die 10.
So erhältst Du den ersten Teil des Ergebnisses, welches Du notieren kannst. Du kannst jetzt die 1 als erste Ziffer Deines Ergebnisses notieren.
Dann musst Du das Vielfache, also die 8, vom Hilfswert schriftlich von der 10 subtrahieren. 10 – 8 = 2 – das notierst Du ebenfalls.
Abbildung 6: schriftliche Division
Schritt 3:
Neben das Ergebnis der Subtraktion wird die nächste Stelle des Dividenden, also die 4, geschrieben. Der neue Hilfswert ist also 24.
Abbildung 7: schriftliche Division
Schritt 4:
Hier wiederholt sich bereits das Vorgehen. Du ermittelst das Vielfache des Divisors, das noch in den Hilfswert passt – also hier 24, das 3-fache von 8. Dieses Vielfache subtrahierst Du vom Hilfswert und notierst die 3 als nächsten Teil des Ergebnisses.
Abbildung 8: schriftliche Division
Schritt 5:
Sobald alle Ziffern des Dividenden verbraucht wurden, musst Du noch den Rest ermitteln. Dieser ist der Rest der letzten Subtraktion, also in diesem Fall 0.
Abbildung 9: schriftliche Division
Wie oben bereits erwähnt, gibt es auch unechte Teiler.
Der Quotient von unechten Teilern ist eine Dezimalzahl oder eine natürliche Zahl mit Rest.
In einer Aufgabe gehst Du dann so vor:
Aufgabe 3
Berechne folgende Division schriftlich in Deinem Heft.
Lösung
Bei der Division mit Rest gehst Du am Anfang genauso vor, wie bei der Division ohne Rest. Du nimmst Ziffern des Dividenden so lange hinzu, bis eine Zahl entsteht, die sich durch den Divisor teilen lässt. In diesem Fall ist das die Zahl 202.
Abbildung 10: schriftliche Division
Als Nächstes teilst Du diese Zahl durch den Divisor. Hier passt die 60 3-mal in die 202. Das Ergebnis, also die 180, subtrahierst Du schriftlich von 202. Die Anzahl, mit der Du den Divisor multipliziert hast, also 3, schreibst Du hinter das =.
Abbildung 11: schriftliche Division
Dann ziehst Du die 5 vom ursprünglichen Dividenden herunter, sodass dort die Zahl 225 entsteht.
Abbildung 12: schriftliche Division
Im nächsten Schritt teilst Du auch diese Zahl wieder durch den Divisor, was ebenfalls 3 ergibt. Du schreibst also noch eine weitere 3 hinter das Gleichzeichen. Außerdem subtrahierst Du das Produkt von 3 mit 60 wieder von den 225.
Abbildung 13: schriftliche Division
Jetzt ändert sich die Vorgehensweise im Vergleich zur "normalen" schriftlichen Version. Du kannst jetzt keine Zahl mehr vom ursprünglichen Divisor herunterziehen. Grundsätzlich hast Du jetzt zwei Möglichkeiten:
Abbildung 14: schriftliche Division
Jetzt kannst Du wieder weitermachen wie bisher. Die 60 passt 7 mal in die 450. Also schreibst du 7 hinter das Komma und subtrahierst 420 von 450.
Abbildung 15: schriftliche Division
Anschließend hast Du immer noch einen Rest von 30, Du ziehst also noch eine 0 herunter.
Abbildung 16: schriftliche Division
Jetzt passt die 60, 5 mal in die 300 und diese Rechnung ist auch ohne Rest lösbar, denn 60 mal 5 ist genau 300. Dein Ergebnis lautet also 33,75.
Abbildung 17: schriftliche Division
Du kannst bei einer schriftlichen Division jedoch nicht nur Natürliche Zahlen und Kommazahlen, sondern auch periodische Zahlen, wie zum Beispiel 
, erhalten.
In diesen Fällen merkst Du aber schnell, dass Du nach dem Subtrahieren und nachdem Du eine Null herunter gezogen hast, immer wieder das gleiche Ergebnis erhältst.
Aufgabe 4
Berechne den Quotienten folgender Rechnung:
Lösung
Als Erstes unterscheidet sich diese Division nicht von den anderen schriftlichen Divisionen. Die 9 passt einmal in die 13. Du ziehst also 9 von 13 ab. So erhältst Du 4 und schreibst eine 1 hinter das Gleichzeichen.
Abbildung 18: schriftliche Division
Dann setzt Du ein Komma hinter die 1 und ziehst eine 0 herunter. So kannst Du prüfen, wie oft die 9 in die 40 passt. Am nächsten kommt 4 mal 9, was 36 ergibt. Jetzt hast Du wieder eine Differenz von 4. Hinter das Komma kannst du ebenfalls eine 4 schreiben
Abbildung 19: schriftliche Division
Wenn Du so weiter denkst, dann wird es bis unendliche jetzt immer so weitergehen, denn auch hier passt die 9 4-mal in die 40. Du subtrahierst also wieder 36 und das Ergebnis ist 4. Du ziehst eine 0 herunter und hast wieder eine 40. Es handelt sich also um eine periodische Zahl.
Abbildung 20: schriftliche Division
Das Ergebnis von
lautet demnach 
.
Eine Division mit Dezimalzahlen unterscheidet sich bis auf eine Regel nicht von jeder anderen Division. Diese lautet:
Bei einer schriftlichen Division darf der Divisor keine Dezimalzahl sein.
Aber wie löst Du dann solche Divisionen? In einem Beispiel erfährst Du es!
Aufgabe 5
Berechne folgende Division:
Lösung
Der erste Schritt ist auch schon der Schritt, der die Division von Dezimalzahlen von der Division mit natürlichen Zahlen unterscheidet.
Die wichtigste Regel hierbei lautet: Der Divisor darf keine Dezimalzahl sein.
Jetzt denkst Du Dir vielleicht, dass diese Aufgabe dann nicht lösbar ist. Das stimmt jedoch nicht ganz.
Du darfst das Komma des Divisors um eine Stelle verschieben, wenn Du das auch beim Dividenden machst. Konkret bedeutet das, dass Du anstatt von 3,6 auch 36 schreiben kannst, wenn du 48,618 zu 468,18 änderst.
An diesem Punkt gehst Du dann wie bisher vor. Du nimmst die kleinstmögliche Anzahl an Zahlen des Dividenden und teilst diese durch den Divisor. 48 geteilt durch 36 ist 1. Du schriebst also eine 1 hinter das = Zeichen und subtrahierst 36 von 48. Das ist 12.
Dann ziehst Du die 6 vom Dividenden runter. Die 36 passt 3 mal in die 136. Du schreibst also noch eine 3 hinter die 1 und subtrahierst 108 von 126.
Jetzt bist Du am Komma des Dividenden angekommen. Anstatt das Komma mit herunter zuziehen, schreibst Du es mit ins Ergebnis. Du schreibst das Komma also im Ergebnis hinter die 3.
Abbildung 21: schriftlich dividieren
Das war auch schon das einzige, was sich zur "normalen" Division ändert. Jetzt ziehst Du die 1 vom Dividenden herunter.
Abbildung 22: schriftlich dividieren
Um den Quotienten zu berechnen, dividierst Du jetzt also 181 durch 6. 36 mal 5 ergibt 180. Du schreibst 5 hinter das Komma und subtrahierst 180 von 181.
Dann ziehst Du die 8 vom Dividenden herunter. 36 passt 0 mal in die 18. Du schreibst also eine 0 hinter die 5 und subtrahierst 0.
Zum Schluss musst du noch eine 0 herunterziehen. 5 mal 36 entspricht 180. Nach der Subtraktion ist kein Rest übrig.
Abbildung 23: schriftlich dividieren
Dein Ergebnis lautet also 13,505.
Wenn Du etwas halbschriftlich dividierst, bedeutet das, dass Du den Dividenden in Vielfache zerlegst, die durch den Divisor teilbar sind.
In einem Beispiel sieht das so aus:
Aufgabe 4
Berechne den Quotienten von folgender Rechnung halbschriftlich:
Lösung
In diesem Fall bietet es sich an, die Zahl 3600 zu nehmen. Du berechnest also den Quotienten von 3600 mit 6.
Tipp: Wenn die Zahlen so groß sind, dann kannst Du die Nullen bei der Rechnung weglassen, in diesem Fall also 36 : 6 rechnen. Der Quotient beträgt dann 6. Daraufhin kannst Du dann die Nullen wieder hinzufügen. Du hast bei der Vereinfachung 2 Nullen weggenommen und musst also jetzt wieder 2 Nullen hinzufügen. Das Ergebnis von 3 600 : 6 lautet demnach 600.
Als nächstes kannst Du dann die verbliebenen 48 durch 6 teilen.
So hast Du den ursprünglichen Dividenden in zwei Teile aufgeteilt und von diesen jeweils den Quotienten berechnet. Zum Schluss musst Du dann die beiden Quotienten addieren.
Das Ergebnis dieser Division beträgt demnach 608.
Die Division ist eine der vier Grundrechenarten. Um eine Division aufzuschreiben, wird der Doppelpunkt „:“ verwendet. Vorstellen kannst Du Dir das Dividieren am besten unter dem Begriff „Teilen“ – denn eigentlich wird bei der Division geprüft, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl geteilt werden kann.
Wenn Du etwas halbschriftlich dividierst, bedeutet das, dass Du den Dividenden in Vielfache zerlegst, die durch den Divisor teilbar sind.
Wenn Du mehrstellige Zahlen hast, dann verwendest Du am besten die schriftliche Division. Grundsätzlich arbeitest Du dabei von links nach rechts und kommst zum Ergebnis, indem Du jeweils prüfst, wie oft der Divisor in einen Teil des Dividenden passt.
Grundsätzlich wird in Quotienten ohne Rest und mit Rest unterschieden.
Ein Quotient ohne Rest ist eine natürliche Zahl. In diesem Fall lassen sich der Dividend und der Divisor „gerade“ durcheinander teilen. So ist das zum Beispiel im Anfangsbeispiel (6 Kekse werden auf 3 Freunde aufgeteilt und jeder soll gleich viele Kekse bekommen). Dort hat jeder Deiner Freunde zwei Kekse bekommen.
Hättest Du jetzt zum Beispiel nicht 6, sondern nur 5 Kekse gehabt, weil Du einen schon selbst gegessen hast, dann hätte nicht jeder Deiner Freunde 2 Kekse bekommen. Du hättest jedem Deiner Freunde nur einen Keks geben können und hättest dann noch 2 Kekse übrig gehabt. Du hättest also einen Rest von 2.
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