Dividieren

Algebra

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\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Stell Dir vor, Du hast \(6\) Kekse und möchtet sie auf Deine \(3\) Freund*innen verteilen. Wie viele Kekse bekommt jede*r? Um das herauszufinden, musst Du dividieren, beziehungsweise geteilt rechnen. In dieser Erklärung wird Dir die schriftliche Division mit Kommazahlen und mit großen Zahlen näher gebracht. Dazu lernst Du noch, wie Du halbschriftlich dividierst.

Dividieren – Bedeutung

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten. Sie wird auch als "Geteilt rechnen" bezeichnet und dabei schaust Du, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl reinpasst.

Bei der Division wird eine Zahl in andere Zahlen aufgeteilt.

Das Ergebnis der Division von Dividend und Divisor wird als Quotient bezeichnet.

\begin{align} {\color{#1478c8}\overbrace{a}^{\text{Dividend}}} : {\color{#00dcb4}\overbrace{b}^{\text{D}\text{ivisor}}}= {\color{#fa3273} \overbrace{c}^{\text{Quotient}}}\end{align}

Dividend	Divisor	Quotient
Der Dividend ist die vorderste Zahl. Der Dividend ist die Zahl, die in zwei andere Zahlen aufgeteilt wird.	Der Divisor ist die Zahl nach dem "geteilt"-Zeichen. Es ist der Wert, bei dem geprüft wird, wie oft er in den Wert des Dividenden passt.	Der Quotient bezeichnet die Rechnung des Dividenden geteilt durch den Divisor. Der Wert des Quotienten ist das Ergebnis dieser Rechnung.

Du schaust also, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl geteilt werden kann. Dafür hast Du zwei Vorgehensweisen:

Schriftlich Dividieren – Vorgehensweise

Wenn Du eine Division ohne Taschenrechner durchführen musst, dann brauchst Du die schriftliche Division, bei der Du folgendermaßen vorgehst:

Rechenweg	Darstellung
1. Zuerst teilst Du die erste teilbare Zahl des Dividenden durch den Divisor. So oft wie der Divisor in den Dividenden passt, ist die erste Ziffer Deines Quotienten.	\begin{align} {\color{#1478c8}1}&{\color{#1478c8}0}4:{\color{gr}8}={\color{r}1} \\ -\,&{\color{#1478c8}8}\\ \hline & \end{align}
2. Jetzt ziehst Du einen Strich und schreibst den Rest der ersten Division unter diesen Strich. Achte dabei darauf, in der selben Spalte zu bleiben, schreibe die Zahlen also direkt unterinander, so wie rechts zu sehen.	\begin{align} {\color{#1478c8}1}&{\color{#1478c8}0}4:{\color{gr}8}={\color{r}1} \\ -\,&{\color{#1478c8}8}\\ \hline &{\color{ge}2} \end{align}
3. Dann ziehst Du die nächste Ziffer des Dividenden, die Du nicht für die letzte Division benutzt hast hinter den Rest der letzten Division.	\begin{align} 1&{0}{\color{#1478c8}4}:{8}={\color{r}1} \\ -\,&{8}\\ \hline &{2}{\color{#1478c8}4} \end{align}
4. Wiederhole jetzt die ersten Schritte mit der neuen Zahl.	\begin{align} 1&04:8={\color{r}13}\\-\,&8\\ \hline &{\color{#1478c8}24} \\ \ -&{\color{#1478c8}2} {\color{#1478c8}4} \\ \hline &\,\,\,{\color{ge}0}\end{align}

Dividieren mit Rest – Aufgaben mit Rechenweg

Dividieren mit Rest funktioniert genau, wie eine Division ohne Rest. Der Unterschied besteht darin, dass die Rechnung am Ende nicht vollständig aufgeht. Bei der Rechnung \(5:3\) passt die 3 genau einmal in die 5. Übrig bleibt dabei aber ein Rest von 2.

Das Ganze kannst Du Dir auch nochmal bildlich vorstellen.

Wie viele Kekse würde jeder Deiner \(3\) Freunde bekommen, wenn Du nur \(5\) Kekse hast?

Du hättest jedem Deiner Freunde nur einen Keks geben können und hättest dann noch 2 Kekse übrig gehabt. Du hättest also einen Rest von 2 Keksen.

Wenn Du einen Rest hast, dann kannst Du den Quotienten mit dem Rest zusammen auch in einen Bruch umwandeln, in dem Du in den Zähler des Bruchs den Rest schreibst und in den Nenner den Dividenden.

Dividieren mit Rest – Aufgabe 1

Die Vorgehensweise kannst Du Dir jetzt gern anhand einer Aufgabe anschauen.

Du hast \(14\) Gummibärchen und musst diese auf \(4\) Personen aufteilen. Wie viele Gummibärchen bekommt jeder?

Lösung

Du musst folgende Gleichung berechnen:

\[{\color{#1478c8}14}:{\color{#00dcb4}4}\]

Hier gehst Du mit der Methode des Zahlenstrahls vor.

Du startest bei \({\color{#1478c8}14}\), das ist Dein Anfangswert. Dann gehst Du in vierer Schritten nach links, in Richtung \(0\).

Division Zahlenstrahl StudySmarter Abb. 3 - Division am Zahlenstrahl..

Nach dem ersten Schritt landest Du bei \(10\). Bei dem zweiten Schritt landest Du bei der Zahl \(6\). Beim dritten Schritt bist Du dann schon bei \(2\).

Division Zahlenstrahl StudySmarter Abb. 4 - Division am Zahlenstrahl.

Jetzt kannst Du nicht noch weiter nach links gehen, weil Du dann hinter der Zahl \(0\) wärst. Bis jetzt bist Du \(3\) Vierer schritte gegangen und bist auf der Zahl \(2\) gelandet. Dein Ergebnis ist also \(3\), mit dem Rest \(2\).

\[{\color{#1478c8}14}:{\color{#00dcb4}4}={\color{#fa3273}3} \,\text{Rest} \,2\]

Schriftlich Dividieren mit großen Zahlen – Aufgabe 2

Bei der Division wird in echte Teiler und unechte Teiler unterschieden. In diesem Abschnitt geht es um echte Teiler. Der Quotient bei echten Zählern ist immer eine natürliche Zahl.

Zur Erinnerung:

Eine natürliche Zahl ist eine ganze Zahl ohne Nachkommastellen.

Grundsätzlich arbeitest Du bei der schriftlichen Division von links nach rechts und kommst zum Ergebnis, indem Du jeweils prüfst, wie oft der Divisor in einen Teil des Dividenden passt. Hier einmal Schritt für Schritt:

Du hast \(104\) Smarties und musst die auf \(8\) Freunde aufteilen. Wie viele Smarties bekommt jeder. Berechne schriftlich in Deinem Heft.

Lösung

Du rechnest also folgende Gleichung aus:

\[104:8=\]

Schritt 1:

Betrachte die erste Zahl des Dividenden, hier die \(1\). Du prüfst, ob der Divisor, die \(8\), in diese erste Zahl hinein passt. Ist das nicht der Fall, also ist der Divisor größer als die erste Zahl, wie hier \(8>1\), musst Du so lange Zahlen vom Dividenden dazu nehmen, bis die so gebildete Zahl – der Hilfswert – größer ist, als der Divisor. In diesem Beispiel ist das bei der Zahl \(10\) der Fall.

\[{\color{#1478c8}10}4:8=\]

Schritt 2:

Anschließend prüfst Du, wie oft der Divisor in den Hilfswert passt und bestimmen das zugehörige Vielfache. In diesem Beispiel passt die \(8\) genau \(1\) Mal in die \(10\).

So erhältst Du den ersten Teil des Ergebnisses, welches Du notieren kannst. Du kannst jetzt die \(1\) als erste Ziffer Deines Ergebnisses notieren.

Dann musst Du das Vielfache, also die \(8\), vom Hilfswert schriftlich von der \(10\) subtrahieren.

\[10-8=2\]

Das notierst Du ebenfalls.

\begin{align} {\color{#1478c8}1}&{\color{#1478c8}0}4:8=1\\ -\,&{\color{#1478c8}8}\\ \hline &2 \end{align}

Schritt 3:

Neben das Ergebnis der Subtraktion wird die nächste Stelle des Dividenden, also die \(4\), geschrieben. Der neue Hilfswert ist also \(24\).

\begin{align} 1&0{\color{#1478c8}4}:8=1\\ -\,&8\\ \hline &2{\color{#1478c8}4} \end{align}

Schritt 4:

Hier wiederholt sich bereits das Vorgehen. Du ermittelst das Vielfache des Divisors, das noch in den Hilfswert passt – also hier \(24\), das \(3\)-fache von \(8\). Dieses Vielfache subtrahierst Du vom Hilfswert und notierst die \(3\) als nächsten Teil des Ergebnisses.

\begin{align} 1&04:8=1{\color{#1478c8}3}\\-\,&8\\ \hline &{\color{#1478c8}24} \\ \ -&{\color{#1478c8}24} \\ \hline\end{align}

Schritt 5:

Sobald alle Ziffern des Dividenden verbraucht wurden, musst Du noch den Rest ermitteln. Dieser ist der Rest der letzten Subtraktion, also in diesem Fall \(0\)und somit ist die Aufgabe beednet.

\begin{align} 1&04:8=13\\-\,&8\\ \hline &{\color{#1478c8}24} \\ \ -&{\color{#1478c8}2} {\color{#1478c8}4} \\ \hline &\,\,\,{\color{#1478c8}0}\end{align}

Schriftlich dividieren mit Rest – Aufgabe 3

Wenn Du mit einem unechten Teiler schriftlich dividierst, dann ist der Quotient immer eine Dezimalzahl, oder eine natürliche Zahl mit Rest.

In einer Aufgabe gehst Du dann so vor:

Dein neuer Fernseher kostet \(2050\,\text{€}\) und musst diesen in \(60\) Monaten abbezahlen. Wie hoch ist jede Rate? Berechne schriftlich in Deinem Heft.

Lösung

Bei der Division mit Rest gehst Du am Anfang genauso vor, wie bei der Division ohne Rest. Du nimmst Ziffern des Dividenden so lange hinzu, bis eine Zahl entsteht, die sich durch den Divisor teilen lässt. In diesem Fall ist das die Zahl \(202\).

\begin{align} {\color{#1478c8}205}0\,\text{€} : \text{60}=\end{align}

Als Nächstes teilst Du diese Zahl durch den Divisor. Hier passt die \(60\) \(3\)-mal in die \(202\). Das Ergebnis, also die \(180\), subtrahierst Du von \(202\).

\[202-180=22\]

Die Zahl \(22\) ist der Rest. Die Anzahl, mit der Du den Divisor multipliziert hast, also \(3\), schreibst Du hinter das Gleichheitszeichen.

\begin{align} &{\color{#1478c8}202}5\,\text{€}:60={\color{#1478c8}3}\\ -&{\color{#1478c8}1} {\color{#1478c8}80} \\ \hline &\,\,\,{\color{#1478c8}22} \end{align}

Dann ziehst Du die \(5\) vom ursprünglichen Dividenden herunter, sodass dort die Zahl \(225\) entsteht.

\begin{align} &202{\color{#1478c8}5}\,\text{€}:60=3\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,22{\color{#1478c8}5} \end{align}

Im nächsten Schritt teilst Du auch diese Zahl wieder durch den Divisor, was ebenfalls \(3\) ergibt. Du schreibst also noch eine weitere \(3\) hinter das Gleichzeichen. Außerdem subtrahierst Du das Produkt von \(3\) und \(60\), also \(180\) wieder von den \(225\).

\[225-180=45\]

Die \(45\) ist jetzt dein Rest.

\begin{align} &2025\,\text{€}:60=33\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,{\color{#1478c8}225} \\ -&\,\,{\color{#1478c8}180} \\ \hline \end{align}

Jetzt ändert sich die Vorgehensweise im Vergleich zur "normalen" schriftlichen Version. Du kannst jetzt keine Zahl mehr vom ursprünglichen Divisor herunterziehen. Grundsätzlich hast Du jetzt zwei Möglichkeiten:

Du berechnest die Subtraktion und nennst Dein Ergebnis \(33\) mit dem Rest \(45\) oder
Du fügst ein Komma hinter die \(33\) ein und ziehst eine \(0\) herunter. So kannst Du Dein Ergebnis mit Nachkommastellen angeben.

\begin{align} &2025\,\text{€}:60=33\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,225 \\ -&\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\, {\color{#1478c8}45}{\color{#00dcb4}0} \end{align}

Jetzt kannst Du wieder weitermachen wie bisher. Die \(60\) passt \(7\) mal in die \(450\). Also schreibst Du \(7\) hinter das Komma und subtrahierst \(420\) von \(450\).

\begin{align} &2025\,\text{€}:60=33{,}{\color{#1478c8}7}\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,225 \\ -&\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\, {\color{#1478c8}450} \\ -&\,\,\,\,\,{\color{#1478c8}420} \end{align}

\[450-420=30\]

Anschließend hast Du immer noch einen Rest von \(30\), Du ziehst also noch eine \(0\) herunter.

\begin{align} &2025\text{€}:60=33{,}7\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,225 \\ -&\,\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\,450 \\ -&\,\,\,\,\,420 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{#1478c8}300} \end{align}

Jetzt passt die \(60\), \(5\) mal in die \(300\) und diese Rechnung ist auch ohne Rest lösbar, denn \(60\) mal \(5\) ist genau \(300\). Dein Ergebnis lautet also \(33{,}75\).

\begin{align} &2025\,\text{€}:60=33{,}75\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,225 \\ -&\,\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\,450 \\ -&\,\,\,\,\,420 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{#1478c8}300} \\ -&\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{#1478c8}300} \end{align}

Schriftlich dividieren mit Kommazahlen – Aufgabe 4

Eine Division mit Dezimalzahlen unterscheidet sich bis auf eine Regel nicht von jeder anderen Division. Diese lautet: Bei einer schriftlichen Division darf der Divisor keine Dezimalzahl sein.

Aber wie löst Du dann solche Divisionen? In einem Beispiel erfährst Du es!

Dividiere die Zahl \(48{,}618\) durch die Dezimalzahl \(3{,}6\).

Lösung

Der erste Schritt ist auch schon der Schritt, der die Division von Dezimalzahlen von der Division mit natürlichen Zahlen unterscheidet.

Die wichtigste Regel hierbei lautet: Der Divisor darf keine Dezimalzahl sein.

Du darfst das Komma des Divisors um eine Stelle verschieben, wenn Du das auch beim Dividenden machst. Konkret bedeutet das, dass Du anstatt von \(3{,}6\) auch \(36\) schreiben kannst, wenn Du \(48{,}618\) zu \(468,18\) änderst.

\begin{align} 48,618:3,6 \, \rightarrow \, 486,18 : 36\end{align}

An diesem Punkt gehst Du dann wie bisher vor. Du nimmst die kleinstmögliche Anzahl an Zahlen des Dividenden und teilst diese durch den Divisor. \(48\) geteilt durch \(36\) ist \(1\). Du schriebst also eine \(1\) hinter das Gleichheitszeichen und subtrahierst \(36\) von \(48\).

\[48-36=12\]

Dann ziehst Du die \(6\) vom Dividenden runter. Die \(36\) passt \(3\) Mal in die \(136\). Du schreibst also noch eine \(3\) hinter die \(1\) im Quotienten und subtrahierst \(108\) von \(126\).

\[126-108=18\]

Jetzt bist Du am Komma des Dividenden angekommen. Anstatt das Komma mit herunterzuziehen, schreibst Du es mit ins Ergebnis, also den Quotienten hinter die \(3\).

\begin{align} &486{,}18:36=13{,} \\ -&36 \\ \hline &126 \\ -&108 \\ \hline &\,\,\,18 \end{align}

Das war auch schon das einzige, was sich zur Division mit ganzen Zahlen ändert. Jetzt ziehst Du die \(1\) vom Dividenden herunter.

\begin{align} &486{,}{\color{#1478c8}1}8:36=13{,} \\ -&36 \\ \hline &126 \\ -&108 \\ \hline &\,\,\,18{\color{#1478c8}1} \end{align}

Du schaust also, wie oft die \(36\) in die \(181\) reinpasst.

\[36\cdot5=180\]

Du schreibst \(5\) hinter das Komma und subtrahierst \(180\) von \(181\).

\[181-180=1\]

Dann ziehst Du die \(8\) vom Dividenden herunter. \(36\) passt \(0\) Mal in die \(18\). Du schreibst also eine \(0\) hinter die \(5\) und subtrahierst \(0\) von der \(18\).

Zum Schluss musst Du noch eine \(0\) herunterziehen. Jetzt weißt Du schon, dass die \(36\) \(5\) Mal in die \(180\) passt. Nach der Subtraktion ist kein Rest übrig.

\begin{align} &486{,}18:36=13{,}505 \\ -&36 \\ \hline &126 \\ -&108 \\ \hline &\,\,\,181\\ -&\,\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,18 \\ -&\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,180 \\-&\,\,\,\,\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \end{align}

Dein Ergebnis lautet also \(13{,}505\).

Halbschriftliches Dividieren einfach erklärt & Aufgabe

Wenn Du in einer Aufgabe halbschriftlich dividierst, bedeutet das, dass Du den Dividenden in Vielfache zerlegst, die durch den Divisor teilbar sind.

In einem Beispiel sieht das so aus:

Dein Opa hat \(3648\,\text{€}\) über und möchte jedem seiner \(6\) Enkel gleich viel geben. Berechne halbschriftlich.

Lösung

Um die gleiche Aufteilung zwischen allen \(6\) Enkeln zu bestimmen, musst Du Folgendes rechnen:

\[3648:6\]

Da Du halbschriftlich dividieren sollst, bietet es sich an, die Zahl \(3600\) zu nehmen, weil die Quersumme diese Zahl auch durch \(6\) teilbar ist. Du berechnest also den Quotienten von \(3600\) geteilt durch \(6\).

\[3600\,\text{€}:6=600\,\text{€}\]

Als Nächstes kannst Du dann die verbliebenen \(48\,\text{€}\) durch \(6\) teilen.

\[48\,\text{€}:6=8\,\text{€}\]

So hast Du den ursprünglichen Dividenden in zwei Teile aufgeteilt und von diesen jeweils den Quotienten berechnet. Zum Schluss musst Du dann die beiden Quotienten \(600\,\text{€}\) und \(48\,\text{€}\) addieren.

\[600\,\text{€}+8\,\text{€}=608\,\text{€}\]

Jeder seiner \(6\) Enkelkinder bekommt \(608\,\text{€}\)

Dividieren – Das Wichtigste auf einen Blick

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten
Das Ergebnis der Division von Dividend und Divisor wird als Quotient bezeichnet\begin{align} {\color{#1478c8}\overbrace{a}^{\text{D}\text{ividend}}} : {\color{#00dcb4}\overbrace{b}^{\text{D}\text{ivisor}}}= {\color{#fa3273} \overbrace{c}^{\text{Q}\text{uotient}}}\end{align}
Bei der Division wird geprüft, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl geteilt werden kann. Manchmal passt die zweite Zahl mit einem Vielfachen genau in die erste Zahl. Manchmal ist das nicht der Fall, dann hat das Ergebnis einen Rest
Grundsätzlich arbeitest Du bei der schriftlichen Division von links nach rechts und kommst zum Ergebnis, indem Du jeweils prüfst, wie oft der Divisor in einen Teil des Dividenden passt
Wenn Du halbschriftlich dividierst, musst Du den Dividenden in Vielfache zerlegen, die durch den Divisor teilbar sind

Nachweise

Dürrschnabel (2019). Grundrechenarten. In: So viel Mathe muss sein!. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.
Welschenbach (2001). Die Grundrechenarten. In: Kryptographie in C und C++. Xpert.press. Springer, Berlin, Heidelberg.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Dividieren

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten. Um eine Division aufzuschreiben, wird der Doppelpunkt „:“ verwendet. Vorstellen kannst Du Dir das Dividieren am besten unter dem Begriff „Teilen“ – denn eigentlich wird bei der Division geprüft, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl geteilt werden kann.

Wenn Du etwas halbschriftlich dividierst, bedeutet das, dass Du den Dividenden in Vielfache zerlegst, die durch den Divisor teilbar sind.

Wenn Du mehrstellige Zahlen hast, dann verwendest Du am besten die schriftliche Division. Grundsätzlich arbeitest Du dabei von links nach rechts und kommst zum Ergebnis, indem Du jeweils prüfst, wie oft der Divisor in einen Teil des Dividenden passt.

Grundsätzlich wird in Quotienten ohne Rest und mit Rest unterschieden.

Ein Quotient ohne Rest ist eine natürliche Zahl. In diesem Fall lassen sich der Dividend und der Divisor „gerade“ durcheinander teilen. So ist das zum Beispiel im Anfangsbeispiel (6 Kekse werden auf 3 Freunde aufgeteilt und jeder soll gleich viele Kekse bekommen). Dort hat jeder Deiner Freunde zwei Kekse bekommen.

Hättest Du jetzt zum Beispiel nicht 6, sondern nur 5 Kekse gehabt, weil Du einen schon selbst gegessen hast, dann hätte nicht jeder Deiner Freunde 2 Kekse bekommen. Du hättest jedem Deiner Freunde nur einen Keks geben können und hättest dann noch 2 Kekse übrig gehabt. Du hättest also einen Rest von 2.

Wenn Du einen Rest hast, dann kannst Du den Quotienten mit dem Rest zusammen auch in einen Bruch umwandeln.

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Auf welche zwei Arten kannst Du Dir die Division vorstellen?

Die Division kannst Du Dir mithilfe von einem Rechenschieber oder mithilfe von einem Zahlenstrahl vorstellen.

Nenne die Begriffe der Division.

Das Ergebnis der Division von Dividend und Divisor wird als Quotient bezeichnet.

Was ist der Dividend?

Der Dividend ist die vorderste Zahl. Der Dividend ist die Zahl, die in zwei andere Zahlen aufgeteilt wird.

Was ist der Divisor?

Der Divisor ist die Zahl nach dem "geteilt"-Zeichen. Es ist der Wert, bei dem geprüft wird, wie oft er in den Wert des Dividenden passt.

Was ist der Quotient?

Der Quotient bezeichnet die Rechnung des Dividenden geteilt durch den Divisor. Der Wert des Quotienten ist das Ergebnis dieser Rechnung.

Welche Rechenregeln gelten bei der Division?

nur das Assoziativgesetz

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