Trigonometrische Funktionen

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Die trigonometrischen Funktionen spielen eine zentrale Rolle in der Analysis. Da es sich um periodische Funktionen handelt, haben sie eine besondere Bedeutung. Deshalb lohnt es sich, diese Funktionen ausführlich anzuschauen, um bei Bedarf darauf zurückgreifen zu können.

Die trigonometrischen Funktionen finden sowohl in der Schulmathematik, als auch in vielen anderen naturwissenschaftlichen Bereichen Anwendung.

Trigonometrischen Funktionen – Übersicht

Die trigonometrischen Funktionen bestehen aus der Sinus-, der Kosinus- und der Tangensfunktion.

Es handelt sich bei allen drei Funktionen um periodische Funktionen. Das bedeutet, dass sich nach einer Periode derselbe wiederholt und das immer und immer wieder.

Du bekommst hier einen groben Überblick über die drei trigonometrischen Funktionen mit ihren wichtigsten Eigenschaften. Wenn du mehr zu einer bestimmten Funktion erfahren möchtest, lies dir unsere Artikel Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion durch.

Trigonometrische Funktionen – Formeln

Zuerst kannst du dir die Funktionsgleichungen der drei trigonometrischen Funktionen anschauen.

Sinusfunktion	Kosinusfunktion	Tangensfunktion

Dabei fällt auf, dass die Tangensfunktion von der Sinus- und Kosinusfunktion abhängt.

Dies führt allerdings auch dazu, dass die Tangensfunktion Definitionslücken besitzt - nämlich genau an den Nullstellen der Kosinusfunktion, da in diesem Fall durch null geteilt werden würde.

Trigonometrische Funktionen – Schaubilder

Als nächstes kannst du dir die Schaubilder der trigonometrischen Funktionen anschauen.

Funktion	Schaubild
Sinus	Abbildung 1: Schaubild der Sinusfunktion
Kosinus	Abbildung 2: Schaubild der Kosinusfunktion
Tangens	Abbildung 3: Schaubild der Tangensfunktion

Bei den Schaubilder fällt dir vielleicht auf, dass die Sinus- und die Kosinusfunktion sehr ähnlich aussehen. Das kommt daher, dass die Kosinusfunktion lediglich durch eine Verschiebung um nach links durch die Sinusfunktion entsteht.

Die Kosinusfunktion wird trotz der Ähnlichkeit zur Sinusfunktion gesondert betrachtet, da es manchmal in praktischen Anwendungen einfacher ist, die Kosinusfunktion statt der Sinusfunktion zu nutzen.

Trigonometrischen Funktionen – Wertebereich

Der Wertebereich der trigonometrischen Funktionen gibt an, welche maximalen und minimalen die Funktionen annehmen können.

Sinusfunktion	Kosinusfunktion	Tangensfunktion

Wie du siehst, deckt sich der Wertebereich der Sinusfunktion mit dem der Kosinusfunktion. In beiden Fällen werden die nie größer als und nie kleiner als .

Lediglich der Wertebereich der Tangensfunktion ist ein anderer. Bei der Tangensfunktion laufen die im Bereich gegen und im Bereich gegen . Damit entsteht der Wertebereich der Tangensfunktion.

Trigonometrische Funktionen – Periode

Wie bereits am Anfang des Artikels erwähnt, handelt es sich bei allen drei trigonometrischen Funktionen um periodische Funktionen. Das bedeutet, dass sich ihre in bestimmten Abschnitten immer wiederholen. Diese Periode wird mit dem Buchstaben gekennzeichnet.

Sinusfunktion	Kosinusfunktion	Tangensfunktion

Wie du siehst, beträgt die Periode der Sinus- und Kosinusfunktion und die derTangensfunktion .

Das heißt also, dass sich die Schaubilder der drei trigonometrischen Funktionen immer wiederholen.

Da die Sinus- und die Kosinusfunktion eine Periode von besitzen, musst du dir das Ganze so vorstellen, dass die Funktionen zwischen und genau so aussehen wie zwischen und oder zwischen und . Das kannst du noch beliebig so weiter machen. Die beiden Funktionen sehen dann zwischen und wieder genau so aus.

Trigonometrische Funktionen – Nullstellen

Die Nullstellen der trigonometrischen Funktionen sind wie bei allen anderen Funktionen auch die der Schnittpunkte der trigonometrischen Funktion mit der .

Die Besonderheit hier ist, dass sich diese aufgrund der Periodizität nach einer halben Periode wiederholen. Die trigonometrischen Funktionen besitzen damit unendlich viele Nullstellen.

Damit kannst du auch eine allgemeine Formel aufstellen, um jede beliebige Nullstelle herauszufinden. Dabei ist eine ganze Zahl.

Sinusfunktion	Kosinusfunktion	Tangensfunktion

Wie du sehen kannst, besitzt die Tangensfunktion dieselben Nullstellen wie die Sinusfunktion. Das verdankt die Tangensfunktion ihrer Definition .

Trigonometrische Funktionen ableiten

Als nächstes kannst du die Ableitung der trigonometrischen Funktionen betrachten.

Sinusfunktion	Kosinusfunktion	Tangensfunktion

Wie du sehen kannst, hängen auch die Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion miteinander zusammen.

Die Ableitung der Tangensfunktion entsteht durch Anwenden der Ableitungsregeln auf die Definition der Tangensfunktion .

Trigonometrische Funktionen – Parameter

Manchmal brauchst du veränderte trigonometrische Funktionen, weil sie dir in der reinen Form oder nichts bringen.

Dann tauchen plötzlich Parameter auf. Das sind Zahlen, die zum Beispiel an Funktionsgleichungen multipliziert oder addiert werden, um so die Funktion ein wenig zu verändern. Eine leicht veränderte Funktionsgleichung sieht dann vielleicht so aus: .

Die Sinus- und Kosinusfunktion können allgemein wie folgt mit den Parametern verändert werden.

Sinusfunktion	Kosinusfunktion

Auf die Tangensfunktion wird an dieser Stelle verzichtet. Aufgrund der Definitionslücken wird der Tangens in der Schule nur in seiner reinen Form betrachtet.

Die Parameter , , und sind reelle Zahlen. Zudem dürfen die Parameter und nicht null sein, denn sonst würden keine trigonometrischen Gleichungen mehr vorliegen.

Einen kurzen Überblick über die Auswirkungen der Parameter findest du in der nachfolgenden Tabelle.

Parameter	Auswirkung
a	Streckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt.
b	Streckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt.
c	Verschiebung in um .
d	Verschiebung in um .

Wenn du gerne noch mehr zu den Parametern der Sinusfunktion oder Kosinusfunktion wissen möchtest, schau dir unseren Artikel "Trigonometrische Funktionen Parameter" an.

Trigonometrische Funktionen – Bogenmaß

Das Bogenmaß ist die Länge eines Kreisbogens mit dem Radius . Für das Verhältnis zwischen Winkel und Bogenmaß kannst du dir die nächste Definition anschauen.

Zu jedem Bogenmaß gehört auch ein Winkel . Die Beziehung zwischen dem Kreisbogen und dem Winkel lässt sich für den Radius wie folgt aufstellen.

Das Ganze kannst du dir auch noch einmal in der Abbildung 4 am Einheitskreis verdeutlichen.

Da sich das Ganze auf die Sinus- und Kosinusfunktion bezieht, wird hier statt der Bezeichnung b für den Kreisbogen die Variable x gewählt.

Trigonometrische Funktionen Einheitskreis StudySmarter Abbildung 4: Einheitskreis

Mit der Formel kannst du das dir bekannte Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen und umgekehrt.

Mehr zu dem Thema kannst du im Artikel Bogenmaß nachlesen. Hilfreich kann auch der Artikel Einheitskreis sein.

Bogenmaß Tabelle

Um dir noch einen kurzen Überblick über das Grad- und Bogenmaß zu verschaffen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen.

Auch mit dabei sind in der Tabelle die wichtigsten Werte der Sinus- und Kosinusfunktion.

Winkel	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Bogenmaß

Super, jetzt weißt du schon eine ganze Menge über die trigonometrischen Funktionen. Als Zusammenfassung kannst du dir noch kurz den nächsten Überblick anschauen.

Trigonometrische Funktionen – Das Wichtigste

Die Formeln der trigonometrischen Gleichungen lauten wie folgt:
Der Wertebereich der trigonometrischen Funktionen sieht wie folgt aus:
- Sinus- und Kosinusfunktion:
- Tangensfunktion:
Die trigonometrischen Funktionen haben folgende Periode:
- Sinus- und Kosinusfunktion:
- Tangensfunktion:
Die Nullstellen der trigonometrischen Funktionen lauten folgendermaßen:
- Sinus- und Tangensfunktion:
- Kosinusfunktion:
Folgende Ableitungen besitzen die trigonometrischen Funktionen:
- Sinusfunktion:
- Kosinusfunktion:
- Tangensfunktion:

Es gibt erweiterte trigonometrische Funktionen mit Parametern. Diese Darstellung sieht wie folgt aus:

Sinusfunktion:
Kosinusfunktion:

Die Parameter haben folgende Auswirkungen auf die reinen trigonometrischen Funktionen:

Parameter	Auswirkung
a	Streckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt.
b	Streckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt.
c	Verschiebung in um
d	Verschiebung in um

Das Bogenmaß ist die Länge eines Kreisbogens mit dem Radius .
Mit folgender Formel lässt sich das Bogenmaß ins Winkelmaß umrechnen und umgekehrt:

Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Funktionen

Mit Hilfe des k können mehrere Nullstellen, Extremstellen etc. berechnet werden. Wenn zum Beispiel die Nullstellen der Sinusfunktion mit x_k = k*Pi angegeben ist, bedeuetet das, dass für eine ganze Zahl k an jeder Stelle eine Nullstelle existiert. Zum Beispiel x_0=0, x_1=Pi,...

Die Funktion gleich 0 setzen und nach x umformen.

Die Trigonometrie befasst sich hauptsächlich mit Dreiecken. Dabei spielen die Winkel und Seiten eine wichtige Rolle. Dier können unter anderem mit dem Sinus, Kosinus und Tangens berechnet werden.
Mit Hilfe des Einheitskreises können aus dem Sinus, dem Kosinus und dem Tangens auch Funktionen erstellt werden.

Trigonometrische Funktionen beschreiben eine wellenförmige Schwingung.

Finales Trigonometrische Funktionen Quiz

Trigonometrische Funktionen Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Was lässt sich mit der Sinusfunktion beschreiben?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe der allgemeinen Sinusfunktion lassen sich harmonische Schwingungen, stehende und laufende harmonische Wellen, aber auch die Bewegungen von Körpern auf Kreisbahnen mathematisch beschreiben. Ferner besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion einerseits und der e-Funktion andererseits.

Frage anzeigen

Frage

Wie ist das Verhalten im Unendlichen bei der Sinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie divergiert unbestimmt. Das bedeutet, dass die Sinusfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen -1 und 1 pendelt, sich aber auch nie einem y-Wert annähert.

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Frage

Welche Amplitude hat die Sinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Amplitude beträgt a=1.

Frage anzeigen

Frage

Welche Symmetrie hat die Sinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Frage anzeigen

Frage

In welchem Abstand wiederholen sich die Extrempunkte der Sinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Extrempunkte wiederholen sich nach einer halben Periode, Hoch- und Tiefpunkte jeweils nach einer Periode.

Frage anzeigen

Frage

In welchem Abstand wiederholen sich die Extrempunkte der Kosinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Extrempunkte wiederholen sich nach einer halben Periode, Hoch- und Tiefpunkte jeweils nach einer Periode.

Frage anzeigen

Frage

Wie ist das Verhalten der Kosinusfunktion im Unendlichen?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie divergiert unbestimmt. Das bedeutet, dass die Kosinusfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen -1 und 1 pendelt, sich aber auch nie einem y-Wert annähert.

Frage anzeigen

Frage

Welche Symmetrie hat die Kosinusfunktion?

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Antwort

Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

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Frage

Warum besitzt die Tangensfunktion Definitionslücken?

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Antwort

Weil sie bei ihrer Definition durch den Kosinus geteilt wird und dieser 0 werden kann.

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Frage

An welchen Stellen besitzt die Tangensfunktion Definitionslücken?

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Antwort

An den Nullstellen der Kosinusfunktion.

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Frage

Welche Symmetrie besitzt die Tangensfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Frage anzeigen

Frage

Die Tangensfunktion besitzt dieselben Nullstellen wie welche andere trigonometrische Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie besitzt dieselben Nullstellen wie die Sinusfunktion.

Frage anzeigen

Frage

Welche Extrempunkte besitzt die Tangensfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie besitzt keine Extrempunkte.

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Frage

Welcher Parameter ist die Amplitude?

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Antwort

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Frage

Welche Aussage ist richtig?

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Antwort

Alle Parameter sind reelle Zahlen.

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Frage

Welche Auswirkung hat der Parameter c auf die erweiterten trigonometrischen Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Verschiebung in x-Richtung um c-Einheiten

Frage anzeigen

Frage

Welche Auswirkung hat der Parameter d auf die erweiterten trigonometrischen Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Verschiebung in y-Richtung um d-Einheiten.

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Frage

Welche Besonderheit haben trigonometrische Funktionen, wenn der Parameter d gleich 0 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Dann entsprechen die Nullstellen den Wendestellen.

Frage anzeigen

Frage

Wieso wird keine erweiterte Tangensfunktion betrachtet?

Antwort anzeigen

Antwort

Weil die Tangensfunktion Definitionslücken besitzt, ist eine Betrachtung mit Parametern in diesem Kontext zu aufwändig.

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Frage

Definiere Additionstheoreme in der Trigonometrie.

Antwort anzeigen

Antwort

In der Trigonometrie werden Additionstheoreme definiert als Formeln zur Berechnung der Funktionswerte von Summen und Differenzen bei Winkelfunktionen der Form \(\sin(\alpha\pm\beta)\), \(\cos(\alpha\pm\beta)\) und \(\tan(\alpha\pm\beta)\).

Frage anzeigen

Frage

Wähle die Additionstheoreme der Sinusfunktion aus.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\sin(\alpha+\beta )=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\)

Frage anzeigen

Frage

Wähle die Additionstheoreme der Cosinusfunktion aus.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\cos(\alpha+\beta )=\cos(\beta)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\)

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Additionstheoreme der Tangensfunktion.

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Antwort

\begin{align}
\tan(\alpha+\beta )&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\\ \\
\tan(\alpha-\beta )&=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\frac{tan(\alpha)-tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}
\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Wie können die Additionstheoreme der Sinus- und Cosinusfunktion hergeleitet werden? Wähle die richtige Antwort aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Über den Einheitskreis

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie die Additionstheoreme des Tangens hergeleitet werden können.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Additionstheoreme des Tangens lassen sich mittels der Additionstheoreme von Sinus und Cosinus, sowie den Eigenschaften des Tangens herleiten über:

\[\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\]

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist \(\alpha=30°\) und \(\beta=90°\). Gesucht ist der Cosinus der Summe der beiden Winkel: \(\cos(30°+90°)=?\)

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} \cos(30°+90°) &=\cos(30°)\cdot \cos(90°)-\sin(30°)\cdot \sin(90°) \\ &=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 -\frac{1}{2} \cdot 1\\ &=-\frac{1}{2} \end{align}

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist \(\alpha=30°\). Gesucht ist der Cosinus des Doppelwinkels \(\cos(2 \alpha)\).

Antwort anzeigen

Antwort

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist \(\alpha=60°\) und \(\beta=15°\). Gesucht ist \(\cos(\alpha + \beta)\). Wähle die richtige Antwort aus.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist \(\alpha=60°\). Gesucht ist der Sinus des Doppelwinkels \(\sin(2\alpha)\).

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

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