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Konstante

Konstante

Konstanten begegnen uns überall: Pünktlich sonntags um 20.15 Uhr startet der Tatort im deutschen Fernsehen. Und auch in der Schule klingelt jeden Tag zur selben Zeit die Schulglocke.

Auch in der Mathematik sind Konstanten wichtig. Sie sind Bestandteile von konstanten linearen Funktionen und sind auch in der Natur von Bedeutung.

Konstante – Bedeutung

Vor allem in der Natur gibt es sehr viele Konstanten, also Zahlen, die immer gleich sind und sich nicht verändern. Einige dieser Naturkonstanten werden in dieser Tabelle aufgelistet:

Naturkonstante Wert
Lichtgeschwindigkeit \(c\)\[c=2,998 \cdot 10^8 \frac{m}{s^2}\]
Elementarladung \(e\)\[e=1,602 \cdot 10^{-19} C \]
Absoluter Nullpunkt \(T_0\)\[T_0 =0K=-273,15 ^{\circ}\]
Erdbeschleunigung \(g\)\[g\approx 9,81 \frac{m}{s^2}\]

Konstante – Definition

Im Umgang mit Funktionen bilden Konstanten den essenziellen Grundbaustein. Sie können folgendermaßen definiert werden.

Eine Konstante ist eine wohldefinierte, unveränderliche Zahl oder ein anderes unveränderliches mathematisches Objekt.

Während Variablen mehrere Werte aus einem Definitionsbereich annehmen können, bleiben Konstanten also immer gleich.

Beispiele für konstante Zahlen sind die Zahlen \(\pi\) und \(e\). Jede feststehende Zahl in der Mathematik ist eine Konstante. Das folgende Beispiel zeigt eine Funktion, die nur aus einer Konstanten besteht.

\[ f(x)={\color{#1478C8}4}\]Die Funktion \(f(x)\) nimmt immer den Wert \({\color{#1478C8}4}\) an, egal welchen Wert \(x\) annimmt.Die Funktion \(f(x)={\color{#1478C8}4}\) ist daher eine konstante Funktion.

Konstante – Variable

Ein weiterer Grundbaustein von Funktionen sind Variablen.

Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl.

Meistens werden Variablen mit Buchstaben wie \(a, b, c, x, y, z\) oder mit Symbolen beschrieben.

Variablen und Konstanten unterscheiden sich dadurch, dass Variablen unbekannt und unbestimmt sind, während Konstanten bekannt und bestimmt sind.

Das folgende Beispiel zeigt Dir die Funktionsweise von Konstanten und Variablen im Kontext von Funktionen:

\[ f(x)=2\cdot{\color{#00DCB4}x}+{\color{#1478C8}4}\]Die Variable \({\color{#00DCB4}x}\) ist ein Platzhalter für eine beliebige Zahl, die von Konstanten in bestimmter, unveränderlicher Weise zum Funktionswert \(f(x)\) verändert wird.

Variablen sind also veränderbare Zahlen, während Konstanten gleichbleibende Zahlen sind, die sich immer gleich auf die Funktion auswirken, unabhängig vom für die Variable eingesetzten Wert.

Konstante – lineare Funktion

In diesem Abschnitt lernst Du alles, was Du über konstante Funktionen und ihre Ableitung wissen musst. Dafür solltest Du bereits wissen, wie Ableitungen funktionieren und was Funktionen sind.

Schau Dir dazu noch einmal die Erklärungen "..." und "..." genauer an.

Konstante Funktion

Konstante Funktionen sind besondere Arten von linearen Funktionen.

Eine Konstante Funktion enthält nur eine Konstante.

Sie verläuft immer parallel zur x-Achse und besitzt daher die Steigung null. Die Funktionsgleichung lautet: \[f(x)=c\]

Konstante Funktionen verlaufen also immer waagrecht.

Konstante Funktionen StudySmarterAbb. 1 - Konstante Funktionen.

Zusammenfassend haben konstante Funktionen \(f(x)=c\) also folgende Eigenschaften:

  • Sie haben einen linearen Verlauf.
  • Sie verlaufen parallel zur x-Achse.
  • Ihre Steigung ist in jedem Punkt \(0\).
  • Die Ableitung ist immer \(f'(x)=0\).

Konstantenregel

Die Konstantenregel der Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Ableitung einer konstanten Funktion.

Die Ableitung einer Funktion gibt immer die Steigung der Funktion an einer bestimmten Stelle an. Eine konstante Funktion besitzt überall die Steigung \(m=0\). Aus diesem Grund ist die Ableitung einer konstanten Funktion \(f´(x)=0\).

Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer konstanten Funktion \(f(x)=c\) überall \(f'(x)=0\) ist.

Sieh Dir das am besten direkt an einem Beispiel an.

Aufgabe 1

Leite die Funktion \(h(x)=1{,}5\) ab.

Lösung

Die Ableitung der konstanten Funktion \(h(x)\) lautet: \[h´(x)=0\]

Konstante ableiten

Für einzelne Konstanten in jeder Art von Funktion gilt:

Jede Konstante wird zu Null abgeleitet und kann deshalb einfach weggelassen werden.

Nicht nur in konstanten und linearen Funktionen, auch in Funktionen höheren Grades kommen Konstanten vor.

Aufgabe 2

Leite die quadratische Funktion \(f(x)=x^2 + {\color{#1478c8}4,5}\) ab. Achte dabei vor allem auf die Konstante innerhalb der Funktion.

Lösung

Die Funktion wird nach den bekannten Regeln abgeleitet. Die Konstante \(4,5\) wird dabei zu \(0\) und fällt deshalb weg.

\begin{align} f'(x)&=2x+{\color{#1478c8}0} \\ &=2x \end{align}

Konstante – Mathe

Nicht nur in der Natur, auch in Mathe gibt es viele Konstanten. Oft genutzte Vertreter sind zum Beispiel die Kreiszahl \(\pi\) und die Eulersche Zahl \(e\).

KonstanteWertBedeutung
\[\pi\]\[\pi \approx 3,14\]KreiszahlZum Beispiel zur Berechnung von Umfang und Flächeninhalt eines Kreises.
\[e\]\[e \approx 2,72\]Eulersche ZahlBasis des natürlichen Logarithmus.

Konstante – Beispiel und Aufgaben

Nachdem Du jetzt so viel über Konstanten weißt, kannst Du Dein gelerntes Wissen mithilfe einiger Aufgaben überprüfen.

Aufgabe 3

Nenne vier Beispiele für Konstanten aus der Natur oder der Mathematik.

Lösung

  1. Lichtgeschwindigkeit
  2. Elementarladung
  3. \(\pi\)
  4. Eulersche Zahl \(e\)

Aufgabe 4

Leite die Funktion \(h(x)=3\) ab.

Lösung

Die Ableitung dieser konstanten Funktion kann mithilfe der Konstantenregel bestimmt werden. Sie lautet: \[h´(x)=0\]

Aufgabe 5

Welche der folgenden Funktionen sind Konstante Funktionen?

\begin{align}1.)\,f(x)&=2x+4\\2.)f(x)&=2+4\,\\3.)f(x)&=7\\4.)f(x)&=3\end{align}

Lösung

Bis auf die erste Funktion sind alle Funktionen konstant. Die erste Funktion enthält eine Variable und ist somit nicht konstant.

Konstante – Das Wichtigste

  • Eine Konstante ist eine unveränderliche Größe.
  • Es gibt viele festgelegte Konstanten in der Mathematik und in der Natur.
  • Eine Konstante Funktion hat die Funktionsgleichung \[f(x)=c\].
  • Eine Konstante Funktion verläuft immer parallel zu der x-Achse
  • Eine Konstante Funktion hat immer die Steigung \(m=0\)
  • Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer Konstanten Funktion \(f(x)=c\) immer \(f'(x)=0\) ist.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Konstante

Eine konstante Gleichung ist die Gleichung einer konstanten Funktion. Eine Funktion ist immer dann konstant, wenn sie parallel zur x- Achse verläuft. Die konstante Gleichung ist immer f(x) = c.

Bei Funktionen gibt es Konstanten und Variablen. Eine Konstante ist dabei eine Zahl, die sich, wenn man die Funktionsgleichung betrachtet, nie verändert. 

Beim ableiten einer Funktion bestimmst du die Steigung dieser Funktion. Da eine Konstante keinen Einfluss auf die Steigung einer Funktion hat, fällt diese beim ableiten weg. 

Eine Konstante ist in der Mathematik eine unveränderliche Zahl.

Finales Konstante Quiz

Frage

Was genau ist eine Konstante?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Konstante ist eine wohldefinierte, unveränderliche Zahl oder ein anderes unveränderliches mathematisches Objekt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen einer Variablen \(x\) und einer Konstanten \(c\)?

Antwort anzeigen

Antwort

Während Variablen mehrere Werte aus einem Definitionsbereich annehmen können, bleiben Konstanten immer identisch.

Frage anzeigen

Frage

Ist \(f(x)=40\) eine konstante Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Variable?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl. Variablen sind veränderbare Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Wie verläuft eine konstante Funktion qualitativ im Koordinatensystem?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine konstante Funktion verläuft immer parallel zur x-Achse und besitzt die Steigung \(m=0\).

Frage anzeigen

Frage

Wie sieht die allgemeine Form einer konstanten Funktion aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Form einer konstanten Funktion sieht folgendermaßen aus:\[f(x)=c\]\(c\) ist dabei eine reelle Zahl. Sie wird auch Konstante genannt. 

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitung einer konstanten Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer Null. 

Schau Dir dazu noch einmal die Konstantenregel an. 

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Ableitung von \(f(x)=30\)

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer Null. Also: \[f´(x)=0\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne drei Beispiele einer Konstanten in der Mathematik.

Antwort anzeigen

Antwort

Drei Konstanten in der Mathematik sind: \(\\\pi\), die eulersche Zahl \(e\) und zum Beispiel \(log(8)\).

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden drei Funktionen sind konstante Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

\(f(x)=3x+1\)

Frage anzeigen

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