Einsetzungsverfahren

Algebra

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Beim Thema Gleichungen hast du nur noch ein Wirrwarr aus x, y und z im Kopf?

Dieser Artikel entwirrt deine Gedanken und lässt dich Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen einfach lösen. Das Einsetzungsverfahren hilft dir dabei, endlich ein sinnvolles Ergebnis für x und y zu ermitteln.

Einsetzungsverfahren / Gleichungen / Übersicht / Erklärung / StudySmarter

Einsetzungsverfahren – Grundlagenwissen

Um dich endgültig an die Berechnung von linearen Gleichungssystemen mit dem Einsetzungsverfahren zu machen, musst du ein paar Grundlagen auffrischen. Sieh dir dazu am besten auch die Artikel zum Thema lineare Gleichungen, lineare Funktion, Äquivalenzumformungen und lineare Gleichungssysteme genauer an.

Lineare Gleichungen – Erklärung

Wir wollen trotzdem kurz die wichtigsten Informationen zu linearen Gleichungen an dieser Stelle wiederholen.

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $a \cdot x + b = 0$ . (mit nur einer Variablen) oder $a \cdot x + b \cdot y + c = 0$ (mit zwei Variablen).

Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.

Die lineare Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Gerade darstellen.

Linearen Gleichungen sind also Gleichungen, die als Variable nur ein x (oder auch jeden anderen Buchstaben) enthalten, aber kein x², x³ oder andere Variablen mit Potenzen.

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel dazu an.

Diese Gleichung ist eine typische lineare Gleichung. Sie enthält ein einfaches x (in seiner ersten Potenz) und ist somit geradlinig.

Andere Gleichungen enthalten auch das x als Variable, jedoch in einer anderen Form (wie etwa ). Ist das x also nicht linear, sondern taucht in höheren Potenzen () oder unter der Wurzel () auf, dann handelt es sich um keine linearen Gleichungen.

Eine lineare Gleichung kann auf zwei Arten aufgeschrieben werden. Man unterscheidet zwischen der Allgemeinen Form und der Normalform.

Form

Bedeutung

Allgemeine Form

Diese Form ist oft der Definitionsmaßstab (auch bei anderen Gleichungsformen).

x ist die Variable; a und b sind Platzhalter für Zahlen.

Beispiel:

Normalform

Man findet diese Form vor allem als Gleichung einer linearen Funktion.

In der Normalform kommen bereits zwei Variablen vor, x und y.

m und t sind ebenfalls nur Platzhalter für Zahlen, beide stehen in der Gleichung der linearen Funktion allerdings für unterschiedliche Dinge: m ist die Steigung und t ist der y-Achsenabschnitt.

Beispiel:

Die lineare Funktion

Eine lineare Gleichung kann in der Form einer linearen Funktion auch grafisch dargestellt werden. Sie bildet eine Gerade ab.

Hier ist die Funktion $y = 2 x - 2$ visualisiert.

Einsetzungsverfahren, Lineare Funktion Beispiel, StudySmarter Abbildung 1: Lineare Funktion

Grafisch ist hier eine Gerade zu sehen, an die man die Steigung $m = 2$ und den Achsenabschnitt antragen kann.

Äquivalenzumformung

Gleichungen kann man mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer Variable auflösen.

Das bedeutet, man bringt das x allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens und den Rest auf die andere Seite. Du kannst dabei die gleiche Zahl auf beiden Seiten addieren beziehungsweise subtrahieren. Oder du multiplizierst/dividierst die gleiche Zahl außer Null beidseitig.

Unter der Äquivalenzumformung versteht man die Umwandlung einer Gleichung (oder Ungleichung) in eine andere Gleichung (oder Ungleichung), welche dieselbe Lösungsmenge hat.

Bei linearen Gleichungen sind Äquivalenzumformungen zum Beispiel Rechnungen, die du gleichzeitig auf beiden Seiten des "=" vornimmst:

Du nimmst also links des Gleichheitszeichens eine Vereinfachung vor (zum Beispiel -3x), welche du dann ganz genauso auf der rechten Seite übernehmen musst.
Diese Umformungen zeigt man mit einem geraden Strich, der hinter der Gleichung steht, an.

$\begin{matrix} 2 y - 1 & = & 6 x + 3 & | + 1 \\ 2 y - 1 + 1 & = & 6 x + 3 + 1 \\ 2 y & = & 6 x + 4 & | : 2 \\ 2 y : 2 & = & (6 x + 4) : 2 \\ y & = & 3 x + 2 \end{matrix}$

Die Rechenoperation muss immer auf beiden Seiten ausgeführt werden und kann durch einen senkrechten Strich angekündigt werden. Genauere Grundlagen zu Äquivalenzumformungen erfährst du im Artikel zur Äquivalenzumformung.

Lineare Gleichungssysteme

Bei einem Gleichungssystem betrachtest du mehrere lineare Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten. In Bezug auf das Einsetzungsverfahren handelt es sich um zwei lineare Gleichungen mit genau zwei Unbekannten.

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form

$\begin{matrix} I . & a_{1} \cdot x + b_{1} & = & c_{1} \cdot y + d_{1} \\ I I . & a_{2} \cdot x + b_{2} & = & c_{2} \cdot y + d_{2} \end{matrix}$

mit Zahlen $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}, d_{1}, d_{2} \in ℝ$

Ein lineares Gleichungssystem stellt also zwei lineare Gleichungen in Beziehung. Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems beinhaltet all diejenigen Paare (x, y), die gleichzeitig beide Gleichungen erfüllen.

Man kann sich lineare Gleichungssysteme grafisch vorstellen, dazu benötigt es nur ein bisschen

Vorarbeit:

Die beiden Gleichungen des Gleichungssystems kann man in die Normalform () umwandeln. In dieser Funktionsform kann man die Gleichungen wunderschön grafisch darstellen und bekommt eine Vorstellung von seinem Gleichungssystem.

Einsetzungsverfahren, Gleichungssystem graphisch Beispiel lösen, StudySmarter Abbildung 2: Lineares Gleichungssystem grafisch dargestellt

Die Lösung des Gleichungssystems ist also der Schnittpunkt, den du in der Abbildung sehen kannst. Er ist das einzige Koordinatenpaar (x, y), das beide Funktionen gemeinsam haben.

Wenn du jetzt die Lösung des Gleichungssystems berechnest, mithilfe des Einsetzungsverfahren oder anderer Möglichkeiten, dann ermittelst du den x-Wert und den y-Wert des Schnittpunktes der zwei Funktionen.

Du weißt jetzt also, dass die zwei Geraden die Gleichungen grafisch darstellen und deren Schnittpunkt die Lösung des Gleichungssystems ist.

Einsetzungsverfahren – Lineare Gleichungssysteme lösen

Die klassischen Optionen, um ein lineares Gleichungssystem rechnerisch zu lösen, sind das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren.

In diesem Abschnitt lernst du alles über das Einsetzungsverfahren.

Beim Einsetzungsverfahren löst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, indem du eine nach einer Variablen umgeformte Gleichung in die andere Gleichung einsetzt.

Wie der Name schon sagt, musst du beim Einsetzungsverfahren etwas einsetzen. Aber was setzt du wo ein? Und was musst du sonst noch tun?

Dazu geht man immer nach den gleichen Schritten vor:

Von den zwei Gleichungen des Gleichungssystems suchst du dir eine aus.
Die ausgesuchte Gleichung löst du mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer der beiden Variablen auf.
In die zweite Gleichung setzt du jetzt das Ergebnis aus Schritt 2 ein.
Löse die in Schritt 3 erhaltene Gleichung nach der einzig verbliebenen Variable auf. Damit hast du das Ergebnis für die erste Variable.
Um das Ergebnis für die zweite Variable noch zu berechnen, setzt du die bekannte Variable in die Gleichung aus Schritt 2 ein.
Probe: Um zu überprüfen, ob die Lösungen für dein Gleichungssystem richtig sind, setzt du die ausgerechneten Ergebnisse der Variablen x und y in eine der Ausgangsgleichungen (I. oder II. ein). Ist das Ergebnis richtig, hast du das Gleichungssystem korrekt gelöst. Wenn nicht, musst du noch einmal nachrechnen, denn dann hast du einen Fehler gemacht.
Gib dein Ergebnis als Lösungsmenge an.

Ein Beispiel anhand eines Gleichungssystems zeigt dir, wie das Ganze funktioniert.

Aufgabe 1

Zu Beginn hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten gegeben. Sie sind die Ausgangsgleichungen und werden als römisch I. und II. bezeichnet.

$\begin{matrix} I . & 2 x & = & 2 y - 4 \\ I I . & 3 y - 3 & = & x + 1 \end{matrix}$

Schritt 1: Von den zwei Gleichungen suchst du dir eine aus. Wir nehmen hier mal Gleichung $I .$

Schritt 2: Du löst diese Gleichung nun mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer der beiden Variablen auf. Hier bietet es sich an, nach x aufzulösen.

$\begin{matrix} I . & 2 x & = & 2 y - 4 & | : 2 \\ 2 x : 2 & = & (2 y - 4) : 2 \\ I .' & x & = & y - 2 \end{matrix}$

Um anzuzeigen, dass dies nicht mehr die alte Ausgangsgleichung I. ist, sondern eine umformulierte Gleichung, schreibst du I.' ("gesprochen: römisch I. Strich") vor diese "neue" Gleichung.

Schritt 3: Nun wird eingesetzt: setze für das x in der Gleichung II. das ausgerechnete Ergebnis $x = y - 2$ aus Schritt 2 ein. Man markiert diesen Vorgang mit "I.' in II.

Hierbei musst du unbedingt aufpassen, falls notwendig, Klammern zu setzen!

\begin{matrix} I .' i n I I . & 3 y - 3 & = & (y - 2) + 1 \\ I I .' & 3 y - 3 & = & y - 1 \end{matrix}

Auch die Gleichung II. wurde verändert und wird deshalb als II.' bezeichnet.

Schritt 4: Löse die Gleichung II.' als Nächstes nach der einzig verbliebenen Variable auf.

$\begin{matrix} I I .' & 3 y - 3 & = & y - 1 & | - y \\ 2 y - 3 & = & - 1 & | + 3 \\ 2 y & = & 2 & | : 2 \\ y & = & 1 \end{matrix}$

Du bekommst also ein eindeutiges Ergebnis für die erste Variable, hier ist $y = 1$ .

Schritt 5: Dir fehlt jetzt also nur noch das Ergebnis von x. Dafür nutzt du am besten die Gleichung I.', da diese schon nach x umgestellt ist, und setzt dort den in Schritt 4 ausgerechneten Wert für y ein.

$\begin{matrix} I I .' i n I .' & x & = & 1 - 2 \\ x & = & - 1 \end{matrix}$

Spätestens jetzt merkst du, wie wichtig die Benennung der Ausgangsgleichungen (I. und II.) und deren Umformungen (I.' und II.') ist. Es dient dazu, die Rechnung nachvollziehbar zu machen und Gleichungen direkt wiederzufinden.

Damit hast du jetzt also das Ergebnis für beide Variablen des Gleichungssystems gelöst und die Aufgabe gelöst.

Schritt 6/Probe: Mach unbedingt die Probe und prüfe, ob das Ergebnis richtig ist.

Dazu setzt du deine ausgerechneten Ergebnisse der Variablen, in eine der Ausgangsgleichungen ein. Hier machen wir das ein mal beispielhaft in beide Gleichungen:

$E i n s e t z e n i n I . \begin{matrix} I . & 2 \cdot (- 1) & = & 2 \cdot 1 - 4 \\ - 2 & = & - 2 \end{matrix} E i n s e t z e n i n I I . \begin{matrix} I I . & 3 \cdot 1 - 3 & = & - 1 + 1 \\ 0 & = & 0 \end{matrix}$

Die Gleichungen sind richtig, also hast du die korrekten Zahlen für dein Gleichungssystem berechnet.

Schritt 7: Als Letztes gibst du dein überprüftes Ergebnis natürlich noch als Lösungsmenge an.

Das schreibt man in dieser Form mit den korrekten Ergebnissen für x und y:

Einsetzungsverfahren – Sonderfälle

Das Ziel des Einsetzungsverfahrens ist es, dass du für beide Variablen einen genauen Wert herausbekommst. Dann ist nämlich das Gleichungssystem eindeutig gelöst.

Es kann jedoch auch bei zwei verschiedenen Sonderfällen vorkommen, dass das Ergebnis nicht eindeutig ist. Das Gleichungssystem hat dann keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese beiden Sonderfälle schauen wir uns jetzt an.

Sonderfall 1: keine Lösung

Es kann vorkommen, dass ein Gleichungssystem gar keine Lösungen für seine Variablen hat. In diesem Fall sind die Graphen der beiden Funktionen parallel, es gibt also keinen Schnittpunkt.

Einsetzungsverfahren, Keine Lösung Beispiel Anwendung, StudySmarter Abbildung 3: Lineares Gleichungssystem ohne Lösung

Das findest du ebenfalls rechnerisch durch die Berechnung nach dem obigen Muster heraus:

Aufgabe 2

Gesucht ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

\begin{matrix} I . & y - 9 & = & - 3 x \\ I I . & 3 x & = & - y - 7 \end{matrix}

Schritt 1: Eine Gleichung aussuchen.

Schritt 2: Diese Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer (beliebigen) Variable umformen.

$\begin{matrix} I . & y - 9 & = & - 3 x & | + 9 \\ I .' & y & = & - 3 x + 9 \end{matrix}$

Schritt 3: Einsetzen in die zweite Gleichung.

$I :' i n I I . 3 x = - (- 3 x + 9) - 7$

Schritt 4: Auflösen der Gleichung nach der verbliebenen Variable.

$\begin{matrix} I I .' & 3 x & = & - (- 3 x + 9) - 7 \\ 3 x & = & 3 x - 9 - 7 \\ 3 x & = & 3 x - 16 & | - 3 x \\ 0 & = & - 16 \end{matrix}$

Hier gibt es ein Problem, denn die Aussage 0 = –16 ist falsch.

Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung haben kann. Die linearen Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt. Die Lösungsmenge ist also leer:

$L = \emptyset$

Sonderfall 2: unendlich viele Lösungen

Es ergeben sich unendlich viele Lösungen für ein Gleichungssystem, wenn die Funktionsgraphen genau aufeinanderliegen. Das ist dann der Fall, wenn die Gleichungen identisch sind.

Einsetzungsverfahren, unendlich viele Lösungen Beispiel lösen, StudySmarter Abbildung 4: Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen

Rechnerisch ergibt sich dieser Sonderfall durch das bekannte Vorgehen folgendermaßen:

Aufgabe 3

Gesucht ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

$\begin{matrix} I . & y & = & 2 x - 3 \\ I I . & - 2 x & = & - y - 3 \end{matrix}$

Schritt 1: Eine Gleichung aussuchen.

Schritt 2: Diese Gleichung muss gar nicht mehr umgeformt werden, da sie bereits nach y aufgelöst ist.

Schritt 3: Einsetzen in die zweite Gleichung.

$\begin{matrix} I . i n I I . & - 2 x & = & - (2 x - 3) - 3 \end{matrix}$

Schritt 4: Auflösen der Gleichung nach x.

$\begin{matrix} I I .' & - 2 x & = & - (2 x - 3) - 3 \\ - 2 x & = & - 2 x + 3 - 3 \\ - 2 x & = & - 2 x & | + 2 x \\ 0 & = & 0 \end{matrix}$

Auch hier kannst du nicht weiter machen. Die Aussage 0 = 0 ist diesmal allerdings richtig.Das bedeutet, dass jede beliebige Zahl eingesetzt werden könnte und eine Lösung des Gleichungssystems darstellt.Die Lösungsmenge ist also die gesamte Definitionsmenge:

L = D

Einsetzungsverfahren – Beispiel

Damit du das Einsetzungsverfahren noch einmal üben kannst, haben wir für dich noch eine Aufgabe vorbereitet:

Aufgabe 4

Löse das Gleichungssystem:

$\begin{matrix} I . & x & = & y - 2 \\ I I . & y - 1 & = & 2 x \end{matrix}$

Lösung

Schritt 1: Wähle Gleichung I.

Schritt 2: Da I. schon nach x aufgelöst ist, kannst du dir den Schritt sparen

Schritt 3: Setze I. in II. und erhalte dadurch II.'

$\begin{matrix} I . i n I I . & y - 1 & = & 2 \cdot (y - 2) \end{matrix}$

Schritt 4: Löse II.' auf:

$\begin{matrix} I I .' & y - 1 & = & 2 \cdot (y - 2) \\ y - 1 & = & 2 y - 4 & | - y \\ - 1 & = & y - 4 & | + 4 \\ 3 & = & y \end{matrix}$

Schritt 5: Mithilfe von y=3 wird x berechnet.

$\begin{matrix} I . & x & = & 3 - 2 \\ x & = & 1 \end{matrix}$

Probe: Wir machen die Probe mit der Gleichung I.

$\begin{matrix} 1 & = & 3 - 2 \\ 1 & = & 1 \end{matrix}$

Schritt 7: Nun nur noch die Lösungsmenge angeben: $L = \{(1 | 3)\}$

Einsetzungsverfahren - Das Wichtigste

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $a \cdot x + b = 0$ . Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.
Lineare Gleichungen können in der Allgemeinen Form oder Normalform dargestellt werden und mithilfe der Äquivalenzumformung umgeformt werden.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form $\begin{matrix} I . & a_{1} x + b_{1} & = & c_{1} y + d_{1} \\ I I . & a_{2} x + b_{2} & = & c_{2} y + d_{2} \end{matrix}$
Das Einsetzungsverfahren nutzt man zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen, indem man eine nach einer Variable umgeformte Gleichung in die andere Gleichung einsetzt.
Vorgehen beim Einsetzungsverfahren:
- Schritt 1: Eine Gleichung aussuchen.
- Schritt 2: Diese Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer (beliebigen) Variable umformen.
- Schritt 3: Einsetzen in die zweite Gleichung.
- Schritt 4: Auflösen der Gleichung nach der verbliebenen Variable
- Schritt 5: Fehlende Variable berechnen.
- Schritt 6/Probe: x-Wert und y-Wert der Lösung in eine Ausgangsgleichung einsetzen und ausrechnen.
- Schritt 7: Lösungsmenge angeben.
Das Gleichungssystem kann auch keine oder unendlich viele Lösungen besitzen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren wird zur Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen angewendet.

Beim Einsetzungsverfahren rechnest du folgende Schritte nacheinander:

Schritt 1: Eine Gleichung aussuchen.

Schritt 2: Diese Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer (beliebigen) Variable umformen.

Schritt 3: Einsetzen in die zweite Gleichung.

Schritt 4: Auflösen der Gleichung nach der verbliebenen Variable.

Schritt 5: Fehlende Variable berechnen.

Probe: x-Wert und y-Wert in eine Ausgangsgleichung einsetzen.

Ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann man mit verschiedenen Verfahren rechnerisch lösen.

Dazu gehören das Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder eben das Einsetzungsverfahren.

Die Ausgangsgleichungen eines linearen Gleichungssystems sind die mit römisch I und II bezeichneten Gleichungen mit zwei Variablen. (x und y).

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