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Schnittwinkel berechnen

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Schnittwinkel berechnen

Genauso wie Du anderen Menschen gelegentlich den Weg schneidest, schneiden sich auch Funktionen. Für die Analyse dieser Schnittpunkte ist nicht allein der Schnittpunkt wichtig, sondern auch der Schnittwinkel. Über den Schnittwinkel erfährst Du in dieser Erklärung mehr.

Funktionen – Grundlagenwissen

Funktionen sind die mathematische Schreibweise für Graphen im Koordinatensystem.

Eine Funktion f ist eine Zuordnung, bei der jedem Element x der Definitionsmenge genau ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird.

Es gibt verschiedene Arten von Funktionen:

  • lineare,
  • quadratische,
  • Potenz-,
  • Wurzel-,
  • ganz-rationale,
  • gebrochen-rationale,
  • Exponential-,
  • trigonometrische und
  • Logarithmusfunktionen

In dieser Abbildung siehst Du eine ganz-rationale Funktion , eine gebrochen-rationale Funktion und eine Wurzelfunktion .

Schnittwinkel berechnen Funktionen StudySmarterAbbildung 1: Funktionen

Wenn Du mehr zu den verschiedenen Funktionen erfahren möchtest, schau einmal in den jeweiligen Erklärungen nach.

Schnittpunkt zweier Funktionen

Schnittpunkte sind im Alltag gar nicht so selten. Viele alltägliche Dinge lassen sich mit Funktionen beschreiben. So auch das Nüsseknacken von zwei Personen. Du knackst Nüsse. Deine Mama fängt später an, ist aber schneller. Der Schnittpunkt ist der Punkt, an dem Dich Deine Mama eingeholt und mehr Nüsse geknackt hat als Du.

Der Schnittpunkt S zweier Funktionen f(x) und g(x) ist der Punkt, an dem zwei Graphen sich innerhalb eines Koordinatensystems treffen und schneiden. Beide Funktionen f(x) und g(x) besitzen an dieser Stelle den gleichen x- und y-Wert.

Das heißt auch, Funktionen können sich

  • einmal,
  • mehrmals
  • oder gar nicht

schneiden.

Eine ganz-rationale Funktion vierten Grades kann von einer linearen Funktion zum Beispiel viermal geschnitten werden.

Schnittwinkel berechnen Schnittpunkte von Funktionen StudySmarterAbbildung 2: Schnittpunkte von Funktionen

Schnittpunkte berechnen

Die Schnittpunkte berechnest Du mit folgenden Schritten:

  1. Gleichsetzen der beiden Funktionen
  2. Gleichung nach x auflösen
  3. x in eine der Ausgangsfunktionen einsetzen und y ausrechnen
  4. Punkt(e) aufschreiben

Aufgabe 1

Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen und .

Lösung

1. Schritt

Als Erstes setzt Du die beiden Funktionen gleich.

2. Schritt

Als Nächstes löst Du die Gleichung nach x auf. Dafür bringst Du hier alles auf eine Seite, sodass die Gleichung gleich null ist.

Jetzt wendest Du die Mitternachtsformel an.

3. Schritt

Die Ergebnisse aus der pq-Formel setzt Du jetzt in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und berechnest die y-Werte.

4. Schritt

Zum Schluss schreibst Du die Schnittpunkte noch auf.

Schnittwinkel zweier Funktionen – Formel

Nachdem Du Dein Vorwissen aufgefrischt hast, lernst Du jetzt, was ein Schnittwinkel ist und wie Du ihn berechnen kannst.

Den Schnittpunkt von Funktionen berechnen zu können, ist dabei wichtig. Alle Funktionen, die sich schneiden, besitzen einen Schnittwinkel. In Funktionen ändern sich die Anstiege meist in jedem Punkt. Deshalb musst Du, bevor Du den Schnittwinkel berechnest, den Schnittpunkt der beiden Funktionen berechnen.

Ausnahme ist der Schnittwinkel zweier linearen Funktionen. Dort musst Du den Schnittpunkt vorher nicht berechnen, da die Steigung dieser beiden Funktionen konstant ist und sich nicht ändert.

Der Schnittwinkel zweier Funktionen berechnet sich mit der Formel:

Schnittwinkel berechnen Formel StudySmarter

Dabei ist m1 die Steigung der Tangente der einen Funktion im Schnittpunkt und m2 die Steigung der Tangente der anderen Funktion im Schnittpunkt.

Ein Spezialfall des Schnittwinkels ist der 90° Winkel. Diesen kannst Du auch mit der Formel nachweisen. Dabei ist m1 und m2 die Steigung der Funktionen. Diese Formel leitet sich von der Normalen einer linearen Funktion ab. Die Normale steht immer senkrecht auf einer linearen Funktion und besitzt als Steigung den negativen Kehrwert der linearen Funktion.

Der Schnittwinkel hat, wie jeder Winkel, einen Nebenwinkel. In einigen Fällen berechnest Du statt des Schnittwinkels den Nebenwinkel. Dann solltest Du wissen, dass Schnittwinkel zwischen angegeben werden, wenn nicht anders vorgegeben.

Wenn Du die Tangenten im Schnittpunkt an einen Graphen einzeichnest, entsteht der Schnittwinkel zwischen den beiden Tangenten.

Eine Tangente ist eine Gerade, welche die Funktion in einem Punkt berührt, also nicht schneidet und dieselbe Steigung hat, wie die Funktion in diesem Punkt.

Die beiden Funktionen schneiden sich im Punkt S. Wenn Du in diesem Punkt von beiden Funktionen die Tangente einzeichnest, entsteht der Schnittwinkel .

Schnittwinkel berechnen Tangenten und Schnittwinkel StudySmarterAbbildung 3: Tangenten und Schnittwinkel

Im Folgenden wird der Schnittwinkel oft ohne Tangenten dargestellt, da es sich dabei um eine vereinfachte Darstellung handelt, welche die Abbildung verständlicher macht. Für die spätere Berechnung des Schnittwinkels der Funktionen reicht es, die Steigung der Tangente im Schnittpunkt zu wissen.

Vereinfacht, ohne Tangenten dargestellt, sieht das folgendermaßen aus.

Schnittwinkel berechnen Schnittwinkel StudySmarterAbbildung 4: Schnittwinkel

Schnittwinkelformel Herleitung

Für die Herleitung der Schnittwinkelformel ist der Tangens von Bedeutung. Falls Du da nicht mehr so fit bist, hier nochmal eine kleine Wiederholung:

Tangens

Der Tangens ist neben dem Sinus und dem Cosinus eine der drei Winkelfunktionen. Die Winkelfunktionen lassen sich im rechtwinkligen Dreieck nachweisen.

Dabei ist c die Hypotenuse und a und b die Katheten.

Schnittwinkel berechnen rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 5: rechtwinkliges Dreieck

Der Tangens eines Winkels bildet sich aus dem Quotienten der Gegenkathete zu und der Ankathete zu .

Schnittwinkel berechnen Tangensformel StudySmarter

Warum ist, lässt sich mit dem Steigungsdreieck begründen.

Schnittwinkel berechnen Steigungsdreieck StudySmarterAbbildung 6: Steigungsdreieck

Nun kannst Du den Tangens nutzen, um die Schnittwinkelformel herzuleiten.

1. Der Schnittwinkel kann durch die Steigungswinkel von und berechnet werden.

Der Steigungswinkel ist der Winkel, welcher zwischen einer waagerechten Gerade durch den Schnittpunkt und der Gerade oder Tangente entsteht.

Schnittwinkel berechnen Neigungswinkel StudySmarterAbbildung 7: Neigungswinkel

2. Durch den Tangens kannst Du die Winkel berechnen, wenn sie nicht gegeben sind.

3. Als Nächstes wendest Du das Additionstheorem für an.

Du erhältst die folgende Gleichung als neue Formel.

4. Zum Schluss ersetzt Du beziehungsweise mit der Steigung. Aus der Steigung lässt sich über den Tangens der jeweilige Winkel berechnen.

bzw.

Du hast die Schnittwinkelformel hergeleitet.

Schnittwinkel berechnen

Du kannst den Schnittwinkel auf zwei verschiedene Arten berechnen. Einerseits kannst Du die Schnittwinkelformel nutzen und so den Schnittwinkel berechnen. Anderseits kannst Du aber auch den Steigungswinkel der Tangenten nutzen und so den Schnittwinkel berechnen.

Um den Schnittwinkel oder Steigungswinkel auf dem Taschenrechner zu berechnen, nutzt Du die Umkehrfunktion vom Tangens, also den Arcustangens (arctan) oder tan-1.

Du berechnest den Schnittwinkel immer mithilfe der Tangentensteigung. Du benötigst die Tangente selbst nicht, dennoch kannst Du sie erst berechnen und dann den Schnittwinkel berechnen.

Schnittwinkel über Schnittwinkelformel berechnen

Schritte zur Berechnung des Schnittwinkels

  1. Berechne den Schnittpunkt der Funktionen, wenn nicht gegeben.
  2. Leite beide Funktionen im Schnittpunkt ab. Du erhältst die Steigung der Tangenten, genauer gesagt der Funktion an der Stelle.
  3. Setze die Steigungen in die Formel ein und berechne den Schnittwinkel.

Aufgabe 2

Berechne den Schnittwinkel der Funktionen und .

Lösung

1. Schritt

Als Erstes berechnest Du den Schnittpunkt der Funktionen. Setze sie dafür gleich.

2. Schritt

Jetzt leitest Du beide Funktionen ab und setzt ein.

Wenn Du Dir beim Ableiten von Funktionen unsicher bist, schau einmal in den Artikeln „wichtige Ableitungen“ und „Ableitungsregeln“ nach.

3. Schritt

Zum Schluss setze die Steigungen in die Formel ein und berechne den Schnittwinkel.

Achte darauf, dass Dein Taschenrechner bei diesen Rechnungen auf „Deg“ eingestellt ist. Die Winkel sind in Gradmaß gesucht, wenn nicht anders beschrieben.

Der Schnittwinkel der beiden Funktionen beträgt .

Schnittwinkel berechnen Schnittwinkel zweier Funktionen StudySmarterAbbildung 8: Schnittwinkel zweier Funktionen

Schnittwinkel über Steigungswinkel berechnen

Der Steigungswinkel wird auch Neigungswinkel oder Anstiegswinkel genannt.

Der Steigungswinkel gibt den Winkel der Steigung einer Funktion in einem Punkt an.

Die Formel zur Berechnung des Steigungswinkels lautet:

Schnittwinkel berechnen Scheigungswinkelformel StudySmarter

Wenn der Steigungswinkel

  • positiv ist, ist der Graph in diesem Punkt steigend.
  • negativ ist, ist der Graph in diesem Punkt fallend.

Der Schnittwinkel zweier Funktionen liegt zwischen und . Deshalb gibt es zwei Arten, den Schnittwinkel über den Steigungswinkel zu berechnen.

1. Fall

Du kannst die Steigungswinkel addieren, wenn Du einen Schnittwinkel hast, der die waagrechte Gerade schneidet.

Schnittwinkel berechnen Schnittwinkel über Steigungswinkel StudySmarterAbbildung 9: Steigungswinkel

2. Fall

Die Steigungswinkel müssen voneinander subtrahiert werden, wenn sie die waagrechte Gerade nicht schneiden.

Schnittwinkel berechnen Steigungswinkel StudySmarterAbbildung 10: Steigungswinkel

Aufgabe 3

Berechne den Schnittwinkel der Funktionen und . Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei .

Die Skizze zu dieser Berechnung findest Du in Abbildung 8.

Lösung

Als Erstes leitest Du beide Funktionen ab.

Danach berechnest Du die Steigung beider Funktionen im Schnittpunkt S.

Jetzt berechnest Du über den Tangens die Winkel von und .

Zum Schluss addierst Du beide Winkel und erhältst den Schnittwinkel .

Schnittwinkel berechnen – Übungsaufgaben

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 4

Berechne den Schnittwinkel der Funktion und der Funktion .

Lösung

1. Schritt

Da es sich bei diesen Funktionen um lineare Funktionen handelt, musst Du den Schnittpunkt der beiden nicht berechnen.

2. Schritt

Jetzt leitest Du beide Funktionen ab, um die Steigung zu erhalten.

Du kannst die Steigung bei linearen Funktionen auch direkt aus der Gleichung ablesen.

3. Schritt

Zum Schluss setzt Du beide Steigungen in die Formel ein und berechne den Schnittwinkel.

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Funktionen beträgt .

Winkel zwischen Parabel und Gerade berechnen

Aufgabe 5

Berechne den Schnittwinkel zwischen der Parabel und der Geraden .

Lösung

1. Schritt

Als Erstes berechnest Du den Schnittpunkt der beiden Funktionen, indem Du diese gleichsetzt und so umstellst, sodass Du die pq-Formel anwenden kannst.

Jetzt wendest Du die pq-Formel an.

2. Schritt

Leite die beiden Funktionen ab. Setze anschließend die x-Werte in die Ableitungen ein und berechne die Steigung an den Stellen.

3. Schritt

Da zwei Schnittpunkte existieren, musst Du nun für beide den Schnittwinkel berechnen. Setze die Werte ein und berechne jeweils den Winkel.

Die beiden Funktionen schneiden sich zweimal. Deshalb existieren zwei Schnittwinkel mit den Größen von 59,04° an der Stelle und 35,54° an der Stelle .

Aufgabe 6

Berechne den Schnittwinkel der beiden Funktionen und im Schnittpunkt . Nutze dafür den Steigungswinkel.

Lösung

Es ist sinnvoll, sich hier als Erstes eine Skizze anzufertigen. Wenn Du Schnittwinkel über den Steigungswinkel berechnest, musst Du zu Beginn wissen, ob der Schnittwinkel die waagerechte Gerade einschließt oder nicht. Davon hängt ab, auf welche Weise Du den Winkel berechnen kannst.

Schnittwinkel berechnen Schnittwinkel berechnen mithilfe des Steigungswinkels StudySmarterAbbildung 11: Schnittwinkel berechnen mithilfe des Steigungswinkels

Der Winkel ist der gesuchte Schnittwinkel.

Jetzt leitest Du beide Funktionen ab.

Danach berechnest Du die Steigung beider Funktionen im Schnittpunkt S.

Als Nächstes berechnest Du über den Tangens die Winkel von und . Du kannst nicht direkt den Winkel, der Teil des Schnittwinkels ist, berechnen, da der Tangens immer den kleineren Steigungswinkel berechnet.

Ab hier gibt es zwei Varianten, den Schnittwinkel zu berechnen.

1. Variante: Von dem Winkel musst Du jetzt den Nebenwinkel berechnen, da unterhalb der x-Achse liegt und kein Teil des Schnittwinkels ist.

Zum Schluss subtrahierst Du von und erhältst den Schnittwinkel.

2. Variante: Du berechnest jetzt , indem Du und addierst.

Zum Schluss berechnest Du den Nebenwinkel von und erhältst den Schnittwinkel.

Schnittwinkel berechnen – Das Wichtigste

  • Der Schnittwinkel zweier Funktionen berechnet sich mit der Formel:

    Schnittwinkel berechnen Formel StudySmarter

    Dabei ist m1 der Anstieg der Tangente der einen Funktion im Schnittpunkt und m2 der Anstieg der Tangente der anderen Funktion im Schnittpunkt.

  • Ein Spezialfall des Schnittwinkels ist der 90° Winkel. Diesen kannst Du auch mit der Formel nachweisen.

  • Vorwiegend gibst Du Schnittwinkel zwischen an. Also gibst Du den kleineren der beiden Winkel an.

  • Mit diesen Schritten kannst Du den Schnittwinkel berechnen:

    1. Berechne den Schnittpunkt der Funktionen, wenn nicht gegeben.
    2. Leite beide Funktionen im Schnittpunkt ab. Du erhältst den Anstieg der Tangenten, genauer gesagt der Funktion an der Stelle.
    3. Setze die Anstiege in die Formel ein und berechne den Schnittwinkel.
  • Du kannst den Schnittwinkel auch über den Steigungswinkel berechnen. Dieser gibt den Winkel der Steigung einer Funktion in einem Punkt an.
  • Die Formel zur Berechnung des Steigungswinkels lautetSchnittwinkel berechnen Scheigungswinkelformel StudySmarter.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Schnittwinkel berechnen

In den Geradengleichungen ist die Steigung in allen Punkten gleich und bereits gegeben. Du kannst deshalb direkt die Formel tan(γ)=|(m1-m2)/(1+m1m2)| anwenden. Du kannst auch die Formel tan(γ)=m nutzen und die beiden Winkel dann addieren oder subtrahieren, je nachdem wie die Winkel liegen. Fertige Dir dafür auf jeden Fall eine Skizze an.  

Um den Schnittwinkel von zwei Funktionen zu berechnen, musst Du erst den Schnittpunkt berechnen. Danach leitest Du beide Funktionen an der Schnittstelle ab. Du erhältst die Steigung der Tangente an dieser Stelle und berechnest damit mit der Formel tan(γ)=|(m1-m2)/(1+m1m2)| den Schnittwinkel.

Den Steigungswinkel einer Funktion in einem bestimmten Punkt berechnest Du mit der Formel tan(γ)=m. Um den Anstieg m zu erhalten, musst Du die Funktion an der Stelle ableiten.

Der Schnittwinkel ist immer der kleinere Winkel der beiden Nebenwinkel. Dieser liegt zwischen 0°<γ≤90°.

Finales Schnittwinkel berechnen Quiz

Frage

Was ist eine Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion f ist eine Zuordnung, bei der jedem Element x der Definitionsmenge genau ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Schnittpunkt von Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Schnittpunkt P zweier Funktionen f(x) und g(x) ist der Punkt, an dem zwei Graphen sich innerhalb eines Koordinatensystems treffen und schneiden. Beide Funktionen besitzen an dieser Stelle den gleichen x- und y-Wert.


 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest Du einen Schnittwinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Berechne den Schnittpunkt der Funktionen, wenn nicht gegeben.
  2. Leite beide Funktionen im Schnittpunkt ab. Du erhältst die Steigung der Tangenten, genauer gesagt der Funktion an der Stelle.
  3. Setze die Steigungen in die Formel ein und berechne den Schnittwinkel.
Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Steigungswinkel auch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Neigungswinkel

Frage anzeigen

Frage

Wann müssen Steigungswinkel addiert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Schnittwinkel über die waagerechte Gerade durch den Schnittpunkt verläuft, müssen die Steigungswinkel addiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Wann müssen Steigungswinkel subtrahiert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Schnittwinkel nicht über die waagerechte Gerade durch den Schnittpunkt verläuft, müssen die Steigungswinkel subtrahiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Wann musst Du für die Schnittwinkelberechnung vorher keinen Schnittpunkt berechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn es sich bei beiden Funktionen um lineare Funktionen handelt, muss der Schnittpunkt nicht berechnet werden. Bei linearen Funktionen ändert sich im Gegensatz zu anderen Funktionen der Anstieg nicht.

Frage anzeigen
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