Du bist mit Freunden unterwegs und einer Deiner Freunde hat sich eine 9-er Packung Chicken-Nuggets für \(6\,\text{€}\) geholt. Du hast nicht so viel Hunger und möchtest Dir nur eine 6-er Packung holen. Aber wie viel kostet diese? Das kannst Du mithilfe des Dreisatzes herausfinden. Hier findest Du ein allgemeines Vorgehen und Aufgaben zu dem Thema Dreisatz.
Dreisatz einfach erklärt
Die Ausgangssituation bei Rechnungen mit dem Dreisatz ist immer die gleiche:
Du hast ein Verhältnis gegeben und möchtest davon ausgehend ein weiteres Verhältnis berechnen.
Mit dem Dreisatz kannst Du aus einem gegebenen Verhältnis zweier Größen das Verhältnis der einen Größe zu einem anderen Wert der anderen Größen berechnen.
Das Rechnen mit dem Dreisatz wird auch als Schlussrechnung bezeichnet.
Das Vorgehen dabei lässt sich in drei Schritte gliedern.
Dreisatz Formel und Vorgehen
Beim Rechnen mit dem Dreisatz kannst Du Dich an die folgenden Schritte halten.
- Notiere Dir alle Werte, die Du gegeben hast.
- Berechne das Verhältnis für eine Einheit der gesuchten Größe.
- Berechne das gesuchte Verhältnis, indem Du mit dem entsprechenden Faktor multiplizierst.
Eine konkrete Formel gibt es für die Berechnung mit dem Dreisatz nicht, das Vorgehen ist dafür aber immer gleich.
Gehe diese Schritte gleich für das Beispiel aus der Einleitung durch.
1. Notiere Dir alle Werte, die Du gegeben hast.
Du weißt, dass 9 Nuggets \(6\,\text{€}\) kosten und Du weißt, dass Du 6 Nuggets haben möchtest.Die Anzahl 9 der Nuggets steht im Verhältnis zum Preis \(6\,\text{€}\).
Schritt | Anzahl | Preis | Rechnung |
1. | 9 | \(6\,\text{€}\) | |
| | | |
| 6 | | |
2. Berechne das Verhältnis für eine Einheit der gesuchten Größe.
Teile die Anzahl der Nuggets sowie den dazugehörigen Preis nun durch 9, um herauszufinden, wie viel 1 Nugget kostet.
Schritt | Anzahl | Preis | Rechnung |
1. | 9 | \(6\,\text{€}\) | :9 |
2. | 1 | \(0{,}67\,\text{€}\) | |
| 6 | | |
3. Berechne das gesuchte Verhältnis, indem Du mit dem entsprechenden Faktor multiplizierst.
Multipliziere jetzt mit 6, um zu ermitteln, wie viel 6 Nuggets kosten.
Schritt | Anzahl | Preis | Rechnung |
1. | 9 | \(6\,\text{€}\) | :9 |
2. | 1 | \(0{,}67\,\text{€}\) | ·6 |
3. | 6 | \(4{,}02\,\text{€}\) | |
Sechs Nuggets kostet demnach \(4{,}02\,\text{€}\).
In diesem Beispiel hast Du einen proportionalen Dreisatz verwendet.
Proportionaler und antiproportionaler Dreisatz
Beim Rechnen mit dem Dreisatz spielt das Verhältnis der beiden Größen eine große Rolle und Du kannst zwischen zwei verschiedenen Fällen unterscheiden:
Proportionaler Dreisatz | Antiproportionaler Dreisatz |
Je mehr Du von der einen Größe hast, desto mehr hast Du auch von der anderen Größe. | Je mehr Du von der einen Größe hast, desto weniger hast Du von der anderen Größe |
Je mehr Schokolade Du kaufst, desto mehr bezahlst Du auch. | Je mehr Leute beim Aufräumen helfen, desto weniger Zeit wird gebraucht. |
Anstelle von proportionalem oder antiproportionalem Verhältnis kannst Du auch sagen, dass die beiden Größen durch eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung verknüpft sind.
Dreisatz berechnen
Der Dreisatz kann Dir in vielen Themengebieten und bei verschiedenen Textaufgaben weiterhelfen und auch mehrschrittige Aufgaben lassen sich mit ihm lösen.
Prozentrechnung Dreisatz
Mit der Grundgleichung der Prozentrechnung muss häufig der Prozentwert berechnet werden.
Bei der Berechnung mit dem Dreisatz ist also die erste Größe der Prozentsatz und die zweite Größe der Prozentwert.
Aufgabe 1
Du hast eine Packung Nudeln mit \(500\,\text{g}\) und möchtest \(300\,\text{g}\) kochen. Wie viel Prozent der Packung ist das?
Lösung
Die \(500\,\text{g}\) sind der Grundwert, also \(100 \,\%\).
Die \(300\,\text{g}\) sind der Prozentwert und Du suchst den zugehörigen Prozentsatz.
\begin{align}\text{G}&=\text{P}\cdot \text{p} \% \\500&=300\cdot \text{p}\%\end{align}
Schritt | Prozentsatz | Prozentwert | Rechnung |
1. | \(100 \,\%\) | \(500\,\text{g}\) | |
| | | |
| | \(300\,\text{g}\) | |
Dividiere durch \(\text{500 g}\), um herauszufinden, wie viel Prozent \(\text{1 g}\) entspricht.
Schritt | Prozentsatz | Prozentwert | Rechnung |
1. | \(100 \,\%\) | \(500\,\text{g}\) | :500 |
2. | \(0{,}2 \,\%\) | \(1\,\text{g}\) | |
| | \(300\,\text{g}\) | |
Multipliziere anschließend mit 300, um den gesuchten Prozentsatz von \(\text{300 g}\) zu ermitteln.
Schritt | Prozentsatz | Prozentwert | Rechnung |
1. | \(100 \,\%\) | \(500\,\text{g}\) | :500 |
2. | \(0{,}2 \,\%\) | \(1\,\text{g}\) | ·300 |
3. | \(60 \,\%\) | \(300\,\text{g}\) | |
\(300\,\text{g}\) entsprechen also \(60 \,\%\) der Verpackung.
Aber auch andere Sachverhalte in der Prozentrechnung lassen sich mit dem Dreisatz lösen. So ist manchmal der Grundwert gesucht und Du hast Prozentwert und Prozentsatz gegeben.
Aufgabe 2
Laut einer Umfrage haben \(68 \,\%\) Deiner Mitschüler und Mitschülerinnen ein Haustier. Das entspricht \(306\) Personen. Wie viele Mitschüler und Mitschülerinnen hast Du insgesamt?
Lösung
Stelle zunächst die Tabelle mit allen bekannten Informationen für den Dreisatz auf.
Du suchst die Gesamtzahl Deiner Mitschüler. Das entspricht \(100\,\%\).
Schritt | | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
1. | \(68\,\%\) | 306 | |
| | | |
| \(100\,\%\) | | |
Dividiere anschließend durch 68, um herauszufinden, wie viele Mitschüler und Mitschülerinnen einem Prozent entsprechen.
Schritt | Prozent | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
1. | \(68\,\%\) | 306 | :68 |
2. | \(1\,\%\) | 4,5 | |
| \(100\,\%\) | | |
Zum Schluss multiplizierst Du noch mit 100 und weißt nun, wie viele Mitschüler Du insgesamt hast.
Schritt | Prozent | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
1. | \(68\,\%\) | 306 | :68 |
2. | \(1\,\%\) | 4,5 | ·100 |
3. | \(100\,\%\) | 450 | |
Du hast also insgesamt 450 Mitschüler und Mitschülerinnen.
Zusammengesetzter Dreisatz
Beim zusammengesetzten Dreisatz wird ausgehend von dem Ergebnis eines ersten Dreisatzes weitergerechnet.
Du hast also nicht nur eine, sondern gleich mehrere Größen gegeben.
Aufgabe 3
In der Cafeteria Deiner Schule werden jeden Tag frische Brötchen belegt.
Die 3 Mitarbeitenden schmieren in 30 Minuten 90 Brötchen.
Berechne ausgehend davon, dass alle gleich schnell arbeiten
- wie viele Brötchen zwei Mitarbeitende in 30 Minuten schmieren
- und wie viele Brötchen die zwei Mitarbeitende in zwei Stunden schmieren würden.
Lösung
- Notiere Dir zunächst alle gegeben Informationen.
- Dividiere durch 3, um herauszufinden, wie viele Brötchen 1 Mitarbeitender in 30 Minuten schmiert.
- Multipliziere das Ergebnis mit 2 und Du weißt, wie viele Brötchen die Zwei in 30 Minuten schmieren.
- Dieses Ergebnis kannst Du jetzt mit 4 multiplizieren, um die Anzahl der Brötchen für 120 Minuten zu erhalten.
Schritt | Personen | Brötchen | Zeit | Rechnung |
1. | 3 | 90 | 30 min | :3 |
2. | 1 | 30 | 30 min | ·2 |
3. | 2 | 60 | 30 min | ·4 |
4. | 2 | 240 | 120 min | |
Zwei Mitarbeitende schmieren also 240 Brötchen in zwei Stunden.
Beim zusammengesetzten Dreisatz verändern sich beim Berechnen immer zwei Größen und eine bleibt gleich. Das liegt daran, dass auch immer nur zwei Größen im Verhältnis zueinander stehen.
Dreisatz – Aufgaben zum Üben
Teste Dein Wissen gleich an ein paar Übungsaufgaben.
Aufgabe 4
Oben hast Du bereits berechnet, wie viele Deiner Mitschüler und Mitschülerinnen ein Haustier haben.
\(43 \,\%\) dieser Menge haben eine Katze. Wie viele Personen sind das?
Lösung
- Notiere alle Dir bekannten Informationen. Beachte dabei, dass die 306 Mitschüler, die ein Haustier besitzen, jetzt den \(100 \,\%\) entsprechen.
- Teile durch 100, um herauszufinden, wie viele Mitschüler einem Prozent entsprechen.
- Multipliziere anschließend mit 43 und Du erhältst die gewünschte Anzahl.
Schritt | | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
1. | \(100 \,\%\) | 306 | :100 |
2. | \(1 \,\%\) | 3,06 \(\approx\) 3 | ·43 |
3. | \(43 \,\%\) | 131,58 \(\approx\) 132 | |
Es haben also ungefähr 132 Mitschüler und Mitschülerinnen eine Katze.
Aufgabe 5
Das Datenvolumen von \(10 \,\text{GB}\) Deines Handyvertrages reicht Dir für 20 Tage aus.
Wie viel Datenvolumen brauchtest Du, damit Dein Datenvolumen Dir für 30 Tage, also einen ganzen Monat ausreicht?
Lösung
- Notiere Dir die gegebenen Informationen.
- Dividiere durch 20, sodass Du weißt, wie viel Gigabytes Du pro Tag verbrauchst.
- Multipliziere mit 30, um die Anzahl der benötigten Gigabytes auf 30 Tage zu berechnen.
Schritt | Datenvolumen | Tage | Rechnung |
1. | \(10 \,\text{GB}\) | 20 | :20 |
2. | \(0{,}5 \,\text{GB}\) | 1 | ·30 |
3. | \(15 \,\text{GB}\) | 30 | |
Dreisatz – Das Wichtigste
- Mit dem Dreisatz kannst Du aus einem gegebenen Verhältnis zweier Größen das Verhältnis der einen Größe zu einem anderen Wert der anderen Größen berechnen.
- Das Vorgehen beim Rechnen mit dem Dreisatz ist immer gleich:
- Notiere Dir alle Werte, die Du gegeben hast.
- Berechne das Verhältnis für eine Einheit der gesuchten Größe.
- Berechne das gesuchte Verhältnis, indem Du mit dem entsprechenden Faktor multiplizierst.
- Proportionaler Dreisatz:
Je mehr Du von der einen Größe hast, desto mehr hast Du auch von der anderen Größe.
Antiproportionaler Dreisatz:Je mehr Du von der einen Größe hast, desto weniger hast Du von der anderen Größe.
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