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Du bist mit Freunden unterwegs und einer Deiner Freunde hat sich eine 9-er Packung Chicken-Nuggets für \(6\,\text{€}\) geholt. Du hast nicht so viel Hunger und möchtest Dir nur eine 6-er Packung holen. Aber wie viel kostet diese? Das kannst Du mithilfe des Dreisatzes herausfinden. Hier findest Du ein allgemeines Vorgehen und Aufgaben zu dem Thema Dreisatz.
Die Ausgangssituation bei Rechnungen mit dem Dreisatz ist immer die gleiche:
Du hast ein Verhältnis gegeben und möchtest davon ausgehend ein weiteres Verhältnis berechnen.
Mit dem Dreisatz kannst Du aus einem gegebenen Verhältnis zweier Größen das Verhältnis der einen Größe zu einem anderen Wert der anderen Größen berechnen.
Das Rechnen mit dem Dreisatz wird auch als Schlussrechnung bezeichnet.
Das Vorgehen dabei lässt sich in drei Schritte gliedern.
Beim Rechnen mit dem Dreisatz kannst Du Dich an die folgenden Schritte halten.
Eine konkrete Formel gibt es für die Berechnung mit dem Dreisatz nicht, das Vorgehen ist dafür aber immer gleich.
Gehe diese Schritte gleich für das Beispiel aus der Einleitung durch.
1. Notiere Dir alle Werte, die Du gegeben hast.
Du weißt, dass 9 Nuggets \(6\,\text{€}\) kosten und Du weißt, dass Du 6 Nuggets haben möchtest.Die Anzahl 9 der Nuggets steht im Verhältnis zum Preis \(6\,\text{€}\).
Schritt | Anzahl | Preis | Rechnung |
1. | 9 | \(6\,\text{€}\) | |
6 |
2. Berechne das Verhältnis für eine Einheit der gesuchten Größe.
Teile die Anzahl der Nuggets sowie den dazugehörigen Preis nun durch 9, um herauszufinden, wie viel 1 Nugget kostet.
Schritt | Anzahl | Preis | Rechnung |
1. | 9 | \(6\,\text{€}\) | :9 |
2. | 1 | \(0{,}67\,\text{€}\) | |
6 |
3. Berechne das gesuchte Verhältnis, indem Du mit dem entsprechenden Faktor multiplizierst.
Multipliziere jetzt mit 6, um zu ermitteln, wie viel 6 Nuggets kosten.
Schritt | Anzahl | Preis | Rechnung |
1. | 9 | \(6\,\text{€}\) | :9 |
2. | 1 | \(0{,}67\,\text{€}\) | ·6 |
3. | 6 | \(4{,}02\,\text{€}\) |
Sechs Nuggets kostet demnach \(4{,}02\,\text{€}\).
In diesem Beispiel hast Du einen proportionalen Dreisatz verwendet.
Beim Rechnen mit dem Dreisatz spielt das Verhältnis der beiden Größen eine große Rolle und Du kannst zwischen zwei verschiedenen Fällen unterscheiden:
Proportionaler Dreisatz | Antiproportionaler Dreisatz |
Je mehr Du von der einen Größe hast, desto mehr hast Du auch von der anderen Größe. | Je mehr Du von der einen Größe hast, desto weniger hast Du von der anderen Größe |
Je mehr Schokolade Du kaufst, desto mehr bezahlst Du auch. | Je mehr Leute beim Aufräumen helfen, desto weniger Zeit wird gebraucht. |
Anstelle von proportionalem oder antiproportionalem Verhältnis kannst Du auch sagen, dass die beiden Größen durch eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung verknüpft sind.
Mehr Beispiele und eine genauere Ausführung dazu findest Du in "Proportionale Zuordnung" und "Antiproportionale Zuordnung".
Der Dreisatz kann Dir in vielen Themengebieten und bei verschiedenen Textaufgaben weiterhelfen und auch mehrschrittige Aufgaben lassen sich mit ihm lösen.
Mit der Grundgleichung der Prozentrechnung muss häufig der Prozentwert berechnet werden.
Bei der Berechnung mit dem Dreisatz ist also die erste Größe der Prozentsatz und die zweite Größe der Prozentwert.
Aufgabe 1
Du hast eine Packung Nudeln mit \(500\,\text{g}\) und möchtest \(300\,\text{g}\) kochen. Wie viel Prozent der Packung ist das?
Lösung
Die \(500\,\text{g}\) sind der Grundwert, also \(100 \,\%\).
Die \(300\,\text{g}\) sind der Prozentwert und Du suchst den zugehörigen Prozentsatz.
\begin{align}\text{G}&=\text{P}\cdot \text{p} \% \\500&=300\cdot \text{p}\%\end{align}
Schritt | Prozentsatz | Prozentwert | Rechnung |
1. | \(100 \,\%\) | \(500\,\text{g}\) | |
\(300\,\text{g}\) |
Dividiere durch \(\text{500 g}\), um herauszufinden, wie viel Prozent \(\text{1 g}\) entspricht.
Schritt | Prozentsatz | Prozentwert | Rechnung |
1. | \(100 \,\%\) | \(500\,\text{g}\) | :500 |
2. | \(0{,}2 \,\%\) | \(1\,\text{g}\) | |
\(300\,\text{g}\) |
Multipliziere anschließend mit 300, um den gesuchten Prozentsatz von \(\text{300 g}\) zu ermitteln.
Schritt | Prozentsatz | Prozentwert | Rechnung |
1. | \(100 \,\%\) | \(500\,\text{g}\) | :500 |
2. | \(0{,}2 \,\%\) | \(1\,\text{g}\) | ·300 |
3. | \(60 \,\%\) | \(300\,\text{g}\) |
\(300\,\text{g}\) entsprechen also \(60 \,\%\) der Verpackung.
Aber auch andere Sachverhalte in der Prozentrechnung lassen sich mit dem Dreisatz lösen. So ist manchmal der Grundwert gesucht und Du hast Prozentwert und Prozentsatz gegeben.
Aufgabe 2
Laut einer Umfrage haben \(68 \,\%\) Deiner Mitschüler und Mitschülerinnen ein Haustier. Das entspricht \(306\) Personen. Wie viele Mitschüler und Mitschülerinnen hast Du insgesamt?
Lösung
Stelle zunächst die Tabelle mit allen bekannten Informationen für den Dreisatz auf.
Du suchst die Gesamtzahl Deiner Mitschüler. Das entspricht \(100\,\%\).
Schritt | Anzahl Mitschüler | Rechnung | |
1. | \(68\,\%\) | 306 | |
\(100\,\%\) |
Dividiere anschließend durch 68, um herauszufinden, wie viele Mitschüler und Mitschülerinnen einem Prozent entsprechen.
Schritt | Prozent | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
1. | \(68\,\%\) | 306 | :68 |
2. | \(1\,\%\) | 4,5 | |
\(100\,\%\) |
Zum Schluss multiplizierst Du noch mit 100 und weißt nun, wie viele Mitschüler Du insgesamt hast.
Schritt | Prozent | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
1. | \(68\,\%\) | 306 | :68 |
2. | \(1\,\%\) | 4,5 | ·100 |
3. | \(100\,\%\) | 450 |
Du hast also insgesamt 450 Mitschüler und Mitschülerinnen.
Beim zusammengesetzten Dreisatz wird ausgehend von dem Ergebnis eines ersten Dreisatzes weitergerechnet.
Du hast also nicht nur eine, sondern gleich mehrere Größen gegeben.
Aufgabe 3
In der Cafeteria Deiner Schule werden jeden Tag frische Brötchen belegt.
Die 3 Mitarbeitenden schmieren in 30 Minuten 90 Brötchen.
Berechne ausgehend davon, dass alle gleich schnell arbeiten
Lösung
Schritt | Personen | Brötchen | Zeit | Rechnung |
1. | 3 | 90 | 30 min | :3 |
2. | 1 | 30 | 30 min | ·2 |
3. | 2 | 60 | 30 min | ·4 |
4. | 2 | 240 | 120 min |
Zwei Mitarbeitende schmieren also 240 Brötchen in zwei Stunden.
Beim zusammengesetzten Dreisatz verändern sich beim Berechnen immer zwei Größen und eine bleibt gleich. Das liegt daran, dass auch immer nur zwei Größen im Verhältnis zueinander stehen.
Teste Dein Wissen gleich an ein paar Übungsaufgaben.
Aufgabe 4
Oben hast Du bereits berechnet, wie viele Deiner Mitschüler und Mitschülerinnen ein Haustier haben.
\(43 \,\%\) dieser Menge haben eine Katze. Wie viele Personen sind das?
Lösung
Schritt | Anzahl Mitschüler | Rechnung | |
1. | \(100 \,\%\) | 306 | :100 |
2. | \(1 \,\%\) | 3,06 \(\approx\) 3 | ·43 |
3. | \(43 \,\%\) | 131,58 \(\approx\) 132 |
Es haben also ungefähr 132 Mitschüler und Mitschülerinnen eine Katze.
Aufgabe 5
Das Datenvolumen von \(10 \,\text{GB}\) Deines Handyvertrages reicht Dir für 20 Tage aus.
Wie viel Datenvolumen brauchtest Du, damit Dein Datenvolumen Dir für 30 Tage, also einen ganzen Monat ausreicht?
Lösung
Schritt | Datenvolumen | Tage | Rechnung |
1. | \(10 \,\text{GB}\) | 20 | :20 |
2. | \(0{,}5 \,\text{GB}\) | 1 | ·30 |
3. | \(15 \,\text{GB}\) | 30 |
Beim Rechnen mit dem Dreisatz kannst Du Dich an die folgenden Schritte halten.
Um den Prozentwert mit dem Dreisatz zu berechnen, berechnest Du zunächst den Prozentwert für ein Prozent und multiplizierst diesen anschließend mit dem gewünschten Prozentsatz.
Es gibt proportionale sowie antiproportionale Dreisätze. Unterschieden wird dabei nach der Art des Verhältnisses, in dem die beiden Größen zueinander stehen.
Den Dreisatz benutzt Du, wenn Du das Verhältnis zweier Größen gegeben hast und den Wert der einen Größe zu einem anderen Wert der zweiten Größe ermitteln möchtest.
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