Eine Passante ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur nicht schneidet und berührt. Kurve/Figur und Passante haben nämlich keinen gemeinsamen Punkt.
Der Begriff Passante hat sich aus dem französischen Verb passer entwickelt, das "vorbeigehen" oder "passieren" bedeutet.
Passante – Definition
Eine Passante ist eine besondere Gerade im Zusammenhang mit einer weiteren Funktion oder einer geometrischen Figur.
Die Passante kommt oft mit der Tangente und der Sekante an einem Kreis zusammen vor.
Abbildung 1: Sekante, Tangente und Passante am Kreis
Die Passante hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, die Tangente einen und die Sekante zwei.
In diesem Artikel geht es allerdings nicht um die Passante in der Geometrie, sondern um die funktionale Gerade in der Analysis im Koordinatensystem.
Möchtest du dich genauer über Passanten am Kreis informieren, dann solltest du dir den Artikel "Geraden am Kreis" anschauen.
Passanten in der Analysis
Passanten sind anonym und fallen nicht auf, da sie für sich unterwegs sind und nicht mit anderen Funktionen im Koordinatensystem in Berührung kommen.
Eine Passante ist eine lineare Funktion, die keine Berührungspunkte oder Schnittpunkte mit einer weiteren Funktion im Koordinatensystem hat. Sie hat keine gemeinsame Lösungsmenge mit der anderen Funktion.
Die Graphen von Passanten sind immer Geraden. Hier siehst du exemplarisch eine Passante p, die an einer quadratischen Funktion f vorbeiläuft, ohne sie zu schneiden oder zu berühren.
Abbildung 2: Beispiel einer Passante
Lineare Funktionen sind so definiert, dass der Funktionswert y von zwei wesentlichen Faktoren abhängt: der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt t.
Jede Passante ist eine lineare Funktion der Form , wobei m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt sind.
Passante berechnen
Hast du eine Abbildung gegeben, so wie die Abbildung 2, kannst du schnell erkennen, ob eine Gerade einen Funktionsgraph im abgebildeten Ausschnitt berührt oder schneidet.
Doch was ist, wenn f(x) außerhalb des abgebildeten Bereichs noch ein paar Richtungsänderungen hat? Dann solltest du berechnen, ob eine Gerade eine Passante ist.
Um rechnerisch zu überprüfen, ob es sich um eine Passante handelt, überprüfst du im Prinzip, ob Gerade und Funktion f einen Schnitt- oder Berührpunkt haben.
Um rechnerisch zu überprüfen, ob zwei Funktionen Schnitt- oder Berührpunkte haben, setzt du sie gleich.
Dabei gilt:
- Gibt es mindestens eine Lösung, so existieren Schnitt-/Berührpunkte.
- Gibt es keine Lösung, so existieren keine Schnitt-/Berührpunkte.
Wie man Schnittpunkte zwischen beliebigen Funktionen ausführlich berechnet, kannst du in der Erklärung "Schnittpunkte zweier Funktionen" nachlesen.
Im Folgenden siehst du ein paar Beispielaufgaben, in denen eine der Funktionen eine Gerade ist.
Aufgabe 1
Überprüfe rechnerisch, ob die Funktion eine Passante der Funktion ist.
Lösung 1
Prüfe, ob die Funktionen f und p einen (oder mehrere) Schnittpunkte haben. Dazu setzt du die Funktionsgleichungen gleich.
Nun wird die Gleichung so umgestellt, dass alles auf einer Seite steht und auf der anderen Seite 0. Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, hast du zur Lösung der Gleichung mehrere Möglichkeiten:
- die Mitternachtsformel
- die pq-Formel
- den Satz von Vieta
- die Quadratische Ergänzung
Zu allen diesen Möglichkeiten findest du auf StudySmarter eine eigene Erklärung.
In diesem Beispiel wird die Mitternachtsformel genutzt.
Diese Rechnung ergibt keine Lösung, da die Wurzel aus -3 nicht berechnet werden kann. Daher existieren keine Schnitt- oder Berührpunkte zwischen Funktion f und Funktion p. Die Funktion p ist nämlich eine Passante.
Abbildung 3: Funktionen f und p aus Aufgabe 1
Möchtest du berechnen, ob eine mögliche Passante einen Schnittpunkt mit einer quadratischen Funktion hat, reicht es nach dem Gleichsetzen der Funktionsgleichungen und dem Umstellen der Gleichung aus, lediglich die Diskriminante der Mitternachtsformel zu berechnen.
Die Mitternachtsformel lautet:
Dabei wird der Ausdruck auch Diskriminante genannt.
Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel. Es gilt das Folgende:
- Ist die Diskriminante kleiner als 0, so kann man aus ihr die Wurzel nicht ziehen. Die Gleichung hat also keine Lösung.
- Ist die Diskriminante gleich 0, dann ergibt die Wurzel 0 und die Gleichung hat eine Lösung.
- Ist die Diskriminante größer, also 0, dann kann man die Wurzel ziehen. Die Gleichung hat dann zwei Lösungen.
Um zu überprüfen, ob eine Gerade eine Passante ist, reicht es aus, zu wissen, ob es Schnittpunkte gibt oder nicht. Nur im ersten Fall, also wenn die Diskriminante kleiner als 0 ist, handelt es sich um eine Passante.
Willst du das Berechnen der Diskriminante nochmal üben? Dann gibt es am Ende des Artikels noch eine Übungsaufgabe für dich.
Was ist nun, wenn die Funktion f nicht quadratisch? Bei Polynomfunktionen 3. oder 4. Grades kann man manchmal Glück haben und Schnittpunkte auf dem bekannten Weg berechnen. Bei anderen Funktionen wie der Sinusfunktion, der Exponentialfunktion oder Polynomfunktionen höheren Grades ist es aber oft rechnerisch schwierig zu überprüfen, ob es Schnittpunkte gibt. Hier hilft ein Funktionsplotter oder eine dynamische Geometrie-Software, in die du die Funktionen eingeben und Schnittpunkte berechnen lassen kannst.
Passante konstruieren
Um Passanten zu konstruieren, gibt es kein eindeutiges Kochrezept und es gibt meistens nicht DIE eine richtige Lösung.
Folgende Schritte kannst du befolgen, um eine Passante zu konstruieren.
- Zeichne die Funktion f, zu der eine Passante konstruiert werden soll. Alternativ kannst du sie dir plotten lassen, damit du weißt, wie sie außerhalb deines gezeichneten Koordinatensystems etwa aussieht.
- Nutze dein Lineal, um eine mögliche Gerade einzuzeichnen, die den Graphen der Funktion f nicht schneidet. Diese Gerade ist deine Passante.
- Möchtest du auch den Funktionsterm der eingezeichneten Passante wissen, so musst du noch Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen. a. Den y-Achsenabschnitt kannst du an der y-Achse ablesen. Er ist der y-Wert des Schnittpunktes zwischen y- Achse und Gerade. b. Die Steigung kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks ablesen.
Schaue dir das beispielhaft an einer Funktion an.
Aufgabe 2
Konstruiere eine Passante zur Funktion . Lies die Geradengleichung der konstruierten Passante ab.
Lösung 2
Schritt 1: Zeichne die Funktion f in ein Koordinatensystem ein.
Abbildung 4: Passante konstruieren - Schritt 1
Schritt 2: Zeichne eine Gerade ein, die keinen Schnittpunkt mit der Funktion f hat.
Abbildung 5: Passante konstruieren - Schritt 2
Schritt 3: Lies den y-Achsenabschnitt t und die Steigung m der Gerade ab und formuliere damit die Gleichung der Passante.
Abbildung 6: Passante konstruieren - Schritt 3
Übungsaufgaben zur Passante
Nun kannst du mit den Beispielaufgaben üben, mit Passanten effektiv zu arbeiten.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion . Ist die Funktion eine Passante der Funktion f?
Lösung 3
Setze die beiden Funktionsterme gleich.
Stelle nun die Gleichung um.
Jetzt kannst du entweder die Mitternachtsformel, die pq-Formel oder weitere Möglichkeiten zur Berechnung der Lösung verwenden. Oder du überprüfst nur anhand der Diskriminante, ob es Schnittpunkte gibt.
Im Folgenden wird es mit der Diskriminante gezeigt.
Die Diskriminante ist positiv. Es gibt nämlich 2 Lösungen der quadratischen Gleichung, also auch zwei Schnittpunkte.
Die Funktion p ist damit keine Passante.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Funktionen
.
Handelt es sich bei um eine Passante?
Lösung 4
Setze die Funktionen gleich und stelle die Gleichung um.
Löse nun diese quadratische Gleichung, beispielsweise mit der Mitternachtsformel.
Da die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel, negativ ist, gibt es keine Lösung dieser Gleichung und somit haben die Funktionen f und p keine gemeinsamen Punkte. ist also eine Passante.
Passante - Das Wichtigste
- Eine Passante ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine Funktion nicht berührt oder schneidet.
- Jede Passante ist eine lineare Funktion der Form .
- Um rechnerisch zu überprüfen, ob eine lineare Funktion eine Passante zu einer anderen Funktion f ist, werden die Funktionsterme gleichgesetzt und die Lösungsmenge berechnet.
- Ist die Lösungsmenge leer, so handelt es sich um eine Passante.
- Ist die Lösungsmenge nicht leer, so gibt es Schnittpunkte und es handelt sich nicht um eine Passante.
- Willst du eine Passante konstruieren, so zeichnest du die gegebene Funktion in ein Koordinatensystem ein und eine Gerade mit dem Lineal, die den Graphen der Funktion nicht berührt.
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