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Passante

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Passante

Eine Passante ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur nicht schneidet und berührt. Kurve/Figur und Passante haben nämlich keinen gemeinsamen Punkt.

Der Begriff Passante hat sich aus dem französischen Verb passer entwickelt, das "vorbeigehen" oder "passieren" bedeutet.

Passante Passante Beispiel StudySmarter

Passante – Definition

Eine Passante ist eine besondere Gerade im Zusammenhang mit einer weiteren Funktion oder einer geometrischen Figur.

Die Passante kommt oft mit der Tangente und der Sekante an einem Kreis zusammen vor.

Passante Definition Passante am Kreis StudySmarterAbbildung 1: Sekante, Tangente und Passante am Kreis

Die Passante hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, die Tangente einen und die Sekante zwei.

In diesem Artikel geht es allerdings nicht um die Passante in der Geometrie, sondern um die funktionale Gerade in der Analysis im Koordinatensystem.

Möchtest du dich genauer über Passanten am Kreis informieren, dann solltest du dir den Artikel "Geraden am Kreis" anschauen.

Passanten in der Analysis

Passanten sind anonym und fallen nicht auf, da sie für sich unterwegs sind und nicht mit anderen Funktionen im Koordinatensystem in Berührung kommen.

Eine Passante ist eine lineare Funktion, die keine Berührungspunkte oder Schnittpunkte mit einer weiteren Funktion im Koordinatensystem hat. Sie hat keine gemeinsame Lösungsmenge mit der anderen Funktion.

Die Graphen von Passanten sind immer Geraden. Hier siehst du exemplarisch eine Passante p, die an einer quadratischen Funktion f vorbeiläuft, ohne sie zu schneiden oder zu berühren.

Passante Passante Beispiel StudySmarterAbbildung 2: Beispiel einer Passante

Lineare Funktionen sind so definiert, dass der Funktionswert y von zwei wesentlichen Faktoren abhängt: der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt t.

Jede Passante ist eine lineare Funktion der Form Passante Lineare Funktion StudySmarter, wobei m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt sind.

Passante berechnen

Hast du eine Abbildung gegeben, so wie die Abbildung 2, kannst du schnell erkennen, ob eine Gerade einen Funktionsgraph im abgebildeten Ausschnitt berührt oder schneidet.

Doch was ist, wenn f(x) außerhalb des abgebildeten Bereichs noch ein paar Richtungsänderungen hat? Dann solltest du berechnen, ob eine Gerade eine Passante ist.

Um rechnerisch zu überprüfen, ob es sich um eine Passante handelt, überprüfst du im Prinzip, ob Gerade und Funktion f einen Schnitt- oder Berührpunkt haben.

Um rechnerisch zu überprüfen, ob zwei Funktionen Schnitt- oder Berührpunkte haben, setzt du sie gleich.

Dabei gilt:

  1. Gibt es mindestens eine Lösung, so existieren Schnitt-/Berührpunkte.
  2. Gibt es keine Lösung, so existieren keine Schnitt-/Berührpunkte.

Wie man Schnittpunkte zwischen beliebigen Funktionen ausführlich berechnet, kannst du in der Erklärung "Schnittpunkte zweier Funktionen" nachlesen.

Im Folgenden siehst du ein paar Beispielaufgaben, in denen eine der Funktionen eine Gerade ist.

Aufgabe 1

Überprüfe rechnerisch, ob die Funktion eine Passante der Funktion ist.

Lösung 1

Prüfe, ob die Funktionen f und p einen (oder mehrere) Schnittpunkte haben. Dazu setzt du die Funktionsgleichungen gleich.

Nun wird die Gleichung so umgestellt, dass alles auf einer Seite steht und auf der anderen Seite 0. Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, hast du zur Lösung der Gleichung mehrere Möglichkeiten:

Zu allen diesen Möglichkeiten findest du auf StudySmarter eine eigene Erklärung.

In diesem Beispiel wird die Mitternachtsformel genutzt.

Diese Rechnung ergibt keine Lösung, da die Wurzel aus -3 nicht berechnet werden kann. Daher existieren keine Schnitt- oder Berührpunkte zwischen Funktion f und Funktion p. Die Funktion p ist nämlich eine Passante.

Passante Passante berechnen Beispiel StudySmarterAbbildung 3: Funktionen f und p aus Aufgabe 1

Möchtest du berechnen, ob eine mögliche Passante einen Schnittpunkt mit einer quadratischen Funktion hat, reicht es nach dem Gleichsetzen der Funktionsgleichungen und dem Umstellen der Gleichung aus, lediglich die Diskriminante der Mitternachtsformel zu berechnen.

Die Mitternachtsformel lautet:

Passante Mitternachtsformel Passante berechnen StudySmarter

Dabei wird der Ausdruck Passante Passante berechnen StudySmarterauch Diskriminante genannt.

Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel. Es gilt das Folgende:

  • Ist die Diskriminante kleiner als 0, so kann man aus ihr die Wurzel nicht ziehen. Die Gleichung hat also keine Lösung.
  • Ist die Diskriminante gleich 0, dann ergibt die Wurzel 0 und die Gleichung hat eine Lösung.
  • Ist die Diskriminante größer, also 0, dann kann man die Wurzel ziehen. Die Gleichung hat dann zwei Lösungen.

Um zu überprüfen, ob eine Gerade eine Passante ist, reicht es aus, zu wissen, ob es Schnittpunkte gibt oder nicht. Nur im ersten Fall, also wenn die Diskriminante kleiner als 0 ist, handelt es sich um eine Passante.

Willst du das Berechnen der Diskriminante nochmal üben? Dann gibt es am Ende des Artikels noch eine Übungsaufgabe für dich.

Was ist nun, wenn die Funktion f nicht quadratisch? Bei Polynomfunktionen 3. oder 4. Grades kann man manchmal Glück haben und Schnittpunkte auf dem bekannten Weg berechnen. Bei anderen Funktionen wie der Sinusfunktion, der Exponentialfunktion oder Polynomfunktionen höheren Grades ist es aber oft rechnerisch schwierig zu überprüfen, ob es Schnittpunkte gibt. Hier hilft ein Funktionsplotter oder eine dynamische Geometrie-Software, in die du die Funktionen eingeben und Schnittpunkte berechnen lassen kannst.

Passante konstruieren

Um Passanten zu konstruieren, gibt es kein eindeutiges Kochrezept und es gibt meistens nicht DIE eine richtige Lösung.

Möchtest du eine Passante an einem Kreis konstruieren, dann schau dir besser den Artikel "Geraden am Kreis" an!

Folgende Schritte kannst du befolgen, um eine Passante zu konstruieren.

  1. Zeichne die Funktion f, zu der eine Passante konstruiert werden soll. Alternativ kannst du sie dir plotten lassen, damit du weißt, wie sie außerhalb deines gezeichneten Koordinatensystems etwa aussieht.
  2. Nutze dein Lineal, um eine mögliche Gerade einzuzeichnen, die den Graphen der Funktion f nicht schneidet. Diese Gerade ist deine Passante.
  3. Möchtest du auch den Funktionsterm der eingezeichneten Passante wissen, so musst du noch Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen. a. Den y-Achsenabschnitt kannst du an der y-Achse ablesen. Er ist der y-Wert des Schnittpunktes zwischen y- Achse und Gerade. b. Die Steigung kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks ablesen.

Schaue dir das beispielhaft an einer Funktion an.

Aufgabe 2

Konstruiere eine Passante zur Funktion . Lies die Geradengleichung der konstruierten Passante ab.

Lösung 2

Schritt 1: Zeichne die Funktion f in ein Koordinatensystem ein.

Passante Passante konstruieren StudySmarterAbbildung 4: Passante konstruieren - Schritt 1

Schritt 2: Zeichne eine Gerade ein, die keinen Schnittpunkt mit der Funktion f hat.

Passante Passante konstruieren StudySmarterAbbildung 5: Passante konstruieren - Schritt 2

Schritt 3: Lies den y-Achsenabschnitt t und die Steigung m der Gerade ab und formuliere damit die Gleichung der Passante.

Passante Passante konstruieren StudySmarterAbbildung 6: Passante konstruieren - Schritt 3

Übungsaufgaben zur Passante

Nun kannst du mit den Beispielaufgaben üben, mit Passanten effektiv zu arbeiten.

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion . Ist die Funktion eine Passante der Funktion f?

Lösung 3

Setze die beiden Funktionsterme gleich.

Stelle nun die Gleichung um.

Jetzt kannst du entweder die Mitternachtsformel, die pq-Formel oder weitere Möglichkeiten zur Berechnung der Lösung verwenden. Oder du überprüfst nur anhand der Diskriminante, ob es Schnittpunkte gibt.

Im Folgenden wird es mit der Diskriminante gezeigt.

Die Diskriminante ist positiv. Es gibt nämlich 2 Lösungen der quadratischen Gleichung, also auch zwei Schnittpunkte.

Die Funktion p ist damit keine Passante.

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen

.

Handelt es sich bei um eine Passante?

Lösung 4

Setze die Funktionen gleich und stelle die Gleichung um.

Löse nun diese quadratische Gleichung, beispielsweise mit der Mitternachtsformel.

Da die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel, negativ ist, gibt es keine Lösung dieser Gleichung und somit haben die Funktionen f und p keine gemeinsamen Punkte. ist also eine Passante.

Passante - Das Wichtigste

  • Eine Passante ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine Funktion nicht berührt oder schneidet.
  • Jede Passante ist eine lineare Funktion der Form .
  • Um rechnerisch zu überprüfen, ob eine lineare Funktion eine Passante zu einer anderen Funktion f ist, werden die Funktionsterme gleichgesetzt und die Lösungsmenge berechnet.
    • Ist die Lösungsmenge leer, so handelt es sich um eine Passante.
    • Ist die Lösungsmenge nicht leer, so gibt es Schnittpunkte und es handelt sich nicht um eine Passante.
  • Willst du eine Passante konstruieren, so zeichnest du die gegebene Funktion in ein Koordinatensystem ein und eine Gerade mit dem Lineal, die den Graphen der Funktion nicht berührt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Passante

Eine Passante ist eine lineare Funktion, welche mit einer weiteren Funktion keine Schnitt- oder Berührungspunkte hat.

  1. Zeichne die Funktion f ein, zu der eine Passante konstruiert werden soll. Alternativ kannst du sie dir plotten lassen, damit du weißt, wie sie auch außerhalb deines gezeichneten Koordinatensystems in etwa aussieht.
  2. Nutze dein Lineal, um eine mögliche Gerade einzuzeichnen, die den Graph der Funktion f nicht schneidet. Diese Gerade ist deine Passante. 
  3. Möchtest du auch den Funktionsterm der eingezeichneten Passante wissen, so musst du noch Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen.
    1. den y-Achsenabschnitt kannst du an der y-Achse ablesen. Er ist der y-Wert des Schnittpunktes zwischen y-Achse und Gerade.
    2. die Steigung kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks ablesen.

Um rechnerisch zu prüfen, ob eine Gerade eine Passante zu einer gegebenen Funktion f ist, setzt du beide Funktionsterme gleich und berechnest dann die Lösungsmenge, also ob die beiden Funktionen Schnittpunkte haben. Ist die Lösungsmenge leer, so handelt es sich um eine Passante. Gibt es Lösungen, so gibt es auch Schnittpunkte und es handelt sich um keine Passante.

Du erkennst eine Passante daran, dass sie keinen Berühr- oder Schnittpunkt mit einer anderen Funktion hat. Rechnerisch kannst du eine Passante daran erkennen, dass die Lösungsmenge beim Gleichsetzen mit einer anderen Funktion leer ist.

Finales Passante Quiz

Frage

Was ist eine Passante?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Passante ist eine lineare Funktion, die keine Berührungspunkte oder Schnittpunkte mit einer weiteren Funktion im Koordinatensystem hat. Sie hat keine gemeinsame Lösungsmenge mit der anderen Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Wo gibt es Passanten?

Antwort anzeigen

Antwort

In der Geometrie

Frage anzeigen

Frage

Welche besonderen Geraden gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Tangente

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für jede Passante?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede Passante ist eine Gerade.

Frage anzeigen

Frage

Von welchen Faktoren hängt der Funktionswert y einer linearen Funktion ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Funktionswert y ist abhängig von der Steigung m.

Frage anzeigen

Frage

Wie überprüfst du, dass es sich bei einer Funktion f um eine Passante handelt?

Antwort anzeigen

Antwort

Um rechnerisch zu überprüfen, ob zwei Funktionen Schnitt- oder Berührpunkte haben, setzt du sie gleich.

Dabei gilt:


  1. Gibt es mindestens eine Lösung, so existieren Schnitt-/Berührpunkte.
  2. Gibt es keine Lösung, so existieren keine Schnitt-/Berührpunkte.


Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du berechnen, dass eine Funktion p eine Passante zur Funktion f ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Gleichungen müssen gleichgesetzt und gelöst werden. Hat die Gleichung keine Lösung, so gibt es keine Schnittpunkte und es handelt sich um eine Passante.

Frage anzeigen

Frage

Welche Schritte kannst du befolgen, um eine Passante zu konstruieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Schritte kannst du befolgen, um eine Passante zu konstruieren.


  1. Zeichne die Funktion f, zu der eine Passante konstruiert werden soll. Alternativ kannst du sie dir plotten lassen, damit du weißt, wie sie außerhalb deines gezeichneten Koordinatensystems etwa aussieht.
  2. Nutze dein Lineal, um eine mögliche Gerade einzuzeichnen, die den Graphen der Funktion f nicht schneidet. Diese Gerade ist deine Passante. 
  3. Möchtest du auch den Funktionsterm der eingezeichneten Passante wissen, so musst du noch Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen.
        a. Den y-Achsenabschnitt kannst du an der y-Achse ablesen. Er ist der y-Wert des Schnittpunktes zwischen y-
            Achse und Gerade
        b. Die Steigung kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks ablesen.
Frage anzeigen

Frage

Konstruiere eine Passante zur Funktion . Lies die Geradengleichung der konstruierten Passante ab.


Antwort anzeigen

Antwort

Schritt 1: Zeichne die Funktion f in ein Koordinatensystem ein.



Schritt 2: Zeichne eine Gerade ein, die keinen Schnittpunkt mit der Funktion f hat.



Schritt 3: Lies den y-Achsenabschnitt t und die Steigung m der Gerade ab und formuliere damit die Gleichung der Passante.


Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist die Funktion . Ist die Funktion  eine Passante der Funktion f?

Antwort anzeigen

Antwort

Setze die beiden Funktionsterme gleich.



Stelle nun die Gleichung um.



Jetzt kannst du entweder die Mitternachtsformel, die pq-Formel oder weitere Möglichkeiten der Berechnung der Lösung verwenden. Oder du überprüfst nur anhand der Diskriminante, ob es Schnittpunkte gibt.


Im Folgenden wird es mit der Diskriminante gezeigt.



Die Diskriminante ist positiv. Es gibt zwei Lösungen der quadratischen Gleichung, also auch zwei Schnittpunkte.

Die Funktion p ist keine Passante.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die Funktionen . Handelt es sich bei p(x) um eine Passante?

Antwort anzeigen

Antwort

Setze die Funktionen gleich und stelle die Gleichung um.



Löse nun diese quadratische Gleichung, beispielsweise mit der Mitternachtsformel.



Da die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine Lösung dieser Gleichung und somit haben die Funktionen f und p keine gemeinsamen Punkte. p(x) ist also eine Passante.

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