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Sekante

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Mathe

Der Begriff Sekante hat sich aus dem lateinischen Verb secare entwickelt, was "schneiden" bedeutet.

Sekante schneiden StudySmarter

Was eine Sekante genau ist, was sie schneidet und wie man sie berechnen kann, lernst du in diesem Artikel.

Sekante – Definition

Eine Sekante ist eine besondere Gerade, deren Name sich mit gutem Grund aus diesem lateinischen Wort herleiten lässt:

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur in zwei Punkten schneidet.

Sekanten gibt es im Koordinatensystem (in der Analysis), aber auch in der Geometrie. In der Geometrie konstruiert man sie an verschiedenen Figuren, zum Beispiel an Kreisen oder Ellipsen. Wenn es um Sekanten im Koordinatensystem geht, ist man nicht nur daran interessiert, Sekanten zu zeichnen, sondern auch sie zu berechnen.

Sekante, Tangente und Passante

Neben der Sekante gibt es noch zwei andere besondere Geraden, die in diesem Zusammenhang gemeinsam genannt werden. Diese sind die Tangente und die Passante.

  • Die Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine Figur an einem Punkt berührt.
  • Die Passante ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine Figur weder berührt, noch schneidet, also daran vorbeiläuft.

In dieser Abbildung siehst du diese drei besonderen Geraden an einer Kurve:

Sekante Tangente, Sekante und Passante an einer Kurve StudySmarterAbbildung 1: Tangente, Sekante und Passante an einer Kurve

In diesem Artikel geht es um die Sekante als funktionale Gerade, also im Koordinatensystem.

Möchtest du die Tangente im Bereich der Geometrie genauer anschauen, speziell im Zusammenhang mit Kreisen, dann schaue dir den Artikel "Geraden am Kreis" an.

Die Sekante als funktionale Gerade

Für die ebene Geometrie – also die Geometrie im zweidimensionalen – reicht die Definition aus dem letzten Abschnitt aus. Doch in der Analysis – also beim Betrachten von Sekanten an Kurven oder Funktionsgrafen – nutzt man meistens eine andere Definition der Sekante:

Eine Sekante ist eine Funktion , die eine Funktion in mindestens zwei Punkten schneidet. Ihre Steigung wird als Sekantensteigung bezeichnet. Eine Sekante hat die gleiche Form wie eine lineare Gleichung:

Sekante Sekantengleichung StudySmarter

Die folgende Abbildung stellt ein Beispiel für eine Sekante an der Kurve dar.

Sekante Beispiel Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 2: Sekante

Sekante berechnen

Wie oben bereits erwähnt, geht es in der Analysis hauptsächlich darum, Sekanten zu berechnen. Dafür muss die Sekantensteigung berechnet und anschließend die Sekantengleichung aufgestellt werden.

Sekantensteigung berechnen

Da eine Sekante die Standardform einer Gerade hat, ist die Berechnung der Steigung über die Punkt-Steigungs-Form möglich.

Du erinnerst dich bestimmt daran, dass wenn zwei Punkte und vorgegeben sind, die Steigung der durch diese zwei Punkte verlaufenden Gerade sehr einfach zu berechnen ist, indem die gegebenen Werte in die Formel eingesetzt werden.

Dieses Prinzip kannst du auch auf die Sekante übertragen:

Die Steigung einer Sekante , die durch die Punkte geht, wird mit folgender Formel berechnet:

Sekante berechnen Formel Sekantensteigung StudySmarter

Diese Steigung brauchst du, um die Sekantengleichung aufstellen zu können. Im folgenden Abschnitt wirst du genau das lernen. Davor findest du aber noch eine Vertiefung, die dir erklärt, wie die Steigung einer Sekante mit dem Integral zusammenhängt.

Sekantensteigung gleich Integral

Die eben gelernte Formel ist gleichzeitig auch der Differenzquotient der Funktion im Intervall . Wenn der zweite Punkt gegen den ersten Punkt geht, konvergiert die Steigung der Sekante gegen die Steigung der Tangente. Was so viel bedeutet wie, wenn immer näher an geht, die Steigung der Sekante immer näher an die Steigung der Tangente kommt.

Sekantengleichung bestimmen

Bei der Sekante hast du bereits gelernt, dass die lineare Funktion mindestens zwei Schnittpunkte mit dem Funktionsgraphen hat. Um hier die richtige Funktionsgleichung möglichst schnell aufzustellen, kannst du die folgenden zwei Schritte befolgen:

  1. Sekantensteigung bestimmen
  2. Schnittstelle mit der y-Achse berechnen

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion . Du sollst eine Sekante durch die Punkte und ziehen.

Lösung

1. Sekantensteigung berechnen

Als Erstes schreibst du die oben gelernte Formel für die Sekantensteigung auf.

Als Nächstes notierst du, welchen Werten diese Variablen in unserem Beispiel entsprechen.

Diese Werte kannst du jetzt in die Formel einsetzen und das Ergebnis ausrechnen.

Die Steigung der Sekante ist also 3.

2. Schnittstelle mit der y-Achse berechnen

Um die Schnittstelle mit der y-Achse zu erhalten, nimmst du einen der beiden gegebenen Punkte, setzt die vorhandenen Werte ein und löst diese Gleichung auf.

Welchen der beiden Schnittpunkte du verwendest, ist egal. Das Ergebnis ist in beiden Fällen das Gleiche.

Wenn du den Punkt verwendest, dann sieht die Rechnung so aus:

Als Erstes schreibst du dir die allgemeine Formel für die Sekante auf.

Dann setzt du die bisher bekannten Werte in die Gleichung ein und löst nach t auf.

Denk daran, die Steigung war 3.

Entscheidest du dich mit dem Punkt zu arbeiten, dann sieht die Rechnung so aus:

Wie du siehst, liegt der y-Achsenabschnittspunkt in beiden Fällen bei 7.

Wenn du jetzt die Sekantensteigung und den y-Achsenabschnittspunkt in die Sekantengleichung einsetzt, so lautet diese:

Trägst du diese zusammen mit der geschnittenen quadratischen Funktion in ein Koordinatensystem ein, so erhältst du folgende Darstellung:

Sekante Aufgabe Graph StudySmarterAbbildung 3: Sekante und Graph

Sekante einzeichnen

Wenn du eine Sekante in ein Koordinatensystem einzeichnen sollst, gibt es zwei mögliche Angaben:

1. Zeichne eine Sekante zu einem gegebenen Graphen

In diesem Fall kannst du einfach eine beliebige Gerade in das Koordinatensystem einzeichnen, die den Graphen f(x) an zwei Stellen schneidet. An mehr bist du in einer solchen Aufgabe nicht gebunden.

Gegeben ist der Graph . Zeichne eine beliebige Sekante dazu.

Die Lösung zu dieser Aufgabe kann zum Beispiel so aussehen:

Sekante beliebige Sekante einzeichnen StudySmarterAbbildung 4: beliebige Sekante einzeichnen

2. Eine bestimmte Sekante einzeichnen

In diesem Fall gehst du genauso vor, wie du bei jeder anderen linearen Gleichung auch vorgehen würdest. Du zeichnest dir den y-Achsenabschnittspunkt t ein. Dann zeichnest du die Steigung von diesem Punkt an ein. Dann musst du nur noch den Endpunkt der Steigung mit dem y-Achsenabschnittspunkt verbinden.

Aufgabe 2

Zeichne die Sekante in das Koordinatensystem ein.

Sekante Graph f(x) StudySmarterAbbildung 5: Graph f(x)

Lösung:

  1. Zeichne den y-Achsenabschnittspunkt ein.
  2. Zeichne die Steigung von t aus ein.
  3. Verbinde den Endpunkt der Steigung mit dem y-Achsenabschnittspunkt.

Wenn du nicht mehr weißt, wie du die Steigung einer linearen Funktion einzeichnen sollst, dann lies dir den Artikel zum Thema lineare Funktion durch.

Sekante Sekante einzeichnen StudySmarterAbbildung 6: Sekante einzeichnen

Sekante – Übungsaufgaben

Um nun die nötige Intuition zur Berechnung einer Sekante zu entwickeln, kannst du hier noch ein paar Übungsaufgaben berechnen.

Aufgabe 3

Gegeben ist eine quadratische Funktion und eine Gerade .

Ist die Gerade eine Sekante zu ?

Lösung

Wenn du dich daran erinnerst, wie eine Sekante definiert ist, dann weißt du, dass die Gerade g(x) mindestens zwei Schnittpunkte mit der Funktion haben müsste, um eine zugehörige Sekante zu sein.

Um mögliche Schnittpunkte zweier Geraden zu berechnen, müssen diese gleichgesetzt werden.

Anschließend musst du die Gleichung so umstellen, dass 0 auf einer Seite steht.

Diese Gleichung kannst du jetzt entweder kürzen und mit der pq-Formel lösen oder so stehen lassen und die Mitternachtsformel verwenden.

In diesem Fall wird die Mitternachtsformel verwendet.

An dieser Stelle kannst du bereits sehen, dass es sich hierbei um eine Sekante handelt, da die Determinante (der Ausdruck unter der Wurzel) positiv ist und daher zwei reelle Nullstellen zu finden sind. Folglich hast du zwei Schnittpunkte und damit eine Sekante.

Aufgabe 4

Gegeben ist die quadratische Funktion , der Punkt und die Sekantensteigung .

Ermittle einen zweiten Schnittpunkt und stelle eine Sekantengleichung auf.

Lösung

Da du einen Punkt und die Sekantensteigung gegeben hast, kannst du als Erstes den y-Achsenabschnittspunkt berechnen, um dann anschließend die Sekantengleichung aufzustellen.

Die Sekantengleichung sieht dann so aus:

Als Nächstes kannst du jetzt die beiden Funktionen gleich setzen und so den zweiten Schnittpunkt berechnen.

Auch hier hast du wieder die Wahl zwischen der Mitternachtsformel und der pq-Formel. Dieses Mal wurde die pq-Formel verwendet. Dafür muss aber erst der Koeffizient des x² gleich 1 sein.

Jetzt kannst du die Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen.

Jetzt musst du die Formel einmal mit Minus und einmal mit Plus ausrechnen.

Die Schnittpunkte der beiden Graphen liegen also bei und . Den Punkt kennst du schon. Deshalb musst du nur den y-Wert zu berechnen.

Den y-Wert kannst du berechnen, indem du in eine der beiden Gleichung einsetzt und nach y auflöst. Welche der beiden Gleichungen ist dabei egal, denn beide haben ja den Schnittpunkt an dieser Stelle.

Ein weiterer Schnittpunkt der Gerade und der Sekante ist also .

Sekante – Das Wichtigste

  • Eine Sekante s(x) ist eine Gerade, welche einen Graphen f(x) an mindestens zwei Punkten P und Q schneidet.
  • Eine Sekante hat die Form:
  • Die Sekantensteigung kann durch folgende Formel berechnet werden:
  • Um eine Sekantengleichung aufzustellen, musst du folgende Schritte befolgen:
    • Sekantensteigung bestimmen

    • Schnittstelle mit der y-Achse berechnen

  • Eine bestimmte Sekante zeichnest du wie eine lineare Funktion.

  • Eine beliebige Sekante zeichnest du so, dass sie mindestens zwei Schnittpunkte mit dem dazugehörigen Graphen hat.

Sekante

Die Sekante bezeichnet in der Analysis eine  Gerade, welche einen anderen Graphen in mindestens zwei Punkten schneidet.

Die Sekante in der Analysis ist eine Gerade, welche einen Graphen in mindestens zwei Punkten schneidet.

Die Sekantensteigung ist die Steigung einer Sekante. Sie eiegntlich gaunso, wie die Steigung einer linearen Funktion berechnet. Es gilt die Formel:


mS = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)

Je nachdem, welche Angabe du hast, kannst du eine beliebige Gerade zeichnen, die den Graphen in mindestens zwei Punkten schneidet oder eine spezifische Gerade zeichnen. Die spezifische Sekante zeichnest du wie eine lineare Funktion.

Finales Sekante Quiz

Frage

An wie vielen Punkten kann eine Sekante eine Kurve schneiden?

Antwort anzeigen

Antwort

An 2 Punkten

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Sekante in der Analysis?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Sekante ist die Funktion , die eine Funktion  in mindestens zwei Punkten  schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Welche Form hat eine Sekante?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Sekante hat die gleiche Form wie eine lineare Gleichung:



Frage anzeigen

Frage

Was ist ms?

Antwort anzeigen

Antwort

ms ist die Sekantensteigung.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Sekantensteigung berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie gehst du vor, wenn du eine Sekantengleichung aufstellen sollst?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Sekantensteigung bestimmen

2. Schnittstelle mit der y-Achse berechnen

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest du die Schnittstelle mit der y-Achse?

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Schnittstelle mit der y-Achse zu erhalten, nimmt man einen der beiden gegebenen Punkte, setzt die vorhandenen Werte in die Gleichung des gegebenen Graphen ein und löst diese Gleichung dann auf.

Frage anzeigen

Frage

Wie zeichnest du eine Sekante s(x) zu einem gegebenen Graphen f(x) ein?

Antwort anzeigen

Antwort

Man kann irgendeine beliebige Gerade in das Koordinatensystem einzeichnen, die den Graphen f(x) in zwei Stellen schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Wie zeichnest du eine gegebene Sekante in ein Koordinatensystem ein?

Antwort anzeigen

Antwort

In diesem Fall gehst du genauso vor, wie du bei jeder anderen linearen Gleichung auch vorgehen würdest.

1. y-Achsenabschnittspunkt einzeichnen

2. Steigung von diesem Punkt ab einzeichnen

3. Endpunkt der Steigung mit y-Achsenabschnittspunkt verbinden

Frage anzeigen

Frage

Stelle eine Sekante zu  durch die Punkte  auf.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Zeichne die Sekante  in ein Koordinatensystem ein.

Zeichne außerdem den Graphen  und die beiden Schnittpunkte P und Q ein.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeichne den Graphen  und eine passende Sekante.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeichne die Sekante .


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist eine quadratische Funktion  und eine Gerade .

 

Ist die Gerade g(x) eine Sekante zu f(x)?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, der Gerade g(x) ist eine Sekante zu f(x).

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist die quadratische Funktion , der Punkt  und die Sekantensteigung .


Stelle eine Sekantengleichung auf.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen
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