\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)
Im Folgenden lernst Du den Kehrwert bzw. den Kehrbruch kennen. Wie Du den Kehrwert berechnest und was der Kehrwert einer Zahl mit der Multiplikation von Brüchen und Potenzen zu tun hat, wird Thema dieser Erklärung sein.
Kehrwert und Kehrbruch bilden
Der Kehrwert einer beliebigen Zahl \(x\) ist diejenige Zahl, die mit \(x\) multipliziert \(1\) ergibt. Die Zahl \(0\) wird dabei ausgeschlossen.
\[x\cdot\frac{1}{x}=1\]
In einigen Definitionen oder Aufgaben findest Du eine andere Schreibweise für den Bruch \(\frac{1}{x}\). Du kannst diesen auch als \(x^{-1}\) angeben.
Somit gibt es zu jedem Bruch einen "Gegenspieler", dessen Produkt genau \(1\) ergibt.
Kehrwert berechnen – Bruch
Der Kehrwert eines Bruches wird als Kehrbruch bezeichnet. Um den Kehrbruch zu bilden, vertauschst Du den Zähler und den Nenner des angegebenen Bruches: Die Zahl über dem Bruchstrich wird mit der Zahl unter dem Bruchstrich vertauscht. Dadurch erhältst Du den Kehrwert des Bruches.
Allgemein gilt daher:
\[\frac{{\color{bl}a}}{{\color{gr}b}}\rightarrow\frac{{\color{gr}b}}{{\color{bl}a}}\]
Du möchtest den Kehrwert des Bruches \(\frac{2}{3}\) bilden.
Dazu vertauschst Du die beiden Zahlen des Bruches und erhältst dadurch den Kehrwert:
\[\frac{{\color{bl}2}}{{\color{gr}3}}\rightarrow\frac{{\color{gr}3}}{{\color{bl}2}}\]
Kehrwert einer Zahl
Um den Kehrwert aus einer ganzen Zahl zu bilden, veränderst Du die angegebene ganze Zahl in eine Bruchzahl.
Um diese zu generieren, fügst Du der ganzen Zahl einen Nenner der Größe 1 hinzu. Hierdurch wird der Wert der Zahl nicht verändert. Es ist lediglich eine andere Schreibweise.
Du möchtest aus der Zahl \(5\) eine Bruchzahl erstellen. Dafür setzt Du den Nenner gleich \(1\) und erhältst damit eine Bruchzahl, deren Wert immer noch \(5\) ist.
\[{\color{bl}5}\rightarrow\frac{{\color{bl}5}}{1}\]
Aus diesem neuen Bruch kannst Du nun den Kehrwert bilden, indem Du die Zahlen des Bruches vertauscht.
\[\frac{{\color{bl}5}}{{\color{gr}1}} \rightarrow \frac{{\color{gr}1}}{{\color{bl}5}} \]
Kehrwert Potenz
Den Kehrwert einer Potenz ist gegeben durch die gleiche Potenz, nur dass sich dabei das Vorzeichen des Exponenten tauscht.
Im Allgemeinen ist der Kehrwert einer Potenz \(a^b\) mit Basis \(a\) und Exponenten \(b\) gegeben durch \(a^{-b}\).
Dabei gilt die Rechenregel \[a^{-b} = \frac{1}{a^b}\].
Die Potenz \(5^{3} = 125\) hat also den Kehrwert \(5^{-3}\) oder als Bruch geschrieben \(\frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}\).
Kehrwert multiplizieren – Division von Brüchen
In der Bruchrechnung benötigst Du den Kehrwert eines Bruches, um eine Division zweier Brüche durchzuführen.
Dazu multiplizierst Du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches.
Kehrwert berechnen – Aufgabe 1
Berechne die folgende Divisionsaufgabe:
\[\frac{2}{5} : \frac{1}{4} = \; ?\]
Lösung
Du bildest den Kehrwert aus dem zweiten Bruch \(\frac{1}{4}\) und erhältst dadurch \(\frac{4}{1}\).
Danach multiplizierst Du den ersten Bruch \(\frac{2}{5}\) mit dem Kehrwert des zweiten Bruches \(\frac{4}{1}\) und erhältst die Multiplikation
\[\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{1}\]
Jetzt werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert und Du erhältst die Lösung der Aufgabe.
\[\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{1}=\frac{8}{5}\]
Die Division eines Bruches durch einen Bruch kannst Du auch als Doppelbruch schreiben.
Du dividierst zwei Brüche miteinander, indem Du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizierst. Mehr dazu findest Du in der Erklärung "Doppelbrüche".
Kehrwert und Kehrbruch – Beispiele
Hier hast Du die Möglichkeit, die folgenden Beispiele zu berechnen.
Kehrwert Bruch – Aufgabe 2
Bilde den Kehrwert zu folgendem Bruch:
\[\frac{{\color{bl}3}}{{\color{gr}5}}\]
Lösung
Du vertauschst Zähler und Nenner miteinander und erhältst den Kehrwert:
\[\frac{{\color{bl}3}}{\color{gr}5}\rightarrow\frac{{\color{gr}5}}{{\color{bl}3}}\]
Kehrwert bilden – Aufgabe 3
Bilde den Kehrwert zur Zahl \(6\).
Lösung
Du generierst aus der Zahl \(6\) eine Bruchzahl, indem Du den Nenner gleich \(1\) setzt. Der Wert der Zahl ändert sich dadurch nicht!
Du erhältst dann \(\frac{{\color{bl}6}}{{\color{gr}1}}\) und kannst jetzt Zähler und Nenner vertauschen:
Der Kehrwert ist dementsprechend \(\frac{{\color{gr}1}}{{\color{bl}6}}\) .
Kehrwert – Das Wichtigste
Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, werden Zähler und Nenner vertauscht.
Um die Division zweier Bruchzahlen durchzuführen, wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
Der Wert einer ganzen Zahl ändert sich nicht, wenn Ihr Nenner gleich 1 gesetzt wird.
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