Es gibt drei binomische Formeln, die Dir das Multiplizieren von Summen vereinfachen. In dieser Erklärung erfährst Du, wie die binomischen Formeln lauten. Außerdem erfährst Du, wie Du Summen mit der binomischen Formel faktorisieren kannst und vieles mehr. Am Ende der Erklärung findest Du auch noch Aufgaben, um Dein Wissen zu testen.
Binomische Formeln – Übersicht
Die binomischen Formeln sind drei besondere Fälle der Multiplikation zweier Summenterme \((a+b)\cdot (c+d)\). Normalerweise wird dieses Produkt über \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\) berechnet. Mit den binomischen Formeln kannst Du derartige Rechnungen, bei denen \(a=c\) und \(b=d\) gilt, wesentlich schneller und einfacher berechnen.
Die binomischen Formeln lauten wie folgt:
- 1. binomische Formel: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- 2. binomische Formel: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- 3. binomische Formel: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
1. Binomische Formel
Die 1. binomische Formel lautet
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
Dabei sind a und b zwei beliebig Zahlen.
- In der ersten binomischen Formeln wird eine Summe, bestehend aus zwei Summanden, quadriert
- Durch die binomische Formel kannst Du das Ergebnis bestimmen, ohne die Klammern auszumultiplizieren.
2. Binomische Formel
Die 2. binomische Formel lautet
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Dabei sind a und b zwei beliebig Zahlen.
- Die zweite binomische Formel ähnelt der ersten binomischen Formel
- Einziger Unterschied ist, dass in der Klammer kein Pluszeichen, sondern ein Minuszeichen steht
- Dadurch ändert sich auch auf der rechten Seite der Gleichung das Vorzeichen vor dem mittleren Teil.
3. Binomische Formel
Die 3. binomische Formel lautet
\[(a+b)(a-b)=a^2+b^2\]
Dabei sind a und b zwei beliebig Zahlen.
- In der dritten binomischen Formel multiplizierst Du eine Summe mit einer Differenz.
- Die Zahlen oder Variablen der Summe/Differenz sind identisch.
- Das Ergebnis der dritten binomischen Formel sind zwei Potenzen.
Binomischen Formeln auflösen
Die erste binomische Formel kannst Du auch mit einer kleinen Skizze herleiten. Stell Dir vor, Du hast ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a+b\).
Abb. 1 - Bildliche Herleitung der 1. binomischen Formel
Jede Seite besteht aus einem Abschnitt a und einem Abschnitt b. Wenn Du jetzt den Flächeninhalt des Quadrats berechnen möchtest, rechnest Du \((a+b)^2\).
Dieser Flächeninhalt besteht genau aus vier Rechtecken:
- \(a^2\) und \(b^2\)
- zweimal dem Produkt \(a\cdot b\).
Wenn Du diese Teile addierst, erhältst Du: \(a^2+2ab+b^2\).
Herleitung der ersten binomischen Formel:
Abb. 2 - formelle Herleitung der ersten binomischen Formel
Um die binomischen Formeln herzuleiten, kannst Du den Ausgangsterm \((a+b)^2\) auch ausmultiplizieren. Dafür nutzt Du das Distributivgesetz \((a+b)\cdot c=ac+bc\) aus, um die beiden Summen miteinander zu multiplizieren.
Zusammenfassen der Terme liefert Dir die 1. binomische Formel.
Zwischen zwei Faktoren wird das Malzeichen häufig weggelassen, wenn mindestens ein Faktor eine Variable ist. \(a\cdot b\) ist dasselbe wie \(ab\).
Herleitung der zweiten binomischen Formel:
Abb. 3 - formelle Herleitung der zweiten binomischen Formel
Um die 2. binomischen Formeln herzuleiten, kannst Du den Ausgangsterm \((a-b)^2\) auch ausmultiplizieren. Dafür nutzt Du das Distributivgesetz \((a+b)\cdot c=ac+bc\) aus, um die beiden Summen miteinander zu multiplizieren.
Zusammenfassen der Terme liefert Dir die 2. binomische Formel.
Herleitung der dritten binomischen Formel:
Abb. 4: formelle Herleitung der dritten binomischen Formel
Um die 3. binomischen Formeln herzuleiten, kannst Du den Ausgangsterm \((a-b)^2\) auch ausmultiplizieren. Dafür nutzt Du das Distributivgesetz \((a+b)\cdot c=ac+bc\) aus, um die beiden Summen miteinander zu multiplizieren.
Zusammenfassen der Terme liefert Dir die 3. binomische Formel. Wie Du sehen kannst, kürzen sich die beiden Terme \(ab\) und \(-ab\) aufgrund ihrer unterschiedlichen Vorzeichen gegenseitig weg.
Binomische Formeln rückwärts – Faktorisieren
Die binomischen Formeln lassen sich auch rückwärts anwenden. Das bedeutet, Du formst einen vollständig zusammengefassten Summenterm in ein Produkt um. Diesen Prozess nennt man auch Faktorisieren.
Ein Produkt besteht aus einzelnen Faktoren: Faktor \(\cdot\) Faktor = Produkt
Um Deinen Term erfolgreich in seine faktorisierte Form umzuwandeln, vergleichst Du die Bestandteile Deines Terms mit einer passenden binomischen Formel. Folge dafür den folgenden Schritten:
- Finde heraus, um welche binomische Formel es sich handeln kann.
- Zähle die Terme
- Zwei Terme bedeutet, dass es sich um die dritte binomische Formel handeln muss
- Drei Terme bedeutet entweder 1. oder 2. binomische Formel
- Wird nur Plus gerechnet, handelt es sich, um die 1. sonst um die 2. binomische Formel.
- Vergleiche jetzt die Terme mit der entsprechenden binomischen Formel
- Identifiziere die Terme, die \(a^2\) und \(b^2\) darstellen
- Berechne a und b
- Falls es sich um die 1. oder 2. binomische Formel handelt, berechne \(2ab\) und vergleiche die Terme
- Geht alles auf, so war der Term faktorisierbar
Vorsicht! Nicht jede Summe lässt sich automatisch durch die binomischen Formeln faktorisieren!
Betrachte den Term \(4x^2+4x+1\). Um den Term mithilfe der binomischen Formeln zu zerlegen, musst Du zunächst herausfinden, um welche binomische Formel es sich wohl am wahrscheinlichsten handelt. Da im Term nur addiert wird und es sich um 3 Terme handelt, kann der Term nur mit der ersten binomischen Formel faktorisiert werden.
Vergleichen der Terme
\begin{align} a^2+2ab+b^2&=(a+b)^2\\4x^2+4x+1&= ?\end{align}
Du kannst erkennen, dass es sich bei dem mittleren Term um den Mischterm \(2ab\) handeln muss.
\(a^2\) und \(b^2\) sind dann entsprechend \(4x^2\) und \(1\). Da für \(a^2\) und \(b^2\) das Kommutativgesetz gilt, musst Du Dir keine Gedanken machen, welcher der beiden Terme als a bzw. b gewählt wird.
Von \(a^2=4x^2\) kannst Du folgern, dass \(a=2x\) sein muss, wegen \((2x)^2=4x^2\).
Und von \(b^2=1\) kannst Du folgern, dass \(b=1\) sein muss, wegen \((1)^2=1\)
Jetzt bist Du auch schon so weit zu testen, ob Deine Rechnung aufgeht. Ein kurzer Test zeigt:
\[(2x+1)^2=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 1 + 1^2=4x^2+4x+1\]
Binomische Formel hoch 3
Die binomischen Formeln existieren auch für Produkte von Summentermen mit höherem Exponenten. Für Exponenten größer als zwei gibt es jedoch keine dritte binomische Formel.
Die binomischen Formeln für hoch 3 lauten wie folgt:
Binomische Formel mit "+" : \((a+b)^3=a^3+3ab^2+3a^2b+b^3\)
Binomische Formel mit "-" : \((a-b)^3=a^3-3ab^2+3a^2b-b^3\)
Binomische Formeln – Übungen & Aufgaben
Die folgenden Übungen kannst Du nutzen, um das Rechnen mit binomischen Formeln zu trainieren.
Binomische Formeln berechnen – Aufgabe 1
Schreibe ohne Klammern und fasse zusammen. Wende dabei stets die binomische Formel an.
a) \((x+3)^2\)
b) \((2x-4)^2\)
c) \((3x + 1)^2\)
d) \((3+z)(3-z)\)
e) \((\frac{3}{4}+z)^2\)
f) \((x+\frac{1}{2})^2\)
Lösung
a)
Hier wendest Du die erste binomische Formel an.
\begin{align} (x+3)^2&=x^2+2\cdot x\cdot 3 + 3^2\\&=x^2+6x+9\end{align}
b)
In der Klammer steht ein Minuszeichen. Du wendest die zweite binomische Formel an.
\begin{align} (2x-4)^2&=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 4 + 4^2\\&=4x^2+16x+16\end{align}
c)
In der Klammer steht eine Summe. Deswegen verwendest Du die erste binomische Formel.
\begin{align} (3x+1)^2&=(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 1 + 1^2\\&=9x^2+6x+1\end{align}
d)
Die beiden Terme in den Klammern sind bis auf das Rechenzeichen identisch. Es handelt sich um die dritte binomische Formel.
\begin{align} (3+z)(3-z)&=3^2-z^2\\&=9-z^2\end{align}
e) Die binomische Formel enthält einen Bruch. Denke daran, dass Du den gesamten Bruch quadrierst.
\begin{align} \left(\frac{3}{4}+z\right)^2&=\left(\frac{3}{4}\right)+2\cdot \frac{3}{4}\cdot z+z^2\\&=\frac{9}{16}+\frac{6}{4}z+z^2\\&=\frac{9}{16}+\frac{3}{2}z+z^2\end{align}
f) Hier musst Du die 1. Binomische Formel an.\begin{align}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2&=x^2+2\cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\\&=x^2+x+\frac{1}{4}\end{align}
Binomische Formeln faktorisieren – Aufgabe 2
Faktorisiere mithilfe der binomischen Formel rückwärts, wenn möglich.
a) \(x^2+6x+9\)
b) \(9x^2-3x+1\)
Lösung
a)
Aufgrund der Rechenzeichen kommt nur die erste binomische Formel infrage.
\begin{align} a^2+2ab+b^2&= (a+b)^2\\x^2+6x+9&= ?\end{align}
Du bestimmst a und b.
\begin{align} a^2 &= x^2 \\ \rightarrow a&=x\\b^2 &= 9\\\rightarrow b &= 3\end{align}
Jetzt überprüfst Du, ob \(2ab\) mit dem mittleren Teil übereinstimmt.
\[2ab = 2\cdot x\cdot 3 = 6x\]
Du darfst die binomische Formel rückwärts anwenden. Es ist:
\[x^2+6x+9=(x+3)^2\]
b)
Hier kommt die zweite binomische Formel aufgrund des Minuszeichens infrage.
\begin{align} a^2-2ab+b^2&= (a-b)^2\\9x^2-3x+1&= ?\end{align}
Zuerst bestimmst Du a und b:
\begin{align} a^2 &= 9x^2 \\ \rightarrow a&=3x\\b^2 &= 1\\\rightarrow b &= 1\end{align}
Überprüfe, ob \(2ab\) mit dem mittleren Teil übereinstimmt:
\[2ab=2\cdot 3x \cdot 1 = 6x \neq = 3x\]
\(2ab\) und der mittlere Teil stimmen nicht überein. Du kannst die binomische Formel hier nicht rückwärts anwenden.
Binomische Formeln – Das Wichtigste
- Die binomischen Formeln kannst Du verwenden, um Dir das Rechnen zu erleichtern.
- Für die Potenz "hoch 2" gibt es drei binomische Formeln.
- 1. binomische Formel: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- 2. binomische Formel: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- 3. binomische Formel: \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)
- Du kannst die binomischen Formeln auch rückwärts anwenden, um zu faktorisieren.
Nachweise
- Böer et al. (2008). mathe live 8, mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
- Bosch, Craats (2010). Grundwissen Mathematik, Ein Vorkurs für Fachhochschule und Universität. Springer.
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