Inhaltsverzeichnis ▼
- Was sind binomische Formeln?
- Die 1. binomische Formel: (a+b)²
- Die 2. binomische Formel: (a-b)²
- Die 3. binomische Formel: (a+b)(a-b)
- Geometrische Herleitung
- Rückwärts: Faktorisieren mit binomischen Formeln
- Kopfrechnen mit binomischen Formeln
- Häufige Fehler vermeiden
- Formel-Trainer
- Übungsaufgaben
- Karteikarten
- Erklärvideo
- Zusammenfassung
Was sind binomische Formeln – und wozu brauche ich sie?
Stell dir vor, du sollst \((x + 5)^2\) ausmultiplizieren. Du könntest schreiben \((x+5)(x+5)\) und alles per Hand ausrechnen – das dauert. Die binomischen Formeln machen genau das in einem Schritt: Sie sind drei algebraische Identitäten, die dir erlauben, quadratische Klammerausdrücke mit zwei Termen (sogenannte Binome) sofort zu expandieren.
Das Wort „Binom" kommt aus dem Lateinischen: bi = zwei, nomen = Name/Term. Ein Binom ist also ein Ausdruck mit zwei Termen, zum Beispiel \((a + b)\) oder \((3x - 7)\). Sobald du ein solches Binom quadrierst oder zwei ähnliche Binome multiplizierst, greifen die binomischen Formeln.
1. Formel: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2. Formel: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
3. Formel: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
Die binomischen Formeln wirst du in Klasse 8 zum ersten Mal begegnen – und danach in fast jedem Thema wiedersehen: bei quadratischen Gleichungen, beim Faktorisieren, in der Differentialrechnung und sogar im Abitur. Sie sind Grundwerkzeug der Algebra.
Binomische Formeln lernen?
Was ist die 1. binomische Formel – und wie rechne ich damit?
Die erste binomische Formel gilt für die Summe zweier Terme, die quadriert wird. Merke dir: Sie wird manchmal auch „Plus-Formel" genannt.
Das Rezept ist immer gleich: Quadrat des Ersten + 2 × Erstes × Zweites + Quadrat des Zweiten. Das lässt sich gut mit dem Satz einprägen: „Erstes hoch zwei, plus doppeltes Produkt, plus Zweites hoch zwei."
So erkennst du die 1. Formel
Du brauchst die 1. Formel, wenn du eine Klammer mit einem Pluszeichen darin quadrierst. Bestimme dann:
- a = erster Term in der Klammer
- b = zweiter Term in der Klammer
Beispiel 1: \((x + 3)^2\)
Hier ist \(a = x\) und \(b = 3\). Einsetzen:
- 1
\(a^2 = x^2\)
- 2
\(2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x\)
- 3
\(b^2 = 3^2 = 9\)
- 4
Ergebnis: \(x^2 + 6x + 9\)
Beispiel 2: \((2x + 5)^2\)
Hier ist \(a = 2x\) und \(b = 5\). Achtung: \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\)!
- 1
\(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\)
- 2
\(2ab = 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x\)
- 3
\(b^2 = 25\)
- 4
Ergebnis: \(4x^2 + 20x + 25\)
\((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\) – das ist falsch! Das mittlere Glied \(2ab\) darf nie weggelassen werden. Probe: \((2 + 3)^2 = 25\), aber \(2^2 + 3^2 = 13 \neq 25\).
Was ist die 2. binomische Formel – und was unterscheidet sie von der ersten?
Die zweite binomische Formel gilt für die Differenz zweier Terme, die quadriert wird. Der Unterschied zur ersten Formel: Das mittlere Glied ist negativ.
Wichtig: Das letzte Glied \(b^2\) ist immer positiv – egal ob Plus- oder Minus-Formel. Ein Quadrat ist nie negativ.
Beispiel 1: \((x - 4)^2\)
Hier ist \(a = x\), \(b = 4\):
- 1
\(a^2 = x^2\)
- 2
\(-2ab = -2 \cdot x \cdot 4 = -8x\)
- 3
\(b^2 = 16\)
- 4
Ergebnis: \(x^2 - 8x + 16\)
Beispiel 2: \((3a - 2b)^2\)
Hier ist \(a = 3a\) und \(b = 2b\) (a und b in der Formel sind Platzhalter für jeden beliebigen Term!):
- 1
\((3a)^2 = 9a^2\)
- 2
\(-2 \cdot 3a \cdot 2b = -12ab\)
- 3
\((2b)^2 = 4b^2\)
- 4
Ergebnis: \(9a^2 - 12ab + 4b^2\)
Der einzige Unterschied: Das Vorzeichen des mittleren Glieds. Bei Plus-Formel: \(+2ab\). Bei Minus-Formel: \(-2ab\). Das letzte Glied (\(b^2\)) ist in beiden Fällen positiv.
Was ist die 3. binomische Formel – die Differenz der Quadrate?
Die dritte binomische Formel ist besonders elegant: Sie hat kein mittleres Glied. Das liegt daran, dass sich die mittleren Terme beim Ausmultiplizieren gegenseitig aufheben.
Du erkennst die 3. Formel daran, dass du zwei identische Klammerausdrücke multiplizierst – einmal mit Plus, einmal mit Minus. Das Ergebnis ist immer eine Differenz zweier Quadrate.
Warum verschwindet das mittlere Glied?
Wenn du \((a+b)(a-b)\) ausmultiplizierst: \(a \cdot a + a \cdot (-b) + b \cdot a + b \cdot (-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\). Die Terme \(-ab\) und \(+ab\) heben sich auf.
Beispiel 1: \((x + 6)(x - 6)\)
\(a = x\), \(b = 6\): Ergebnis direkt \(x^2 - 36\). Kein mittleres Glied!
Beispiel 2: \((2x + 7)(2x - 7)\)
\(a = 2x\), \(b = 7\): \((2x)^2 - 7^2 = 4x^2 - 49\).
| Ausdruck | Formel | a | b | Ergebnis |
|---|---|---|---|---|
| \((x+3)^2\) | 1. Formel | \(x\) | \(3\) | \(x^2+6x+9\) |
| \((x-3)^2\) | 2. Formel | \(x\) | \(3\) | \(x^2-6x+9\) |
| \((x+3)(x-3)\) | 3. Formel | \(x\) | \(3\) | \(x^2-9\) |
| \((2a+5)^2\) | 1. Formel | \(2a\) | \(5\) | \(4a^2+20a+25\) |
| \((4y-1)(4y+1)\) | 3. Formel | \(4y\) | \(1\) | \(16y^2-1\) |
Wie leitet man die binomischen Formeln geometrisch her?
Die 1. und 2. binomische Formel lassen sich wunderbar durch Flächenbetrachtungen beweisen. Das ist keine abstrakte Spielerei – es macht sichtbar, warum das mittlere Glied entsteht.
Geometrische Herleitung der 1. Formel: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge \((a + b)\). Seine Gesamtfläche ist \((a+b)^2\). Teilt man es mit einer Linie bei Länge \(a\), entstehen vier Teilflächen: ein großes Quadrat \(a^2\), zwei Rechtecke der Fläche je \(ab\), und ein kleines Quadrat \(b^2\). Zusammen: \(a^2 + 2ab + b^2\).
Das Flächenmodell zeigt klar: Die zwei Rechtecke mit Fläche \(ab\) ergeben zusammen das mittlere Glied \(2ab\). Wer das einmal gesehen hat, vergisst das mittlere Glied nie mehr.
\((a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ✓
Wie faktorisiert man mit binomischen Formeln (Rückwärtsanwendung)?
Die binomischen Formeln kann man auch rückwärts anwenden: Du erkennst, ob ein Ausdruck das Ergebnis einer binomischen Formel ist, und schreibst ihn als kompaktes Produkt. Das nennt man Faktorisieren.
Schritt 1: Erkenne die Muster
- Zwei Quadratterme + positives mittleres Glied → 1. Formel rückwärts: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
- Zwei Quadratterme + negatives mittleres Glied → 2. Formel rückwärts: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)
- Differenz zweier Quadratterme, kein mittleres Glied → 3. Formel rückwärts: \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
Schritt 2: a und b bestimmen
Nimm die Quadratwurzel der beiden äußeren Terme: \(\sqrt{a^2} = a\) und \(\sqrt{b^2} = b\). Prüfe dann, ob das mittlere Glied mit \(2ab\) übereinstimmt.
Beispiele
Beispiel 1: \(x^2 + 10x + 25\)
\(\sqrt{x^2} = x\), \(\sqrt{25} = 5\), prüfe: \(2 \cdot x \cdot 5 = 10x\) ✓ → \((x + 5)^2\)
Beispiel 2: \(9a^2 - 30a + 25\)
\(\sqrt{9a^2} = 3a\), \(\sqrt{25} = 5\), prüfe: \(2 \cdot 3a \cdot 5 = 30a\) ✓ → \((3a - 5)^2\)
Beispiel 3: \(x^2 - 49\)
Differenz zweier Quadrate (kein mittleres Glied!) → \(\sqrt{x^2} = x\), \(\sqrt{49} = 7\) → \((x+7)(x-7)\)
Beispiel 4: \(4y^2 - 81\)
\(\sqrt{4y^2} = 2y\), \(\sqrt{81} = 9\) → \((2y+9)(2y-9)\)
Nach dem Faktorisieren: Multipliziere die Klammern wieder aus und prüfe, ob du den Ausgangsausdruck erhältst. Das dauert 20 Sekunden und vermeidet Fehler in der Klausur.
Wie kann man binomische Formeln fürs Kopfrechnen nutzen?
Ein unterschätzter Einsatzbereich der binomischen Formeln: große Zahlen blitzschnell ausrechnen, ohne Taschenrechner. Der Trick ist, eine runde Zahl in der Nähe zu wählen und die binomische Formel anzuwenden.
Quadratzahlen in der Nähe von runden Zahlen (2. Formel)
Gesucht: \(98^2\). Umschreiben als \((100 - 2)^2\): Hier ist \(a = 100\), \(b = 2\).
Weiteres Beispiel: \(97^2 = (100-3)^2 = 10000 - 600 + 9 = 9409\)
Quadratzahlen leicht über runden Zahlen (1. Formel)
Gesucht: \(103^2 = (100+3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609\).
Produkte symmetrisch um eine runde Zahl (3. Formel)
Gesucht: \(97 \times 103\). Das sind \((100-3)(100+3)\) → \(100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991\).
Weiteres Beispiel: \(48 \times 52 = (50-2)(50+2) = 2500 - 4 = 2496\).
Welche Fehler machen Schüler oft bei binomischen Formeln?
Die binomischen Formeln sind kurz – aber voller versteckter Fallstricke. Hier sind die häufigsten Fehler, die in Klassenarbeiten vorkommen:
| Fehler | Falsch | Richtig | Merksatz |
|---|---|---|---|
| Mittleres Glied vergessen | \((a+b)^2 = a^2+b^2\) | \(a^2+2ab+b^2\) | Immer +2ab einfügen! |
| Falsches Vorzeichen beim letzten Glied | \((a-b)^2 = a^2-2ab-b^2\) | \(a^2-2ab+b^2\) | \(b^2\) bleibt immer positiv |
| Koeffizient vergessen | \((2x+3)^2 = x^2+6x+9\) | \(4x^2+12x+9\) | \(a=(2x)\) → \(a^2=(2x)^2=4x^2\) |
| Formeln verwechseln | \((x+3)(x-3) = x^2+6x-9\) | \(x^2-9\) | 3. Formel hat kein mittleres Glied |
| Kein binomischer Ausdruck | \((x+3+y)^2\) als 1. Formel | Erst ausmultiplizieren | Binomische Formeln nur für 2 Terme |
Formel-Trainer: Binomische Formeln Schritt für Schritt
Wähle eine Aufgabe und arbeite sie Schritt für Schritt durch.
Übungsaufgaben zu den binomischen Formeln
Löse die Aufgaben selbst, bevor du die Lösung aufdeckst.
\(a = x,\; b = 4\)
\((x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16\)
\(a = y,\; b = 7\)
\((y-7)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2 = y^2 - 14y + 49\)
\(a = 3x,\; b = 2\)
\(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\)
\(2ab = 2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x\)
\(b^2 = 4\)
Ergebnis: \(9x^2 + 12x + 4\)
Erkenne das Muster: Differenz zweier Quadrate (kein mittleres Glied).
\(\sqrt{a^2} = a,\; \sqrt{36} = 6\)
Ergebnis: \(a^2 - 36 = (a+6)(a-6)\)
Probe: \((a+6)(a-6) = a^2 - 6a + 6a - 36 = a^2 - 36\) ✓
Schreibe um: \(95^2 = (100-5)^2\)
\(= 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 5 + 5^2\)
\(= 10000 - 1000 + 25\)
Ergebnis: \(9025\)
Karteikarten zum Einprägen
Klicke auf die Karte zum Umdrehen – navigiere mit den Pfeilen.
Erklärvideo zu binomischen Formeln
Im Video werden die binomischen Formeln kompakt und anschaulich erklärt – ideal zum Wiederholen oder als erste Einführung.
Video: Mathe Basics: Binomische Formeln einfach erklärt – planet schule / ARD
Zusammenfassung: Binomische Formeln auf einen Blick
Das Wichtigste im Überblick
- 1. Formel (Plus): \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) – mittleres Glied positiv
- 2. Formel (Minus): \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) – mittleres Glied negativ, letztes Glied immer positiv
- 3. Formel (Differenz der Quadrate): \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) – kein mittleres Glied
- Rückwärtsanwendung: Faktorisiere \(a^2\pm2ab+b^2\) und \(a^2-b^2\) durch Erkennen der Muster
- Kopfrechnen: Nutze binomische Formeln für Quadrate und Produkte nahe runder Zahlen
- Klassischer Fehler: \((a+b)^2 \neq a^2+b^2\) – das mittlere Glied \(2ab\) nie vergessen!
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