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Binomische Formeln

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Mathe

Die binomischen Formeln

Es gibt 3 binomische Formeln, welche dir das Rechnen meist stark erleichtern. Du kannst deine Rechnung einfach auf die entsprechende Formel anwenden und ersparst dir damit viel Aufwand und Platz für Fehler.

Du musst nicht erst die Klammern in einer komplizierten Rechnung ausmultiplizieren.

Die drei binomischen Formeln sind Teil der Grundrechenarten der Mathematik.

Die beiden ersten binomischen Formeln unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen.

Die 1. Binomische Formel

Die 1. Binomische Formel lautet:

Bei der ersten binomischen Formel quadriert man also (a+b) und löst die Klammern durch ausmultiplizieren auf. Am Ende erhält man das hier genannte Ergebnis.

Beispielaufgaben zur 1. Binomischen Formel:

Herleitung der 1.binomischen Formel

Wir lösen das „hoch 2“ auf, indem wir (a+b) mit (a+b) multiplizieren und damit die Klammern auflösen.

Die 2. Binomische Formel

Die 2. Binomische Formel lautet:

Bei der zweiten binomischen Formel quadriert man also (a-b) und löst die Klammern durch ausmultiplizieren auf. Am Ende erhält man das hier genannte Ergebnis.

Beispielaufgabe zur 2. Binomische Formel:

Herleitung der 2. Binomischen Formel

Wir lösen das „hoch 2“ auf, indem wir (a-b) mit (a-b) multiplizieren und damit die Klammern auflösen.

Die 3. Binomische Formel

Die 3. Binomische Formel lautet:

Bei der dritten binomischen Formel (a+b) mit (a-b) und löst die Klammern durch ausmultiplizieren auf. Am Ende erhält man das hier genannte Ergebnis.

Beispielaufgabe zur 3. Binomischen Formel:

Herleitung der 3. Binomischen Formel

Wir lösen die Klammern auf, indem wir (a+b) mit (a-b) multiplizieren und dann die einzelnen Teilterme subtrahieren bzw.addieren.

Abwandlung der 1. bzw. 2. Binomischen Formel bei einem Exponent > 2

Falls der Exponent größer als 2 ist, also zum Beispiel 3 oder 4, kann das auf den ersten Blick etwas schwierig und überfordernd aussehen. Wenn man die Herleitung einmal verstanden hat, ist das jedoch gar nicht mehr so schwer. Hier macht es wirklich Sinn die Herleitung zu verstehen, da du sonst für jeden Exponenten die Formel auswendig lernen müsstest.

Nachdem die Klammern aufgelöst wurden, hat der Term immer die Anzahl von Teiltermen, wie der Exponent ist plus 1. Lautet der Exponent beispielsweise 5, dann hat der Term 6 Teilterme und 5 mal ein „+ “ bzw. „-“ .

Im Folgenden wird das ganze für den Exponenten 3 verdeutlicht. Falls der Exponent höher ist, wird die unten beschriebene Vorgehensweise dann auf den jeweiligen Exponenten bezogen.

Binomische Formeln anwenden bei einem Exponent = 3

Fall 1 (Erweiterung 1. Binomische Formel):

Herleitung:

Wir machen aus dem „hoch 3“ zunächst ein „hoch 2“. Dazu müssen wir den Term umschreiben: Wir multiplizieren (a+b) mit der ersten binomischen Formel (a+b)2 bzw. ausmulitpliziert: a2+2ab+b2. Dann können wir diese beiden Terme miteinander multiplizieren und lösen somit die Klammern auf und erhalten unser Ergebnis.

Fall 2 (Erweiterung 2. Binomische Formel):

Herleitung:

Wir machen auch hier wie oben auch aus dem „hoch 3“ zunächst ein „hoch 2“. Dazu müssen wir den Term umschreiben: Wir multiplizieren (a-b) mit der zweiten binomischen Formel (a-b)2 bzw. ausmulitpliziert: a2-2ab+b2. Dann können wir diese beiden Terme miteinander multiplizieren und lösen somit die Klammern auf und erhalten unser Ergebnis.

Das Wichtigste zu den drei Binomischen Formeln auf einen Blick!

Es gibt drei binomische Formeln, welche dir das Rechnen sehr erleichtern:

  1. Binomische Formel:
  2. Binomische Formel:
  3. Binomische Formel:

Unser Tipp für Dich!

Bei den binomischen Formeln macht es wirklich Sinn, die Herleitung der einzelnen Formeln zu verstehen. Dann kannst du ganz einfach die binomischen Formeln für höhere Potenzen anwenden.

Finales Binomische Formeln Quiz

Frage

Was ist die 1. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 2. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 3. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a + b) * (a – b) = a² – b²

Frage anzeigen

Frage

Wende die 1. binomische Formel an: (3x + 4)²


Antwort anzeigen

Antwort

(3x + 4)²
= (3x)² + 2 ⋅ 3x ⋅ 4 + 42 

= 9x² + 24x + 16

Frage anzeigen

Frage

Wende die 2. binomische Formel an: (y-2)²

Antwort anzeigen

Antwort

(y – 2)²
= y² – 2 ⋅ y ⋅ 2 + 2²
= y² – 4y + 4

Frage anzeigen

Frage

Wende die 3. binomische Formel an: (4x + 5) * (4x - 5)

Antwort anzeigen

Antwort

(4x + 5) ⋅ (4x – 5) 

= (4x)² – 52

= 16x² – 25

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf.


(16 + m)²

Antwort anzeigen

Antwort

(16 + m)²
= 162 + 2 ⋅ 16 ⋅ m + m²
= 256 + 32m + m²

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf.


(s – 20)²


Antwort anzeigen

Antwort

(s – 20)²

= s² – 2 ⋅ 20 ⋅ s + 202 

= s² – 40s + 400

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammer auf


(5x + 4)²

Antwort anzeigen

Antwort

(5x + 4)²

= (5x)²  + 2 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ 4 + 4²

= 25x²  + 40x + 16

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf 


(t – 12) ⋅ (t + 12)

Antwort anzeigen

Antwort

(t – 12) ⋅ (t + 12)

= t² – 122
= t² – 144

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht?


(x + 3)² = 2x + 6x + 9

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: (x + 3)² = x² + 6x + 9

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht? 


(2x – 6)² = 4x² + 12x + 36

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: (2x – 6)² = 4x² - 24x + 36

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht? 


36 + 48a + 16a² = (6 + 4a²)

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: 36 + 48a – 16a² = (6 + 4a)²

Frage anzeigen

Frage

Forme die Terme zu Klammertermen um


4x² + 4x + 1

Antwort anzeigen

Antwort

4x² + 4x + 1 

= (2x + 1)²

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


s² – 4


Antwort anzeigen

Antwort

s² – 4 

= (s + 2)*(s – 2)

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


0,04n²– 0,4n + n2

Antwort anzeigen

Antwort

0,04n² – 0,4n + n2
= (0,2n – n)²

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


16 – 8b + b²

Antwort anzeigen

Antwort

16 – 8b + b²

= (4 – b)²

Frage anzeigen
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