Hannah hat ein Quadrat mit Seitenlänge 4 cm gezeichnet. Um den Flächeninhalt dieses Quadrats zu bestimmen, rechnet sie 
. Jetzt verlängert Hannah das Quadrat um eine beliebige Strecke x und überlegt, wie sie nun den neuen Flächeninhalt berechnen kann.
Abbildung 1: Qudrat mit Seitenlänge 4 cm + x
Hannah meint 
ist der Flächeninhalt des neuen Quadrats. Dann kommt Bruno hinzu und sagt: Der Flächeninhalt des neuen Quadrats ist 
. Hannah ist verwirrt. Was ist denn nun richtig?
In dieser Erklärung wirst Du erfahren, dass sowohl Hannah als auch Bruno recht haben. Der Grund hierfür ist eine binomische Formel.
Binomische Formeln – Übersicht
Hannahs Aussage ist richtig. Die Lehrerin beschreibt die erste binomische Formel in Worten. Doch was sind die binomischen Formeln noch mal?
Es gibt drei binomische Formeln. Die erste und die zweite binomische Formel geben Dir an, was passiert, wenn Du eine Summe oder eine Differenz quadrierst. Du hast hier also ein Quadrat als Potenz. Alle drei binomischen Formeln können Dir das Rechnen in Mathe erleichtern und Du kannst sie Dir mit einer Herleitung erklären.
1. Binomische Formel
In der ersten binomischen Formeln wird eine Summe, bestehend aus zwei Summanden, quadriert. Durch die binomische Formel kannst Du das Ergebnis bestimmen, ohne die Klammern auszumultiplizieren.
Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition. Zwei Summanden bedeutet, dass Du zwei Ausdrücke addierst.
Für beliebige Zahlen a und b gilt die erste binomische Formel:
Für a und b kannst Du jede beliebige Zahl oder auch andere Variablen in die binomische Formel eingesetzt.
Beachte: Wenn einer der Summanden ein Produkt ist, zum Beispiel 3x, dann quadrierst Du beide Faktoren.
Im Beispiel bildest Du das Quadrat von 3x und nicht nur das Quadrat von x.
Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. In einem Summanden wird also multipliziert.
2. Binomische Formel
Die zweite binomische Formel ähnelt der ersten binomischen Formel. Einziger Unterschied ist, dass in der Klammer kein Pluszeichen, sondern ein Minuszeichen steht. Dadurch ändert sich auch auf der rechten Seite der Gleichung das Vorzeichen vor dem mittleren Teil.
Für beliebige Zahlen a und b gilt die zweite binomische Formel:
In der zweiten binomischen Formeln subtrahierst Du also zweimal das Produkt aus dem Minuenden und dem Subtrahenden.
Lass Dich im zweiten Beispiel nicht irritieren. Auch hier wurde der hintere Teil quadriert. Nur ist 
, da 
ist.
3. Binomische Formel
In der dritten binomischen Formel multiplizierst Du eine Summe mit einer Differenz. Die Summe und die Differenz unterscheiden sich aber nur darin, dass einmal ein Pluszeichen vorhanden ist und einmal ein Minuszeichen. Die Zahlen oder Variablen sind identisch. Das Ergebnis der dritten binomischen Formel sind zwei Potenzen.
Für beliebige Zahlen a und b gilt die dritte binomische Formel:
Im Ergebnis der dritten binomischen Formel steht immer ein Minuszeichen.
Du kannst in der dritten binomischen Formel zwischen den Klammern ein Malzeichen schreiben. Das Malzeichen darfst Du aber auch weglassen.
Binomischen Formeln auflösen
Die binomischen Formeln hat sich in Mathe niemand ausgedacht. Sie fallen nicht einfach vom Himmel. Mit der Herleitung kannst Du verstehen, wieso sie gelten.
Die erste binomische Formel kannst Du auch bildlich herleiten. Du hast ein Quadrat mit der Seitenlänge 
. Dann kannst Du in Abbildung 2 sehen, wie sich der Flächeninhalt dieses Quadrats zusammensetzt.
Abbildung 2: Bildliche Herleitung der 1. binomischen Formel
Jede Seite besteht aus einem Abschnitt a und einem Abschnitt b. Wenn Du jetzt den Flächeninhalt des Quadrats berechnen möchtest, rechnest Du 
. Dieser Flächeninhalt besteht genau aus 
und 
und zweimal dem Produkt aus 
. Wenn Du diese Teile addierst, erhältst Du: 
Du kannst die binomischen Formeln aber auch formell rechnerisch herleiten, indem Du die Potenz auflöst. Statt des Quadrats schreibst Du die Klammer zweimal als Faktor. Dann löst Du die Klammer auf, indem Du ausmultiplizierst. Dazu multiplizierst Du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer.
Herleitung der ersten binomischen Formel:
Abbildung 3: formelle Herleitung der ersten binomischen Formel
Herleitung der zweiten binomischen Formel:
Abbildung 4: formelle Herleitung der zweiten binomischen Formel
In der Herleitung der zweiten binomischen Formel steht in den Klammern vor dem b ein Minuszeichen. Dieses bleibt am b bestehen, wenn Du ausmultiplizierst. Dann kannst Du die Rechenzeichen zusammenfassen.
Herleitung der dritten binomischen Formel:
Abbildung 5: formelle Herleitung der dritten binomischen Formel
In der Herleitung der dritten binomischen Formel kannst Du auch erkennen, wieso 
subtrahiert wird. Beim ausmultiplizieren rechnest Du 
. Das Ergebnis davon ist 
.
Binomische Formeln als Rechenerleichterung
Die binomischen Formeln sollen Dir das Rechnen nicht erschweren. Im Gegenteil, sie sind dazu dar, um Dir das Rechnen zu vereinfachen und zu verkürzen. Wenn Du zum Beispiel 
ausrechnen willst, kannst Du wie in der Herleitung die Potenz auflösen und die einzelnen Summanden multiplizieren. Dann fasst Du das Ergebnis zusammen.
Eine andere Möglichkeit ist, direkt die binomische Formel anzuwenden und Dir Rechenschritte zu sparen:
Du kannst hier erkennen, dass die binomische Formel das Rechnen verkürzt. Durch das Anwenden der binomischen Formel kannst Du Zeit sparen.
Binomische Formeln – Beispiele
Du kannst für a und b in den binomischen Formeln alle Zahlen einsetzen. Dort können aber auch andere Variablen oder Produkte stehen. Du kannst die folgenden Beispiele auch als Übungen verwenden.
Außerdem kannst Du binomische Formeln auch mit Wurzeln oder Brüchen anwenden.
Wurzeln und Brüche sind auch Zahlen. Brüche gehören zu den rationalen Zahlen, Wurzel sind meist reelle Zahlen.
Binomische Formeln mit Wurzeln
Auch wenn in der Klammer eine oder mehrere Wurzeln stehen, kannst Du die binomische Formel anwenden.
Wenn Du eine Wurzel quadrierst, verschwindet das Wurzelzeichen. Denn das Quadrieren ist die Umkehrung des Wurzelziehens. Aber Achtung: Ein Wurzelausdruck bleibt auch nach dem Anwenden der ersten und zweiten binomischen Formel bestehen. Im Mittelteil der binomischen Formeln steht weiterhin eine Wurzel.
Wenn Du Wurzeln multiplizierst, kannst Du sie unter einer Wurzel zusammenfassen. Willst Du mehr darüber lernen? Dann sieh Dir die Erklärung "Wurzeln multiplizieren und dividieren" an.
Wendest Du die dritte binomische Formel auf einen Wurzelterm an, verschwinden die Wurzeln.
Binomische Formeln mit Brüchen
Für a und b in den binomischen Formeln können auch Brüche eingesetzt werden. Auch mit Brüchen wendest Du die binomische Formel wie gewohnt an.
Hier findest Du einen Bruch in der Klammer.
Auch das Ergebnis enthält wieder Brüche.
Wenn Du die binomische Formel auf Brüche anwendest, quadrierst Du Brüche und multiplizierst sie mit Zahlen.
Wie werden Brüche noch einmal quadriert?
Um einen Bruch zu quadrieren, werden Zähler und Nenner quadriert.
Für einen Bruch 
gilt:
a und b können für jede beliebige Zahl, aber auch für andere
Variablen oder Terme stehen.
Um den Zähler und den Nenner eines Bruches zu quadrieren, wendest Du auch dort die Regeln zum Quadrieren an. Steht im Zähler oder im Nenner zum Beispiel eine Summe oder Differenz, so wendest Du auch hier die binomische Formel an.
In den Übungen am Ende der Erklärungen findest Du auch Übungen mit Brüchen oder Wurzeln.
Binomische Formeln rückwärts – Faktorisieren
Du kannst die binomische Formel auch "rückwärts" verwenden. Das bedeutet, dass Du aus einer Summe wieder einen quadratischen Term machst. Dies wird auch Faktorisieren genannt. Statt die Klammern aufzulösen, erzeugst Du beim rückwärts Anwenden der binomischen Formel welche.
Um einen Term mithilfe der binomischen Formel rückwärts zu faktorisieren, bestimmst Du a und b aus der binomischen Formel. Dazu kannst Du Dir zuerst einmal die binomische Formel allgemein notieren und darunter Deinen Term schreiben, den Du faktorisieren möchtest.
Um a und b zu bestimmen, ziehst Du nun aus dem ersten und dem dritten Summanden die Wurzel.
Bevor Du jetzt faktorisierst, überprüfst Du, ob das Produkt aus a und b mit 2 auch wirklich den mittleren Summanden ergibt.
Das Produkt 
stimmt mit dem mittleren Summanden überein. Du kannst die binomische Formel rückwärts anwenden:
Nicht immer stehen die Summanden bereits in der richtigen Reihenfolge. Manchmal änderst Du vor dem Anwenden der binomischen Formel die Reihenfolge der Summanden.
Im Folgenden findest Du ein Beispiel, indem alle Schritte zum rückwärtigen Anwenden der binomischen Formel nacheinander ausgeführt werden.
Bestimmen von a und b:
überprüfen:
stimmt mit dem mittleren Summanden überein. Es ist:
Achtung, wenn 
nicht mit dem mittleren Summanden übereinstimmt, kannst Du die binomische Formel nicht anwenden.
Du bestimmst a und b:
Jetzt überprüfst Du 
:
stimmt nicht mit dem mittleren Summanden überein. Du kannst die binomische Formel nicht rückwärts anwenden.
Wenn Du faktorisieren möchtest, obwohl Du die binomische Formel rückwärts so nicht anwenden darfst, kannst Du die quadratische Ergänzung verwenden. Siehe Dir die Erklärung hierzu an, wenn Du wissen möchtest, wie Du quadratisch ergänzt.
Die zweite binomische Formel rückwärts funktioniert genauso wie die erste binomische Formel rückwärts. Achte hier aber besonders auf die Reihenfolge der Ausdrücke.
Du kannst auch die dritte binomische Formel rückwärts anwenden. Dies bietet sich immer dann auch, wenn Du zwei Ausdrücke hast, aus denen Du die Wurzel ziehen kannst und zwischen ihnen ein Minuszeichen steht.
Um die dritte binomische Formel rückwärts anzuwenden, ziehst Du sowohl aus dem Minuenden als auch aus dem Subtrahenden die Wurzel. Die Ergebnisse sind a und b.
Am Ende der Erklärung sind Übungen aufgeführt, mit denen Du binomische Formel rückwärts üben kannst.
Höhere binomische Formeln
Bisher hast Du gelernt, wie Du vorgehen kannst, wenn an der Klammer die 2 als Exponent der Potenz steht. Es ist aber möglich, dass höhere Exponenten an der Klammer stehen. Auch dann kannst Du eine binomische Formel anwenden. Sie verändert sich aber.
Binomische Formel hoch 3
Auch die dritte binomische Formel kannst Du herleiten, indem Du 
ausmultiplizierst. Es ist:
Dies ist die erste binomische Formel. Auch hier gibt es eine zweite binomische Formel:
Eine dritte binomische Formel gibt es für höhere Exponenten nicht.
Binomische Formeln mit höheren Exponenten und das Pascalsche Dreieck
Auch für noch höhere Exponenten gibt es binomische Formeln. Natürlich könntest Du diese alle auswendig lernen. Aber Du kannst Dir auch den Aufbau mithilfe des Pascalschen Dreiecks erschließen.
Die Zahlen im Pascalschen Dreieck geben Dir die Faktoren in der binomischen Formel an.
Abbildung 6: Pascalsches Dreieck und binomische Formeln
Wie genau das Pascalsche Dreieck aufgebaut wird, kannst Du in der Erklärung "Pascalsches Dreieck" nachlesen.
Binomische Formeln – Übungen
Die folgenden Übungen kannst Du nutzen, um das Rechnen mit binomischen Formeln zu trainieren.
Aufgabe 1
Schreibe ohne Klammern und fasse zusammen. Wende dabei stets die binomische Formel an.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Lösung
a)
Hier wendest Du die erste binomische Formel an.
b)
In der Klammer steht ein Minuszeichen. Du wendest die zweite binomische Formel an.
c)
In der Klammer steht eine Summe. Deswegen verwendest Du die erste binomische Formel.
d)
Die beiden Terme in den Klammern sind bis auf das Rechenzeichen identisch. Es handelt sich um die dritte binomische Formel.
e) Die binomische Formel enthält einen Bruch. Denke daran, dass Du den gesamten Bruch quadrierst.
f) In dieser Übung ist ein Bruch und eine Wurzel enthalten.
Im mittleren Teil der binomischen Formel multiplizierst Du 2 mit dem Bruch 
. Das Ergebnis davon ist der Bruch 
. Dieser ergibt gekürzt 1 und die 1 kannst Du als Faktor weglassen.
Aufgabe 2
Faktorisiere mithilfe der binomischen Formel rückwärts, wenn möglich.
a) 
b) 
Lösung
a)
Aufgrund der Rechenzeichen kommt nur die erste binomische Formel infrage.
Du bestimmst a und b.
Jetzt überprüfst Du, ob 
mit dem mittleren Teil übereinstimmt.
Du darfst die binomische Formel rückwärts anwenden. Es ist:
b)
Hier kommt die zweite binomische Formel aufgrund des Minuszeichens infrage.
Zuerst bestimmst Du a und b:
Überprüfe, ob 
mit dem mittleren Teil übereinstimmt:
und der mittlere Teil stimmen nicht überein. Du kannst die binomische Formel hier nicht rückwärts anwenden.
Binomische Formeln - Das Wichtigste
- Die binomischen Formeln kannst Du verwenden, um Dir das Rechnen zu erleichtern.
- Für die Potenz "hoch 2" gibt es drei binomische Formeln.
- 1. binomische Formel:
- 2. binomische Formel:
- 3. binomische Formel:
- Du kannst die binomischen Formeln auch rückwärts anwenden, um zu faktorisieren.
Nachweise
- 1.Böer et al. (2008). mathe live 8, mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
- 2.Bosch, Craats (2010). Grundwissen Mathematik, Ein Vorkurs für Fachhochschule und Universität. Springer.
Schüler*innen Geprüfte Erklärungen zu allen Themen in der Schule
Studierende Alles was du brauchst für ein erfolgreiches Studium
Auszubildende Lernmaterialien für bessere Noten in der Berufsschule
Magazine Die besten Lifehacks, Tipps und Infos
dasselbe Ergebnis wie 
. Deswegen kannst Du statt 
auch 
schreiben.
ist dasselbe wie 
.
ausrechnest, erhältst Du 
. Für den mittleren Teil davon gilt 
. Deswegen wird aus 
dann nur 
.
