Inhaltsverzeichnis▼
- Was sind die binomischen Formeln?
- 1. binomische Formel
- 2. binomische Formel
- 3. binomische Formel
- Herleitung & geometrische Deutung
- Ausmultiplizieren & Rechner
- Rückwärts: Faktorisieren
- Kopfrechnen-Trick
- Binomische Formel hoch 3
- Häufige Fehler
- Übungsaufgaben
- Karteikarten
- Das Wichtigste
- Häufige Fragen
- Quellen
Was sind die binomischen Formeln?
Die binomischen Formeln sind drei Rechenregeln, mit denen man Klammern mit zwei Summanden schnell ausmultipliziert: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² und (a + b)(a − b) = a² − b². Sie sind ein Spezialfall des Distributivgesetzes und die Grundlage für das Vereinfachen von Termen.
Ein Binom ist eine Summe aus genau zwei Gliedern, zum Beispiel a + b. Quadriert man ein solches Binom oder multipliziert man ein Plusminus-Paar, entstehen immer wieder dieselben Muster. Statt jedes Mal einzeln auszumultiplizieren, nutzt man die drei binomischen Formeln als Abkürzung. Das spart Zeit und verhindert Rechenfehler, gerade bei Termen mit Variablen.
Die drei Formeln heißen erste, zweite und dritte binomische Formel. Die erste behandelt das Quadrat einer Summe, die zweite das Quadrat einer Differenz und die dritte das Produkt aus Summe und Differenz derselben beiden Zahlen. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um solche Grundlagen der Algebra sicher für Schule, Vorkurs und Abitur zu beherrschen.
binomischen Formeln lernen?
Die erste binomische Formel
Die erste binomische Formel lautet (a + b)² = a² + 2ab + b². Sie beschreibt das Quadrat einer Summe: Man quadriert den ersten Summanden, addiert das doppelte Produkt beider Summanden und quadriert den zweiten. Der mittlere Term 2ab ist der entscheidende Baustein, der bei falscher Rechnung oft fehlt.
Warum das doppelte Produkt entsteht, sieht man beim Ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz: (a + b)² bedeutet (a + b)·(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b². Die beiden gleichen Produkte ab fasst man zu 2ab zusammen. So ergibt sich a² + 2ab + b².
Multipliziere (3x + 4)² aus. Es ist a = 3x und b = 4. Also a² = 9x², 2ab = 2·3x·4 = 24x und b² = 16. Ergebnis: (3x + 4)² = 9x² + 24x + 16.
Die zweite binomische Formel
Die zweite binomische Formel lautet (a − b)² = a² − 2ab + b². Sie ist das Quadrat einer Differenz. Der einzige Unterschied zur ersten Formel ist das Minuszeichen vor dem mittleren Term 2ab. Das letzte Glied b² bleibt positiv, weil das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist.
Auch hier hilft das Ausmultiplizieren: (a − b)² = (a − b)·(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b². Weil (−b)·(−b) = +b² gilt, ist das letzte Glied immer positiv. Viele Fehler entstehen genau hier, wenn das letzte Vorzeichen falsch übernommen wird.
Berechne (5 − 2y)². Mit a = 5 und b = 2y ist a² = 25, 2ab = 2·5·2y = 20y und b² = 4y². Also (5 − 2y)² = 25 − 20y + 4y². Nur der mittlere Term trägt das Minuszeichen.
Die dritte binomische Formel
Die dritte binomische Formel lautet (a + b)(a − b) = a² − b². Sie beschreibt das Produkt aus Summe und Differenz derselben beiden Zahlen. Beim Ausmultiplizieren heben sich die gemischten Terme +ab und −ab gegenseitig auf, sodass nur die Differenz der Quadrate übrig bleibt.
Rechnet man aus, wird der Grund sichtbar: (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b². Die Terme −ab und +ab summieren sich zu null. Deshalb heißt diese Formel auch Plusminus-Formel und liefert immer eine Differenz zweier Quadrate.
Berechne (2x + 7)(2x − 7). Mit a = 2x und b = 7 ist a² = 4x² und b² = 49. Ergebnis: (2x + 7)(2x − 7) = 4x² − 49. Es gibt keinen Mischterm.
Wie leitet man die binomischen Formeln her?
Die Herleitung der binomischen Formeln gelingt algebraisch durch Ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz und geometrisch über Flächen. Zeichnet man ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b, zerfällt seine Fläche in a², b² und zwei gleiche Rechtecke ab. Die Summe a² + 2ab + b² ist genau die Fläche des großen Quadrats.
Die geometrische Deutung macht die erste Formel besonders anschaulich. Ein Quadrat mit der Kantenlänge a + b hat den Flächeninhalt (a + b)². Teilt man beide Kanten im Verhältnis a zu b, entstehen vier Teilflächen: das große Quadrat a², das kleine Quadrat b² und zwei gleich große Rechtecke mit der Fläche a·b. Beide Rechtecke zusammen ergeben den Mischterm 2ab. Genau hier sieht man, warum dieser Term nicht fehlen darf.
Auch die zweite und dritte Formel lassen sich als Flächen deuten: Bei (a − b)² zieht man von einem großen Quadrat a² zweimal ein Rechteck ab und addiert das doppelt abgezogene Quadrat b² wieder hinzu. Bei der dritten Formel setzt man ein Rechteck mit den Seiten (a + b) und (a − b) so um, dass es flächengleich zu a² − b² ist.
Binomische Formeln ausmultiplizieren
Beim Ausmultiplizieren setzt man die beiden Summanden als a und b in die passende Formel ein und quadriert. Wichtig ist, zuerst die richtige Formel zu erkennen: Plus im Quadrat führt zur ersten, Minus im Quadrat zur zweiten und ein Plusminus-Produkt zur dritten Formel. Der Mischterm 2ab wird zuletzt geprüft.
Als kleine Anleitung: Erkenne die Form, bestimme a und b, quadriere die Terme und vergiss den mittleren Term 2ab nicht. Mit dem folgenden Rechner kannst du beliebige Zahlen für a und b eingeben und siehst das ausmultiplizierte Ergebnis aller drei Formeln sofort.
Binomische Formeln rückwärts: Faktorisieren
Rückwärts angewendet dienen die binomischen Formeln zum Faktorisieren: Ein Term wie a² + 2ab + b² wird zu (a + b)², a² − 2ab + b² zu (a − b)² und a² − b² zu (a + b)(a − b). Diese Rückwärtsanwendung ist besonders wertvoll beim Kürzen von Brüchen und beim Lösen von quadratischen Gleichungen.
Um rückwärts zu erkennen, welche Formel passt, prüfst du drei Dinge: Sind das erste und das letzte Glied Quadrate? Ist der mittlere Term genau das doppelte Produkt der beiden Wurzeln? Fehlt der mittlere Term und steht ein Minus zwischen zwei Quadraten? Dann liegt die dritte Formel vor.
Zerlege x² − 16 in Faktoren. Es sind zwei Quadrate mit Minus dazwischen, also die dritte Formel: x² − 16 = x² − 4² = (x + 4)(x − 4). Und x² + 10x + 25 = (x + 5)², weil 25 = 5² und 10x = 2·x·5 ist.
Faktorisierte Terme lassen sich kürzen. Der Bruch (x² − 16)/(x + 4) wird nach Zerlegung zu (x + 4)(x − 4)/(x + 4) und damit zu x − 4. Ohne die dritte binomische Formel wäre dieser Schritt kaum möglich.
Kopfrechnen mit den binomischen Formeln
Mit den binomischen Formeln kopfrechnen heißt, eine Zahl clever in eine runde Zahl plus oder minus einen Rest zu zerlegen. So wird 27² zu (20 + 7)² und 42·38 zu (40 + 2)(40 − 2). Aus scheinbar schweren Multiplikationen werden dadurch einfache Additionen und Quadrate, die man im Kopf schafft.
Für Quadratzahlen nahe an einer runden Zahl nutzt du die erste oder zweite Formel, für Produkte, die symmetrisch um eine runde Zahl liegen, die dritte Formel.
| Aufgabe | Zerlegung | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| 27² | (20 + 7)² | 400 + 280 + 49 | 729 |
| 37² | (30 + 7)² | 900 + 420 + 49 | 1369 |
| 19² | (20 − 1)² | 400 − 40 + 1 | 361 |
| 42·38 | (40 + 2)(40 − 2) | 1600 − 4 | 1596 |
| 29·31 | (30 − 1)(30 + 1) | 900 − 1 | 899 |
Der Trick funktioniert, weil die binomischen Formeln die aufwendige Multiplikation in einfache Teilschritte zerlegen. Mit etwas Übung rechnest du damit viele Quadratzahlen und Produkte schneller als mit dem klassischen schriftlichen Verfahren.
Binomische Formel hoch 3
Für die dritte Potenz gilt (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ und (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Die Koeffizienten 1, 3, 3, 1 stammen aus dem Pascalschen Dreieck. Damit sind die binomischen Formeln ein Sonderfall des allgemeinen binomischen Lehrsatzes für beliebige Potenzen.
Die Formeln für die dritte Potenz entstehen, wenn man (a + b)² noch einmal mit (a + b) multipliziert. Die Koeffizienten lassen sich direkt aus dem Pascalschen Dreieck ablesen: Für die zweite Potenz sind es 1, 2, 1 und für die dritte Potenz 1, 3, 3, 1. Für noch höhere Potenzen verwendet man den binomischen Lehrsatz, der die Koeffizienten über die Fakultät als Binomialkoeffizienten beschreibt.
Jede Zeile beginnt und endet mit 1, jede innere Zahl ist die Summe der beiden darüber. Zeile für die zweite Potenz: 1 2 1. Zeile für die dritte Potenz: 1 3 3 1. So kannst du die Koeffizienten jeder Potenz von (a + b)ⁿ ohne langes Ausmultiplizieren bestimmen.
Welche Fehler passieren bei den binomischen Formeln am häufigsten?
Der häufigste Fehler ist, den Mischterm 2ab zu vergessen und (a + b)² fälschlich als a² + b² zu schreiben. Weitere typische Fehler sind ein falsches Vorzeichen beim letzten Glied der zweiten Formel und das Verwechseln der drei Formeln. Wer diese Fallen kennt, vermeidet die klassischen Punktabzüge.
Diese Stolperfallen tauchen in Klausuren immer wieder auf. Prüfe daher am Ende jeder Rechnung, ob der mittlere Term vorhanden und das letzte Vorzeichen korrekt ist.
Es gilt (a + b)² = a² + 2ab + b², nicht a² + b². Gegenbeispiel: (1 + 3)² = 16, aber 1² + 3² = 10. Der Unterschied ist genau der Mischterm 2·1·3 = 6, der bei der falschen Rechnung fehlt.
Bei (a − b)² bleibt das letzte Glied b² positiv, denn (−b)·(−b) = +b². Nur der mittlere Term trägt das Minuszeichen. Wer b² negativ schreibt, bekommt ein falsches Ergebnis.
Ein Plusminus-Produkt wie (a + b)(a − b) hat keinen Mischterm, das Ergebnis ist a² − b². Wer hier fälschlich 2ab addiert, wendet die falsche Formel an. Prüfe immer zuerst, ob ein Quadrat oder ein Plusminus-Produkt vorliegt.
Übungsaufgaben zu den binomischen Formeln
Fünf Übungsaufgaben zu den binomischen Formeln decken das Ausmultiplizieren, das Faktorisieren, das Kopfrechnen und die typischen Fehler ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Lösungsweg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
a = x, b = 5. Also a² = x², 2ab = 2·x·5 = 10x, b² = 25. Ergebnis: (x + 5)² = x² + 10x + 25.
a = 4, b = 3y. Also a² = 16, 2ab = 2·4·3y = 24y, b² = 9y². Ergebnis: (4 − 3y)² = 16 − 24y + 9y².
Dritte Formel mit a = 2a, b = 9: Ergebnis (2a + 9)(2a − 9) = 4a² − 81. Kein Mischterm.
Zwei Quadrate mit Minus dazwischen, also dritte Formel rückwärts: x² − 36 = x² − 6² = (x + 6)(x − 6).
52² = (50 + 2)² = 2500 + 2·50·2 + 4 = 2500 + 200 + 4 = 2704.
Karteikarten zu den binomischen Formeln
Sechs Karteikarten zu den wichtigsten Punkten rund um die binomischen Formeln, von den drei Formeln über den Mischterm bis zum Faktorisieren. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das Set, um die Formeln aktiv abzurufen.
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Binomische Formeln, das Wichtigste
Die binomischen Formeln sind drei Regeln zum Ausmultiplizieren: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² und (a + b)(a − b) = a² − b². Rückwärts dienen sie zum Faktorisieren, im Kopf zum schnellen Rechnen. Der Mischterm 2ab ist der Baustein, den man am häufigsten vergisst.
- 1. Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- 2. Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b², nur der mittlere Term ist negativ.
- 3. Formel: (a + b)(a − b) = a² − b², ohne Mischterm.
- Rückwärts: zum Faktorisieren und Kürzen von Brüchen.
- Häufigster Fehler: den Mischterm 2ab vergessen.
Häufige Fragen zu den binomischen Formeln
Die drei binomischen Formeln lauten: erste Formel (a + b)² = a² + 2ab + b², zweite Formel (a − b)² = a² − 2ab + b² und dritte Formel (a + b)(a − b) = a² − b². Sie beschreiben, wie man Klammern mit zwei Summanden quadriert oder ein Plusminus-Produkt ausmultipliziert.
Beim Ausmultiplizieren von (a + b)·(a + b) entstehen vier Produkte: a², ab, ab und b². Die beiden gemischten Produkte ab ergeben zusammen den Mischterm 2ab, der bei a² + b² fehlt. Beispiel: (1 + 3)² = 16, aber 1² + 3² = 10. Der Unterschied ist genau 2·1·3 = 6.
Man zeichnet ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b und zerlegt es in vier Teilflächen: ein Quadrat a², ein Quadrat b² und zwei gleiche Rechtecke mit der Fläche ab. Die Summe der Teilflächen a² + 2ab + b² ist genau die Fläche des großen Quadrats (a + b)².
Rückwärts angewendet werden die Formeln zum Faktorisieren: a² + 2ab + b² wird zu (a + b)², a² − 2ab + b² zu (a − b)² und a² − b² zu (a + b)(a − b). Das hilft besonders beim Kürzen von Bruchtermen und beim Lösen quadratischer Gleichungen.
Man zerlegt eine Zahl in eine runde Zahl plus oder minus einen Rest. Zum Beispiel 27² = (20 + 7)² = 400 + 280 + 49 = 729 mit der ersten Formel, oder 42·38 = (40 + 2)(40 − 2) = 1600 − 4 = 1596 mit der dritten Formel.
Für die dritte Potenz gilt (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ und (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Die Koeffizienten 1, 3, 3, 1 stammen aus dem Pascalschen Dreieck und folgen aus dem binomischen Lehrsatz.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und universitären Lehrmaterialien:
- Binomische Formeln (Definition, Herleitung und Anwendungen). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Binomischer Lehrsatz (höhere Potenzen, Pascalsches Dreieck). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Universität Konstanz: Vorkurs Mathematik (Skript, PDF). math.uni-konstanz.de (PDF)
- Technische Universität Darmstadt: Vorkurs Mathematik (Skript, PDF). mathematik.tu-darmstadt.de (PDF)